天津市海河中学2021届高三上学期第一次月考数学试卷 Word版含答案
天津市河西区海河中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题
由余弦定理，可得 ，整理得 ，即 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档题．
8．C
【分析】
天津市河西区海河中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
2．设命题 ，命题 ，则 是 成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
10．已知函数 ，若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
二、填空题
11． 是虚数单位,若 是纯虚数,则实数 的值为______.
12．不等式 的解集为________．（用区间表示）
13．在 的展开式中， 项的系数为________（用数字作答）．
14．已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则 ______.
10．A
【分析】
本题等价于函数 的与 的图象有3个交点，分别利用导数求出与两段函数相切时 的值，即可得到 取值范围
【详解】
解：作出函数 的与 图象如图：
当 为 的切线时，即 ，解得 ，
即切点为 ，代入 得 ，
所以 ；
当 为 的切线时，
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知向量 ， ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
4．已知函数 ，则 的增区间为（）
2021年高三上学期第一次月考数学(文)试题含答案
2021年高三上学期第一次月考数学（文）试题含答案本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：l.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡规定的位置上．2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )A. B. C. D.2.在△ABC中, 已知b=40, c=20, C=60°, 则此三角形的解为 ( )A. 有一解B. 有两解C. 无解D. 有解但解的个数不确定3.已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，则|2b－a|的取值范围是( )(A)[1，3] (B) [3，5] (C) [2，4] (D)[4，6]4.下面命题中,假命题是( )(A)“若a≤b,则2a≤2b-1”的否命题(B)“∀a∈(0,+∞),函数y=a x在定义域内单调递增”的否定(C)“π是函数y=sin x的一个周期”或“2π是函数y=sin 2x的一个周期”(D)“x2+y2=0”是“xy=0”的必要条件5、若△ABC的周长等于20，面积是，A＝60°，则BC边的长是（）A． 5 B．6 C．7 D．86．等差数列{a n }的公差为2，若成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.D.7．若函数f (x )满足xf ′(x )＞－f (x )，则下列关系一定正确的是 ( )A ．2f (1)＞f (2)B ．2f (2)＞f (1)C ．f (1)＞f (2)D ．f (1)＜f (2) 8．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足, ＝18，＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于 ( )A ．126B ．130C ．132D ．1349．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝的前n 项和为( ) A ．4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 B ．4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1 C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋1 10.已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都f （x+6）=f （x ）+f （3）成立；当x 1，x 2∈[0，3]，且x 1≠x 2时，都有＞0．给出下列四个命题：①f（3）=0；②直线x=﹣6是函数y=f （x ）图象的一条对称轴；③函数y=f （x ）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f （x ）在[0，xx]上有335个零点．其中正确命题的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4第II 卷 非选择题，共100分二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.在△ABC 中，若= 1， =，，则= .12.已知数列的前n 项和，则_______.13．向量a ＝(3,4)在向量b ＝(1，－1)方向上的投影为________.14. 数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式________.15．已知函数f （x ）＝（a 是常数且a ＞0）．给出下列命题：①函数f （x ）的最小值是－1；②函数f （x ）在R 上是单调函数；③函数f （x ）在（－∞，0）上的零点是x ＝；④若f （x ）＞0在[，＋∞）上恒成立，则a 的取值范围是[1，＋∞）⑤对任意的x1，x2＜0且x1≠x2，恒有其中正确命题的序号是_________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足.（I ）求的面积；（II ）若，求的值.17. （本小题满分12分）在数列中，已知()111411,,23log 44n n n n a a b a n N a *+==+=∈. （I ）求数列的通项公式；（II ）求证：数列是等差数列；（III ）设数列满足，求的前n 项和.18．（本小题满分12分）如图，渔船甲位于岛屿的南偏西60°方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值．19. （本小题满分12分）在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，且.I.求角B 的大小；II.若函数()()()2sin 2sin 22cos 1,f x x B x B x x R =++-+-∈. （1）求函数的最小正周期；（2）求 函数在区间上的最大值和最小值.20. （本小题满分13分）已知为等差数列的前n项和，（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足：，求数列的前n项和.21. （本小题满分14分）已知函数.I.当时，求曲线在点处的切线的斜率；II.讨论函数的单调性；III.若函数有两个零点，求实数a的取值范围.xx级高三第一次模拟考试试题数学(文史类)答案一.选择题DCBDC ABCAB二. 填空题 11.2 12.100 13－22143n15.①③⑤三.解答题16．解：（1）, ２分而４分又，，５分６分（2）而，８分，１０分又，１２分17．解：（1）,∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴.…………………………………………………………………3分（2）………………………………………………………………4分∴.………………………………………………………6分∴，公差∴数列是首项，公差的等差数列.………………………………7分（3）由（1）知，,∴ ……………………………………………………8分 ∴,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S +-+(+-+++++++=- ])41()41)41()41(41[)]23()53(741[132n n n n +(++++++-+-++++=- ……………………………10分n n n n n n )41(313123411])41(1[412)231(2⋅-+-=--+-+=…………………………12分 18.解析 (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12(海里)，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28(海里)．所以渔船甲的速度为BC 2＝14海里/时．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12(海里)，∠BAC ＝120°，BC ＝28(海里)，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°. 即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. 19.解：(Ⅰ) ，由射影定理，得 ……………4分 或边化角,由,变为,即(Ⅱ)由(Ⅰ)知，所以 2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--=sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333x x x x x ππππ++-+……………7分（1）的最小正周期. ……………8分 （2）3[,],2[,],2[,]4422444x x x πππππππ∈-∴∈-+∈-， 所以， ……………10分故 ……………12分20.（Ⅰ）271111011271627161104510029202a a a d a d a S a d a d d +=+=+==⎧⎧⎧⇔⇔⎨⎨⎨=+=+==⎩⎩⎩ …………4分 ………………………5分 （Ⅱ）由（1）知， ………………………7分0121123252......(21）2n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅121n 21232......(23)2(21）2n n T n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅ +2312222......+22(21)2n n n -⋅+⋅+⋅--…………9分==1-4+ ………………………11分. ………………………12分21.（1）当时，所以曲线y=(x)在点处的切线的斜率为0. ………………………3分(2) …………………………………………4分① 当上单调递减； ………………………6分② 当.0)()(0)()0(>'∞+∈<'∈x f aa x x f a a x 时，，；当时，，当. 内单调递增，内单调递减；在，在函数)()0()(∞+∴aa a a x f ………………8分 （3）当由（2）可知上单调递减，函数不可能有两个零点； ………………………10分当a>0时，由（2）得，内单调递增，，内单调递减，在，在函数)()0()(∞+aa a a x f 且当x 趋近于0和正无穷大时，都趋近于正无穷大，故若要使函数有两个零点；则的极小值，即，解得所以的取值范围是 ………………………………14分6.[解析] A 由题意，得a 2，a 2＋4，a 2＋12成等比数列，即(a 2＋4)2＝a 2(a 2＋12)，解得a 2＝4，即a 1＝2，所以S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋1)． 7.解析 B 令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＞0，∴g (x )是增函数，∴g (2)＞g (1)，即2f (2)＞f (1)．8. b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝lg a n ＋1a n＝lg q (常数)，∴{b n }为等差数列．∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝18，b 1＋5d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，b 1＝22. 由b n ＝－2n ＋24≥0，得n ≤12，∴{b n }的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负，∴S 11、S 12最大且S 11＝S 12＝132.9.[解析] 由题意知a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，b n ＝1a n a n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12＋4⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1.n 31405 7AAD 窭37040 90B0 邰 39719 9B27 鬧36763 8F9B 辛28110 6DCE 淎31236 7A04 稄38464 9640 陀%34530 86E2 蛢z37209 9159 酙。
2021年高三上学期第一次月考数学试卷 含解析
2021年高三上学期第一次月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A={1，cosθ}，B={，1}，若A=B，则锐角θ=．2．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（4）的值为．3．若函数是偶函数，则实数a的值为．4．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=．6．已知x，y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上，则P、Q两点间距离的最小值为．8．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=，则函数f（x）的最小正周期为．9．函数f（x）的定义域为R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，则的值为．11．在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC 的值为．12．已知函数交于M、N两点，则|MN|的最大值是．13．已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则a的取值范围是．14．若实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ=﹣，sin（α+β）=．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．16．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知==．（1）求C；（2）如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，∠PAB=θ，求四边形APCB面积S（θ）的解析式及最大值．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k，设OA=x，OB=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求N﹣M的最大值及相应的x的值．18．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．20．过点P（﹣1，0）作曲线f（x）=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1+x2＜﹣4．附加题：（共4小题，满分0分）21．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），求．23．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1，PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由．xx学年江苏省南通市如皋中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A={1，cosθ}，B={，1}，若A=B，则锐角θ=．【考点】集合的相等．【分析】根据集合相等的条件，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：若A=B，则cosθ=，∵θ是锐角，∴θ=，故答案为：2．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（4）的值为2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数y=f（x）=xα，根据f（x）的图象过点（，），求得α的值，可得函数f （x）的解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（，），∴=，∴α=，∴f（x）=∴f（4）==2，故答案为：2．3．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．4．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由函数的奇偶性易得f（﹣1）=﹣f（1），解m的方程可得．【解答】解：∵函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∴=﹣，∴m=1．故答案为：1．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=[0，2] ．【考点】函数的值域；交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】分别求出函数的定义域，和值域，然后利用集合的基本运算求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则﹣x2﹣2x+8≥0，即x2+2x﹣8≤0，解得﹣4≤x≤2，即函数的定义域A=[﹣4，2]．y==，∵﹣4≤x≤2，∴0≤，即0≤x≤3，即函数的值域B=[0，3]，∴A∩B=[﹣4，2]∩[0，3]=[0，2]．故答案为：[0，2]．6．已知x，y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义得到最大值和最小值的最优解，得到关于a 方程解之．【解答】解：由已知得到可行域如图：当直线y=﹣2x+z经过C（a，a）时z最小，经过A时z最大，由得到A（1，1）所以4×3a=2×1+1，解得a=；故答案为：．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上，则P、Q两点间距离的最小值为．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q（a，b）．利用=1+=2，解得切点为Q（1，1）．利用点到直线的距离公式可得Q到直线y=2x+1的距离d，即为所求．【解答】解：设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q（a，b）．则=1+=2，解得a=1，∴b=1，∴切点为Q（1，1）．Q到直线y=2x+1的距离d==．∴P、Q两点间距离的最小值为．故答案为：．8．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=，则函数f（x）的最小正周期为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象的特征，正弦函数的奇偶性、最值、周期性，求得函数f（x）的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，可得φ=0，∵f（x）在y轴右侧的第一个极值点为x=，∴ω•=，∴ω=，∴函数f（x）=Asin（x），则函数f（x）的最小正周期为=，故答案为：．9．函数f（x）的定义域为R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f （x）＞e x+1的解集为{x|x＞0} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】设h（x）=e x f（x）﹣e x﹣1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h（x）＞0 的解集．由此利用导数性质能求出不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．【解答】解：设h（x）=e x f（x）﹣e x﹣1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h（x）＞0 的解集．h（0）=1×2﹣1﹣1=0，h′（x）=e x[f（x）+f′（x）]﹣e x，∵[f（x）+f′（x）]＞1，∴对于任意x∈R，e x[f（x）+f′（x）]＞e x，∴h'（x）=e x[f（x）+f'（x）]﹣e x＞0即h（x）在实数域内单调递增．∵h（0）=0，∴当x＜0 时，h（x）＜0；当x＞0 时，h（x）＞0．∴不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为：{x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，则的值为1．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用已知条件求出αβ的正切函数值，然后求解的值．【解答】解：tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，==，分式同除以cos（α+β）cos（α﹣β）），==1．故答案为：1．11．在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用等差数列列出关系式，利用三角形的内角和以及两角和的正切函数，化简求解即可．【解答】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，∴2tanB=tanA+tanC，∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，又∵tan（A+B）=，∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，∴tanAtanC=3．故答案为：3．12．已知函数交于M、N两点，则|MN|的最大值是．【考点】两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用；正弦函数的定义域和值域．【分析】由已知中直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点，表示M、N的距离，根据辅助角公式化为一个正弦型函数的形式，根据正弦型函数的值域，即可得到结果．【解答】解：∵=cosx∵直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点，则|MN|=|sinx﹣cosx|∴|f（x）﹣g（x）|=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|∵x∈R∴|f（x）﹣g（x）|∈[0，]故M、N的距离的最大值为故答案为：13．已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则a的取值范围是a≤﹣2或a＞﹣．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简不等式可得2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），从而令F（x）=2x﹣1+a﹣b（2﹣x+a）=﹣+a ﹣ab，分类讨论以确定F（x）≥0的解集为[2，+∞），结合函数的单调性及方程与不等式的关系求解即可．【解答】解：f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x）=b（21﹣x﹣1+a）=b（2﹣x+a），∵f（x）≥g（x），∴2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），令F（x）=2x﹣1+a﹣b（2﹣x+a）=+a﹣﹣ab=﹣+a﹣ab，①若b＜0，则（﹣+a﹣ab）=+∞，与关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2相矛盾，故不成立；②若b=0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=+a≥0的解集为[2，+∞），故a=﹣2；③若b＞0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=﹣+a﹣ab≥0的解集为[2，+∞），故2+a=b（+a），故b=＞0，故a＜﹣2或a＞﹣；综上所述，a≤﹣2或a＞﹣．14．若实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，的值为2．【考点】不等式的基本性质．【分析】实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为：（x+2y）2+（2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ，2xy﹣2=2cosθ，θ∈[0，2π）．则当x+2y取得最大值时，θ=，即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为：（x+2y）2+（2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ，2xy﹣2=2cosθ，θ∈[0，2π）．则当x+2y取得最大值时，θ=，则x+2y=2，2xy﹣2=0，解得x=，y=．=2．故答案为：2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ=﹣，sin（α+β）=．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】（1）使用二倍角公式用tan表示出cosβ，求出的范围，解方程得出；（2）根据α，β的范围求出sinβ，cos（α+β），利用差角的正弦函数公式计算．【解答】解：（1）∵，且，∴，解得，∵，∴，∴，∴．（2）∵，，∴， 又，故，∴，∴sin α=sin [（α+β）﹣β]=sin （α+β）cos β﹣cos （α+β）sin β=．16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知==．（1）求C ；（2）如图，设半径为R 的圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣弧上，∠PAB=θ，求四边形APCB 面积S （θ）的解析式及最大值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由已知结合正弦定理可得sin2A=sin2B ，再由角的范围可得A +B=，从而求得C ；（2）把三角形ABC 的三边用R 表示，再由S （θ）=S △ABC +S △APC ，代入三角形面积公式化简，然后由θ∈（）求得四边形APCB 面积S （θ）的最大值．【解答】解：（1）由=，得=，∴sin2A=sin2B ，∵2A ，2B ∈（0，2π），∴2A=2B ，或2A +2B=π，即A=B 或A +B=，∵，∴A=B 舍去，从而C=；（2）由条件得：c=2R ，a=R ，b=R ，∠BAC=，∠CAP=θ﹣，θ∈（），S （θ）=S △ABC +S △APC =====，θ∈（）， ∵∈（），∴当时，．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k，设OA=x，OB=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求N﹣M的最大值及相应的x的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据条件结合余弦定理建立函数关系即可求y关于x的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求出N﹣M的表达式，利用换元法结合基本不等式的性质即可求出N﹣M的最大值及相应的x的值．【解答】解：（1）∵OA=x，OB=y，AB=y+1，由余弦定理得x2+y2﹣2xycos120°=（y+1）2，解得y=，由x＞0，y＞0，得1＜x＜2，∵x＞y，∴x＞，得1＜x＜，∴OA的取值范围是（1，）．=3kx，（2）M=kOB=ky，N=4k•S△AOC则N﹣M=k（3x﹣y）=k（3x﹣），设2﹣x=t，则t∈（，1），则N﹣M=k[3（2﹣t）﹣]=k[10﹣（4t+）]≤k（10﹣2）=（10﹣4）k，当且仅当4t=，即t=，x=2﹣时，N﹣M的最大值是）=（10﹣4）k．18．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程，直接求解．（2）判断其在（0，+∞）是否有单调性，再据闭函数的定义判断；（3）根据闭函数的定义一定存在区间[a，b]，由定义直接转化求解即可．【解答】解：（1）由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减，则解得所以，所求的区间为[﹣1，1]；（2）取x1=1，x2=10，则，即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．取，，即f（x）不是（0，+∞）上的增函数所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数；（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b为方程的两个实数根，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根当k≤﹣2时，有，解得，当k＞﹣2时，有，无解，综上所述，．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．20．过点P（﹣1，0）作曲线f（x）=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1+x2＜﹣4．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，设切点，可得方程组，即可求切线l的方程；（2）设f（x）=（x+1）e x，则f（x1）=f（x2）．f'（x）=（x+2）e x，可得函数f（x）的单调性；设g（x）=f（x）﹣f（﹣4﹣x），切点其单调性，即可证明结论．【解答】（1）解：y'=e x，设切点（x0，y0），则，解得x0=0，因此y'|x=0=1，l的方程是y=x+1．…（2）证明：依题意有，所以…设f（x）=（x+1）e x，则f（x1）=f（x2）．f'（x）=（x+2）e x，当x＜﹣2时，f'（x）＜0，当x＞﹣2时，f'（x）＞0；所以f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，在（﹣2，+∞）单调递增．因为x1≠x2，不妨设x1＜﹣2，x2＞﹣2．设g（x）=f（x）﹣f（﹣4﹣x），则g'（x）=f'（x）+f'（﹣4﹣x）=（x+2）e x（1﹣e﹣2（2+x）），当x＞﹣2时，g'（x）＞0，g（x）在在（﹣2，+∞）单调递增，所以g（x）＞g（﹣2）=0，所以当x＞﹣2时，f（x）＞f（﹣4﹣x）．…因为x2＞﹣2，所以f（x2）＞f（﹣4﹣x2），从而f（x1）＞f（﹣4﹣x2），因为﹣4﹣x2＜﹣2，f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，所以x1＜﹣4﹣x2，即x1+x2＜﹣4．…附加题：（共4小题，满分0分）21．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】由AX=B，得=，求解即可．【解答】解：设x=，由=得解得此时x=22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），求．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意得到，从而求出x，y，再由逆矩阵公式求出矩阵M的逆矩阵，由此能求出．【解答】解：∵点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），∴依题意，=，即解得由逆矩阵公式知，矩阵M=的逆矩阵，∴==．23．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论．【解答】解：∵f（x）=ln（1+ax）﹣，∴f′（x）=﹣=，∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1，PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，平面PCD的法向量，即可求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）假设存在E符合条件，设，则由∠AEC=90°得，，列出方程，判定方程在[0，1]上是否有解即可得出结论．【解答】解：（1）依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），从而，，，设平面PCD的法向量为=（a，b，c），即，不妨取c=2，则b=1，a=1，所以平面PCD的一个法向量为=（1，1，2），此时cos＜，＞==﹣，所以PB与平面PCD所成角的正弦值为；（2）设，则E（0，2λ，1﹣λ），则，，由∠AEC=90°得，，化简得，5λ2﹣4λ+1=0，该方程无解，所以，棱PD上不存在一点E满足∠AEC=90°．xx年1月5日25453 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2024-2025学年天津市河西区海河中学高三(上)第一次质检数学试卷(含答案)
2024-2025学年天津市河西区海河中学高三（上）第一次质检数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P ={x ∈N|1≤x ≤5}，集合Q ={x ∈R|x 2−x−6<0}，则P ∩Q 等于( )A. {1,2,3}B. {1,2}C. [1,2]D. [1,3)2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“A =B ”是“sinA =sinB ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知a =21.2，b =2lg3,c =ln 13，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a 4.下列函数是偶函数的是( )A. f(x)=xcosxB. f(x)=x 2−x x−1C. f(x)=lg |x|D. f(x)=e x −e −x5.已知向量a =(1,2)，b =(−1,1)，若c 满足(c +a )//b ，c ⊥(a +b )，则c =( )A. (−3,0)B. (1,0)C. (0,−3)D. (0,1)6.函数f(x)=ln (4−x)sinx ⋅ x−1的定义域为( )A. (1,π2)∪(π2,4)B. (1,π)∪(π,4)C. [1,π2)∪(π2,4]D. [1,π)∪(π,4]7.已知向量a ，b 满足：|a |=1，|a +2b |=2，且(b−2a )⊥b ，则|b |=( )A. 12B. 22 C. 32 D. 18.已知函数y =2sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则( )A. ω=2，φ=5π6 B. ω=12，φ=5π6C. ω=2，φ=π6 D. ω=12，φ=π69.设a ∈R ，函数f (x )={cos (2πx−2πa)x <a x 2−2(a +1)x +a 2+5x ≥a ，若函数f (x )在区间(0,+∞)内恰有6个零点，则a 的取值范围是( )A. (2,94]∪(52,114] B. (74,2]∪(52,114]C. (2,94]∪[114,3) D.(74,2)∪[114,3)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
2021年高三上学期第一次月考数学(文)试卷含答案
2021年高三上学期第一次月考数学（文）试卷含答案本试卷分第I卷和第II卷两部分，满分为150分，考试用时120分钟，考试结束后将答题卡交回。
注意事项：1.答卷前，考生必须用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。
第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题.每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝（）A． B．｛x|0＜x＜3｝C．｛x|1＜x＜3｝D．｛x|2＜x＜3｝2．命题“若且则”的否命题是（）A．若且则B．若且则C．若或则D．若或则3．已知且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是()A．B．C．D．5．函数的定义域是（）A． B． C． D．6．二次函数的部分图象如右图，则函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.7．已知奇函数对任意，都有，且则（） A.0 B.C. D.8． 已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则的值是（ ）A. B. C. D.9．.若函数()()()01x x f x ka a a a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是增函数，则的图象是（ ）10．已知函数是定义在R 上的奇函数，且当时，成立，若(()()33,1313,2(2)a b g f g c f ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填在答题卷的相应位置。
高三上册数学第一次月考理科试题(带答案)
高三上册数学第一次月考理科试题（带答案）2021届高三上册数学第一次月考文科试题〔带答案〕本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部。
答题时120分钟，总分值150分。
第一卷(选择题共10小题，每题5分，共50分)一、选择题(每题给出的四个选项中，只要一个选项契合标题要求.)1.假定集合 , ,那么 ( )A. B. C. D.答案：A解析：集合A={ }，A={ }，所以，2.在复平面内,双数对应的点的坐标为()A. B. C. D.答案：A解析：原式= = ，所以，对应的坐标为(0，-1)，选A3. 为等差数列，假定，那么的值为( )A. B. C. D.答案：D解析：由于为等差数列，假定，所以，，4. 函数有且仅有两个不同的零点，，那么()A.当时，，B.当时，，C.当时，，D.当时，，答案：B解析：函数求导，得：，得两个极值点：由于函数f(x)过定点(0，-2)，有且仅有两个不同的零点，所以，可画出函数图象如以下图：因此，可知，，只要B契合。
5. 设集合是的子集，假设点满足：，称为集合的聚点.那么以下集合中以为聚点的有：① ; ② ; ③ ; ④ () A.①④B.②③C.①②D.①②④答案：A【解析】①中，集合中的元素是极限为1的数列，在的时分，存在满足0|x-1|1是集合的聚点②集合中的元素是极限为0的数列，最大值为2，即|x-1|1 关于某个a1，不存在0|x-1| ，1不是集合的聚点③关于某个a1，比如a=0.5，此时对恣意的xZ，都有|x﹣1|=0或许|x﹣1|1，也就是说不能够0|x﹣1|0.5，从而1不是整数集Z的聚点④ 0，存在0|x-1|0.5的数x，从而1是整数集Z的聚点应选A6. 在以下命题中, ① 是的充要条件;② 的展开式中的常数项为;③设随机变量 ~ ,假定 ,那么 .其中一切正确命题的序号是()A.②B.②③C.③D.①③答案：B解析：①是充沛不用要条件，故错误;② ，令12-4k=0，得，k=3，所以，常数项为2，正确;③正态散布曲线的对称轴是x=0，，所以，正确;7.偶函数 ,当时, ,当时, ( ).关于偶函数的图象G和直线 : ( )的3个命题如下:①当a=4时,存在直线与图象G恰有5个公共点;②假定关于 ,直线与图象G的公共点不超越4个,那么a③ ,使得直线与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是()A.①②B.①③C.②③D.①②③答案：D解析：由于函数和的图象的对称轴完全相反，所以两函数的周期相反，所以，所以，当时，，所以，因此选A。
2021年高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期第一次月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合的真子集的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．72．命题：，，则．是假命题，：．是假命题，：．是真命题，：，．是真命题，：3．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（）（A）（B）（C）1 (D)34．已知，则的值为（）A．B．C．D．5.不等式成立的一个必要但不充分条件是（）A．B．C．D．6. 定义在上的函数满足（），，则等于（） A．2 B．3C．6 D．97．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．8．已知函数，表示不超过实数的最大整数，记函数的值域为，若元素，则的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个第二部分非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。
9.设扇形的圆心角为，弧长为，且已知，那么扇形的半径为 。
10．已知函数，且此函数的图象如图所示，则点的坐标是 。
11. 设全集U =R ，，B ={x | sin x }，则 。
12. 将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图像，则的值是___ _______。
13. 设定义在上的函数满足，若，则 。
14. 已知函数x x x x f ωπωπωcos )6sin()6sin()(+-++=（其中为大于0的常数），若函数上是增函数，则的取值范围是 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。
15． （本小题满分12分）已知命题：使成立 ；命题：函数的定义域为，若“”为真，“”为假，求的取值范围。
16. （本小题满分12分）在中，，，. （1）求的值； （2）求的值.17. （本小题满分14分）如图所示，、分别是⊙、⊙的直径，与两圆所在的平面均垂直，,是⊙的直径，,. (1)求二面角的大小；(2)求直线与所成角的余弦值；y x O 1-1第19题图18.（本小题满分14分）已知函数。
2021年高三(上)第一次月考数学试卷 含解析
2021年高三（上）第一次月考数学试卷含解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：∃x∈R，2≥1的否定是（）A．∃x0∈R，2＜1 B．∃x∉R，2≥1C．∀x∈R，2x≥1D．∀x∈R，2x＜12．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）A．y=﹣x+1 B．y=x C．y=x2﹣4x+5 D．y=3．设全集U=R，集合A={x|x（x+3）＜0}，B={x|x＜﹣1}，则如图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣1≤x＜0} C．{x|﹣3＜x＜0} D．{x|﹣1＜x＜0}4．方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．设函数f（x）是定义在R上以3为周期的奇函数，若f（1）＞1，f（2）=，则a的取值范围是（）A．a＜B．a＜且a≠﹣1 C．a＞或a＜﹣1 D．﹣1＜a＜6．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x ﹣2.0 ﹣1.0 0 1.0 2.0 3.0y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02则y关于x的函数关系与下列最接近的函数（其中a、b、c为待定系数）是（）A．y=a+bx B．y=a+b x C．f（x）=ax2+b D．y=a+7．已知函数f（x）=lnx﹣x﹣1，g（x）=x2﹣2bx+4，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈，使f （x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A．（2，]B．上是增函数，则实数a的取值范围是．15．已知f（x）是定义在R上的函数，给出下列两个命题：p：若f（x1）=f（x2），（x1≠x2），则x1+x2=4．q：若x1，x2∈（﹣∞，2]（x1≠x2），则则使命题“p且q”为真命题的函数f（x）可以是．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知a＞0且a≠1，设命题p：函数y=a x+1在R上单调递减，命题q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求a的取值范围．17．设函数f（x）=的值域是集合A，函数g（x）=lg的定义域是集合B，其中a是实数．（1）分别求出集合A、B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=．（Ⅰ）求cosC，cosB的值；（Ⅱ）若，求边AC的长．19．已知函数f（x）=x2+（x≠0，a∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（x）在区间，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A．（2，]B．，使f（x1）≥g（x2），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，对g（x）的图象进行讨论根据对称轴研究g（x）的最值问题，从而进行求解；解答：解：∵函数f（x）=lnx﹣x﹣1，（x＞0）∴f′（x）=﹣+==，若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；f（x）在x∈（0，2）上有极值，f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x）min=f（1）=﹣+﹣1=﹣；∵g（x）=x2﹣2bx+4=（x﹣b）2+4﹣b2，对称轴x=b，x∈，当b＜1时，g（x）在x=1处取最小值g（x）min=g（1）=1﹣2b=4=5﹣2b；当1＜b＜2时，g（x）在x=b处取最小值g（x）min=g（b）=4﹣b2；当b＞2时，g（x）在上是减函数，g（x）min=g（2）=4﹣4b+4=8﹣4b；∵对任意x1∈（0，2），存在x2∈，使f（x1）≥g（x2），∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，当b＜1时，≥5﹣2b，解得b≥，故b无解；当b＞2时，≥8﹣4b，解得b≥，综上：b≥，故选C；点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）比较而得到的，此题还涉及函数的恒成立问题，注意问题最终转化为求函数的最值问题上；8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换；函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合；转化思想．分析：根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=a X+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．解答：解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．点评：本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质；解题的关键在于根据二次函数的图象分析出a、b的范围．二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分．9．幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象经过（3，），则f（x）的解析式是f（x）=．．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题．分析：将（3，），代入f（x）=xα（α为常数）即可求得α，从而得到答案．解答：解；∵幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象经过（3，），∴=3α，∴α=．∴f（x）的解析式是f（x）=．故答案为：f（x）=．点评：本题考查幂函数的概念，将点的坐标代入函数表达式求得α是关键，属于基础题．10．已知f（x）是偶函数，它在上是增函数，则实数a的取值范围是上是减函数，且g（x）＞0，再用“对称轴在区间的右侧，且最小值大于零”求解可得结果．解答：解：令g（x）=x2﹣ax+a，由于y=f（x）=g（x）在区间（]上是增函数，故g（x）应在区间（]上是减函数，且g（x）＞0．故有，即，解得2≤a＜2+2．故实数a的取值范围是（x1≠x2），则则使命题“p且q”为真命题的函数f（x）可以是f（x）=﹣（x﹣2）2．考点：复合命题的真假．分析：命题“p且q”为真命题，命题p，q均为真命题．p为真命题说明函数f（x）图象关于直线x=2对称．q为真命题，可以推出f（x）在（﹣∞，2]上单调递增．可以想到二次函数．解答：解：命题“p且q”为真命题，命题p，q均为真命题．p：若f（x1）=f（x2），（x1≠x2），则x1+x2=4．说明函数f（x）图象关于直线x=2对称．若x1，x2∈（﹣∞，2]（x1≠x2），，说明当x1＞x2时，f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（﹣∞，2]上单调递增．根据以上性质，f（x）可以是，f（x）=﹣（x﹣2）2故答案为：f（x）=﹣（x﹣2）2．点评：本题以复合命题真假出发，考查了初等函数的性质．考查转化、数形结合的思想．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知a＞0且a≠1，设命题p：函数y=a x+1在R上单调递减，命题q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由题意可得，P：0＜a＜1；由△=（2a﹣3）2﹣4＞0可得q，然后由p∨q为真，p∧q为假，可知p，q一真一假，分类讨论进行求解解答：解：∵y=a x+1单调递减∴P：0＜a＜1∵曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点∴△=（2a﹣3）2﹣4＞0∴q：a或a∵“p∨q”为真，且“p∧q”为假∴p真q假，或p假q真当p真q假时，∴0当p假q真时，∴a综上可得，a或0点评：本题以复合命题的真假关系的判断为载体，主要考查了知识函数与二次函数的性质的简单应用，属于基础试题17．设函数f（x）=的值域是集合A，函数g（x）=lg的定义域是集合B，其中a是实数．（1）分别求出集合A、B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．考点：并集及其运算；函数的定义域及其求法．专题：集合．分析：（1）根据函数定义域和值域的求法分别求出集合A、B；（2）若A∪B=B，则A⊆B，根据集合关系，建立不等式，即可求实数a的取值范围．解答：解：（1）由f（x）==x+﹣1知，当x＞0时，f（x）=x+﹣1，当x＜0时，f（x）=x+﹣1=﹣（﹣x﹣）﹣1，即A=（﹣∞，﹣3]∪＞0，解得得x＜a或x＞a2+a+1，即B=（﹣∞，a）∪（a2+a+1，+∞）．（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，则有，即，解得﹣≤a≤0，即a的取值范围是．点评：本题主要考查函数定义域和值域的求解，以及集合关系的基本应用，考查学生的运算能力．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=．（Ⅰ）求cosC，cosB的值；（Ⅱ）若，求边AC的长．考点：解三角形；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由题意可得cosC=cos2A，利用二倍角公式求出cosC=，再由同角三角函数的基本关系求出sinC 和sinA 的值，由cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC，运算求得结果．（Ⅱ）由求得ac=24，再由，C=2A，可得c=2acosA=a，姐方程求得a、c的值，再利用余弦定理求出b 的值，即为所求．解答：解：（Ⅰ）由题意可得cosC=cos2A=2cos2A﹣1=，…1分故sinC=．…2分由cosA=得sinA=．…3分∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=．…4分（Ⅱ）∵，∴ac•cosB=，ac=24．…6分∵，C=2A，∴c=2acosA=a，解得a=4，c=6，…8分再由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB=25，故b=5．即边AC的长为5．…10分点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=x2+（x≠0，a∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（x）在区间点评：考查偶函数、奇函数的定义，在判断f（x）奇偶性时，不要漏了a=0的情况，以及函数单调性和函数导数的关系，清楚函数y=2x3为增函数．20．市场营销人员对过去几年某商品的销售价格与销售量的关系作数据分析发现如下规律：该商品的价格上涨x%（x＞0），销售数量就减少kx%（其中k为正数），预测规律将持续下去．目前该商品定价为每件10元，统计其销售数量为1000件．（1）写出该商品销售总金额y与x的函数关系，并求出当时，该商品的价格上涨多少，就能使销售总额达到最大？（2）如果在涨价过程中只要x不超过100，其销售总金额就不断增加，求此时k的取值范围．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）由题意，价格上涨x%后为（1+x%）×10元，销售量为（1﹣x%）×1000个，故可得销售总额，利用配方法可求得结论；（2）价格上涨x%后为（1+x%）×10元，销售量为（1﹣kx%）×1000个，故可得销售总额，从而可得函数的对称轴为x=，利用在涨价过程中只要x不超过100，其销售总金额就不断增加，建立不等式，即可求得k的取值范围．解答：解：（1）由题意，价格上涨x%后为（1+x%）×10元，销售量为（1﹣x%）×1000个，故销售总额y=（1+x%）×10×（1﹣x%）×1000=（﹣x2+100x+xx0）=﹣（x﹣50）2+11250∴x=50，即商品的价格上涨50%时，销售总额达到最大；（2）销售总额y=（1+x%）×10×（1﹣kx%）×1000=﹣kx2+（100﹣100k）x+10000，函数的对称轴为x=∵在涨价过程中只要x不超过100，其销售总金额就不断增加∴，k＞0∴0＜k≤∴k的取值范围为0＜k≤点评：本题考查函数模型的构建，考查配方法求函数的最值，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数关系式．21．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=．（1）证明数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a n+1=，两边取倒数可得：即，即可证明出；（2）利用等差数列的通项公式即可得出；（3）由（2）可知，，利于“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：（1）证明：由已知可得，∴，即，∴数列是公差为1的等差数列．（2）由（1）可得，∴．（3）由（2）可知，，∴，，相减得=2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．E21644 548C 和27279 6A8F 檏HA27002 697A 楺33699 83A3 莣36825 8FD9 这28703 701F 瀟S24769 60C1 惁34508 86CC 蛌27448 6B38 欸C#。
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海河中学2020-2021学年度第一学期高三年级第一次月考
数学试卷
一、选择题(每题5分)
1．已知集合A＝，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B等于（）
A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3} 2．设命题p：2x＜2，命题q：x2＜1，则p是q成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ＝（）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1
4．已知函数f（x）＝ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，+∞]D．[﹣1，1]
5．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝（）
A．B．C．D．
6．函数的图像大致为（）
A．B．C．
D．
7．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，且，则c（）A．B．4C．D．5
8．已知函数f（x）＝2|x|﹣log|x|，且a＝f（ln），b＝f（log2），c＝f（2﹣1），则a，b，c的大小关系为（）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c
9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）
A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）对称C．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称D．函数f（x）在[，π]上单调递增
10．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝|f（x）|﹣x+m恰有三个零点，则实数m的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题(每题5分)
11．是虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为．
12．不等式的解集为．(用区间表示)
13．在的展开式中，项的系数为．（用数字作答）．
14.已知平面向量,满足，，，则．
15.已知函数，则函数的极大值为．
16．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若为奇函数，则的最小值为．
17.已知函数的图像关于对称，且函数在上单调递减，若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是．
18.如图，在中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点．若CE⊥AD，垂足为E，则的值为．
三、解答题(每题15分)
19．已知函数f（x）＝2cosωx cos（ωx+）+2sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值和函数f（x）的单调增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的取值范围．
20．设函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx+c的导数f'（x）满足f'（﹣1）＝0，f'（2）＝9．（1）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求c的值．
（2）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，求c的范围．
21．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且﹣2sin2C+2cos C+3＝0．（1）求角C的大小；
（2）若b＝a，△ABC的面积为sin A sin B，求sin A及c的值．
22．已知函数f（x）＝lnx+ax，在点（t，f（t））处的切线方程为y＝3x﹣1．
（1）求a的值；
（2）已知k≤2，当x＞1时，f（x）＞k（1﹣）+2x﹣1恒成立，求实数k的取值范围；（3）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每题5分)
ABBBCBBCDA
二、填空题(每题5分)
11.12.13.14.15.16. 17.18.
三、解答题(每题15分)
19．解：（1）f（x）＝﹣2sinωx cosωx+1﹣cos2ωx
＝﹣sin2ωx﹣cos2ωx+1
＝﹣2sin（2ωx+）+1
∵函数f（x）的最小正周期为T＝＝π，
∴ω＝1．
∴f（x）＝﹣2sin（2x+）+1．
由2kπ+≤2x+≤2kπ+，
得kπ+≤x≤kπ+，
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（2）∵≤x≤π，
∴f（x）在区间[，]单调递增，在区间[，π]单调递减，
f（）＝﹣2sin+1＝0，f（）＝﹣2sin+1＝3，f（π）＝﹣2sin+1＝0，因此f（x）的取值范围为[0，3]．
20．解：（1）函数的导数f′（x）＝﹣3x2+2ax+b，
∵f'（x）满足f'（﹣1）＝0，f'（2）＝9，
∴，得a＝3，b＝9，
∴f（x）＝﹣x3+3x2+9x+c，
f′（x）＝﹣3x2+6x+9＝﹣3（x2﹣2x﹣3），
由f′（x）＞0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＞0得x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，
此时函数单调递增，即递增区间为（﹣1，3），
由f′（x）＜0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＜0得x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，
此时函数单调递减，即递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；
所以当x＝﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）＝1+3﹣9+c＝c﹣5，
f（﹣2）＝8+12﹣18+c＝2+c，f（2）＝﹣8+12+18+c＝22+c，
则f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为f（2）＝22+c＝20，则c＝﹣2．
（2）由（I）知当x＝﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）＝1+3﹣9+c＝c﹣5，
当x＝3时，函数取得极大值f（3）＝﹣27+27+27+c＝27+c，
若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，
则，得，得﹣27＜c＜5，
即c的范围是（﹣27，5）．
21．解：（1）∵﹣2sin2C+2cos C+3＝0，可得：﹣2（1﹣cos2C）+2cos C+3＝0，∴2cos2C+2cos C+1＝0，
∴cos C＝﹣，∵0＜C＜π，
∴C＝．
（2）∵c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝3a2+2a2＝5a2，∴c＝a，
∴sin C＝sin A，
∴sin A＝sin C＝，
∵S△ABC＝ab sin C＝sin A sin B，
∴ab sin C＝sin A sin B，
∴••sin C＝（）2sin C＝，
∴c＝1．
22．解：（1）函数f（x）＝lnx+ax的导数为f′（x）＝+a，
在点（t，f（t））处切线方程为y＝3x﹣1，可得f′（t）＝+a，
∴函数的切线方程为y﹣（lnt+at）＝（+a）（x﹣t），即y＝（+a）x+lnt﹣1，
∴，解得a＝2；
（2）证明：由（1）可得f（x）＝lnx+2x，
∵f（x）＞k（1﹣）+2x﹣1，∴lnx＞k（1﹣）﹣1即为xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）＝xlnx+x﹣k（x﹣3），
g′（x）＝2+lnx﹣k，
由x＞1，可得lnx＞0，2﹣k≥0，即有g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，
可得g（x）＞g（1）＝1+2k≥0，∴﹣≤k≤2
故k的取值范围为[﹣，2]；
（3）对于在（0，1）中的任意一个常数b，
假设存在正数x0，使得：+x02＜1．
由e f（x0+1）﹣3x0﹣2+x02＝e ln（x0+1）﹣x0+x02＝（x0+1）•e﹣x0+x02＜1成立，
从而存在正数x0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．
令H（x）＝（x+1）•e﹣x+x2﹣1，H′（x）＝e﹣x﹣（x+1）•e﹣x+bx＝x（b﹣e﹣x），
令H′（x）＞0，解得x＞﹣lnb，令H′（x）＜0，解得0＜x＜﹣lnb，
则x＝﹣lnb为函数H（x）的极小值点，即为最小值点．
故H（x）的最小值为H（﹣lnb）＝（﹣lnb+1）e lnb+ln2b﹣1＝ln2b﹣blnb+b﹣1，再令G（x）＝ln2x﹣xlnx+x﹣1，（0＜x＜1），
G′（x）＝（ln2x+2lnx）﹣（1+lnx）+1＝ln2x＞0，
则G（x）在（0，1）递增，可得G（x）＜G（1）＝0，则H（﹣lnb）＜0．
故存在正数x0＝﹣lnb，使得+x02＜1．。