正弦量的相量表示法教案
《电工学（少学时）》第三章正弦量的相量表示法
学习目标： 1. 掌握复数的基本知识。
2 ．掌握正弦量的相量表示法。
重点：正弦量的相量表示法。
难点：相量图
一、相量法的引入
一个正弦量可以用三角函数式表示，也可以用正弦曲线表示。
但是用这两种方法进行正弦量的计算是很繁琐的，有必要研究如何简化。
由于在正弦交流电路中 , 所有的电压、电流都是同频率的正弦量，所以要确定这些正弦量，只要确定它们的有效值和初相就可以了。
相量法就是用复数来表示正弦量。
使正弦交流电路的稳态分析与计算转化为复数运算的一种方法。
二、复数概述
1 ．复数：形如的式子称为复数，为复数的实部，为复数的虚部，、
均为实数，为虚数单位。
图 4-3 复数的图示法
2 ．复数的图示法
式中为复数 A 的模，为复数 A 的辐角。
3 ．复数的表示形式及其相互转换
其中代数式常用于复数的加减运算，极坐标式常用于复数的乘除运算。
4 ．复数的运算法则
①相等条件：实部和虚部分别相等（或模和辐角分别相等）。
②加减运算：实部和实部相加（减），虚部和虚部相加（减）。
③乘法运算：模和模相乘，辐角和辐角相加。
④ 除法运算：模和模相除，辐角和辐角相减。
三、相量表示法
1 ．正弦量与复数的关系
= sin( ψ )= [ ]= [ ]
正弦电压等于复数函数的虚部，该复数函数包含了正弦量的三要素。
2 ．相量 ---- 分有效值相量和最大值相量
① 有效值相量：= / ψ
② 最大值相量：= / ψ
3 ．相量图
在复平面上用一条有向线段表示相量。
相量的长度是正弦量的有效值I ，相量与正实轴的夹角是正弦量的初相。
这种表示相量的图称为相量图。
例 4-4 ：。
写出表示 1 和2 的相量，画相量图。
解： 1 =100 /60 ° V
2 =50 /-60 ° V
相量图见图 4-4 。
例 4-5: 已知 1 =100 sin A ， 2 =100 sin( -120 ° )A ，试用相量法求 1 + 2 ，画相量图。
解： 1 =100 /0 °A 2 =100 /-120 ° A
1 +
2 =100 /0 ° + 100 /-120 ° =100 /-60 ° A
1 +
2 =100 sin( -60 ° )A
相量图见图 4-5 。
作业： 4-5 、 4-7 、 4-8。
相量图表示法教案
学时:2学时教学目的：1.运用相量图分析交流电路； 2.相量图与波形图的关系。
重点：相量图的注意事项；难点：运用相量图分析交流电路。
导入新课：相量图是学习正弦交流电的基本工具，在计算相应的问题时是可以起到很好的作用的。
§ 5—2正弦交流电的相量图表示法一、表示正弦交流电的方法1.解析式。
例如 V t U u u m )sin(ϕω+=2.波形图。
例如下图1所示3.相量图。
例如下图2所示二、相量图（矢量图） 1.旋转矢量与波形图的关系怎样用相量图来表示正弦交流电呢？现在以正弦电动势V t E e m )sin(ϕω+=为例说明如下：如图2所示，在直角坐标系内，作一条有向线段OA ，其长度为正弦电动势e 的最大值m E ，它的起始位置与x 轴正方向的夹角等于初相0ϕ，并以正弦电动势的角频率ω为角速度逆时针匀速旋转，则在任一瞬间旋转相量与x 轴的夹角即为正弦电动势的相位)(0φω+t ，它在y 轴的投影)(Oa 即为该正弦电动势的瞬时值。
正弦交流电的相量用“m E 、m U 、mI ”表示。
但实际应用更多的是有效值相量（如图3所示），即将有向线段OA 的长度定为正弦量的有效值，相应符号则为“E 、U 、I ”。
例如，当0=t 时，旋转相量在y 轴的投影为e图12.应用相量图时应注意以下几点：①同一相量图中，各正弦交流电的频率应相同。
②同一相量图中，相同单位的相量应按相同比例画出。
③一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆时针转动的角度为正，顺时针转动的角度为负。
有时为了方便起见，也可在几个相量中任选其一作为参考相量，并取消直角坐标轴。
④用相量表示正弦交流电后，它们的加、减运算可按平行四边形法则进行。
3.举例已知V t u )30314sin(2301+=，V t u )60314sin(2402-=，利用相量图求21u u u +=和21u u u -='的瞬时值表达式。
5-3 正弦量的相量表示法
或
I m Ime
j i
I m i
I Ie
I i
电路原理
§5-3 正弦量的相量表示法 相量 正弦量
j u
Um U m e
u(t ) Im(Ume ) u(t ) Im( 2Ue )
i (t ) Im( I me
j t
j t
U U u
I m Ime
A2 A2e j 2 A2 2 a2 jb2
加减运算 A1 A2 (a1 a2 ) j (b1 b2 )
j ( ) 乘法运算 A1 A2 A1 A2e 1 2 A1 A2( 1 2 )
A1 A1 j ( 1 2 ) A1 除法运算 e ( 1 2 ) jA1 A2 A2 A2 j 1 90o jA1 A1e A1 1 90o
e jt Im 2U e jt ut Im U m
2)相量运算与复数运算相同，但必须是同频率的相 量才能进行运算。 3)已知时间正弦量可唯一确定对应的相量，而相量 只包含了正弦量的两个要素。 、 U U m 、U 4)注意符号区分：ut 、 、U m
正弦量 幅值 有效值 幅值相量 有效值相量
Im(虚部)
b1
A1
A1
a1
A1 j 1 90 o jA1 A1e A1 1 90o j
1
Re(实部)
0
jA1
电路原理
§5-3 正弦量的相量表示法
常用相量表示形式：
Ue j U
U U U (cos j sin ) U
正弦量的相量表示法
第九讲 正弦量的相量表示法一、相量法的引入1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。
2、正弦量的复数表示法：假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y ab arctg b a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅；复数的幅角：表示电压的初相。
正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。
3-2-1 正弦电压和电流的相量2、正弦电压相量与正弦电压的关系（1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。
（2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。
实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影（3）正弦量与相量表示法的相互关系三、实例分析【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i ， A )120314cos(10)(2︒--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。
解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i 的相量为A 605A e 560j m1 ∠==I用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。
将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m 2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图3-2-2。
从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。
i m m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=−→←+=∠=−→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A)180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=−→−+=+︒+-=--=I t t t t i图3-2-2 例3-2-1相量图电压电流相量：可为最大值相量，也可为有效值相量（U 及I ）。
高职《正弦量和相量关系》教学案例
高职《正弦量和相量关系》教学案例案例背景一．教材分析采用高等教育出版社的普通高等教育“十一五”国家级规划教材，席时达主编《电工技术》第三版。
本教材主要应对普通高等职业技术学校的学生。
符合我们的教学实情。
二．学情分析（1）学生有了初中物理电磁感应的理论学习基础。
但是对于抽象的电量，电产生过程，电量大小方向的判别还处于朦胧状态。
学生的知识朦胧主要原因是此部分知识内容相对来说比较抽象。
（2）交流电在初中知识结构里只是有初步的介绍，但是针对正弦交流电未作详细的分析。
不过，学生对数学的正弦函数和三角函数已经有了初步的认识和了理解。
（3）相量的内容与中学数学中的复数知识结构以及矢量的知识内容比较吻合。
但是这两部分知识，对于职业学校的大部分学生来说，基础不是很扎实。
甚至是还处于未入门状态。
那么在讲解这部分内容的前期，需要对以上两点知识点进行详细的介绍和再线。
三．教学条件分析目前多媒体动画展示，可以将抽象的理论过程变为形象的直观演变过程。
但是具体的仿真软件缺乏，需要教学前准备相应的模拟FLASH或通过PPT动画呈现，辅助教学的展开。
案例呈现一．课前准备：重点做出以下几点准备：1.常规的教学准备，如教案，备课等等2.发电机Flash动画演示素材3.矢量旋转，参数演变动画演示PPT4.学生对数学的复数，矢量以及物理的电磁感应的复习准备。
5.最关键的是从一开始吸引学生注意力的准备一．课程目标提出（1）首先提出一个数学问题，让整个课程有个中心线索。
即两个正弦函数的计算。
比如Asin（ax+b）+Bsin（ax+c）=？请学生自由发挥，用什么样的方法来计算最快？（2）提出第二个问题，让学生从数学问题联系到物理问题。
如果问题（1）中的Asin（ax+b）和Bsin（ax+c）是并联的两条支路电流，那么他们的和也就是总电路的电流应该是多少？（3）提出本节课课程目标：寻找矢量和复数与正弦函数也就是正弦量的关系，并利用这样的关系进行电路分析。
正弦量的相量表示法
第九讲 正弦量的相量表示法一、相量法的引入1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。
2、正弦量的复数表示法：假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y ab arctgb a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅；复数的幅角：表示电压的初相。
正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。
3-2-1 正弦电压和电流的相量2、正弦电压相量与正弦电压的关系（1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。
（2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。
实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影（3）正弦量与相量表示法的相互关系三、实例分析 【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i ， A )120314cos(10)(2︒--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。
解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i 的相量为A 605A e 560j m1 ∠==I用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。
将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图3-2-2。
从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。
im m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=−→←+=∠=−→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A)180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=−→−+=+︒+-=--=I t t t t i图3-2-2 例3-2-1相量图 电压电流相量：可为最大值相量，也可为有效值相量（U 及I ）。
电路3-2正弦量的向量表示法
u的相量为
U U1 U 2 4 j 4 3 3 3 j3 9.2 j3.9 1023.10 V
所以
u 10 2 sin(t 23.10 )V
电
路
3．2 正弦量的相量表示法
一、相量的概念 I 只反映正弦量的两个要素，而隐含着 第三个要素的一个旋转矢量叫做相量 。 用大写字母上方加一个点来表示 。如 表示电流的有效值相量。 而 U 和 U 则表示电压的有效值相量 和最大值相量。
m
电
路
对正弦量
u=Umsin(ωt+Ψ)
最大值 相量
对应的相量为
电
路
例3.2.3 u1= 8sin（ωt+60°）V ， u2= 6sin （ωt-30°）V ，试用相量法求电压u=u1+u2 。 解：u1的相量为
U1 8600 8cos 600 j8sin 600 4 j4 3 V
u2的相量为
U 2 6 300 6cos(300 ) j 6sin(300 ) 3 3 j3 V
U m U m
U U
电
路
如果
I m 10300
i=10sin(ωt+30°)
则它表示的正弦量为
二、相量图 为了计算的方便，经常用图形来表示相 量，只有同频率的正弦量其相量才能画 在同一复平面上，画在同一复平面上的 表示相量的图称为相量图。 。
电
下图就是 的相量图
路
I m 1030
《电工学》教案02正弦交流电路
7. 掌握三相四线制供电系统中单相及三相负载的正确联接方法，理解中线的作用；
8. 掌握对称三相电路电压、电流及功率的计算。
2.1 正弦电压与电流
1. 正弦电流及其三要素
随时间按正弦规律变化的电流称为正弦电流，同样地有正弦电压等。这些按正弦规律变
化的物理量统称为正弦量。
设图 2.1 中通过元件的电流 i 是正弦电流，其参考方向如图所示。正弦电流的一般表达
式为：
i (t)= I m sin(ωt+ψ)
图 2.1 电路元件
图 2.2 正弦电流波形图
它表示电流 i 是时间 t 的正弦函数，不同的时间有不同的量值，称为瞬时值，用小写字
母表示。电流 i 的时间函数曲线如图 2.2 所示，称为波形图。
I m 为正弦电流的最大值（幅值），即正弦量的振幅，用大写字母加下标 m 表示正弦量 的最大值，例如 I m 、U m 、 Em 等,它反映了正弦量变化的幅度。( t +ψ)随时间变化，称
少角度或时间，以角度表示时为ψ1-ψ2，若以时间表示，则为(ψ1-ψ2)/ω。如果两个正弦 电流的相位差为 12 = ，则称这两个正弦量为反相。如果 12 = 2 ，则称这两个正弦量为正
交。
图 2.4 正弦量的相位关系
3. 有效值
周期电流 i 流过电阻 R 在一个周期所产生的能量与直流电流 I 流过电阻 R 在时间 T 内所
从以上分析可知：
（1） 电感两端的电压与电流同频率；
（2） 电感两端的电压在相位上超前电流 90°；
（3） 电感两端的电压与电流有效值(或最大值)之比为 L。
令
X L = L =2 f L
X L 称为感抗，它用来表示电感元件对电流阻碍作用的一个物理量。它与角频率成正比。
正弦量的相量表示法及计算法
则：
U1 U2
U1 U2
1 2
（4）相等运算
设 U1 U2 用极坐标式表示时 U1 U2 , 1 2 用代数式表示时 a1 a2 , b1 b2 （5）相反运算
设 I1 I2 用极坐标式表示时 U1 U2 , 1 2 180 用代数式表示时 a1 a2 , b1 b2
[例3—2]见教材。
解：
I (3 j4) 3+j4=5(53.13 180 ) 5126.87 A
分析：求相反相量 就是将原相量旋转 180o ，相量图上两 相反相量对称于原 点，如图所示。
3.2.4 基尔霍夫定律的相量形式
对于正弦交流电路任一节点，有
i 0,u 0
一、KCL的相量形式： I 0
二、KVL的相量形式： U 0
内容简介
本教材理论推导从简，计算思路交待详细，概念述 明来龙去脉，增加例题数量和难度档次，章节分 “重计 算”及“重概念”两类区别对待，编排讲究逐步引深的 递进关系，联系工程实际，训练动手能力，尽力为后续 课程铺垫。借助类比及对偶手法，语言朴实简练，图文 印刷结合紧密，便于自学与记忆，便于节省理论教学时 数。适用于应用型本科及高职高专电力类、自动化类、 机电类、电器类、仪器仪表类、电子类及测控技术类专 业。
A( 90)
“j”的数学意义和物理意义
旋转 90因子： j
j cos 90 jsin 90
设相量 A r
B +j
• 相量A 乘以 j ，
A
A 将逆时针旋转 90 得到 B
• 相量A 乘以 j ， A o
ψ
+ 1
将顺时针旋转 90，得到 C
C
3. 除法运算
设： U1 U11 U2 U22
电子教案-电路及磁路(第4版_朱晓萍 霍龙)电子教案、参考答案38248-第04章
可得：
U RI ,ψu ψi
U& U ψu
第四章 正弦电流电路
于是可写成相量形式：
U RI或 Uψu RIψi 及 I& GU&
波形及相量如图所示
i
u
ui u
i
0
I&
U&
电压、电流关联参考方向
T
T
2
2
波形图
t I
U
相量图
第四章 正弦电流电路
◆ 结论
① 相位频率相同；
② 大小关系：U RI ； ③ 相位关系： u、i 同相位。
4.4 正弦电流电路中的电阻
在正弦电流电路中，无源元件除电阻外，还有电感和 电容。从这里开始分别介绍它们在正弦电路中的情况。
一 电压和电流的关系 关联参考方向下，电阻元件VCR为
u Ri
i
u
设电阻元件的正弦电流为：i(t) 2Isin(ωt ψi )
则电阻元件的电压为：
I Iψi
u(t) Ri(t)= 2RIsin(ωt ψi )= 2Usin(ωt ψu )
第四章 正弦电流电路
内容提要
1.正弦量的相量表示法； 2.两类约束的相量形式； 3.正弦电流电路的分析计算； 4.正弦电流电路的功率。
4.1 正弦量
一 时变的电压和电流
◆ 时变电压和电流：随时间变动的电压和电流。
第四章 正弦电流电路
◆瞬时值：时变电压和电流在任一时刻的数值，用 u(t) 和 i(t) 表示。 ◆周期量：每个值在经过相等的时间间隔后循环出现的 时变电压和电流。 ◆交流量：一个循环内波形面积平均值为零的周期量。
同理
注意
U
Um 2
正弦量的相量表示法
小结:
❖ 正弦量能够用相量表达，正弦量也能够用复数 表达。
❖ 正弦量旳相量旳幅角等于正弦量旳初相角， 相 量旳模等于正弦量旳最大值或有效值。
❖ 为了使计算成果能直接表达正弦量旳有效值， 一般使相量旳模等于正弦量旳有效值，即能够 表达为： U Ue j U
❖ 将几种同频率旳正弦量用相应旳相量表达并画 在同一种坐标平面上，这么旳图叫做相量图。
❖ 在同一量图中，以t＝0时刻旳相量表达正弦量。
作业：
❖ 课后复习本节内容。 ❖ 预习下一节“交流电路基本元件”。
谢谢,再见!
2023年9月
（ 4 ） 正弦量旳瞬时值＝相量虚部
u U
例1： 已知 i1 10 2sin t 30A
+j
试i2 写 5出I21s和inI2旳t 体 6现0式A，并
画出其向量图。
I1 解: i1 和 i2 相应旳电流向量
30
体现式分别为
0 -60
+1
I1 1030 A
I2
I2 5 60A
I1旳长度是I2旳二倍。
例2：
已知 A1 10 j5，A2 3 j4
求
A1 A2 和
A1 A2
。
解: A1 10 j5 11.1826.57
A2 3 j4 553.13
A1 A2 11.1826.57 553.13
55.9079.70
A1 A2
11.1826.57 553.13
2.236 26.56
这么，表达正弦电压 u Umsin t
旳相量为
U m Ume j Um
为了使计算成果能直接表达正弦量旳有 效值，一般使相量旳模等于正弦量旳有效 值，即能够表达为：