一元二次方程的解法—因式分解法
一元二次方程解法：因式分解法
x1 2; x2 4. 2.4 x2x 1 32x 1 0,
解下列方程:
2x 14x - 3 0,
2 x 1 0, 或4 x 3 0. 1 3 x1 , x2 . 2 4
1、因式分解：
(1)4 x 25; (2)9 x 6 x 1
1 .x2-4=0; 解：(x+2)(x-2)=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
2.(x+1)2-25=0.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
解：[(x+1)+5][(x+1)-5]=0
1.x 2x - 4 0, 2.4 x2 x 1 32 x 1. 解 :1.x 2 0,或x 4 0.
小颖是这样解的:
解 : x 3x 0.
2
小明是这样解的:
解 : 方程x 2 3 x两
3 9 x . 2
公 式 法
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
漏 边都同时约去x, 得. x 3. 根 x≠0
这个数是3.
小明做得对吗?
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
(1) x 3 x 4 x 4 x 1
2
(2) x 3 x 18 x 6 x 3
2
1
6 3
4 4 (1) 3 4 (1)
6 3
常数项分解成两个因数的积， 这两个因数的和恰好是一次项系数。
一元二次方程解法：因式分解法
例1、解下列方程
(1)3x( x 2) 5( x 2) 2 (3)(3x 1) 5 0
(1)3x( x 2) 5( x 2)
解：移项，得 3x( x 2) 5( x 2) 0
1、提公因式法
( x 2) (3x 5) 0
x+2=0或3x－5=0 5 ∴ x1=-2 , x2= 3
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? x2=p (p≥0) 直接开平方法 2=p (p≥0) (mx+n) 配方法
b b 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2 a 2.什么叫分解因式?
公式法
2
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
我思
我进步
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1) x( x 2) 0
x1 0, x2 2
2 1 (3)(3x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
ab 0
a 0, b 0
x 2 0, 或1 x 0. x1 2; x2 1.
二 次 项 系 数 是 的 二 次 三 项 式
(1) x 3x 4 x 4 x 1
2
(2) x 3x 18 x 6 x 3
解： (1)
x 3 x 1 ;(2) x 3 x 1 (3) x 7 x 3 ;(4) x 7 x 1
2 2 2 2
解方程：
(1) x 4 x 3 0;(2) x 2 x 3 0 (3) x 10 x 21 0;(4) x 6 x 7 0
一元二次方程的解法—因式分解法
一元二次方程的解法——因式分解法1.因式分解法：将一元二次方程先因式分解为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。
这种解法叫做因式分解。
2.因式分解法的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程的左边化成两个一次因式的积；（3）令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
同步练习用因式分解法解下列方程：(1)x2＋12x＝0；(2)4x2－1＝0；(3)x2＝7x； (4)x2－4x－21＝0；(5)(x－1)(x＋3)＝12；(6)3x2＋2x－1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8 (2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 (3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( ) A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53 C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对 (5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5 (6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4 (7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11 (8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．。
一元二次方程怎么解因式分解
一元二次方程怎么解因式分解标题：一元二次方程的因式分解方法与实际应用导语：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的解法之一就是将其进行因式分解。
本文将介绍一元二次方程的因式分解方法，并探讨其在实际应用中的意义和作用。
一、一元二次方程的基本形式一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
二、一元二次方程的因式分解方法要将一元二次方程进行因式分解，我们可以采用以下步骤：1. 将方程的左边移到等号右边，得到ax^2 + bx = -c。
2. 将方程两边同时乘以一个常数k，使得方程变为完全平方的形式，即a(kx)^2 + b(kx) = -ck^2。
3. 将方程左边进行因式分解，得到a(kx + m)(kx + n) = -ck^2，其中m和n为待定常数。
4. 比较方程两边的系数，得到关于m和n的方程组，解方程组，求得m和n的值。
5. 将m和n的值代入方程，得到一元二次方程的因式分解形式。
三、一元二次方程因式分解的实际应用一元二次方程的因式分解在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 在物理学中，一元二次方程的因式分解可以用于描述抛体运动的轨迹。
通过将方程进行因式分解，可以得到轨迹的方程，从而更好地理解和分析抛体的运动规律。
2. 在经济学中，一元二次方程的因式分解可以用于描述市场需求和供给的关系。
通过将方程进行因式分解，可以得到需求曲线和供给曲线的交点，从而确定市场的均衡价格和数量。
3. 在工程学中，一元二次方程的因式分解可以用于设计和优化结构。
通过将方程进行因式分解，可以找到结构的特征方程，从而确定结构的固有频率和振动模态。
结语：一元二次方程的因式分解是数学中重要的解题方法之一，它不仅有着理论上的意义，还在实际应用中发挥着重要作用。
通过掌握一元二次方程的因式分解方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，解决实际问题，并推动科学技术的发展与进步。
一元二次方程的解法—因式分解
∴x+6=0，或x-4=0． ∴x1=-6， x2=4．
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式：
1 x2 4x 4 原式 x 22 2 a2 6a 9 原式 x 32 3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x
注意： 1．用分解因式法的条件是：方程左边易于分解， 而右边等于零; 2．关键是熟练掌握因式分解的知识; 3．理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么 至少有一个因式等于零．”
我思 我进步
分解因式的方法有那些？
（1）提取公因式法： am+bm+cm=m（a+b+c）．
（2）公式法： 平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0来自 x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗？
我思 我进步
分解因式法
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫 做分解因式．
当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解 因式的方法求解．这种用分解因式解一元二次 方程的方法称为分解因式法．
解一元二次方程的方法：
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
例题欣赏 ☞
例3 解下列方程：
（1）x（x-2）+x-2=0；（2）5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：x(x 2) x 2 0， 解：移项，合并同类项，得：
x 2 x 1 0.
x 2 0，或x 1 0.
小颖，小明，小亮都设这个数为x，根据题意得 x2 3x.
一元二次方程的解法——因式分解法
(2)(2a 3) (a 2)(3a 4)
2
解：去括号，整理，得 a 2a 1 0
2
(a 1) 0
2
a1 a2 1.
(3) 2 y 3 y
2
解：2 y 3 y 0
2
y ( 2 y 3) 0 y 0或 2 y 3 0
3 2 y1 0, y2 . 2
x x 0,
2
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 ( x 5)( x 2) 18 解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 8或x2 4.
( x 2) (3x 5) 0
x+2=0或3x－5=0 5 ∴ x1=-2 , x2= 3
2、(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－
5)=0
=0 5
3x+1+ 5 =0或3x+1－
１ 5 １ 5 ∴ x1= , x2= 3 3
概括：用因式分解法解一元二次方程 的步骤 1o方程右边不为零的化为 零 。 2o将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
例1、解下列方程 1、3x2+2x=0 2、x2=3x
3、x2－2=0 4、16x2-25=0
例2、解下列方程
(1)3x( x 2) 5( x 2) 2 (3)(3x 1) 5 0
一元二次方程的解法--公式法因式分解法—知识讲解
一元二次方程的解法--公式法因式分解法—知识讲解一、公式法公式法是求解一元二次方程最常用的方法之一，通过使用二次方程的根公式来求解方程的解。
根公式：对于一般的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解可表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a解释：在方程中，±表示求两个解，即一个解为加号后面的部分，另一个解为减号后面的部分。
√表示开平方根；在根号下的部分称为判别式，用来判断方程有几个解和解的性质。
二、因式分解法因式分解法是通过将一元二次方程表示为两个一次因式的乘积形式来求解方程的解。
步骤：1. 将一元二次方程形式化为ax^2 + bx + c = 0的形式。
2.对方程进行因式分解，将方程表示为(x+m)(x+n)=0的形式，其中m和n是常数。
3.列出等式(x+m)(x+n)=0的两个等式，即x+m=0和x+n=0，并解这两个等式，求得方程的解。
举例：假设有一元二次方程x^2+5x+6=0，现在我们使用公式法和因式分解法来求解方程的解。
1.公式法：根据公式法，我们有：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a带入方程的系数a=1、b=5和c=6，我们可以计算出判别式d = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1根据判别式的值，我们可以得出以下结论：a)当判别式d>0时，方程有两个不相等的实数解；b)当判别式d=0时，方程有两个相等的实数解；c)当判别式d<0时，方程没有实数解，有两个共轭虚数解。
带入计算得：x=(-5±√(1))/2(1)=(-5±1)/2所以，方程的解为x=-3或x=-22.因式分解法：将方程x^2+5x+6=0因式分解为(x+2)(x+3)=0的形式。
分别令x+2=0和x+3=0，求解得到：x=-2或x=-3所以，方程的解为x=-2或x=-3通过比较可以发现，公式法和因式分解法得到的解是相同的。
第四节 一元二次方程的解法 因式分解
第二十一章一元二次方程21.2.3因式分解【知识点梳理】1、定义：把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成_______________________________，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
2、因式分解法的步骤：①移项：_________________________________左边，右边化为0；①化积：把方程的左边分解成__________________________________；②转化：令______________________________，得到一元一次方程；③解：解____________________，即可得到原方程的解。
3,因式分解常见类型：①___________________②__________________③_______________________。
【知识点训练】知识点一、因式分解法解方程1.方程（x-1）(x+2)=0的两根分别是（）。
A. x1=-1， x2=2 B. x1=1, x2=2 C. x1=-1，x2=-2 D. x1=1， x2=-22.方程x2-3x=0的解是（）。
A. x= 0B. x= 3C. x1=0，x2=-3 D. x1=0， x2=33.下列命题：①kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2 =x与x=1是同解方程；④由（x-1）（x+1）=3可得x-1=3或 x+1=3；其中正确的命题有（）个。
A. 0B.1C. 2D.34.已知三角形ABC的两条边长分别是3与6，第三边长是方程（x-2）（x-4）=0的一个根，则三角形ABC的周长是（）。
A. 11B.13C. 11或13D.不确定5．x2-5x因式分解结果为_________________； 2x(x-3)-5(x-3)因式分解结果为_____________________。
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因式分解法：
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫因式分解法。
【想一想】
你能用几种方法解方程x -4=0,(x+1) -25=0。
二、范例学习、讲授新知
例：解下列方程。
1. 5x =4x 2. x-2=x(x-2)
三、随堂练习、巩固新知
1、5x -15x=0 2. x +4x=0
问题，提高学习数学的热情和积极性.
教 学 重 点
掌握解一元二次方程
教 学 难 点
灵活运用因式分解法解一元二次方程
教 具 准 备
教 学 过 程
教 师 活 动
学 生 活 动
一、课堂小测、回顾交流
【课堂小测】
解下列一元二次方程。
1. 4x2－1＝0
2. (25-2x）2-400 题
一元二次方程的解法—因式分解法
课 型
新 授
教 学 目 标
知 识
与技能
会用因式分解（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
过 程
与方法
能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的
多样性。
情 感
与态度
培养学生独立思考、积极探索的思维品质，善于用数学知识解决身边的数学
五、布置作业、拓展延伸
P42 4
教学后记：
学生练习。
概念：课本议一议，让学生自己理解。
解：（1）原方程可变形为：
5x2－4x=0
x(5x－4)=0
x=0或5x=4=0
∴x1=0或x2=
(2)原方程可变形为
x－2－x(x－2)=0
(x－2)(1－x)=0
x－2=0或1－x=0
∴x1=2，x2=1
（1）在一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可用因式分解法来解。
3. x(x+5)=3x 4. 2x(5x-1)=3(5x-1)
【拓展题】
分解因式法解方程：x -4x =0。
四、课堂小结、知识升华
利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。
（2）因式分解时，用公式法、提公式因式法