24.2 一元二次方程 因式分解法
04-24.2 解一元二次方程-课时3 因式分解法九年级上册数学冀教版
（2）解法一 移项，得，即..解法二 移项，得.这里,,.,..
（3）整理方程，得.这里，，.，.，.过能力 学科关键能力构建 1.C
2.（1）解：这里，，.，，即，.（2）因式分解，得.移项、提公因式，得.或.，.
（3）移项，得，即..（4）因式分解，得,即.或.，.
2 023
【解析】 由，得 ， .
（2）解方程 ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么 ，于是原方程可变为，解得， .当时，， ；当时，， . 原方程的根为，，， .请你用（2）中的方法求出方程 的实数解.
解： ， .设 ， ， ，， .当时，，解得， ；当时， ，
， ， 此方程无实数解. 原方程的实数解为， .
5.解下列方程：
（1） ；
解：原方程可化为 ，即 .或， .
（2） .
解：原方程可变形为 ， ,即 .或， .
知识点3 用完全平方公式解一元二次方程
6.一元二次方程 的解是( )
C
A., B. C. D.,
【解析】 ，.解得 .
7.原创题方程 的解为( )
D
A., B., C. D.
3.,,解：方程左边分解因式，得.或.,.素养提升 4.（1）2 023
（2）解：，.设，，，，.当时，，解得，；当时，，，
， 此方程无实数解. 原方程的实数解为，.
24.2 解一元二次方程
课时3 因式分解法
过基础 教材必备知识精练
知识点1 型直接求解
1.[2023南充期中]方程 的解是( )
甲
乙
丙
两边同时除以 ，得 方程的解为 .
冀教版九年级上册数学第24章 一元一次方程 因式分解法
(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根为 x1＝－3，x2＝3.对于甲、乙 两名同学的说法，下列判断正确的是( A )
A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都正确
D．甲、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ都错误
7． (2019·江 苏 扬 州 ) 一元二次 方程 x(x－ 2)＝ x－ 2 的 根 是 __x_1＝___2_，__x_2＝__1____．
解：x2－( 2＋ 3)x＋ 6＝0， (x－ 2)(x－ 3)＝0. ∴x1＝ 2，x2＝ 3.
(3)(2x＋1)2－3(2x＋1)－28＝0.
解：(2x＋1)2－3(2x＋1)－28＝0， [(2x＋1)－7][(2x＋1)＋4]＝0， (2x－6)(2x＋5)＝0. ∴x1＝3，x2＝－52.
当－2≤x＜－1 时，12x2＝－2，方程没有实数解； 所以方程[x]＝12x2 的解为 0 或 2.
【答案】A
12．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线
上．
①2(x－1)2＝6；
②(x－2)2＋x2＝5；
③(x－2)(x－4)＝4； ④x2－3x－1＝0；
⑤x2－ 2x＋14＝0； ⑥x2＋3x＝0. (1)直接开平方法：___①_____； (2)配方法：__②__③____；
15．已知关于 x 的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，x＝3 是方程的 一个根．
(2)一个三角形的三边长是此方程的根，求这个三角形的周长．
解：∵三角形的三边长都是这个方程的根， ∴①当三边长都为 1 时，周长为 3； ②当三边长都为 3 时，周长为 9； ③当两边长为 3，一边长为 1 时，周长为 7； ④当两边长为 1，一边长为 3 时，不满足三角形三边关系，不能 构成三角形． ∴这个三角形的周长为 3 或 9 或 7.
24.2一元二次方程解法-因式分解法
年级：九科目：数学课题：24.2一元二次方程解法－因式分解法
课型：新授课使用时间：2015.9主备人：李素香主审人：王淑娴班级
知识技能目标
1、熟练掌握用因式分解法解一元二次方程。
2、通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想
方法情感目标
事物间的相互转化思想．
重点
用因式分解法解一元二次方程
这一方法可写成如下形式：
1 p
1 q
p＋q
我们把这种方法称为十字相乘法，用它解决型”x2+(p+q)x+pq”式子的因式分解问题非常方便。
试把下列式子分解因式：
(1)x2-5x-6=0 (2)x2+13x+40=0
预期目的：提高一部分学生的阅读理解能力，增强知识的深度
(2)4(x-3)2=15x-45
（3）这节课还存在的疑问。
难点
正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0（A、B表示两个因式）
教法
指导阅读法，讲练结合法
学法
类比学习法，小组讨论与自主学习相结合
一、创设情境，激情导入：
1．因式分解：
(1)16x2-25 =
(2) 3x2+2x=
(3)(2x-3)2-x(2x-3)=
2.若AB=0，则A=________或B=________．
4.例题讲解：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例5：用因式分解法解下列方程：
(1)2x2-5x=0
六、当堂检测，巩固升华：
1、5x2+15x=0 2、x（x-5）=3x
3、2x3-x=0 4、2x（x-1）=1-x
5、9x2=46、5x(x+2)=4x+8
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是学生掌握数学思想方法的重要环节。
这部分内容主要让学生掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、公式法、降次法等。
通过这部分的学习，让学生能够灵活运用各种方法解决实际问题，培养学生解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元一次方程的解法有一定的了解。
但一元二次方程相对复杂，需要学生能够灵活运用所学知识，进行逻辑推理和运算。
在学生的学习过程中，可能会遇到解法不明确、运算不熟练等问题。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、公式法、降次法等。
2.培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑推理能力和运算能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法。
2.教学难点：一元二次方程的解法在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
通过设计具有挑战性的问题，引导学生独立思考，小组讨论，共同探索解决问题的方法。
同时，结合具体案例，让学生在实际问题中运用一元二次方程的解法，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关案例和问题，用于引导学生思考和讨论。
2.准备一元二次方程的解法演示课件，用于讲解和展示解题过程。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元一次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
同时，引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）通过课件展示一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、公式法、降次法等。
讲解解题过程，让学生明确各种解法的步骤和应用场景。
3.操练（15分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
《解一元二次方程因式分解法》PPT课件
- .
24．2 解一元二次方程 因式分解法
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边化为零；(2)将方程的左边分解为两个一次因式的________；(3)令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的________．
a＝1
24．2 解一元二次方程 因式分解法
17．(12分)已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程：x2－1＝0①x2＋x－2＝0②x2＋2x－3＝0③…… x2＋(n－1)x－n＝0○n(1)请解上述一元二次方程①、②、③、○n ；(2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
0，15或－15等(答案不唯一)
7
24．2 解一元二次方程 因式分解法
15．(10分)用恰当的方法解下列方程．(1)(x＋3)(x－4)＝－12； (2)(2x－1)2－4(2x－1)＝12.
(1)x1＝0，x2＝1
24．2 解一元二次方程 因式分解法
16．(8分)已知关于x的一元二次方程(a＋4)x2＋3x＋a2＋3a－4＝0的一个根为0，求a的值．
x1＝23，x2＝－21
D
24．2 解一元二次方程 因式分解法
9．(4分)方程的较简单的解法是( )A．因式分解法 B．公式法 C．配方法 D．直接开平方法 【易错盘点】
A
24．2 解一元二次方程 因式分解法
10．(2013·宜宾)已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值是( )A．－3 B．3 C．0 D．0或311．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是( )A．11 B．11或13C．13 D．11和13
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经掌握了有理数的运算、方程的解法等知识的基础上进行学习的。
这部分内容主要是让学生掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等。
这些解法不仅是解决一元二次方程的关键，也是进一步学习高中数学的基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的解法，他们可能还停留在机械记忆和简单应用的层面，对于解法的原理和适用范围可能还不够清楚。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生理解一元二次方程解法的原理，提高他们的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等，并能灵活运用。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等环节，培养学生解决实际问题的能力，提高他们的数学思维能力。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、严谨求实的科学态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法及其应用。
2.教学难点：一元二次方程解法的原理和适用范围。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导等教学方法，让学生在探究中学习，提高他们的数学思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片等教学手段，帮助学生直观地理解一元二次方程的解法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元一次方程的解法，引导学生思考如何解决一元二次方程。
2.自主学习：让学生自主探究一元二次方程的解法，总结解法步骤和原理。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的解法，互相学习和借鉴。
4.教师引导：教师通过提问、解答疑问等方式，引导学生深入理解一元二次方程的解法。
5.练习巩固：布置一些练习题，让学生运用所学的解法进行解答，巩固知识。
九年级数学上一元一次方程24.2解一元二次方程第3课时因式分解法目标二解一元二次方程习题冀教
解：设x2＋y2＝n(n≥0)， 则原方程可化为(n＋1)(n－3)＝5， 解得n1＝－2(舍去)，n2＝4， 则x2＋y2＝4.
(2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，求 代数式x2－x＋1的值．
解：设x2－x＝m，则方程可化为m2－4m－12＝0. 解得m1＝6，m2＝－2.即x2－x＝6或x2－x＝－2. x2－x＋2＝0中，b2－4ac＝(－1)2－4×2×1＝－7 ＜0，此方程无实数根．故x2－x＝6. ∴x2－x＋1＝6＋1＝7.
错解：C
诊断：设x2＋x＋1＝y， 则已知等式可化为y2＋2y－3＝0， 分解因式得(y＋3)(y－1)＝0， 解得y1＝－3，y2＝1. 当y＝－3时，x2＋x＋1＝－3无实数根；当y＝1时，x2 ＋x＋1＝1有实数根．本题易因未讨论满足x2＋x＋1＝ y的实数x是否存在而错选C.
5．【教材P44习题A组T2变式】用适当的方法解下
∴x1＝74，x2＝54. 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化 的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)x4－x2－6＝0；
解：设 x2＝y，原方程可化为 y2－y－6＝0， 整理得(y－3)(y＋2)＝0，解得 y1＝3，y2＝－2. 当 y＝3 时，即 x2＝3，∴x＝± 3； 当 y＝－2 时，x2＝－2，无解． ∴原方程的解为 x1＝ 3，x2＝－ 3.
(2)(x2－2x)2－5x2＋10x－6＝0.
解：设 x2－2x＝y，原方程可化为 y2－5y－6＝0， 整理得(y－6)(y＋1)＝0，解得 y1＝6，y2＝－1. 当 y＝6 时，即 x2－2x＝6， 解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7； 当 y＝－1 时，即 x2－2x＝－1，解得 x3＝x4＝1. 综上所述，原方程的解为 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7，x3＝x4＝1.
解一元二次方程.2解一元二次方程因式分解法
教学目标： 1.会用因式分解法解一 些一元二次方程。 2.能根据具体一元二次 方程的特征，灵活选择 方程的解法。
复习引入: 1.已学过的一元二次方程解 法有哪些？ 2.请用已学过的方法解方程 x2 －2x=0
x 2x 0
2
x( x 2) 0.
x x 2 0
把一元二次方程的一边化为0，另一边分 解成两个一次因式的乘积，进而转化为求两个 一元一次方程的解.
因式分解法
用因式分解法解下列方程：
(1) x 7 x 0； 1 2 (2) x x； 2 2 (3)4 x 9 0；
2
(4) x 2 x 1 0.
2
(3)3x 2 9 x 4； 2 (4)4 x 12x 5 0.
2
两个正方形的面积之和为100cm2.已知一个正 方形的边长比另一个正方形边长的2倍还少10cm， 求这两个正方形的边长.
课本第44页B组习题1、2
(4)2( x 1) 3( x 1) 0.
2
解一元二次方程的方法有哪几种？根据你学习 的体会，谈谈通常你是如何选择解法的，并与同学 交流.
公式法是解一元二次方程的通法.
请用适当的方法解下列方程：
(1)( x 2) 2 x 4； 2 (2)(3x 1) 4 0；
2
例5
用因式分解法解下列方程：
2 2
(1)3( x 1) 2( x 1)； (2)( x 5) 49.
解：（1）原方程可化为
3( x 1) 2( x 1) 0， ( x 1)(3x 5) 0.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
24.2一元二次方程的解法—因式分解法
学习目标：会用因式分解法解某些一元二次方程。
教学重难点：灵活运用分解因式法解一元二次方程。
学习过程：
（一）、学前小测：
用配方法或公式法解下列方程：
（1）x2-2x-8=0；（2）x2+2x-4=0；（3）2x2-3x-2=0；（4））x2 – 2 x = 0；（5））x2+ 7x =0 （6）x2 = 4x (7) 4x2 - 9=0 (8) x2- 2x + 1=0；
（二）、合作交流
1、小组交流以上测试题，看看谁的方法更简单？你还有更好的方法吗？试一试。
总结：
用因式分解法解一元二次方程：____________________________________________________
_________________________________________________________________________________
2、用因式分解法解方程
（1）4x2-12x＝0 (2) 4x2-9=0 (3) (2x-1)2-(x-3)2=0
（三）、巩固提高
1、用因式分解法解方程:
(1)5x 2=4x; (2)x-2-(x-2)²=0
(4) 0)1(922=--t t (5) (6) 22)1()32(-=+x x
2、用适当的方法解方程: 16)6)(2)(1(-=+-x x (2) 2x 2－x ＝0 (3) x 2＋2x －8＝0
(4)（2x ＋1）2＝2（2x ＋1） (5) ()2
2380x --=
知识梳理
1、三种解一元二次方程的方法：
2、能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法。
).
2x (4)2)(3(2+=+x .94)5(2
=+x。