因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程
∴ x 1= A解 , x 2= A解
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1.方程右边化为 零 。 2.将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3.至少 有一个 因式为零，得到两个一 元一次方程。 4.两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解。
课堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 2x2-8x=0 (2) (x+1)2-9=0 (3) (2x-1)2=x2 (4) (2x-5)2-2x+5=0
课堂
总结
回味无穷
• 本节课你学习了什么知识？
1.用因式分解法解一元二次方程的前题是什 么？关键是什么？ 2.因式分解法解一元二次方程的步骤是什么？ 3.因式分解的方法,突出了转化的思想方法— —“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程.
发现解一元二次方而另一边 易于分解成两个一次因式的乘积时,我 们就可以用因式分解的方法求解.这种 用因式分解来解一元二次方程的方法 称为因式分解法.
提示：解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式B =0 得 一次因式A =0或或
因式分解法 解一元二次方程
学习目标
• 了解用因式分解法解一元二次方程 的概念 • 并会用因式分解法解一些特殊的方 程
复习： （1）什么叫因式分解? 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式 叫做因式分解. （2）因式分解有哪几种方法？ ①提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) ②公式法: 逆用平方差公式： a2-b2= (a+b)(a-b) 逆用完全平方公式：a2+2ab+b2= (a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2
因式分解法解一元二次方程的步骤
因式分解法解一元二次方程的步骤因式分解法是解一元二次方程的一种常用方法。
它的基本思路是将二次方程转化成两个一次方程相乘的形式，然后通过求解这两个一次方程得到方程的解。
下面我们来详细介绍因式分解法的步骤。
步骤1：确定一元二次方程的形式首先，我们要确定一元二次方程的形式，即确认方程为a*x^2 +b*x + c = 0，其中a、b和c是实数，且a ≠ 0。
确保方程满足这个条件后，我们才能使用因式分解法进行求解。
步骤2：计算二次项系数a将已知的一元二次方程写成标准形式，我们可以直接从方程中读取二次项系数a的值。
这一步很重要，因为我们后续的计算都会用到a 的值。
步骤3：计算常数项c同理，我们从方程中读取常数项c的值。
这一步同样很关键，因为我们在解方程时，需要用到常数项的值。
步骤4：根据二次项系数a和常数项c的符号确定因式的形式根据二次项系数a的符号，一元二次方程的因式形式分为两种情况：当a > 0时，我们可以使用“差平方”的形式进行因式分解；当a < 0时，我们可以使用“和平方”的形式进行因式分解。
步骤5：根据因式的形式进行因式分解对于“差平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x - n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ n。
将原方程的右侧展开并整理，得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后通过求解m和n的值，可以得到方程的解。
对于“和平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x + n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ -n。
也是通过展开右侧等式并整理得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后求解m和n的值，得到方程的解。
步骤6：求解方程通过步骤5的因式分解，我们得到了一元二次方程的两个一次因式，接下来，我们可以将每个因式设置为零，分别求解得到方程的解。
步骤7：检验解的有效性最后，我们还需要检验求得的解是否满足原方程。
将解代入原方程中，如果方程两侧相等，那么我们的解就是有效的，否则需要重新检查求解过程。
用因式分解法解一元二次方程的步骤
用因式分解法解一元二次方程的步骤一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 是已知实数且a≠0。
解一元二次方程的方法有多种，其中一种常用的方法是因式分解法。
下面将详细介绍用因式分解法解一元二次方程的步骤。
步骤一：将方程化为标准形式我们需要将给定的一元二次方程化为标准形式，即ax^2 + bx + c = 0。
确保方程的各项系数已经排列好，并且a≠0。
如果方程不是标准形式，可以通过移项、合并同类项等基本代数运算将其化简。
步骤二：对方程进行因式分解接下来，我们将对方程进行因式分解。
因式分解的目的是将二次方程表示为两个一次因式的乘积形式。
设方程为(ax + m)(nx + p) = 0，其中m、n、p是待确定的实数。
展开括号后得到(ax + m)(nx + p) = anx^2 + (am + np)x + mp = 0。
比较展开后的方程与原方程的系数，即可得到m、n、p的关系。
步骤三：求解因式的根确定了m、n、p的关系后，我们可以分别解出(ax + m) = 0和(nx + p) = 0这两个一次方程。
解一次方程的方法比较简单，可以直接得到一次方程的根。
步骤四：检验解的有效性在得到一次方程的根之后，我们需要将这些根代入原方程进行检验。
将根代入原方程，如果等式成立，则该根是方程的解；如果等式不成立，则该根不是方程的解。
步骤五：总结解的形式根据一次方程的根和检验结果，我们可以总结出一元二次方程的解的形式。
一元二次方程的解通常有两种情况：一种是有两个不同的实数解，即方程有两个不相等的根；另一种是有一个重根，即方程有两个相等的根。
步骤六：给出最终解我们将解的形式具体化，给出一元二次方程的最终解。
将步骤五中总结出的解的形式代入即可得到方程的解。
通过以上六个步骤，我们可以用因式分解法解一元二次方程。
这种方法相对简单直观，适用于一些较为简单的二次方程。
当方程较为复杂时，可以尝试其他解方程的方法，如配方法、求根公式等。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的口诀：一移，二分，三转化，四再求根容易得。
步骤：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
数学中用以求解高次一元方程的一种方法。
把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。
在使用因式分解法解一元二次方程时：
①因式分解法解一元二次方程时，等式右边必须为0。
②方程中如果有括号不要急于去掉括号，要先观察方程是否可采用因式分解法求解。
③因式分解法有提公因式法，公式法，分组分解法等（十字相乘法最常用）。
④利用因式分解法解一元二次方程时，注意不能将方程两边同时约去相同的因式或未知数。
用因式分解法解一元二次方程
12．2 用因式分解法解一元二次方程一教学目标1、正确理解因式分解法的实质；2、熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程；二教学过程1．复习提问1、或．语言表述：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．2．例题讲解例1 解方程解：原方程可变形……第一步∴或……第二步∴，分析：（1）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”。
（2）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解。
用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法。
由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法。
例2 用因式分解法解方程（1）解：原方程可变形为得，或∴，（2）∴或∴，教师板演，学生回答，总结因式分解的步骤：（1）方程化为一般形式；（2）方程左边因式分解；（3）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．练习：P20中1，2．例3 解方程解：原方程可变形为∴或∴，此方程不需去括号将方程变成一般形式．对于总结的步骤具体情况具体分析．∴或．∴，．2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）化方程为一般形式；（2）将方程左边因式分解；（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．但要具体情况具体分析．3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．四、布置作业教材P21 A 1教材P21 B 1、2（学有余力的学生做）．。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程一元二次方程是形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程，其中 $a \neq 0$。
为了解二次方程，我们可以使用因式分解法。
下面我们来详细讲解因式分解法的步骤。
Step 1: 化简方程首先，我们需要将二次方程化简为标准的一元二次方程形式，即$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
如果方程中含有分式，我们可以通过消去分母的方式将方程化为整系数的二次方程。
Step 2: 因式分解我们假设可以将二次方程因式分解为 $(px + q)(rx + s) = 0$，其中 $p, q, r, s$ 是实数。
展开上式得到 $prx^2 + (ps + qr) x + qs = 0$。
我们可以发现，当 $pr = a$，$ps + qr = b$，$qs = c$ 时，上式与原方程相等。
因此，我们需要寻找满足这些条件的 $p, q, r, s$。
Step 3: 解方程令括号中的两个一次方程分别为零，我们可以得到：$px + q = 0$$rx + s = 0$解这两个方程可以得到两个根：$x_1 = -\frac{q}{p}$$x_2 = -\frac{s}{r}$这两个根即为原二次方程的解。
需要注意的是，如果方程无法因式分解或者方程的根不是实数，那么我们不能使用因式分解法来解方程。
下面我们通过一个具体的例子来演示因式分解法的应用：例题：解方程$x^2-5x+6=0$Step 1: 化简方程方程已经是标准的一元二次方程形式，无需化简。
Step 2: 因式分解假设方程可以表示为 $(px + q)(rx + s) = 0$。
展开得到 $prx^2 + (ps + qr) x + qs = 0$。
与原方程相比较可得：$p=1$$q=-2$$r=1$$s=-3$因此，我们可以将方程表示为$(x-2)(x-3)=0$。
Step 3: 解方程令括号中的两个一次方程分别为零，我们可以得到：$x-2=0$$x-3=0$解这两个方程可以得到两个根：$x_1=2$$x_2=3$因此，原方程的解为$x=2$和$x=3$。
解一元二次方程的四种方法的利弊
解一元二次方程的四种方法的利弊随着数学的发展，解一元二次方程是数学学习中的基本内容之一。
为了解决一元二次方程，人们提出了各种各样的方法。
本文将介绍解一元二次方程的四种常见方法，并分析它们的利弊。
方法一：因式分解法原理因式分解法是一种将一元二次方程转化为多个一次方程的方法，通过因式分解将二次项分解成两个一次项的乘积，进而求出方程的解。
优点1.简单直观：因式分解法不需要过多的计算步骤，对于简单的一元二次方程求解任务非常有效。
2.适用范围广：因式分解法适用于多种形式的一元二次方程，如完全平方式、含有一次项的方式等。
缺点1.局限性：因式分解法仅适用于可以进行因式分解的一元二次方程，对于难以因式分解的方程则无法使用此方法。
2.计算复杂度高：对于具有复杂因式分解形式的方程，计算量较大，容易出现计算错误。
3.解的个数限制：因式分解法只能求解出方程的实数解，无法求解出复数解。
方法二：配方法原理配方法是通过将一元二次方程的二次项与一次项相乘，构造出一个完全平方式，然后通过转化求解方程的解。
优点1.适用广泛：配方法适用于多种类型的一元二次方程，可以应对一些无法使用因式分解法解决的方程。
2.可求解复数解：配方法可以求解出一元二次方程的复数解，能够提供更全面的解决方案。
缺点1.计算复杂：配方法需要进行一系列的代数运算和变换，计算过程相对复杂，易出错。
2.限制：对于一些特殊形式的一元二次方程，配方法无法处理，需要采取其他方法解决。
方法三：公式法原理公式法是通过一元二次方程的一般公式解来求解方程的根。
一元二次方程的一般公式解为：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)。
优点1.通用性强：公式法是一种通用的求解一元二次方程的方法，适用于所有的一元二次方程。
2.快速准确：通过代入方程参数直接计算公式，可以迅速而准确地求解方程的解。
缺点1.存在限制：公式法仅适用于解可求得实数解的一元二次方程，无法求解复数解。
因式分解法求解一元二次方程
因式分解法求解一元二次方程一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常数且a≠0。
解一元二次方程的一种常见方法是因式分解法。
因式分解法的基本思想是将方程两边表示为多个因式的乘积，然后令每个因式等于零，得到多个简单的方程，再解这些方程得到所有的解。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，首先需要判断方程的根的个数。
根据判别式Δ（delta）=b^2-4ac的值，可以得到如下结论：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
3.当Δ<0时，方程没有实根。
此时无法使用因式分解法求解。
对于情况1和情况2，下面将详细介绍因式分解法的步骤和解题思路。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程ax^2+bx+c=0移项得到ax^2+bx=-c。
步骤二：将方程左边进行因式分解。
根据二次三项完全平方式分解公式，将左边进行因式分解得到(a*x+p)(x+q)=0，其中p和q是待定常数。
步骤三：将方程化简并分别解得p和q的值。
将方程(a*x+p)(x+q)=0展开并与原方程进行对比，得到以下等式：ax^2+(a*q+p)*x+a*p*q=-c将该等式与原方程对应的系数进行比较，可得到以下等式组：a*q+p=ba*p*q=-c通过解这个等式组，得到p和q的值。
步骤四：求解x的值。
将得到的p和q的值带入最初的因式分解形式(a*x+p)(x+q)=0中，分别令每个因式等于零，求解得到x的值。
以上就是因式分解法求解一元二次方程的基本步骤。
下面通过一个具体的例子来演示如何使用因式分解法求解一元二次方程。
例题：解方程2x^2+7x+3=0。
解：根据判别式Δ=b^2-4ac，计算出Δ=49-24=25>0，所以方程有两个不相等的实根。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程2x^2+7x+3=0移项得到2x^2+7x=-3。
一元二次方程的因式分解法
一元二次方程的因式分解法一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，且a≠0。
解一元二次方程的方法有很多种，其中一种常用的方法是因式分解法。
一元二次方程的因式分解法是将方程转化成两个一次方程的乘积形式，从而求得方程的解。
我们来看一个简单的例子：x²-5x+6=0。
根据因式分解法，我们可以将x²-5x+6拆分成两个因式的乘积：(x-2)(x-3)=0。
接下来，我们分别将两个因式设置为0，得到两个一次方程：x-2=0和x-3=0。
解这两个一次方程，我们分别得到x=2和x=3。
所以，原方程x²-5x+6=0的解是x=2和x=3。
通过这个例子，我们可以总结出一元二次方程的因式分解法的步骤：1. 将一元二次方程化简为标准形式：ax²+bx+c=0，其中a≠0。
2. 将方程的三项分别与a的倒数相乘，得到新的方程：x²+(b/a)x+(c/a)=0。
3. 将新的方程进行因式分解，拆分为两个因式的乘积形式：(x-r₁)(x-r₂)=0，其中r₁和r₂是两个实数。
4. 分别将两个因式设置为0，得到两个一次方程：x-r₁=0和x-r₂=0。
5. 解这两个一次方程，得到方程的解x=r₁和x=r₂。
需要注意的是，一元二次方程的因式分解法只适用于一些特殊的情况，即方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积形式。
对于无法因式分解的一元二次方程，我们需要使用其他方法来求解，如配方法、求根公式等。
除了求解一元二次方程的根，因式分解法还可以用于化简一些复杂的代数表达式。
通过因式分解，我们可以将复杂的表达式转化为简单的因式乘积形式，从而更方便地进行计算和运算。
一元二次方程的因式分解法是解决一元二次方程的一种有效方法。
通过将方程进行因式分解，我们可以将问题转化为解两个一次方程的问题，从而求得方程的解。
同时，因式分解法还可以应用于化简代数表达式，方便进行计算和运算。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程一元二次方程就是一个一元多项式的二次次方程，它的格式一般是ax² + bx+ c = 0（其中a≠0）。
要解一元二次方程，通常用到的是因式分解的方法。
因式分解的方法是将一元二次方程变成两个一元一次方程，而解得的两个满足条件的一元一次方程中的x的值即为一元二次方程的根。
首先，要解一元二次方程，需要先将它转化成一元一次方程格式。
这一步可以通过将因式上乘以a来实现，即有：a(x²+ bx/a + c/a) = 0，于是我们可以将一元二次方程分解为两个一元一次方程，即：x² + bx/a + c/a = 0 和a = 0；其次，在解一元一次方程时，只要把方程按照常规形式写出来就可以了。
将上面的两个一元一次方程按照常规形式写出，即有：x² + (b/a)x + (c/a) = 0；a = 0；之后，在解x²+ (b/a)x + (c/a) = 0这个一元一次方程时，可以用a×b÷2来简化，并用b²－4ac来计算根。
需要注意的是，当b²－4ac<0时，证明该一元二次方程无解。
最后，我们要根据表达式计算出两个方程式中x的值。
首先，计算出b²－4ac，根据结果来判断一元二次方程是否有解。
如果b²－4ac>0，该一元二次方程就有解，由此可得x1 = (-b + √b²－4ac)/2ax2 = (-b - √b²－4ac)/2a最终得出的x1和x2就是一元二次方程的两个根，这样就解决了一元二次方程的问题。
总的来说，解决一元二次方程的时候，可以使用因式分解法，将一元二次方程分解成两个一元一次方程，再根据一元一次方程计算出x1和x2，最终就可以求出一元二次方程的根。
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因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:
（1）移项 把方程的右边化为0;
（2）化积 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;
（3）转化 令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;
（4）求解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.
例1. 用因式分解法解方程:x x 32=.
解:032=-x x
()03=-x x
∴0=x 或03=-x
∴3,021==x x .
例2. 用因式分解法解方程:()()01212
=---x x x . 解:()()0211=---x x x
()()()()0
11011=+-=---x x x x ∴01=-x 或01=+x
∴1,121-==x x .
例3. 解方程:121232-=-x x .
解:0121232=+-x x
()()0230
44322=-=+-x x x
∴221==x x .
例4. 解方程:332+=+x x x .
解:()0332=+-+x x x
()()()()0310
131=-+=+-+x x x x x
∴01=+x 或03=-x
∴3,121=-=x x .
因式分解法解高次方程
例5. 解方程:()()013122
2=---x x . 解:()()031122=---x x
()()()()()()022*******=-+-+=--x x x x x x
∴01=+x 或01=-x 或02=+x 或02=-x
∴2,2,1,14321=-==-=x x x x .
例6. 解方程:()()034322
2=+-+x x . 解:()()043322=-++x x
()()()()()0113013222=-++=-+x x x x x
∵032>+x
∴()()011=-+x x
∴01=+x 或01=-x
∴1,121=-=x x .
用十字相乘法分解因式解方程
对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,当ac b 42-=∆≥0且∆的值为完全平方数时,可以用十字相乘法分解因式解方程.
例7. 解方程:0652=+-x x .
分析:()124256452
=-=⨯--=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式. 解:()()032=--x x
∴02=-x 或03=-x
∴3,221==x x .
例8. 解方程:03722=++x x .
分析:25244932472=-=⨯⨯-=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.
解:()()0312=++x x
∴012=+x 或03=+x ∴2
11-=x ,32-=x . 例9. 设方程()012012201420132=-⨯-x x 的较大根为a ,方程020*******=-+x x 的较
小根为b ,求b a -的值.
解:()012012201420132=-⨯-x x ()()()()()()()012013101120130
1201320130
112013120132013222222=+-=-+-=-+-=--⨯+-x x x x x x x x x x ∴01=-x 或0120132=+x ∴22120131,1-==x x ∵a 是该方程的较大根
∴1=a
020*******=-+x x
()()020121=+-x x ∴01=-x 或02012=+x
∴2012,121-==x x
∵b 是该方程的较小根
∴2012-=b
∴()201320121=--=-b a . 习题1. 方程x x 22=的根是__________.
习题2. 方程()022=-+-x x x 的根是__________.
习题3. 方程0442=+-x x 的解是__________.
习题4. 方程()()232+=-+x x x 的解是__________.
习题5. 如果()0
211+=--x x x ,那么x 的值为 【 】 （A ）2或1- （B ）0或1
（C ）2 （D ）1-
习题6. 方程()x x x =-2的根是__________.
习题7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程0862=+-x x 的根,则该三角形的周长为__________.
习题8. 解下列方程:
（1）()()x x x -=-2223; （2）()1232+=+x x ;
（3）()2
22344x x x -=+-; （4）2422-=-x x .
习题9. 解下列方程:
（1）0322=--x x ; （2）0452=+-x x .
习题10. 解方程:()()01122122
=++++x x .。