一元三次函数性质与图象探索
考点08 一次函数的图象与性质【无答案】
考点08 一次函数的图象和性质一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。
各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面。
也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础。
故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
一、一次函数的图象与平移二、一次函数的性质三、待定系数法求解一次函数的表达式四、一次函数与方程、不等式的关系五、一次函数与三角形面积考向一：一次函数的图象与平移一．一次函数的图象1．下列函数：①y＝4x；②y＝﹣；③y＝；④y＝﹣4x+1，其中一次函数的个数是（）A．1B．2C．3D．42．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）（k＞0）的图象大致是（）A．B．C．D．3．如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（）A．将1向右平移4个单位长度B．将1向左平移4个单位长度C．将1向上平移4个单位长度D．将1向下平移4个单位长度5．直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是．6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（）A．k1k2＜0B．k1+k2＜0C．b1﹣b2＞0D．b1b2＞0考向二：一次函数的性质对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上1．一次函数y＝﹣3x+1的图象经过（）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第一、二、三象限D．第二、三、四象限2．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．大小不确定3．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是关于x的函数y＝（m﹣1）x图象上的两点，当x1＜x2时，y1＜y2，则m 的取值范围是（）A．m＞0B．m＜0C．m＞1D．m＜14．对于一次函数y＝﹣2x+1的相关性质，下列描述错误的是（）A．函数图象经过第一、二、四象限B．图象与y轴的交点坐标为（1，0）C．y随x的增大而减小D．图象与坐标轴调成三角形的面积为5．已知点（﹣2，y1），（2，y2）都在直线y＝2x﹣3上，则y1y2．（填“＜”或“＞”或“＝”）考向三：待定系数法求一次函数的解析式1．一个正比例函数的图象过点（﹣2，3），它的表达式为（）A．B．C．D．2．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（）A．2B．﹣2 C．2或﹣2D．m的值不存在3．已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣3．则当x＝﹣时，y＝．4．已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．（1）求此一次函数表达式；（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．求n的值及直线AD的解析式．考向四：一次函数与方程不等式间的关系1．已知方程2x﹣1＝﹣3x+4的解是x＝1，则直线y＝2x﹣1和y＝﹣3x+4的交点坐标为（）A．（1，0）B．（1，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，1）2．如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为．3．如图，一次函数y＝2x+1的图象与y＝kx+b的图象相交于点A，则方程组的解是（）A．B．C．D．4．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则x+y＝．5．若定义一种新运算：，例如：2@4＝2+4﹣3＝3，2@1＝2﹣1+3＝4，下列说法：①（﹣1）@（﹣2）＝4；②若x@（x+2）＝5，则x＝3；③x@2x＝3的解为x＝2；④函数y＝（x2+1）@1与x轴交于（﹣1，0）和（1，0）．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．16．如图，已知一次函数y1＝kx﹣b与y2＝nx函数图象相交于点M，当kx﹣b＝nx时，x的值是，当y1＞y2时，x的取值范围是，当y1＜y2时，x的取值范围是．7．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图象与性质的方法，对新函数y＝2﹣|x﹣1|及其图象进行如下探究．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣2﹣1m1210n﹣2…其中m＝，n＝．（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：．（3）当时，x的取值范围为．考向五：一次函数与三角形面积一．一次函数与坐标轴围成三角形面积的规律方法归纳3.求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高；二．一次函数图象与几何图形动点面积1.此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息2.对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点3.动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。
浅析一元三次函数的性质及应用
Җ㊀新疆㊀欧阳丽丽㊀㊀人教版高中数学教材«选修１Ｇ１»和«选修２Ｇ２»都涉及以三次函数为载体求函数极值和最值,但没有系统地讲解三次函数的图象和性质,本文将对三次函数的图象和性质进行系统探讨．１㊀一元三次函数的图象和性质一元三次函数f (x )＝a x ３＋b x ２＋c x ＋d (a ʂ０,x ɪR ),其导函数为f ᶄ(x )＝３a x ２＋２b x ＋c ,方程fᶄ(x )＝０的判别式Δ＝４b ２－１２a c ．分两类情形讨论．１)a ＞０①当Δ＞０时,f ᶄ(x ),f (x )图象分别如图１㊁图２所示．f ᶄ(x )与x 轴有两个交点x １,x ２,f (x)在(－ɕ,x １)和(x ２,＋ɕ)上单调递增,在(x １,x ２)上单调递减,其中x １为极大值点,x ２为极小值点．②当Δ＝０时,f ᶄ(x ),f (x )图象分别如图３㊁图４所示．∀x ɪR ,f ᶄ(x )ȡ０恒成立,f (x )在(－ɕ,＋ɕ)上单调递增,f (x )．图１㊀㊀㊀㊀㊀图２㊀㊀㊀㊀㊀图３㊀㊀㊀㊀㊀图４㊀㊀图５㊀㊀㊀㊀㊀图６③当Δ＜０时,f ᶄ(x ),f (x )图象分别如图５㊁图６所示．∀x ɪR ,fᶄ(x )＞０恒成立,f (x )在(－ɕ,＋ɕ)上单调递增,f (x )无极值．２)a ＜０①当Δ＞０时,f ᶄ(x ),f (x )图象分别如图７㊁图８所示．f ᶄ(x )与x 轴有两个交点x １,x ２,f (x )在(－ɕ,x１)和(x ２,＋ɕ)上单调递减,在(x １,x ２)上单调递增,其中x １为极小值点,x ２为极大值点．②当Δɤ０时,f (x )在(－ɕ,＋ɕ)上单调递减,f (x )无极值．Δ＜０时,f (x )图象如图９所示;Δ＝０时,f (x )图象如图所示图７㊀㊀㊀㊀㊀图８㊀㊀㊀㊀㊀图９㊀㊀㊀㊀㊀图１０２㊀应用一元三次函数的特性解题１)一元三次函数在区间上的单调性与最值函数f (x )＝a x ３＋b x ２＋c x ＋d (a ʂ０),x ɪ[m ,n ],若x １,x ２ɪ[m ,n ],且f ᶄ(x １)＝０,fᶄ(x ２)＝０,则f m a x (x )＝m a x {f (m ),f (x １),f (x ２),f (n )},f m i n (x )＝m i n {f (m ),f (x １),f (x ２),f (n )}．例１㊀已知函数f (x )＝２x ３－a x ２＋２(a ɪR )．(１)讨论f (x )的单调性;(２)当０＜a ＜３时,记f (x )在区间[０,１]的最大值为M ,最小值为m ,求M －m 的取值范围．(１)fᶄ(x )＝６x ２－２a x ＝２x (３x －a )．令fᶄ(x )＝０,得x ＝０或x ＝a３．若a ＞０,则当x ɪ(－ɕ,０)ɣ(a３,＋ɕ)时,f ᶄ(x )＞０;当x ɪ(０,a３)时,fᶄ(x )＜０．故f (x )在(－ɕ,０)和(a ３,＋ɕ)上单调递增,在(０,a３)上单调递减．若a ＝０,f (x )在(－ɕ,＋ɕ)上单调递增．若a ＜０,则当x ɪ(－ɕ,a ３)ɣ(０,＋ɕ)时,f ᶄ(x )＞０;当x ɪ(a３,０)时,fᶄ(x )＜０．故f (x )在(－ɕ,a ３)和(０,＋ɕ)上单调递增,在(a３,０)上单调递减．(２)当０＜a ＜３时,由(１)知,f (x )在(０,a３)上单调递减,在(a３,１)上单调递增,所以f (x )在[０,１]的最小值为f (a ３)＝－a ３２７＋２,最大值为f (０)＝２或f (１)＝４－a ．于是m ＝－a ３２７＋２,M ＝４－a ,０＜a ＜２,２,２ɤa ＜３．{所以１１g (a )＝M －m ＝２－a ＋a ３２７,０＜a ＜２,a３２７,２ɤa ＜３．ìîíïïïï当０＜a ＜２时,可知g (a )＝２－a ＋a３２７单调递减,所以M －m 的取值范围是(８２７,２)．当２ɤa ＜３时,g (a )＝a ３２７单调递增,所以M －m 的取值范围是[８２７,１)．综上,M －m 的取值范围是[８２７,２)．２)一元三次方程实根的问题设三次函数为f (x )＝a x ３＋b x ２＋c x ＋d (a ʂ０)．(１)当Δ＝４b ２－１２a c ɤ０时,f (x )＝０恰有一个实根．(２)当Δ＝４b ２－１２a c ＞０时,f (x )有两个极值点x １,x ２．①f (x １) f (x ２)＞０,方程f (x )＝０恰有一个实根．②f (x １) f (x ２)＜０,函数y ＝f (x )极大值点与极小值点在x 轴异侧,图象与x 轴必有三个交点,所以方程f (x )＝０有三个不等实根．③若f (x １) f (x ２)＝０,则f (x )＝０有两个不相等实根．函数y ＝f (x )有几个零点,方程f (x )＝０就有几个根,函数零点的个数可转化为相应方程根的个数．例２㊀函数f (x )＝１３x ３－１２x ２－２x ＋c (c ɪR )．若函数y ＝f (x )有两个零点,求c 的取值范围．由f (x )＝１３x ３－１２x ２－２x ＋c ,可得函数f (x )在(－ɕ,－１)和(２,＋ɕ)上单调递增,在(－１,２)上单调递减,所以函数f (x )的极大值为f (－１)＝７６＋c ,极小值为f (２)＝c －１０３．而函数f (x )有两个零点,则f (－１) f (２)＝０,解得c ＝－７６或c ＝１０３,所以使函数f (x )恰有两个零点的实数c 的取值范围是{c |c ＝－７６或c ＝１０３}．求解此类问题的关键是熟练利用导数求函数的单调区间与函数的极值,并通过函数零点个数进而判断极值点与０的大小关系．３㊀一元三次函数图象的切线问题经过一个定点P (m ,n )可以作三次函数f (x )＝a x ３＋b x ２＋c x ＋d (a ʂ０)图象的几条切线(注意其中点P 不在f (x )的图象上)．设切点为T (t ,f (t )),则切线斜率k ＝f ᶄ(t )＝３a t ２＋２b t ＋c ,可写出切线方程y －f (t )＝f ᶄ(t )(x －t ),由切线过点P (m ,n )知n －f (t )＝(３a t ２＋２b t ＋c ) (m －t ),这是一个关于t 的三次方程,于是切线的条数问题等价于这个关于t 的三次方程的实根个数问题,再转化为函数零点个数问题．例３㊀已知函数f (x )＝x ３－３x ．若过点P (２,m )(m ʂ２)存在３条直线与曲线y ＝f (x )相切,求m 的取值范围．设过点P (２,m )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(t ,f (t )),则f (t )＝t ３－３t ,且切线斜率为k ＝３t ２－３,所以切线方程为y －f (t )＝(３t ２－３)(x －t )．又切线过P (２,m )(m ʂ２),因此m －f (t )＝(３t ２－３)(２－t ),即m －(t ３－３t )＝(３t ２－３)(２－t ),整理得２t ３－６t ２＋m ＋６＝０．设g (t )＝２t ３－６t ２＋m ＋６,则 过点P (２,m )(m ʂ２)存在３条直线与曲线y ＝f (x )相切 等价于 g (t )有３个不同零点 ．g ᶄ(t )＝６t ２－１２t ＝６t (t －２),令g ᶄ(t )＝０,解得t ＝０或t ＝２．因此,g (t )在(－ɕ,０)和(２,＋ɕ)上单调递增,在(０,２)上单调递减．故g (t )的极大值为g (０)＝m ＋６,极小值为g (２)＝m －２．而g (t )有３个不同零点,则有m ＋６＞０,m －２＜０．{综上可知,当过点P (２,m )(m ʂ２)存在３条直线与曲线y ＝f (x )相切时,m 的取值范围是(－６,２)．求解此类问题要先表示出函数的切线方程,由切线条数等价于方程有相应的实数根个数问题,再转化为函数零点个数问题进而用极值进行讨论．总之,应用一元三次函数的图象与性质,有利于学生灵活分析㊁解决一元三次函数的相关问题,进一步提升学生直观想象㊁数学运算等数学核心素养．(作者单位:新疆乌鲁木齐市第六十一中学)２１。
《一元二次函数》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《一元二次函数》教学设计1. 熟悉配方法,理解a,b,c (或a,h,k )对二次函数图象的作用.2．理解由y =ax 2到y =a(x −ℎ)2+k 的图象变换方法.3. 掌握二次函数的性质.4. 体会抽象概括的过程，加强直观想象素养的培养.重点：掌握一元二次函数的图象和性质．难点：体会用平移的方法研究一元二次函数的图象，并能迁移到对其他函数的图象的研究之中． 一、新课导入 回顾旧知：初中阶段，我们学习了一元二次函数y =ax²+bx +c （a ≠0），请回顾认识这个函数的过程.答案：认识这个函数的过程是从y =x²开始的，是由简到繁的过程.如图所示：思考：对于二次函数y =a(x −ℎ)2+k (a ≠0)的图象，可以由函数y =ax²的图象，经过怎样的变换得到？师揭示本节课题：《一元二次函数》．设计意图：通过对旧知识的回顾，激发学生对一元二次函数的探究，从而引出今天的课题，激发学生的学习兴趣，让学生在对新问题的挑战中，进一步深化数形结合思想．二、新知探究探究一：一元二次函数．分析：一元二次函数的三种形式：（1）一般式：y =ax²+bx +c （a ≠0）（2）顶点式：y =a(x −ℎ)2+k(a ≠0)◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程◆（3）两根式：y =a(x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)思考：如何把一元二次函数的一般式化为顶点式？答案：配方法.一元二次函数y =ax²+bx +c （a ≠0）都可以通过配方化为y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a ，若设 ℎ=−b 2a ，k =4ac−b 24a ，则有y =a(x 一ℎ)2+k （顶点式）通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.例如：一元二次函数y =2x 2+3x +5，通过配方可化为y =2(x +34)2+318，其图象为开口向上，以x =−34为对称轴，（−34，318）为顶点的抛物线.探究二：一元二次函数的图象变换规律．分析：如图所示，一元二次函数y =2(x −2)2的图象可以由y =2x 2的图象右移2个单位长度得到；y =2(x −2)2−1的图象可以由由y =2x 2的图象右移2个单位长度，下移1个单位长度得到．知识点：一元二次函数y =a(x −ℎ)2+k 的图象可以由y =ax 2的图象经过向左（或向右）平移|ℎ|个单位长度，再向上（或向下）平移|k|个单位长度而得到．探究三：一元二次函数y =a(x 一ℎ)2+k(a ≠0)的性质．知识点：（1） 函数y =a(x −ℎ)2+k 的图象是一条抛物线，顶点坐标是（ℎ，k ），对称轴是直线x =ℎ．（2）当a >0时，抛物线开口向上；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y 随自变量x 的增大而减小；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y 随自变量x 的增大而增大；函数在x =ℎ处有最小值，记作y min =k ．（3）当a <0时，抛物线开口向下；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y 随自变量x 的增大而增大；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y 随自变量x 的增大而减小；函数在x =ℎ处有最大值，记作y max =k ．小结：二次函数y =a(x −ℎ)2+k(a ≠0)，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向（a >0，图象开口向上，a 值越大，开口越小；a <0，图象开口向下，a 值越大，开口越大）﹔h 决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h 正左移，h 负右移”﹔k 决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．图象变换口诀：“上加下减，左加右减”.设计意图：从一元二次函数的三种形式进行探究，从简到繁，唤醒旧知，联系新知，从形式到图象变换，再到性质分析，循序渐进对一元二次函数的变换以及性质进行理解．三、应用举例例1： 已知一元二次函数y =12x ²+2x +5.（1）指出它的图象可以由y =12x ²的图象经过怎样的变换才能得到；（2）指出它的对称轴，试述函数的变化趋势及函数的最大值或最小值．分析：因为题中给出了一元二次函数的一般形式y =12x ²+2x +5，所以我们直接利用配方，将它变成y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a的形式，然后通过结合图形，即可得出答案. 解：（1）配方,可得，y =12x 2+2x +5y =12(x 2+4x)+5y =12(x 2+4x +4−4)+5 y =12(x +2)²+3.所以，y =12x 2+2x +5的图象可以由y =12x ²的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到.（2） 由（1）可知：该函数的图象开口向上，对称轴为直线x =-2；在区间(−∞,−2]上，函数值y 随自变量x 的增大而减小，在区间[−2,+∞)上,函数值y 随自变量x 的增大而增大；函数在x =−2处取得最小值3，y min =3.例2：若函数y =(a −1)x 2+2x +5的图象恒在x 轴的上方,求实数a 的取值范围. 解：当a −1=0时，函数解析式为y =2x +5，此时函数图象为一条直线，不是恒在x 轴的上方，故a ≠1；当a −1≠0时，若函数图象恒在x 轴上方，则有{a -1>0,Δ=4-20(a -1)<0,解得a >65. 综上所述，实数a 的取值范围为a >65. 四、课堂练习1. 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.（1）二次函数y =3x 2的开口比y =x 2的开口要大.（2）要得到y =—(x—2)2的图象，需要将y =—x 2向左平移2个单位长度．（3）二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)一定有最小值.（4）二次函数y =x 2−2x +1的对称轴为x =—1.2.若抛物线y=x2−(m−2)x+m+3的顶点在y轴上,求m的值.3. 若函数y=x2+2(2a−1)x＋2在区间(−∞，7]上y随x的增大而减小，求实数a的取值范围.4. 求函数y=3+2x−x2（0≤x≤3）的最小值.参考答案：1. （1）×（2）×（3）×（4）×解析：由一元二次函数的图象和性质得知.2. m的值为2.解析：因为抛物线y=x2−(m−2)x+m+3的顶点在y轴上，所以顶点的横坐标为−−(m−2)2×1=m−22=0，故m=2.3. (−∞，−3]解析：由一元二次函数的性质知，抛物线y在区间(−∞，7]上y随x的增大而减小,可得−（2a−1）≥7，所以a的取值范围为(−∞，−3].4. 0解析：将一元二次函数y=3+2x−x2配方得y=−(x−1)2+4，因为（0≤x≤3），所以当x=3时，y min=3+6−9=0.故y的最小值为0.五、课堂小结1.一元二次函数的图象变换规律：h决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”﹔k决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．图象变换口诀：“上加下减，左加右减”.2. 一元二次函数图象的性质：（1）函数y=a(x−ℎ)2+k的图象是一条抛物线，顶点坐标是（ℎ，k），对称轴是直线x=ℎ．a决定了二次函数图象的开口大小及方向（a>0，图象开口向上，a值越大，开口越小；a<0，图象开口向下，a值越大，开口越大）﹔（2）当a>0，抛物线开口向上；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y随自变量的增大而减小；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y随自变量的增大而增大；函数在x=ℎ处有最小值，记作y min=k．（3）当a<0，抛物线开口向下；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y随自变量的增大而增大；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y随自变量的增大而减小；函数在x=ℎ处有最大值，记作y max=k．六、布置作业教材第33页练习第1、2题．。
3.4 一元二次函数的图象与性质课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第三章函数
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
1．一元二次函数的定义 形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做一元二次函数．它的定义域是 R，图象是一条抛物线．
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
y＝ax2＋bx＋c
【解析】
(1) 依 题 意 ： 抛 物 线 开 口 向 下 ， 对 称 轴 为
x
＝
m＋n 2
＝
－2＋t2－2－t＝－2，如图观察得知：f(－1)＞f(1)．
(2)依题意得对称轴为 x＝m＋2 n＝－12＋7＝3，则x1＋2 x2＝3，从而求得
两根之和为 6.
例5 分别求满足下列条件的二次函数y＝f(x)的解析式． (1)图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)； (2)顶点为(－1，－8)，且过点(0，－6)； (3)过点(1，－8)，函数与x轴的两个交点坐标分别为(5，0)，(－1， 0)． 【分析】 本题考查一元二次函数的三种解析式的求法．一般式：y
＝ax2＋bx＋c；顶点式：y＝a(x－m)2＋n；交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．
【解】 (1)设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，将点(－1，－22)，(0，－
8)，(2，8)代入解析式：
a－b＋c＝－22
c＝－8
，解得 a＝－2，b＝12，c＝－8，
4a＋2b＋c＝8
所以函数解析式为 f(x)＝－2x2＋12x－8.
例4 (1)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t，都有f(3＋t)＝f(3
－t)，则(
)
A．f(3)＜f(1)＜f(4) B．f(1)＜f(3)＜f(4)
一元二次函数的图像及性质
§ 3.4一元二次函数的图象和性质复习目标1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。
知识回顾1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。
② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(ab --∞上是减函数，在),2(+∞-a b上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。
【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
例题精解一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x 以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：x … -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 …y … 25 0 23- -2 23- 0 25 …【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
考点03 一次函数的图像与性质(解析版)
考点三一次函数的图像与性质知识点整合一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数．（4）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.（5）一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．k的符号函数图象图象的位置性质k>0图象经过第一、三象限y随x的增大而增大k<0图象经过第二、四象限y随x的增大而减小2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象一次函数的图象一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-b k，0)的一条直线图象关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可（2）一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y=kx+b(k≠0)k>0，b>0一、二、三y随x的增大而增大k>0，b<0一、三、四y=kx+b(k≠0)k<0，b>0一、二、四y随x的增大而减小k<0，b<0二、三、四3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）．①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k．（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k，b．（4）将求得的k，b的值代入解析式．五、一次函数与正比例函数的区别与联系正比例函数一次函数区别一般形式y=kx+b（k是常数，且k≠0）y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）图象经过原点的一条直线一条直线k，b符号的作用k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限求解析式的条件只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标需要两对x，y的对应值或两个点的坐标联系比例函数是特殊的一次函数．②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．④一次函数与正比例函数有着共同的性质：a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．六、一次函数与方程（组）、不等式1．一次函数与一元一次方程任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．2．一次函数与一元一次不等式任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．3．一次函数与二元一次方程组一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．考向一一次函数和正比例函数的定义1．正比例函数是特殊的一次函数．2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．典例引领二、填空题变式拓展6．已知y 与1x +成正比，当1x =时，2y =．考向二一次函数的图象及性质1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．2．当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．4．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．典例引领【答案】A【分析】本题考查的是一次函数的性质．根据一次函数的性质以及图像上点的坐标特征对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A 、当0x =时，2y =，图象必经过点()0,2，故本选项符合题意；B 、∵10k =-<，20b =>，∴图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；C 、∵10k =-<，∴y 随x 的增大而减小，故本选项不符合题意；D 、∵y 随x 的增大而减小，当2x =-时，0y =，∴当2x >时，0y <，故本选项不符合题意；故选：A ．4．若一次函数21y x =-+的图象经过点()13,y -，()24,y ，则1y 与2y 的大小关系（）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y ≤D ．12y y ≥【答案】B【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据函数解析式得到y 随x 增大而减小，据此可得答案．【详解】解：∵一次函数解析式为21y x =-+，20-<，∴y 随x 增大而减小，∵一次函数21y x =-+的图象经过点()13,y -，()24,y ，34-<，∴12y y >，故选：B ．5．已知一次函数(2)=-+y k x k ，且y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（）A ．2k >B ．0k <C ．2k <D ．2k ≤【答案】C【分析】此题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性即在y kx b =+中，k >0时y 随x 的增大而增大；k <0时，y 随x 的增大而减小即可求解．【详解】依题意得20k -<，解得2k <故选C ．变式拓展三、解答题9．已知一次函数(2)312y k x k =--+．(1)k 为何值时，函数图象经过点(0,9)？(2)若一次函数(2)312y k x k =--+的函数值y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．【答案】(1)1(2)2k <【分析】（1）将点(0,9)代入一次函数(2)312y k x k =--+，可得关于k 的一元一次方程，求解即可获得答案；（2）根据该函数的增减性，可得20k -<，求解即可获得答案．【详解】（1）解：将点(0,9)代入一次函数(2)312y k x k =--+，可得3129k -+=，解得1k =，∴当1k =时，函数图象经过点(0,9)；（2）若一次函数(2)312y k x k =--+的函数值y 随x 的增大而减小，则有20k -<，解得2k <，∴k 的取值范围为2k <．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、根据一次函数的增减性求参数、解一元一次方程和解一元一次不等式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．10．已知2y -与x 成正比，且当2x =-时，8y =．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当x 取什么范围时，4y >-．【答案】(1)32y x =-+(2)2x <【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象及性质．（1）设y 与x 的函数关系式为2y kx -=，再待定系数法求解即可；（2）利用一次函数图象及性质，代入4y =-后即可得到本题答案．【详解】（1）解：设y 与x 的函数关系式为2y kx -=，将当2x =-时，8y =代入2y kx -=中得：822k -=-，即：3k =-，∴32y x =-+；（2）解：∵32y x =-+，∴30k =-<，y 随x 增大而减小，当4y =-时，432x -=-+，即：2x =，∴4y >-时，2x <，综上所述：当2x <时，4y >-．考向三用待定系数法确定一次函数的解析式运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．典例引领1．《国务院关于印发全民健身计划（2021-2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，建立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益．某健身中心为答谢新老顾客，举行大型回馈活动，特推出两种“冬季唤醒计划”活动方案．方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费30元．方案2：顾客花200元购买会员卡，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费10元．设王彬一年内来此健身中心健身的次数为x （次），选择方案1的费用为1y （元），选择方案2的费用为2y （元）．(1)分别写出1y ，2y 与x 之间的函数关系式；(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出它们的函数图象；(3)预计王彬一年内能来此健身中心12次，选择哪种方案比较合算？并说明理由．【答案】(1)130y x =，210200y x =+(2)见解析(3)他选择方案二比较合算，理由见解析【分析】（1）本题主要考查了列函数关系式，根据两种方案分别列出函数关系式即可，理解题意是解题的关键；（2）本题主要考查了画函数图像，分别确定两个函数图像上的两个点，然后连接即可；理解函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键；（2）本题主要考查了不等式的应用，解不等式3010200x x <+，即可确定来此健身中心12次费用较小的方案．正确求解不等式是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意得：130y x =，210200y x =+；所以12y y ，与x 之间的函数表达式分别为130y x =，210200y x =+．（2）解：当0x =时，10y =，2200y =；当4x =时，1120y =，2240y =．据此描点、连线画出函数图像如下：（3）解：王斌择方案二比较合算，理由如下：解不等式3010200x x >+，解得：10x >，所以当10x >时，方案二优惠，因为1210>，王斌择方案二比较合算．2．已知4y +与3x -成正比例，且1x =时，0y =(1)求y 与x 的函数表达式；(2)点(1,2)M m m +在该函数图象上，求点M 的坐标．【答案】(1)22y x =-+(2)点M 的坐标为(1,0)【分析】（1）利用正比例函数的定义，设4y +=(3)k x -，然后把已知的对应值代入求出k 即可；（2）把(1,2)M m m +代入（1）中的解析式得到关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】（1）设y 与x 的表达式为4(3)y k x +=-，把1x =时，0y =代入4(3)y k x +=-得24k -=，解得2k =-，由题意，得52024x x ≥⎧⎨-≥⎩，解这个不等式组，得58x ≤≤，因为x 为整数，所以x 的值为5，6，7，8．所以安排方案有4种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆．【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式和一元一次不等式组的应用，正确理解题意、列出函数关系式和不等式组是解题的关键．5．习主席在二十大报告中提到“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对甲、乙两个水稻品种进行种植对比实验研究．去年甲、乙两个品种各种植了100亩，收获后甲、乙两个品种的售价均为2.8元/千克，且甲的平均亩产量比乙的平均亩产量低100千克，甲、乙两个品种全部售出后总收入为644000元．(1)请求出甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是多少；(2)今年，科技小组加大了水稻种植的科研力度，在甲、乙种植亩数不变的情况下，预计甲、乙两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加20x 千克和10x 千克．由于甲品种深受市场的欢迎，预计售价将在去年的基础上每千克上涨0.05x 元，而乙品种的售价将在去年的基础上每千克下降0.1x 元．若甲、乙两个品种全部售出后总收入为y 元，请写出y 与x 的关系式；若今年甲、乙两个品种全部售出后总收入比去年增加9500元，水x 的值．【答案】(1)甲水稻品种去年平均亩产量是1100千克，乙水稻品种去年平均亩产量是1200千克(2)x 的值为5【分析】（1）设甲水稻品种去年平均亩产量是m 千克，乙水稻品种去年平均亩产量是n 千克，根据：甲的平均亩产量比乙的平均亩产量低100千克，甲、乙两个品种全部售出后总收入为644000元，即可求解；（2）根据总收入等于甲乙两个品种的收入之和即可列出y 与x 的关系式，进而得到关于x 的方程，解方程即得答案．【详解】（1）设甲水稻品种去年平均亩产量是m 千克，乙水稻品种去年平均亩产量是n 千克，根据题意得1002.8100 2.8100644000n m m n -=⎧⎨⨯+⨯=⎩，解得m 11001200n =⎧⎨=⎩．答：甲水稻品种去年平均亩产量是1100千克，乙水稻品种去年平均亩产量是1200千克．（2）根据题意得：()()()()2.80.0510******* 2.80.1100120010y x x x x =+⨯++-⨯+，整理得1900644000y x =+，∴y 与x 的关系式1900644000y x =+．∵今年甲、乙两个品种全部售出后总收入比去年增加9500元，可得6440095001900644000x +=+，解得5x =．答：x 的值为5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列出实际问题中的函数关系式，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．变式拓展c<时，如图2．②当0综上所述，d的取值范围是t≥时：当x t=时，①当0之间的关系如图所示．(1)求出图中a 、b 、c 的值；(2)在乙出发多少秒后，甲、乙两人相距60米？【答案】(1)8a =，92b =，123c =；(2)乙出发68秒或者108秒后，甲、乙两人相距60米．【分析】（1）由函数图象可以分别求出甲的速度为4米/秒，乙的速度为5米/秒，就可以求出乙追上甲的时间a 的值，b 表示甲跑完全程时甲、乙之间的距离，c 表示乙出发后多少时间，甲走完全程就用甲走完全程的时间−2就可以得出结论；（2）分别求出8秒到100秒和100秒到123秒的解析式，再把60y =代入即可解出x 值．【详解】（1）解：由题意及函数图象可以得出：甲的速度为：824÷＝（米/秒），乙的速度为：500÷100＝5（米/秒），8548a ÷-＝（）＝（秒）；500410292b -⨯＝＝（米），50042123c ÷-＝＝（秒），所以8,92,123a b c ===．（2）设8~100秒和100~123秒的解析式分别为11y k x b =+和22y k x b =+，把()()8010092，、，代入11y k x b =+得11110892100k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1118k b =⎧⎨=-⎩，把()()123010092，、，代入22y k x b =+得2222012392100k b k b =+⎧⎨=+⎩解得224492k b =-⎧⎨=⎩，8~100秒解析式：8y x =-，100~123秒的解析式4492y x =-+，当60y =时，则68108x =或者，所以在乙出发68秒或者108秒后，甲、乙两人相距60米∵0＜x ≤1000，∴860≤x ≤1000．故答案为：y 1＝0.5x ；y 2＝0.3x +40；0＜x ≤200；200≤x ≤860；860≤x ≤1000．（2）根据题意可得，推出优惠活动后，y 1＝0.5a +0.25（x ﹣a ）＝0.25x +0.25a ，则有，0.257000.250.3700400.258600.250.386040a a ⎧⨯+≥⨯+⎨⨯+≤⨯+⎩解得300≤a ≤332．∴此时a 的取值范围为：300≤a ≤332．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，明确题意，列出不等式组是解题的关键．考向四一次函数与方程、不等式1．方程ax +b =k （a ≠0）的解⇔函数y =ax +b （a ≠0）中，y =k 时x 的值.2．方程ax +b =k （a ≠0）的解⇔函数y =ax +b （a ≠0）的图象与直线y =k 的交点的横坐标．3.一次函数y =ax +b （a ≠0）与一元一次不等式ax +b >0（或ax +b <0）的关系：ax +b >0的解集⇔y =ax +b 中，y >0时x 的取值范围，即直线y =ax +b 在x 轴上方部分图象对应的x 的取值范围；4.ax +b <0的解集⇔y =ax +b 中，y <0时x 的取值范围，即直线y =ax +b 在x 轴下方部分图象对应的x 的取值范围．5．二元一次方程kx -y +b =0（k ≠0）的解与一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象上的点的坐标是一一对应的．6．两个一次函数图象的交点坐标，就是相应二元一次方程组的解，体现了数形结合的思想方法．典例引领1．直线1l ：1y kx b =+过点()0,4A 和()1,3D ，直线2l ：225y x =-和y 轴交于点B 和直线1l 交于C 点．(1)求两条直线交点C 的坐标及ABC 的面积；(2)x 取何值时，120y y >>．∵()0,4A ，()0,5B -，()3,1C ，∴9AB =，3CN =，∴112793222ABC S AB CN =⋅=⨯⨯= ．（2）∵14y x =-+，225y x =-，∴当120y y >>时，4250x x -+>->，解得：532x <<．2．已知直线443y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点且把AOB 分成两部分．(1)若AOB 被分成的两部分面积相等，求k 与b ；⎩3．如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点C和点D，两条直线交于点(1)求点A的坐标；(2)在直线CD上求点M【答案】(1)点A的坐标为(2)点M的坐标为44⎛∵3ABC MAB S S = ，∴23MBC ABC S S =△△，∵12ABC A S BC y =⋅△，121∵3ABC MAB S S = ，∴43MBC ABC S S =△△，(1)求点C的坐标；(2)求AOB的面积；(3)点D在直线122y x =+求点D的坐标．变式拓展(1)求点A，B，C的坐标．(2)若点P在直线1l上，且(3)根据图象，直接写出当【答案】(1)48, A⎛-(1)直接写出点A的坐标为。
一元三次函数的图象和性质
２００７．１０教与学科学思想方法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Ａ．抛物线Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．线段失误分析：学生凭猜想选Ａ，但稍一细想，就觉不对．因为这不是同一平面内到定点和定直线的距离相等，必须转化到同一平面内来研究．解：过点Ｍ在底面上的射影Ｎ作ＮＱ⊥ＡＣ于Ｑ，连接ＭＱ，则ＭＱ⊥ＡＣ．如图５．在直角三角形ＭＮＱ中，∠ＭＱＮ为二面角Ｐ－ＡＣ－Ｂ的平面角，ＭＮ∶ＭＱ＝ｓｉｎ∠ＭＱＮ．因ＭＰ＝ＭＮ，所以ＭＰ∶ＭＱ＝ｓｉｎ∠ＭＱＮ（常数），即点Ｍ到定点Ｐ和定直线ＡＣ的距离之比等于定值，且定值在０和１之间．故点Ｍ的轨迹是椭圆的一段．空间轨迹问题分两大类，一类是利用基本轨迹，另一类是利用转化思想进行化归．基本轨迹有：（１）到定点的距离等于定长的点的轨迹是球面；（２）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是圆柱面；（３）到一个定平面的距离等于定长的点的轨迹是到这个平面的距离等于该定长的两个平行平面；（４）到两定点的距离相等的点的轨迹是这两点连线段的垂直平分面；（５）到两相交平面距离相等的点的轨迹是两组二面角的平分面；（６）与两定点连线段的夹角等于定值的点的轨迹是两个球冠．所谓转化化归就是利用基本轨迹及交轨的方法（如例１和例２）或利用立体几何知识把空间问题平面化来解决（如例３）．图４图５在高中阶段，一元二次函数一直是函数部分教学的重点和难点，在教学中对这部分内容相当重视，因此，学生对一元二次函数的图象及性质比较熟悉．随着导数的引入，由于一元三次函数的导数是一元二次函数，因此，在综合性考试中，常见一元三次函数和一元二次函数综合考查的题目．学生应掌握一元三次函数的图象和性质．下面，讨论一下一元三次函数的图象和性质．性质１：对函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０），若ａ＞０，则当ｘ→＋∞时，ｆ（ｘ）→＋∞，当ｘ→－∞时，ｆ（ｘ）→－∞；若ａ＜０，则当ｘ→＋∞时，ｆ（ｘ）→－∞，当ｘ→－∞时，ｆ（ｘ）→＋∞．一元三次函数的图象和性质□河北邢台市第八中学袁胜新４５２００７．１０教与学证明：ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝ｘ（ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ）＋ｄ．若ａ＞０，当ｘ→＋∞时，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ→＋∞，ｘ（ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ）→＋∞，∴ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ→＋∞．当ｘ→－∞时，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ→＋∞，ｘ（ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ）→－∞，∴ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ→－∞．同理可证当ａ＜０时的情况．由此可知，在画ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ的图象时，若ａ＞０，左侧应从下逐渐上升，右侧自右至左应从上逐渐下降．若ａ＜０，左侧应从上逐渐下降，右侧自右至左应从下逐渐上升．性质２：对函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０），其导函数为一元二次函数ｆ′（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋ｃ，它的!＝（２ｂ）２－４×（３ａ）ｃ＝４（ｂ２－３ａｃ）．当!＝４（ｂ２－３ａｃ）≤０时，函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０）在Ｒ上为单调函数．若ａ＞０，导函数ｙ＝ｆ′（ｘ）≥０恒成立，函数ｆ（ｘ）为增函数；若ａ＜０，导函数ｙ＝ｆ′（ｘ）≤０恒成立，函数ｆ（ｘ）为减函数．当!＝４（ｂ２－３ａｃ）＞０时，导函数ｆ′（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋ｃ＝０有两个相异实数根ｘ１，ｘ２且ｘ１＜ｘ２，因此，若ａ＞０，导函数ｆ′（ｘ）在（－∞，ｘ１）和（ｘ２，＋∞）上恒正，故函数ｆ（ｘ）在（－∞，ｘ１）和（ｘ２，＋∞）上为增函数；导函数ｆ′（ｘ）在（ｘ１，ｘ２）上恒负，所以函数ｆ（ｘ）在（ｘ１，ｘ２）上为减函数；同样可得，若ａ＜０，函数ｆ（ｘ）在（－∞，ｘ１）和（ｘ２，＋∞）上为减函数，在（ｘ１，ｘ２）上为增函数．性质３：对函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０），其导函数为一元二次函数ｆ′（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋ｃ，它的!＝（２ｂ）２－４×（３ａ）ｃ＝４（ｂ２－３ａｃ）．由性质２可得当!＝４（ｂ２－３ａｃ）≤０时，函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０）不存在极值．当!＝４（ｂ２－３ａｃ）＞０时，函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ１和ｘ＝ｘ２处取极值，若ａ＞０，函数ｆ（ｘ）在ｘ１处取极大值ｆ（ｘ１），在ｘ２处取极小值ｆ（ｘ２）．若ａ＜０，函数ｆ（ｘ）在ｘ１处取极小值ｆ（ｘ１），在ｘ２处取极大值ｆ（ｘ２）．性质４：对函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０），其导函数为一元二次函数ｆ′（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋ｃ，!＝（２ｂ）２－４×（３ａ）ｃ＝４（ｂ２－３ａｃ）．当!＝４（ｂ２－３ａｃ）≤０时，方程ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝０有且只有一个实数根．当!＝４（ｂ２－３ａｃ）＞０时，函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ１和ｘ＝ｘ２处分别取极值ｆ（ｘ１），ｆ（ｘ２），当函数ｆ（ｘ）的极大值小于０或极小值大于０时，方程ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝０有且只有一个实数根；当函数ｆ（ｘ）的极大值等于０或极小值等于０时，方程ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝０有且只有两个实数根；当函数ｆ（ｘ）的极大值大于０且极小值小于０时，方程ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝０有且只有三个实数根．性质５：函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０）关于（－ｂ３ａ，ｆ（－ｂ３ａ））呈中心对称图形．例题（２００５年全国统考卷ＩＩ（文））２２．设ａ为实数，函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｘ２－ｘ＋ａ．（１）求ｆ（ｘ）的极值；科学思想方法４６２００７．１０教与学!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!随着信息社会的迅猛发展，多媒体教学正逐步融入我们的课堂，它以特有的功能，弥补了传统教学方式在直观性、主体性和动态感等方面的不足，使一些抽象难懂的内容，变得易于理解和掌握，能取得传统教学方法无法取得的效果．在教学中，教师应结合数学学科内容和学生年龄小的特点，合理地运用电教媒体，发挥电教媒体教学的功能优势，激发学习兴趣，从而达到优化数学课堂教学，提高效率的目的．下面就如何合理运用电教媒体谈一些体会．一、运用电教媒体，激发学习兴趣兴趣是学生学习的最佳动力，是发展智力的基础．在目标教学的前提测评环节中，我充分利用电教媒体的直观性与可操作性强等特点，结合教材内容，或以鲜艳的图片刺激学生的感官，或以有趣的情境激发学生的兴趣，或以直观演示展现新旧知识的矛盾点，激发学生的探究欲．例如，在讲“平行四边形面积的计算”时，我首先出示一张投影，通过数方格的方法求出投影上所画的平行四边形的面积，然后启发学生思考：如果一块地或一个操场是平行四边形，能用数方格的方法求出面积吗？不用数方格的方法，又怎样计算平行四边形的面积呢？通过设问，学生感到有趣，急于知晓计算平行四边形面积的方法．二、运用电教媒体，培养创新能力从发展的求异思维入手，培养和训练学生敏锐的洞察力和迅捷的判断力，鼓励学生大胆质疑，标新立异，沿着不同的方向去思考，以求获得尽可能多的解决问题的方法，从而培养学生的创新能力．运用电教媒体，可化静为动，化抽象为具体，展现给学生一个丰富多彩的世界．在这种极富创新的空间中，学生也会不知制作运用电教媒体提高数学教学效率□河南临颍县北街学校丁书贞（２）当ａ在什么范围内取值时，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ轴有且只有一个交点．解：（１）三次项系数＝１＞０，!＝（－１）２－３×１×（－１）＝４＞０，故函数ｙ＝ｆ（ｘ）存在极值．ｙ＝ｆ（ｘ）的导函数为ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－２ｘ－１，令ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－２ｘ－１＝０，解得ｘ１＝－１３和ｘ２＝１．所以函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ１＝－１３处取极大值ｆ（－１３）＝ａ－７２７，函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ２＝１处取极小值ｆ（１）＝ａ－１．（２）要使曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ轴有且只有一个交点，即ｆ（ｘ）＝０有且只有一个实根，只需极大值ｆ（－１３）＝ａ－７２７＜０或极小值ｆ（１）＝ａ－１＞０，解得ａ＜７２７或ａ＞１．现代教育技术４７。
专题13 一次函数的图象及其性质(课件)2023年中考数学一轮复习(全国通用)
知识点2：一次函数的图象及其性质
典型例题
【例5】（2022•兰州）若一次函数y＝2x＋1的图象经过点（－3，y1），（4，y2），
则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2
B．y1＞y2
C．y1≤y2
D．y1≥y2
【解答】解：∵一次函数y＝2x＋1中，k＝2＞0， ∴y随着x的增大而增大． ∵点（－3，y1）和（4，y2）是一次函数y＝2x＋1图象上的两个点，－3＜4， ∴y1＜y2． 故选：A．
知识点2：一次函数的图象及其性质
知识点梳理
5. 一次函数图象的平移： 直线y=kx+b（k≠0，b≠0）可由直线y=kx（k≠0）向上或向下平移得到． 当b＞0时，将直线y=kx向上平移b个单位长度，得到直线y=kx+b； 当b＜0时，将直线y=kx向上平移|b|个单位长度，得到直线y=kx+b．
1，
2
∴A（-3，0），B（-1，2），
∴△AOB的面积 1 3 2 3 ． 2
故选：B．
知识点2：一次函数的图象及其性质
典型例题
【例14】（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟17/26）如图，点B1在直线l：y
1 2
x
上，
点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形
知识点2：一次函数的图象及其性质
典型例题
【例9】（2022•永州）已知一次函数y＝x＋1的图象经过点（m，2），则m＝
．
【分析】由一次函数y＝x＋1的图象经过点（m，2），利用一次函数图象上点 的坐标特征可得出2＝m＋1，解之即可求出m的值． 【解答】解：∵一次函数y＝x＋1的图象经过点（m，2）， ∴2＝m＋1， ∴m＝1． 故答案为：1．
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一元三次函数性质与图象探索
高中部宋润生
我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间
取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．
接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下：
图1 图2
利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对
称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．
三次函数的图象有六类．如图：
图3 图4
图5 图6
图7 图8
分析：由图3函数有哪些特点呢？归纳：解析式是，整个定义域上函数单调递增，在图4中解析式是，整个定义域上函数单调递增减．整个定义域上不存在极值，函数必经过原点．单调性又与什么知识相关呢？导数，现在求出函数的导数是，验证与0的关系，当时，即
的图象在是单调递增；当时，即
的图象在是单调递减相一致．当
，根据图象知道，在处不是函数f(x)的极值点．所以
的根是函数取得极值的必要不充分条件．现在思考并验证函数
与函数图象有什么关系？经过验证得出：函数与相同，当
时函数图象是图象向上平移|d|个单位；当时函数图象是图象向下平移|d|个单位；函数的导数都是．
在图5中解析式是，整个定义域上函数单调递增．在图6中解析式是，整个定义域上函数单调递增减．整个定义域上不存在极值．函数的导数，经过验证在图5中因为即，所以的图象在是单调递增；在图6中因为即，所以
的图象在是单调递减；函数都不存在极大值或极小值．为什么在图5中a>0、,在图6中a<0、呢？a>0、
或a<0、是又有什么结果呢？因为导数是二次函数，当a>0、或a<0、时判别式，导数函数不小于0，方程有一个根．当a>0、或a<0、时，方程有两个根．那么函数图象有什么特点呢？猜想如果，那么有两根，函数f(x)应有增也有减，我们来验证一下图7、图8：
在图7中解析式是，在或上函数单调递增，在上函数单调递减；在处取得极大值，在处取得极小值；在图8中解析式是
，在或上函数单调递减，在上函数单调递增；在处取得极小值，在处取得极
大值，它们在上最大值和最小值．为什么呢？函数的导数是，设的两根是并且令．经过验证在图7中，因为，当或时，所以的图象在
或是单调递增；在上，所以
的图象在是单调递减．在图8中，因为，当或时，所以
的图象在或是单调递减；在上，所以的图象在是单调递增．
经过上述探索知道，函数在整个定义域上是单调递增（递减），左右都增中间递减，还是左右都减中间递增，是由a确定，b、c确定函数有没有极值、d确定函数与y轴的交点．并且函数单调递增（递减）有没有极值与的导函数的
判别式相关，具体归纳如下性质：
设的导数是则，函数的判别式为：由导数的图象可知：
时导数的图象时导数图象
图9 图10 函数f(x)图象
图11图12
三次函数f (x)在R上是单调函数，（无极值）
时的两根为且导数图象
图13
函数f (x)图象函数f (x)图象
图14图15
1、时在或单调递增；在
单调递减(如图14)在处取得极大值，在处取得极小值．
2、时在或单调递减；在
单调递增，(如图15)在处取得极小值，在处取得极大值．
注意：三次函数f(x)有极值导函数的判别式>0
三次函数图象的对称性：
三次函数的图象是中心对称图形，其对称中心是（-b/3a，f(-b/3a)）．（三次函数的图象经过平移后能得到奇函数图象，可以用待定系数法求得）
三次函数的图象的对称中心在其导函数
的图象对称轴上．
若三次函数有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中点．
根据以上性质可以灵活解决三次函数问题：
例1、设，讨论关于x的方程的相异实根的个数？
解：分析：要讨论方程根的个数，直接求解非常困难，根据题意，需把方程转化为函数问题，即方程变成，设，这转化为讨论函数与交点的个数．
函数的导数的两根为(如图16)
函数的极大值是，函数的极小值是，（1）当或时，函数与只有一个交点，即方程只有一个根．
（2）当或时，函数与只有两个交点，即方程只有两个根．
（3）当时，函数与有三个交点，方程有三个根．
图16
例2、已知函数是R上的奇函数，当时f(x)取得极值．
（1）求f(x)的单调区间和极大值；
（2）证明对任意，，不等式恒成立．解：（1）函数f(x)是奇函数，所以，函数f(x)的导数依题意得,,解得
所以导数，(如图17)
时，函数f(x)单调递增；
时，函数f(x)单调递减；所以．（2）如图17 对任意，，函数f(x)单调递减，所以
图17
一般地在导数有两根
且时，在处；在处，对任意都有
我们利用研究函数的性质的方法和导数知识能够轻松研究三次（高次）函数的性质，使学生既学到了新知识，又巩固了旧知识，充分利用好导数知识，能更有效解决三次函数的极值、对称性、证明不等式等问题找到较好的解决办法．
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