专题20 二次函数的图像与性质(基础)-2020-2021学年九年级数学暑假班精讲专题(沪教版)

专题20 二次函数y=ax^2+bx+c 的图像与性质（基础）

【目标导向】

1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；

2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；

3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．

【知识要点精讲梳理】

要点一、二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式

从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式

． 对照，可知，．

∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 要点诠释：

1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式

加以记忆和运用．

2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 要点二、二次函数的图象的画法

2

(0)y ax bx c a =++≠2

y ax bx c =++2

()y a x h k =-+2

y ax bx c =++2

y ax bx c =++2()y a x h k =-+2

(0)y ax bx c a =++≠=-+≠2

()(0)y a x h k a 2

()y a x h k =-+2

()y a x h k =-+2

()y a x h k =-+2

y ax bx c =++22

2

2222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ??

??????=++=++=++-+?? ? ? ???????????

2

2424b ac b a x a a -?

?=++

??

?2

()y a x h k =-+2b h a =-2

44ac b k a

-=2

y ax bx c =++2b x a =-24,24b ac b a

a ??

-- ???2

y ax bx c =++2b x a =-24,24b ac b a

a ??-- ???2

y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠

1.一般方法：列表、描点、连线；

2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：

(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点，

当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，

要点三、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质

函数

二次函数（a 、b 、c 为常数，a ≠0）

图象

开口方向 向上 向下

对称轴

直线 直线 顶点坐标

增减性

在对称轴的左侧，即当时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，

y 随x 的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y 随x 的增大而减

小．简记：左增右减

最大(小)值

抛物线有最低点，当时，y 有最小值，

抛物线有最高点，当时，y 有最大值，

2

y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠2

0()y ax bx c a =++≠2

y ax bx c =++0a >0a <2b x a

=-

2b x a

=-

24,24b ac b a

a ??-- ???24,24

b a

c b a

a ??

-- ???2b x a <-

2b x a

>-2b

x a

<-2b x a

>-2b x a =-

2

44ac b y a -=最小值

2b

x a

=-244ac b y a

-=最大值

2.二次函数图象的特征与a 、b 、c 及b 2

-4ac 的符号之间的关系

项目 字母

字母的符号 图象的特征 a a ＞0 开口向上 a ＜0 开口向下 b

ab ＞0(a ，b 同号) 对称轴在y 轴左侧 ab ＜0(a ，b 异号)

对称轴在y 轴右侧 c

c=0

图象过原点 c ＞0 与y 轴正半轴相交 c ＜0 与y 轴负半轴相交 b 2

-4ac

b 2

-4ac=0

与x 轴有唯一交点 b 2

-4ac ＞0 与x 轴有两个交点 b 2

-4ac ＜0

与x 轴没有交点

要点四、求二次函数的最大（小）值的方法

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．

要点诠释：

如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的

增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，；当x ＝x 1时，

，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当

x ＝x 2时，2

22=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，时y 值的情况． 【精讲例题】

类型一、二次函数的图象与性质

1．求抛物线的对称轴和顶点坐标． 2

0()y ax bx c a =++≠2

(0)y ax bx c a =++≠2b

x a

=-

244ac b y a

-=最值

2b

a

-

2b x a =-2

44ac b y a

-=最值2

22y ax bx c =++最大值211y ax bx c =++最小值2b

x a

=-2(0)y ax bx c a =++≠2

142

y x x =-

+-

【答案与解析】

解法1（配方法）：

．

∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 解法2（公式法）：∵ ，，，∴ 111

22()

2

b x a

=-=-=?-，

． ∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．

解法3（代入法）：∵ ，，， ∴ ． 将代入解析式中得，． ∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化

成顶点式；（2）用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

举一反三：

【变式】把一般式化为顶点式．

（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；

（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2).

222111

4(2)4(211)4222y x x x x x x =-

+-=---=--+--2

11(1)422x =--+-2

17(1)22

x =---71,2??

-

???

1x =12a =-

1b =4c =-22

14(4)147214242ac b a ???-?-- ?-??==-??

?- ???71,2??- ??

?1x =1

2

a =-

1b =4c =-1

11222b x a

=-

=-=???- ???

1x =2

171142

2

y =-?+-=-71,2??

-

???

1x =24,24b ac b a a ??

-- ???

2

286y x x =-+-

（2）C （0，-6）；A （1,0）；B （3,0）.

2．（泰安）二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax +b 的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【思路点拨】由y=ax 2+bx +c 的图象判断出a ＞0，b ＞0，于是得到一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，四象限，即可得到结论． 【答案】A ．

【解析】解：∵y=ax 2+bx +c 的图象的开口向上， ∴a ＞0，

∵对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，

∴一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，三象限． 故选A ．

【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可

以判断a 、b 的取值范围．

类型二、二次函数的最值

3．求二次函数的最小值. 【答案与解析】

解法1(

配方法)：∵ 2(0)y ax bx c a =++≠211

322

y x x =++2221111

(6)(639)2222

y x x x x =

++=++-+

， ∴ 当x ＝-3时，．

解法2(公式法)：∵ ，b ＝3， ∴ 当时， ．

解法3(判别式法)：∵ ，∴ ．

∵ x 是实数，∴ △＝62

-4(1-2y)≥0，∴ y ≥-4． ∴ y 有最小值-4，此时，即x ＝-3．

【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度

灵活去选择．

举一反三：

【变式】用总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化．当L 是多少时，矩

形场地的面积S 最大？

【答案】

（0

（m ）时，场地的面积S 最大，为225m 2．

类型三、二次函数性质的综合应用

4．已知二次函数的图象过点P(2，1)． （1）求证：； （2）求bc 的最大值．

【答案与解析】

（1）∵ 的图象过点P(2，1)，

∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．

（2）．

21

(3)42

x =

+-4y =-最小102a =

>12

c =331222b x a =-

=-=-?22

114341922414242

ac b y a ??---====-?最小211322

y x x =++2

6(12)0x x y ++-=2

690x x ++=(30)S L L =-2(30)L L =--2(15)225L =--+15L ∴=2(0)y ax bx c a =++≠2

1y x bx c =+++24c b =--2

1y x bx c =+++2

2

(24)2(2)2(1)2bc b b b b b =--=-+=-++

∴ 当时，bc 有最大值．最大值为2．

【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b 、c 的关系即可．

（2）利用（1）中b 与c 的关系，用b 表示bc ，利用函数性质求解． 举一反三：

【变式】（咸宁）如图是二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2

+bx+c 的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；

③一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0． 其中正确的个数有（ ）

A. 1个

B.2个

C.3个

D.4个 【答案】B.

提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax 2

+bx+c 的最大值为4，①正确；

∵x=2时，y ＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；

根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax 2

+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误； 使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误， 故选：B ．

【精练巩固】 一、选择题

1. 将二次函数化为的形式，结果为（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ． 2．（益阳）关于抛物线y=x 2﹣2x +1，下列说法错误的是（ ） A ．开口向上 B ．与x 轴有两个重合的交点 C ．对称轴是直线x=1 D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小

3．若二次函数配方后为，则b 、k 的值分别为（ ）． A ．0，5 B ．0，1 C ．-4，5 D ．-4，1

4．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式 为，则b 、c 的值为（ ）．

A .b=2，c=2

B . b=2，c=0

C . b= -2，c= -1

D . b= -3，

c=2

1b =-2

23y x x =-+2

()y x h k =-+2

(1)4y x =++2

(1)4y x =-+2

(1)2y x =++2

(1)2y x =-+2

5y x bx =++2

(2)y x k =-+2

y x bx c =++2

23y x x =--

5．已知抛物线y=ax 2

+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c 的值( )

A. 等于0

B.等于1

C. 等于-1

D. 不能确定

6．（安徽）如图，一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx+c 图象相交于P 、Q 两点，则函数 y=ax 2+（b ﹣1）x+c 的图象可能是（ ）

A.

B. C. D.

二、填空题

7．（怀化）二次函数y=x 2+2x 的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．

8．已知二次函数，当x ＝-1时，函数y 的值为4，那么当x ＝3时，函数y 的值为________． 9．二次函数的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．

10．二次函数的图象与x 轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m 的值是________．

第10题 第11题

11．如图二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y 轴交于负半轴 第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___ ； 第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __. 12．（玄武区一模）如图为函数：y=x 2﹣1，y=x 2+6x +8，y=x 2﹣6x +8，y=x 2﹣12x +35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x 2﹣6x +8的图象的序号是

．

2

2y ax ax c =-+2

y x bx c =++23

y x

mx =-+

三、解答题

13．（齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ． （1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．

14. 如图所示，抛物线与x 轴相交于点A 、B ，且过点C （5，4）．

（1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；

（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．

15.已知抛物线： (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)画函数图象，并根据图象说出x 取何值时，y 随x 的增大而增大？x 取何值时，y 随x 的增大而减小？

函数

y 有最大值还是最小值？最值为多少？

2

54y

ax ax a =-+215

322

y x x =-

--

【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D ；

【解析】根据配方法的方法及步骤，将化成含的完全平方式为，

所以．

2.【答案】D ．

【解析】画出抛物线y=x 2﹣2x +1的图象，如图所示．

A 、∵a=1，

∴抛物线开口向上，A 正确；

B 、∵令x 2﹣2x +1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0， ∴该抛物线与x 轴有两个重合的交点，B 正确；

C 、∵﹣

=﹣

=1，

∴该抛物线对称轴是直线x=1，C 正确；

D 、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1， ∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，D 不正确． 故选D ．

3.【答案】D ；

【解析】因为，所以，，． 4.【答案】B ；

【解析】，把抛物线向左平移2个单位长度，

再向上平移3个单位长度后得抛物线，

∴ ，∴ ，．

5.【答案】A ；

【解析】因为抛物线y=ax 2

+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式 得a+b+c=0.

6.【答案】A ；

【解析】∵一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx+c 图象相交于P 、Q 两点，

2

2x x -x 2

(1)1x --22

23(1)2y x x

x =-+=-+22

(2)44y x k x x k =-+=-++4b =-45k +=1k =2223(1)4y x x x =--=--2

(1)4y x =--2

(1)1y x =+-222

(1)12y x bx c x x x =++=+-=+2b =0c =

∴方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0有两个不相等的根， ∴函数y=ax 2+（b ﹣1）x+c 与x 轴有两个交点，

∵方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的两个不相等的根x 1＞0，x 2＞0， ∴x 1+x 2=﹣＞0，

∴﹣

＞0，

∴函数y=ax 2+（b ﹣1）x+c 的对称轴x=﹣＞0，

∵a ＞0，开口向上， ∴A 符合条件，故选A ．

二、填空题

7．【答案】（﹣1，﹣1）；x=﹣1. 【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，

∴二次函数y=x 2+4x 的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1． 8．【答案】4； 【解析】由对称轴，∴ x ＝3与x ＝-1关于x ＝1对称，∴ x ＝3时，y ＝4. 9．【答案】(1，-4) ；

【解析】求出解析式. 10．【答案】4；

【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代入，得，解

得． 11．【答案】①④，②③④； 12.【答案】③

【解析】y=x 2﹣1对称轴是x=0，图象中第二个， y=x 2+6x +8对称轴是x=﹣3，图象中第一个， y=x 2﹣6x +8对称轴是x=3，图象中第三个， y=x 2﹣12x +35对称轴是x=6，图象中第四个. 三、解答题 13.【答案与解析】

解：（1）由已知得：C （0，4），B （4，4）， 把B 与C 坐标代入y=﹣x 2+bx+c 得：，

解得：b=2，c=4，

则解析式为y=﹣x 2+2x+4；

（2）∵y=﹣x 2+2x+4=﹣（x ﹣2）2+6， ∴抛物线顶点坐标为（2，6），

212a

x a

-=

=-2

2

23(1)4y x x x =--=--1x =0y =2

3y x mx =-+130m -+=4m =

则S 四边形ABDC =S △ABC +S △BCD =×4×4+×4×2=8+4=12．

14.【答案与解析】

（1）把点C(5，4)代入抛物线得，，解得． ∴ 该二次函数的解析式为．

∵ ，

∴ 顶点坐标为． （2）（答案不唯一，合理即正确）

如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，

得到二次函数解析式为，即．

15.【答案与解析】

(1)∵ ，b ＝-3，∴ ， 把x ＝-3代入解析式得，． ∴ 抛物线的开口向下，对称轴是直线x ＝-3，顶点坐标是(-3，2)．

(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x ＝-3．抛物线与x 轴两交点为B(-5，0)和

C(-1，0)，与y 轴的交点为，取D 关于对称轴的对称点，用平滑曲线顺

次连结，便得到二次函数的图象，如图所示．

从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x ＜-3时，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧， 即当x ＞-3时，y 随x 的增大而减小．因为抛物线的开口向下，顶点A 是抛物线的最高点， 所以函数有最大值，当x ＝-3时，．

2

54y ax ax a =-+252544a a a -+=1a =254y x x =-+2

2

595424y x x x ?

?=-+=-- ??

?59,24P ??-

??

?22

5917342424y x x ????=-+-+=++ ? ????

?2

2y x x =++1

02

a =-

<3

31222b x a -=-=-=-???- ???

2

15

(3)3(3)22

2

y =-?--?--

=50,2D ??- ???56,2E ?

?-- ???

215

322

y x x =-

--2y =最大