03-正弦量的相量表示法知识点
正弦量的相量表示方法
正弦量的相量表示方法
正弦量的表示方法有： 数学表达式、波形图、 相量表达式
1.1 复数及四则运算
1.复数
在数学中常用 A a bi 表示复数，其中a为实部，b为虚部，i 1
称为虚单位。在电工技术中，为区别于电流的符号，虚单位常用j表示。
+j
3
A
+j
b
P
r
O
4
+1
O
a +1
图4.7 复数在复平面上的表示 图4.8 复数的矢量表示
解
A B (8 j6) (6 j8) 14 j2
A B (8 j6)(6 j8) 10 36.9 10 53.1 100 16.2
正弦量的相量表示方法
1.2 正弦量的相量表示法
给出一个正弦量 u U m sin(t ) 在复平面上作一矢量，如图4.10所示。
(1)矢量的长度按比例等于振幅值U m
(在第四象限)
A1 5 36.9
A2的模 r2 (3)2 42 5
辐角2
arctan
4 3
126.9
则 A2 极坐标形式为
A2 5 126.9
(在第二象限)
正弦量的相量表示方法
例 4.7 写出复数 A 220 60 的三角形式和代数形式。
解 三角形式 A 220(cos60 jsin 60)
u2 2U 2 sin(t 2 ) 40 sin(100t 30) V
电工基础
(2) 复数的三角形式
A r cos jr sin
(3) 复数的指数形式
A re j
(4) 复数的极坐标形式
A r
正弦量的相量表示方法
例4.6 写出复数 A1 4 j3 A2 3 j4 的极坐标形式。 解 A1 的模 r1 42 (3)2 5
正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法
正弦量是一种重要的物理量，它被广泛用于电路和电子学中，是可以度量和测量电压或电流的一种简单的、可靠的方法。
它也被称为波格拉它。
正弦量以极坐标形式表示，它以每个周期的正弦值表示一个周期的数字。
它的特点是，它的值可以被定义为在指定的时间段内，电压或电流信号所处的极点。
正弦量的相量表示法是一种表示正弦量的计算方式，它可以将正弦量以角度为单位表示出来，而不是以极坐标表示法表示。
正弦量的相量表示法主要具有三种优点：
首先，正弦量的相量表示法比极坐标表示法更有效率、易于理解。
例如，在极坐标表示法中，每个极坐标代表一个振荡周期，这就要求用户记住每个周期的角度、大小和方向，而正弦量的相量表示法可以把每个周期的值表示为一个数字，从而使用户更加容易理解每一个振荡周期。
其次，正弦量的相量表示法比极坐标表示法更容易计算。
例如，在极坐标表示法中，需要计算每个振荡周期的极点，而正弦量的相量表示法可以直接计算每一个振荡周期的值，因此减少了计算的复杂程度。
最后，正弦量的相量表示法也可以作为数据处理或电子设备的一种实现方式，这种方式比极坐标表示法更为清晰。
此外，正弦量的相量表示法可以使用更多的计算机技术进行实现，以提高计算机对正弦量处理能力。
正弦量的相量表示法是一种高效方便的表示方式，它不仅使得表示更加清晰，而且可以明显降低计算机程序的复杂度，是电子行业用来表示正弦量的首选方式。
因此，正弦量的相量表示法应运而生，并迅速得到广泛使用。
它在电子领域的应用越来越广泛，赋予了正弦量表示技术更强的功能性和效率性，实现了正弦量表示技术的完美。
正弦交流电的相量图表示法
U2 领先于 U1
第六页
U2
2 U1
1
相位哪一个领先？ 哪一个落后？
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例2：同频率正弦波相加 -- 平行四边形法则
u1 2U1sint 1 u2 2U2 sint 2 u= u1 +u2 = 2U sint
U 同频率正弦波的
U2
相量画在一起，
构成相量图。
2
1
U I 幅度用最大值表示 ，则用符号： mm
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
UI
3.
相量符号U、I
包含幅度与相位信息。
HOME
第五页
正弦量的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示
u1 2U1 sin t 1 u2 2U2 sin t 2
设： 幅度：相量大小 U 2 U1
U1
U U1 U2
HOME
第七页
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。 3. 一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆 时针转动的角度为正，反之为负。 4. 用相量表示正弦交流电后，它们的加减运算可按 平行四边形法则进行。
正弦交流电的相量图表示法
第一页
正弦量的相量表示法
• 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三
要素表示出来。
• 表示一个正弦量可以多种方式，这也正 是分析和计算交流电路的工具。
①三角函数表示法：
u
u Um sin(t )
+
②正弦波形图示法: (见右图)
0
_
正弦量的相量表示
(3)正弦量的相量表示
分析正弦稳态的有效方法是相量法 (Phasor method)，相量法的基础是用相 量（向量）或复数来表示正弦量的振 幅和初相。注意：其频率不变。
j 相量图
Fm sin
Fm
+1
称为：f (t)的振幅相量 0 Fm cos
相量图的另一个好处是可平行四边形法则。
可得电流的表达式为
电路与模拟电子技术
j a2
复数A的 复平面表 示
a +
0
a1 1
(2)复数运算
A=a1+ja2= aej ， B1=b1+jb2=bejφ
则： A+B =a1+b1 +j(a2+b2 ) A×B= abej(+φ)
[例3-2] 已知A=4+j3,B=10∠-60°。试求：A+B，A-B， A·B。
解：A=4+j3 =5∠36.9°, B=10∠-60°=5-j8.66 则 A+B=4+j3+5-j8.66=9-j5.66; A-B=4+j3-(5-j8.66)=-1+j11.66
参考相量：上图中假设为零相位的相量。
例 4 已 知 电 流 i1(t)=5cos(314t+60)A , i2(t)=-10sin(314t+60)A 。 写 出 它 们 的 相 量，画出相量图，并求i(t)=i1(t)+ i2(t) 。 解：
相量图如图所示。
从相量图容易看 出各正弦电压电 流的相位关系： i2(t)超前于 i1(t) 90°。
电路与模拟电子技术
正弦交流电的相量图表示法
u= u1 +u2 = 2U sin t
U2 U
t 2 u2 2U2 sin
t 1 u1 2U1 sin
同频率正弦波的 相量画在一起， 构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
HOME
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。 3. 一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆
时针转动的角度为正，反之为负。
4. 用相量表示正弦交流电后，它们的加减运算可按 平行四边形法则进行。
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小结：正弦波的四种表示法
i
波形图
Im
T
t
瞬时值
u U sin t m
U
相量图
I
j
复数
符号法
U a jb U e U
A = a + jb
用极坐标系则表示为.
0
x
A=r/
r a b a r cos 变换关系为： b 或： arctg brs in a
2 2
5.2
正弦交流电的相量图表示法
在纵轴上的投影值来表示。
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量
u U sin t m
52正弦交流电的相量图表示法矢量长度mu?矢量与横轴夹角初相位矢量以角速度按逆时针方向旋转??????tuumsin??mut?home?有效值1
5.2
正弦交流电的相量图表示法
正弦量的相量表示法
• 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三 要素表示出来。 • 表示一个正弦量可以多种方式，这也正 是分析和计算交流电路的工具。
正弦量的相量法表示法资料
u U m sin( t )
②正弦波形图示法: ③ 相量表示法。
(见右图)
0
_
t
正弦量的相量表示法 相量法
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示。 有向线段的长度表示正弦量的幅值； 有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位; 有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。 正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
正弦量的相量表示法
例 题 把下列电量的相量转换为瞬时值函数式。
(设f=50Hz）
(1) U 100e j 30V
(2) I (60 80 j ) A
(3) U m 20045V
解
(1)u 2U sin(2ft ) 100 2 sin(100t 30)V
6 j
极坐标式为：A r 5
B
5 6
6
+j
0
+1
复数及其运算 复数的运算
1.复数加减法运算
A1 a1 jb1 , A2 a2 jb2 则有
A1 A2 a1 a2 (b1 b2 ) j A1 A2 a1 a2 (b1 b2 ) j
例题
把下列正弦量用相量形式表示出来。 t 30)V (1)u 100sin 314tV (2)u 20 2 sin(628
(3)i 5 sin(100 t 60) A
解
(1)U m 1000V (2)U 20 30V (3) I 5 60 A
解
指数式，极坐标式。
1 3 r a 2 b2 ( )2 ( )2 1 2 2
正弦量的相量表现法[会要]
![正弦量的相量表现法[会要]](https://img.taocdn.com/s3/m/d3d82d06f08583d049649b6648d7c1c709a10b56.png)
4－１ 正弦交流电路的分析方法一、用向量表示正弦量表示正弦量的方法：三角函数式、波形图、相量图（式）。
一、正弦量的旋转矢量表示1、相量：在一平面直角坐标系上画一矢量，它的长度等于正弦量的最大值，它与横轴正方向之间的夹角为正弦量的初相，而角速度因是固定的也可不必再标明，这种仅反映正弦量的最大值和初相的“静止的”矢量，称为相量。
如：∙m I 、∙m U 、∙m E 。
有效值相量：表示出正弦量的有效值和初相位的相量。
如：∙I 、∙U 、∙E 。
2、注意：⑴相同单位的量应按相同的的比例尺来画，不同单位的量可以用不同的比例尺来画；⑵只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，否则无法进行比较和运算。
二、同频率正弦量的加、减确定m I 和ψ可用曲线相加法，也可用相量作图法。
１、 相量作图法的步骤：先用出相量1∙I 和2∙I ，而后以1∙I 和2∙I 为邻边作一平行四边形，其对角线即为合成电流i 的相量∙I 。
∙I的长度为有效值，∙I 与横轴正方向的夹角即为初相ψ。
２、应用相量作图法对正弦量进行减法时，实质与加法相同。
例如： ∙∙∙∙∙-+=-=)(2121I I I I I ３、三角形法求矢量加、减两矢量求和：两相量“头尾相连”，第三条边即是它们的和。
两矢量求差：两相量“尾尾相连，指向最减数的第三边即为它们的差。
多个相量相加时：各相量“头尾相连”，由第一个相量的箭尾和最后一个相量的箭头作一相量，即为求和的相量。
三、相量的复数表示式把一个表示正弦量的相量画在复平面上，相量便可以用复数来表示，从而正弦量也就可以用复数表示。
jb a I +=∙其中，a----实部，b----虚部ψψsin ,cos I b I a ==则： ()ψψψψsin cos sin cos j I jI I jb a I +=+=+=∙，式中，Ｉ----复数的模，ψ----复数的幅角ab tg b a I =+=ψ,22复数的三角函数形式变换为指数形式再简写为极坐标形式为：ψψ∠==∙I Ie I j复数和正弦量之间也是一一对应的关系，表示正弦量的复数称为相量表示式，也简称相量，以后述及相量，若进行运算指复数运算，若作图指位置在初始时间的相量图。
2.2正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法一、正弦量的表示方法1、波形图表示法下图给出了不同初相角的正弦交流电的波形图。
2、瞬时值表达式 i (t ) = I m sin(ω t + ϕi 0)u (t ) = U m sin(ω t + ϕu 0)e (t ) = E m sin(ω t + ϕe 0)3、相量表示实质：用复数表示正弦量①正弦量用旋转有向线段表示相量法就是用相量来表示正弦量。
相量的数学基础是复数。
采用这种表示方法使得描述正弦交流电路由原来的微(积)分方程转化为代数形式的方程，大大地简化了正弦交流电路的分析与计算。
我们知道一个带有方向的线段可以表示一个矢量，下面先来看一个例子，讨论旋转有向线段与正弦量的关系。
图 正弦交流电的波形图举例 ψU U ∠=设正弦量U= U m sin(ωt +ψ)若: 有向线段长度 = Um有向线段与横轴夹角 = 初相位ψ有向线段以速度ω按逆时针方向旋转则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。
例如：在t =t 0时，U 0=U m sin(ωt 0+ψ)在t=t l 时，U 1=U m sin ；(ωt 1+ψ)正弦量可用有向线段表示，而有向线段又可用复数表示，所以正弦量可用复数来表示。
② 复数的几种表示形式在一个直角坐标系中，设：横轴为实轴，单位用+1表示；纵轴为虚轴，单位用+j 表示，则构成复数平面(又称复平面)。
图所示的有向线段A ，其复数表示式为：a ．代数式 A=α+ jba=rcosψ ，b=rsinψb ． 三角式根据欧拉公式：c ．指数式 A= re j ψd ． 极坐标式一个复数可用代数式、三角式、指数式和极坐标式四种表示形式，四者可以互相 ψr A =ψψψsin j cos e j +=可得:ab ψarctan =22b a r +=复数的模 复数的辐角 )sin j (cos sin j cos ψψr ψr ψr A +=+=,e e 2cos j j ψψψ-+=2j sin j j ψψψ--=e e转换。
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正弦量相量表示
1、基本概念
（1）正弦电路相量表示方法。
正弦量的相量表示实质上就是用复数表示正弦量。
为与一般的复数相区别，将表示正弦量的复数称为相量。
正弦量的相量表示如表1所示。
表1正弦量的相量式三角函数式
相量的极坐标式相量的直角坐标式电压t
U u ωsin 2=o 0∠=U U ）（o o 0sin j 0cos +=U U 电流)30sin(2o +=t I i ωo 30∠=I I ）（o o 30sin j 0cos3+=I I
电动势)30sin(2o -=t I e ωo 30-∠=E E
）（o o 30sin j 0cos3-=E E （2）相量的实质与目的。
相量表示的实质上就是用复数表示正弦量。
正弦量可用三角函数式、波形图等表示，但以此方法分析正弦交流电路比较困难，引入相量的目的是为了简化正弦交流电路的分析方法，即将正弦交流电路的计算变成复数式的代数运算。
2、正弦交流电路的相量分析方法
正弦交流电路引入相量后，正弦交流电路就有相量式法和相量图法两种分析方法。
（1）相量式法
1）将电路中已知的正弦量电压、电流、电动势用相量表示；
2）将电路中无源元件用阻抗表示，如R 、jX L 、-jX C ；
3）用各种电路分析方法求解，所有方程均为相量方程。
一般加减运算用代数式；乘除运算用指数式或极坐标式。
（2）相量图法
1）选取参考相量，一般并联电路选电压U 、串联电路选电流I ，复联电路要视具体情况而定；
2）以参考相量为基础，根据元件上电压与电流的相位关系画出电路的相量图；
3）根据相量的几何关系（平行四边形法则）求解待求物理量。
2、注意事项
（1）正弦量与相量间为对应关系，不是“相等”或“等效”关系。
（2）相量法是分析计算正弦交流电路的一种辅助数学工具，可使正弦量的数学运算更为简便，且只适应于同频率的正弦量的分析计算。
（3）分析和计算正弦交流电路时，必要时可借助相量图的几何关系，同一相量图中各正弦量必须频率相同。