上海市西南位育中学2019学年上学期高二数学期中考试试卷(简答)
高二数学期中试卷(含答案)2019.10.10
2019学年第一学期期中考试高二数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）1.若直线经过(0,0),(1,3)O A 两点，则直线OA 的倾斜角为A．π6B．π3C.33D．32.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1B D 所成的角为A．π6 B.π4 C.π3 D.π23.已知a R ∈，那么“1a >”是“21a >”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.已知某几何体的三视图，如右图所示，则该几何体的体积为A．33B．233C.433D．5335.圆224x y +=被直线3450x y ++=截得的弦长为A．1B．2C．3D．236.已知,αβ是两个不同平面，,m n 是两条不同直线，则下列错误．．的是A．若m ∥,n ααβ= ，则m ∥n B．若⊥m ,,m αβ⊥则α∥βC．若,m α⊥,m β⊂则⊥αβD．若m ∥,n m α⊥,则α⊥n 7．设球O 与圆锥1SO 的体积分别为1V ，2V ．若球O 的表面积与圆锥1SO 的侧面积相等，且圆锥1SO 的轴截面为正三角形，则12VV 的值是A．33B．233C.63D．263（第4题图）8.若圆()()22:2C x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，则22a b +的取值范围是A．[]2,4B．[]0,4 C.[)4,+∞D．[)2,+∞9．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，则四棱锥1111B A B C D -与四棱锥1111A A B C D -重叠部分的体积是A．18B．16C．524D．72410.已知点11(,)P x y 是单位圆221x y +=上的动点，点22(,)Q x y 是直线260x y +-=上的动点，定义1212PQ L x x y y =-+-,则PQ L 的最小值为A．32-B．6- C.5二、填空题（本大题共7小题，11—14每题6分，15—17题每题4分，共36分)11.倾斜角为120︒,在y 轴上的截距为1的直线l 的方程为，直线10ax y ++=与直线l 垂直，则a =.12.已知圆C 的方程为22220x y x my +--=，若圆C 过点(0,2)则m =，若圆心C 在直线20x y -=上，则m =.13.若,,a b c 是不同直线,α是平面.若//a b ，b c A = ，则直线a 与直线c 的位置关系是；若,a b ⊥,b α⊥则直线a 与平面α的位置关系是.14.ABC ∆为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置（斜二测画法）的直观图的面积为，其直观图的周长为.15.已知直线10ax y a ++-=与圆22:280C x y x y b +--+=，(,)a b R ∈，交于A ，B 两点，若ABC ∆面积的最大值为4,求此时a b ⋅=.16．在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是正三角形且,SA SB SC ==M 是SC 的中点，且AM SB ⊥,底面边长22AB =,则三棱锥S ABC -外接球的表面积为.17.如图，直线l ⊥平面α,垂足为O ，正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)ABCD 的棱长为2，B 是直线l 上的动点，C 是平面α上的动点，求O 到点D 的距离的最大值.三、解答题(本大题共5小题，共74.)18.(本题满分14分)设命题p ：实数x 满足()(2)0x a x a --<，其中 ；命题q ：实数 满足(216)(22)0x x --≤．（Ⅰ）若 ，p ,q 都是真命题，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若 是 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本题满分15分)如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0),M AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在直线上.求：（Ⅰ）AD 边所在直线的方程；（Ⅱ）DC 边所在直线的方程．αlODCBA（第17题图）（第19题图）20．(本题满分15分)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PCD 平面 ，4AB =,2AC =，BC AC ⊥,平面PAC ⊥平面ABCD ，PAC ∆是正三角形．（Ⅰ）求证：CD PAB 平面 ；（Ⅱ）求二面角P AB C --的平面角的正切值.21.(本题满分15分)如图，已知多面体P ABCD -中，AD BC ∥，AD ⊥平面PAB ，24AD BC ==，1AB =，2PA =，60PAB ∠=︒.（Ⅰ）证明：PB 平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值.BDPCA（第20题图）（第21题图）22.(本题满分15分)如图：点P 是直线2x =-上一个动点，过P 做圆22:(1)1C x y +-=的两条切线PA ,PB 交直线2x =于A ,B 两点.O 是坐标原点，直线AO ,BO 的斜率为AO K ,BO K .（Ⅰ）当(2,1)P =-时，求AO BO K K ⋅的值；（Ⅱ）当P 运动时，求AO BO K K ⋅的最小值，并求此时点P 的坐标.2019学年第一学期高二数学期中考试参考答案一．选择题：BDABD ACBCA二．填空题11.10y +-=，33a =-；12.1，2；13.相交或异面，平行或在平面内；14.64，；15.154-；16.12π；17.18.设命题实数满足，其中，命题实数满．（Ⅰ）若，若都是真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．解析：（Ⅰ）当时，由，得．…………2’由，所以．………………4’因此的取值范围是．…………………………7’（Ⅱ）可得，,若是的充分不必要条件所以P Q ⊂……9’当=P φ即0a ≤时，因为0a >不成立当P φ≠即0a >时，124a a ≥⎧⎨≤⎩1[1,2]2a a a ≥⎧⇒⇒∈⎨≤⎩故的取值范围是[1,2]……………14’19.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M AB ，，边所在直线的方程为360x y －－＝，点(11)T －，在AD 边所在直线上．求：（Ⅰ）AD 边所在直线的方程；（Ⅱ）DC 边所在直线的方程．解：（Ⅰ）由题意：ABCD 为矩形，则AB AD ⊥，又AB 边所在的直线方程为：360x y －－＝，所以AD 所在直线的斜率3AD k ＝－，………………3’而点(11)T －，在直线AD 上．所以AD 边所在直线的方程为：320x y ＋＋＝.………7’（Ⅱ）由ABCD 为矩形可得，//AB DC ，所以设直线CD 的方程为30x y m －＋＝.…………9’由矩形性质可知点M 到AB CD 、的距离相等所以222621(3)1(3)m -+=+-+-，26m m ＝或＝－(舍)．所以DC 边所在的直线方程为320x y －＋＝.……15’20．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PCD 平面 ，4AB =,2AC =，BC AC ⊥,平面PAC ⊥平面ABCD ，PAC ∆是正三角形．（Ⅰ）求证：CD PAB 平面 ；（Ⅱ）求二面角P AB C --的平面角的正切值.解析：（Ⅰ）因为AB PCD平面 平面PCD ⋂平面ABCD 于CD ，故AB CD ，……………3’CD PAB ⊄平面，AB PAB ⊂平面故CD PAB平面 …………7’（Ⅱ）过P 作PH 垂直AC 于H ，过H 作HE 垂直AB 于E ,连结EP则PEH ∠即为所求二面角的平面角.…………10’3PH =,32HE =…………………14’故tan 2PEH ∠=……………15’21.如图，已知多面体PABCD 中，AD BC ∥，AD ⊥平面PAB ，24AD BC ==，1AB =，2PA =，60PAB ∠=︒.（Ⅰ）证明：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值.解：（Ⅰ）在PBA ∆中，2PA =，1AB =，60PAB ∠=︒，所以22221221cos603PB =+-⨯⨯⨯︒=，3PB =，所以222PB AB PA +=，PB AB ⊥，……………4’EBD PCAH （第20题）因为AD BC ，所以A ，B ，C ，D 四点共面.又AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥.又PB AB ⊥，AD AB A ⋂=，所以PB ⊥平面ABCD .…………7’（Ⅱ）在Rt PBC ∆中，PC =Rt PAD ∆中，PD =在直角梯形ABCD 中，CD =.在PDC ∆中，2229cos10PDC +-∠==，sin 10PDC ∠==………9’所以12102PDC S ∆=⨯=，14122ACD S ∆=⨯⨯=.…………11’设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ，设点A 到平面PCD 的距离为h ，因为A PDC P ACD V V --=，所以1133PDC ACD S h S PB ∆∆⨯⨯=⨯⨯，即11912323h ⨯⨯=⨯所以h =sin 19h PA θ===，故直线PA 与平面PCD 所成的角的正弦值为25719.……15’22.如图：点P 是直线2x =-上一个动点，过P 做圆22:(1)1C x y +-=的两条切线,PA PB 交直线2x =于,A B 两点，O 是坐标原点，直线,AO BO 的斜率为AO BO K K ，.（Ⅰ）当=-P （2,1）时，求AO BO K K ⋅的值；（2）当P 在直线上运动时，求AO BO K K ⋅的最小值，并求此时P 点的坐标.解（1）设切线,1(2)PA PB y k x -=+：，点C 到,1(2)PA PB y k x -=+：的距离为1，223131k k k=⇒=±+……………5’3,1(2)34343+33PA PB y x A -=±+=：，（2，1），B=（2，1-）13=12AO BO K K ⋅-…………………8’（Ⅱ）设0=-P y （2,）设切线0,(2)PA PB y y k x -=+：，02200022+113(44)201k y k y k y y k-=⇒+-+-=+，0122001244323y k k y y k k -⎧+=-⎪⎪⇒⎨-⎪⋅=⎪⎩………………………10’00102,(2)2+4+4PA PB y y k x x A y k y k -=+==：，令（2，），B=（2，）2102001201244=4()44AO BO k y k y y K K k k y k k +⋅+⋅=+++（）（）……12’=200416439y y -≥-，故当P 在直线上运动时，则AO BO K K ⋅的最小值为169-，P 点的坐标83（-2,.。
2019学年高二数学上学期期中试题 文人教 新版
2019学年高二数学上学期期中试题 文考试时间共120分钟，满分150分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线1:310l x y +-=与直线2:0l mx y -=平行，则实数m 的取值是A ．13 B ．13- C ．3 D ．3-2．双曲线22149x y -=的渐近线方程是 A ．3y 2x =± B ．2y 3x =± C ．9y 4x =± D ．4y 9x =± 3．下列选项中，说法错误的．．．是 A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为: “若1x ≠，则232x x -+≠0”B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C ．命题p :2,0x R x x ∃∈-≤, 则⌝p :2,0∀∉->x R x x D ．若∨p q 为假命题，则,p q 均为假命题4．圆()224+9x y -=和圆()22325x y +-=的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离5．已知双曲线的离心率为3，焦点是)0,4(-、)0,4(，则双曲线的标准方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 6．到两定点)3,0(1-F 和)3,0(2F 的距离之和为6的点M 的轨迹是A ．椭圆B ．圆C ．线段D ．双曲线7．己知命题“R x ∈∃，使02)1(22≤+-+x a x ”是假命题,则实数a 的取值范围是A ．(,3)(5,+)-∞-∞ B ．()3,1- C ．(3,5)-D ．(][),35,+-∞-∞ 8．已知双曲线方程为2214y x -=，过(1,0)P 的直线l 与双曲线只有一个公共点， 则l 的条数共有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条9．若直线(2)3=-+y k x 与曲线=y k 的取值范围是 A ．5(0,)12 B ．13[,]34 C ．5(,)12+∞ D ．53(,]12410．椭圆221169x y +=上一点P 到直线110x y ++=的距离最大值为A ．． C ． D 11．设P 是椭圆2212516x y +=上一动点，F 是椭圆的左焦点，椭圆外一点()64，M ， 则PF PM +的最大值为A ．15B ．16C D12．如图，已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，椭圆2C 以双曲线的焦点为顶点，以 双曲线的顶点为焦点，双曲线1C 的一条渐近线与以椭圆2C 的长轴为直径的圆交于 A ,B 两点，与椭圆2C 交于C ,D 两点，且34CD AB =，则双曲线1C 的离心率为 A ． 5 B ．17214C D．7y x ,第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)
由
由于B在直线 上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图， 的 边长为 ， 分别是 中点，记 ， ，则（）
A. B.
C. D. ，但 的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 分别是 中点，所以根据平面向量的线性运算 可得 ,所以 由 可得 ,故选C.
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
【答案】（1） ；（2） ， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设 分别是直线l和圆C上的动点，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1） 所在的直线方程为 ，圆C的方程为 （2）
【解析】
【详解】（1）直线 设 .
的倾斜角为 ， 反射光线 所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与 垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为 ，请利用行列式求解此方程组.
上海市位育中学2018-2019学年上学期高二数学10月份考试卷附答案解析
上海市位育中学2018-2019学年上学期高二10月份考数学试卷一、单选题1．已知(,),(5,0)a m n b ==-r r 且向量a r 在向量b r 方向上的投影是2-，则（ ）A ．2,2m n ==-B ．2,2m n =-=C ．2m =，n 取任意实数D ．2m =-，n 取任意实数2．设a r 、b r 是非零向量，命题甲：//a b r r 且||||a b =r r ，命题乙：a b =r r ，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3．设a r 、b r 、c r 是三个任意的非零平面向量，且互不平行，有下列四个结论：（1）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r （2）[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=r r r r r r r（3）||||||a b a b -<-r r r r （4）22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-r r r r r r其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设的边AB 上一定点0P 满足014P B AB =u u u r u u u r ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A ．2ABC π∠= B ．2BAC π∠= C ．AB AC = D ．AC BC =二、填空题5．AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r ______.6．方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的増广矩阵是_____________. 7．已知点(1,3),(4,15)A B -，则与AB u u u r 同向的单位向量为________________.8．三阶行列式123456789的元素4的代数余子式是___________.9．函数sin 4cos )31(x xf x =的最大值为_____________.10．若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则BE u u u r 可以用a r 和b r 表示为____________. 11．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭________.12．设(2,7),(,3)p q x ==-r r ，若p u r 与q r 的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________.13．在ABC ∆中，若AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC ∆的形状为__________.14．若向量(1,2)n a =r 是直线:(21)10l a x ay +-+=的一个法向量，则a =___________.15．在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅u u u u r u u u r u u u r ，向量AM u u u u r 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ．16．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=u u u r u u u r，则ABC ∆面积的最大值为_______.三、解答题 17．已知O 为原点，(3,1)OA =u u u r ，(1,2)OB =-u u u r ，OC u u u r 与OB uuu r 垂直，BC uuu r 与OA u u u r 平行，求OC u u u r 的坐标.18．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==r r r r r r ，求b r 与c r 的夹角.19．用行列式的方法解关于x ，y 的方程组(2)36m x y m x my m -+=-⎧⎨+=--⎩，并对解的情况进行讨论.20．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49，求直线l 的方程； （2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式．21．如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点,P Q ，设,AP xAB AQ y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，记()y f x =（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围解析上海市位育中学2018-2019学年上学期高二10月份考数学试卷一、单选题1．已知(,),(5,0)a m n b ==-r r 且向量a r 在向量b r 方向上的投影是2-，则（ ）A ．2,2m n ==-B ．2,2m n =-=C ．2m =，n 取任意实数D ．2m =-，n 取任意实数【答案】C 【解析】由向量a r 在向量b r 方向上的投影定义得到方程2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=r r u u r r r r ，将向量的坐标代入，即可得到关于,m n 的关系.【详解】由向量a r 在向量b r 方向上的投影定义得：2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=r r u u r r r r ， 所以5225m m --=⇒=， 所以2m =，n 取任意实数.故选：C.本题考查向量数量积中投影的定义，考查对投影概念的理解和坐标运算，属于容易题.2．设a r 、b r 是非零向量，命题甲：//a b r r 且||||a b =r r ，命题乙：a b =r r ，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】由于命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，反过来命题乙成立可以推出命题甲成立，故可得到答案.【详解】因为命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，所以充分性不成立；反过来，当两个向量是相等向量时，则这两个向量互相平行且大小相等，所以命题乙可推出命题甲成立，所以必要性成立.故选：B.【点睛】本题以相等向量、平行向量、模的概念为背景，考查简易逻辑知识，考查对概念的理解与应用，属于容易题. 3．设a r 、b r 、c r 是三个任意的非零平面向量，且互不平行，有下列四个结论：（1）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r （2）[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=r r r r r r r（3）||||||a b a b -<-r r r r （4）22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-r r r r r r其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对（1），向量的数量积不满足结合律；对（2），利用向量的数量积与数乘运算，再根据数量积的交换律可判断；对（3），根据向量差的模与模的差的关系，根据其几何意义判断；对（4），利用数量积运算的分配律.【详解】 对（1），向量的数量积不满足结合律，所以()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 错误，故（1）错误；对（2），原式()()()()()()()()0b c a c c a b c b c a c b c a c =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=r r r r r r r r r r r r r r r r ，故（2）正确；对（3），由向量的减法法则知，两向量差的模一定大于两向量模的差，故（3）正确；对（4），由数量积运算的分配律得：2222(32)(32)949||4||a b a b a b a b +⋅-=-=-r r r r rr r r ，故（4）正确.【点睛】本题考查向量数量积的运算律和向量加法、减法法则的运用，考查对概念的深刻理解与运用，属于中档题.4．设的边AB 上一定点0P 满足014P B AB =u u u r u u u r ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A ．2ABC π∠=B ．2BAC π∠= C ．AB AC =D ．AC BC =【答案】D 【解析】设||4AB =u u u r ，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r 恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，由此能求出ABC ∆是等腰三角形，AC BC =．【详解】设||4AB =u u u r ，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ， 在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，2||||||(1)||PB PC PH PB PB a PB ⋅=⋅=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，00P B PC a ⋅=-u u u r u u u r ， 于是00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立，整理得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r 恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，于是1a =，因此2HB =，即H 是AB 的中点，故ABC ∆是等腰三角形，所以AC BC =．故选：D.【点睛】本题考查平面向量的运算、向量的模及向量的数量积的概念、向量运算的几何意义的应用，考查利用向量解决简单的几何问题的能力.二、填空题5．AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r ______.【答案】0r【解析】根据向量加法的法则即可化简求值.【详解】 因为AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ，所以+0AB BC CA AC CA ++==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r .故答案为：0r【点睛】本题主要考查了向量的加法运算，属于容易题.6．方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的増广矩阵是_____________. 【答案】116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭【解析】先将方程组转化成632x y x y +=⎧⎨-=-⎩，写出方程组的系数矩阵，再加入常数列，从而得到増广矩阵. 【详解】因为方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩等价于632x y x y +=⎧⎨-=-⎩， 所以系数矩阵为1131⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 所以増广矩阵是116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 故答案为：116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 【点睛】本题考查増广矩阵的概念，考查对概念的理解与应用，属于容易题.7．已知点(1,3),(4,15)A B -，则与AB u u u r 同向的单位向量为________________. 【答案】512,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】可求出(5,12)AB =u u u r ，从而得出与AB u u u r 方向相同的单位向量为(,)|5121313|AB AB =u u u r u u u r ． 【详解】因为(5,12)AB =u u u r ；所以与AB u u u r 方向相同的单位向量坐标为：(,)|5121313|AB AB =u u u r u u u r ． 故答案为：512,1313⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查向量的坐标表示及单位向量的坐标运算，考查基本运算求解能力，注意所求单位向量的方向与AB u u u r 方向相同． 8．三阶行列式123456789的元素4的代数余子式是___________. 【答案】2389- 【解析】利用代数余子式定义直接求解．【详解】 在三阶行列式123456789中，元素4的代数余子式的为：32323(1)8989-=-．∴元素4的代数余子式的为2389-． 故答案为：2389-． 【点睛】 本题考查行列式的代数余子式的求法，而不是求代数余子式的值，解题时要认真审题，考查概念的理解与应用．9．函数sin 4cos )31(x xf x =的最大值为_____________.【答案】5【解析】先根据二阶行列式的计算得到()3sin 4cos f x x x =-，再由三角恒等变换中的辅助角公式，将()f x 化成正弦型三角函数，从而求得最大值.【详解】 因为sin 4cos ()3sin 4cos 5sin()31x xf x x x x θ==-=-，其中4tan 3θ=， 当sin()1x θ-=时，max ()5f x =.故答案为：5.【点睛】本题考查二阶行列式的计算、三角恒等变换公式的应用、三角函数的最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意辅助角公式的运用.10．若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则BE u u u r 可以用a r 和b r表示为____________. 【答案】12BE b a =-u u u r r r 【解析】利用平面向量基本定理，取a r 和b r 为基底，将BE u u u r用基向量表示出即可．【详解】 如图，1122BE AE AB AD DE AB AD AB AB b a =-=+-=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ． 故答案为：12BE b a =-u u u r r r .【点睛】考查向量的加法、减法、数乘运算的综合运用，属于容易题．11．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭________. 【答案】881820⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推，即可得到答案.【详解】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推：所以12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭881820⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：881820⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查矩阵相乘的定义，考查基本运算求解能力，属于容易题. 12．设(2,7),(,3)p q x ==-r r ，若p u r 与q r 的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________. 【答案】6621,,772⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∪ 【解析】利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，除去当两向量平行时x 的取值，进而得到x 的取值范围.【详解】Q p r 与q r 的夹角为钝角，∴0p q ⋅<r r ，即2210x -<，解得212x <. 当p r 与q r 方向相反时，设p q λ=r r 且0λ<，(2,7)∴(,3)x λλ=-，∴273x λλ=⎧⎨=-⎩，67x ∴=-. x \的范围为212x <且67x ≠-； 故答案为：212x <且67x ≠-. 【点睛】本题考查向量夹角与向量数量积的关系，考查转化与化归思想的应用，求解时注意数量积小于0无法保证向量的夹角为钝角，还要把共线向量的情况除掉．13．在ABC ∆中，若AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆的形状为__________.【答案】等腰三角形 【解析】由向量数量积的定义，将等式转化成||cos ||cos AC A BC B =u u u r u u u r ，再由三角形的中线与高合一，判断三角形的形状.【详解】作CD AB ⊥交AB 于D ，因为AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r所以||||cos ||||cos ||cos ||cos AB AC A BA BC B AC A BC B =⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AD BD =，则D 为AB 的中点，由三角形底边AB 中线与高合一，所以ABC ∆为等腰三角形.故答案为：等腰三角形.【点睛】本题考查三角形形状的判定，求解过程中要注意利用向量既有几何又有代数的双重身份进行求解，求解的关键在于和平面几何知识的结合运用.14．若向量(1,2)n a =r 是直线:(21)10l a x ay +-+=的一个法向量，则a =___________. 【答案】34-或0 【解析】由直线:(21)10l a x ay +-+=的方程可得直线的一个方向向量为(,21)v a a =+r ，利用0n v ⋅=r r 可求得a 的值.【详解】取(,21)v a a =+r 为直线l 的一个方向向量，所以0n v ⋅=r r 4(21)320a a a a ⇒+⇒+⋅==-或0a =. 故答案为：34-或0. 【点睛】本题考查直线的方向向量与法向量的关系，考查基本运算求解能力，属于容易题. 15．在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅u u u u r u u u r u u u r ，向量AM u u u u r 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ． 【答案】304m <<【解析】【详解】试题分析：设1,4AD AB =过点D 作DE 平行AC 于E 点，则3,4DE AC =由向量加法的几何意义知，点M 必在线段DE 上（不含端点）.又0m =时，M D =；34m =时，M E =，所以304m <<. 【考点】向量加法的几何意义16．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=u u u r u u u r，则ABC ∆面积的最大值为_______.【答案】 【解析】先利用向量的数量积公式，求出60BOC ∠=︒，利用余弦定理求出BC ，由等面积可得O 到BC 的距离，即可求出ABC ∆面积的最大值． 【详解】3OB =Q ，2OC =，3OB OC ⋅=u u u r u u u r，60BOC ∴∠=︒，BC ∴==设O 到BC 的距离为h ，则由等面积可得113222h =⋅⋅7h ∴=，ABC ∆∴面积的最大值为1(4)272+=．故答案为：． 【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查分析解决问题的能力，求出BC ，O 到BC的距离是关键．三、解答题17．已知O 为原点，(3,1)OA =u u u r ，(1,2)OB =-u u u r ，OC u u u r 与OB uuu r 垂直，BC uuu r 与OA u u ur 平行，求OC u u u r 的坐标.【答案】(14,7).【解析】设C 为(),x y ,则(),OC x y =u u u r ,故BC OC OB =-u u u r u u u r u u u r ,由题可得0OC OB ⋅=u u u r u u u r ,BC uuu r 与OA u u ur 平行,进而求出点C 坐标即可【详解】由题, 设C 为(),x y ,则(),OC x y =u u u r ,所以()1,2BC OC OB x y =-=+-u u u v u u u v u u u v因为OC u u u r 与OB uuu r垂直,则0OC OB ⋅=u u u r u u u r ,即20x y -+=①,又因为BC uuu r 与OA u u u r平行,则1231x y +-=②, 由①②可得,14x =,7y =,所以OC u u u r的坐标为()14,7【点睛】本题考查向量的垂直与平行关系,考查坐标法处理向量的位置关系,考查运算能力18．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==r r r r r r，求b r 与c r 的夹角.【答案】π-【解析】利用向量的夹角公式cos ,||||b cb c b c ⋅<>=r rr r r r ，根据条件分别把,||,||b c b c ⋅r r r r 三个值算出，再代入公式求得余弦值，即可得到答案. 【详解】因为(32)(2,4)(2,2)12a b c -⋅=-⋅-=rrr， 所以32123a c b c b c ⋅-⋅=⇒⋅=-r r r rr r，因为(2,2)c =-r，所以||c =r所以cos ,16||||b c b c b c ⋅<>===-r rr r r r ，因为,[0,]b c π<>∈r r，所以,arccos 16b c π<>=-r r . 【点睛】本题考查向量夹角、向量数量积、向量的模及已知三角函数值求角等知识的交会，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求夹角时要注意反三角函数知识的运用.19．用行列式的方法解关于x ，y 的方程组(2)36m x y mx my m -+=-⎧⎨+=--⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】当3m =时，方程有无数解；当1m =-时，方程组无解；当3m ≠且1m ≠时，方程组有唯一解2141m x m m y m --⎧=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩【解析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数构成列向量．计算系数矩阵对应的行列式223D m m =--，再对D 进行分类讨论，求得方程组解的情况. 【详解】系数矩阵对应的行列式221233m D m m m-==--，当2230D m m =--≠，即1m ≠-且3m ≠时，方程组有唯一的解，1621m m m m x D m -----==+，62341m m m y m D m ----==--+． 2230D m m =--=，即3m =或1m =-时．当3m =时，原方程为3339x y x y +=-⎧⎨+=-⎩无数个解，当1m =-时，原方程组为3133x y x y -+=⎧⎨-=-⎩无解．【点睛】本题二元一次方程组解的行列式求法，考查基本的运算求解能力． 20．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49，求直线l 的方程； （2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式． 【答案】（1）370x y -+=；（2）1133y x =+或133y x =+.【解析】（1）作出图形，可得出CDE ABC ∆∆:，根据面积比为49得出23CD AC =，从而得出2CD DA =u u u r u u u r ，设点(),D m n ，利用向量的坐标运算求出点D 的坐标，并求出直线AB 的斜率，即为直线l 的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线l 的方程；（2）求出直线AB 的方程和AB ，设点C 到直线AB 的距离为d ，利用ABC ∆的面积为2求出d 的值，结合点到直线的距离公式可求出y 关于x 的函数关系式.【详解】（1）//l AB Q ，即//DE AB ，CDE ABC ∴∆∆:，且249CDE ABC CD S S AC ∆∆⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭， 2CD DA ∴=u u u r u u u r，设点D 的坐标为(),m n ，()4,5CD m n =--u u u r ，()1,2DA m n =--u u u r ， ()()421522m m n n ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩，()2,3D ∴. 直线AB 的斜率为211123AB k -==+，//l AB Q ，则直线l 的斜率为13. 因此，直线l 的方程为()1323y x -=-，即370x y -+=；（2）直线AB 的方程为()1213y x -=-，即350x y -+=，AB ==设点C 到直线AB 的距离为d ，则ABC ∆的面积为11222ABC S AB d d ∆=⋅==， 得d =d ==， 354x y ∴-+=±，解得1133y x =+或133y x =+.因此，y 关于x 的函数关系式为1133y x =+或133y x =+.【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.21．如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点,P Q ，设,AP xAB AQ y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，记()y f x =（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围【答案】（1）41x y x =-，1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）11,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，,AP xAB AQ y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy 的方程，进而可得函数()y f x =的表达式；（2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤，利用导数法，求出函数的值域，可得答案． 【详解】 （1）如图所示：D Q 为BC 的中点，M 为AD 的中点，∴111111()222244AM AD AB AC AB AC ==+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，又PQM Q 三点共线，故(1)(1)AM AP AQ AB y AC λλλ=+-=+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故141(1)4x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，故11144x y+=， 即()41x y f x x ==-，1(1)3x ≤≤.（2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤故2'1242(41)x xS x -=-，当1132x ≤<时，'10S <，函数为减函数， 当112x <≤时，'10S >，函数为增函数， 故当12x =时，1S 取最小值14，当13x =，或1x =时，1S 取最大值13， 故1211[,]43S S ∈， 因为12APQ ABCS S k S S ∆∆==，所以11[,]43k ∈【点睛】本题考查函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．。
高二上学期期中考试数学试卷Word版含答案
2019学年度第一学期期中质量调研高二数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定为（ ）A ．2R,0x x ∀∉≥ B ．2R,0x x ∀∈< C ．2R,0x x ∃∈≥ D ．2R,0x x ∃∈< 2．已知函数()()40f x x x x=+<，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 有最小值4 B ．()f x 有最大值4 C ．()f x 有最小值-4 D ．()f x 有最大值-43．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足11133n n a a +=+，则此数列的第三项是（ ）A ．1B ．13 C ． 23 D ．594．已知,a b 为实数，M <，:N a b <，则M 是N 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．关于x 的不等式1026xx -≥+的解集是（ ）A ．{}|1x x ≤B ．{}|3x x >-C ．{}|31x x -<≤D ．{}|31x x x <-≥或 6．已知,a b 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论一定成立的是（ ）A ．22a b ≥B ．22ab ba ≥C ．2211ab ba ≥ D ．b aa b≥ 7．已知数列{}n a ，其任意连续的四项之和为20，且1238,7,2a a a ===，则2020a ＝（ ）A ．2B ．3C ．7D ．8 8．“[]21,2,10x ax ∃∈+≤”为真命题的充分必要条件是（ ）A ．1a ≤-B ． 14a ≤-C ．2a ≤-D ．0a ≤9．已知实数12,,,x x m n 满足12,x x m n <<，且()()()()11220,0m x n x m x n x --<--<，则下列结论正确的是（ ）A ．12m x x n <<<B ．12m x n x <<<C ．12x m x n <<<D ．12x m n x <<<10．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别记为n A 、n B ，满足4123n n A n B n +=+，则57a b 的值为（ ） A ．2117 B ．3729 C ．5329 D ．413111．设正实数,x y 满足21x y +=，则2xx y+的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．812．已知数列{}n a 的通项2020220212nn na -=-，且存在正整数,T S 使得T n S a a a ≤≤对任意的*N n ∈恒成立，则T S +的值为（ ）A ．15B ．17C ．19D ．21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若4681016a a a a =，则21115a a 的值为 ．14．函数()()22111f x x x x =+>-的最小值为 ． 15．已知数列{}n a 满足112a =，()()111n n n n n n a a a a +++-=，则该数列{}n a 的通项公式n a = ．16．已知关于x 的不等式()22434x ax -≤的解集中的整数解恰好有三个，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知数列{}n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列，前n 项和为n S ，2a 、4a 、5a 成等比数列，且515S =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和．18．(本小题满分10分)已知2:2350p x x --≤，()()2:32110q x mx m m -+-+≤．(其中实数2m >)(1)分别求出,p q 中关于x 的不等式的解集M 和N ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数2()|3|9f x x a x =-+-+． (1)2a =时，解关于x 的不等式()0f x ≥；(2)若不等式()0f x ≤对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，14a =，()()()2112322n n n n a n a n n ++⋅-+⋅=++⋅．(1)设1nn a b n =+，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．21．(本小题满分12分)已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为,AD y CD x ==（单位：cm ），且要求3y x >，部件的面积是392cm ． (1)求y 关于x 的函数表达式，并求定义域；(2)为了节省材料，请问x 取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值．22．(本小题满分14分)已知数列{}n a ，11a =，前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有()21n n S n a =+恒成立．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)已知关于n 的不等式3434222 (21)n n a a a a a a n ---⋅<+对一切*3,N n n ≥∈恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知211n n c a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，数列{}nc 的前n 项和为n T ，试比较n T 与23的大小并证明．常州市“教学研究合作联盟” 2019学年度第一学期期中质量调研高二数学 参考答案一、选择题：1.D2.D3.D4.A5.C6.C7.B8.B9.A 10.B 11.B 12.D 二、填空题： 13.2 14.3 15.1n n + 16.9169,464⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：17.(1)由2a 、4a 、5a 成等比数列得：()()()211134a d a d a d +=++，即215d a d =-，又Q 0d ≠，∴15a =-；…………………………………………………2分 而51545152S a d ⨯=+=-，∴1d =；…………………………………4分 ()116n a a n d n ∴=+-=-，{}n a ∴的通项公式为6n a n =-.…………………………………………5分(2)()2111122n n n n n S na d ⋅--=+=Q ,112n S n n -∴=,………………7分 令n n S c n =，则112n n c c +-=为常数， {}n c ∴是首项为5-，公差为12的等差数列，…………………………8分∴n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-.…………………10分18.(1)()()2235750x x x x --=-+≤，[]5,7M ∴=-；…………2分()()()()232112110x mx m m x m x m -+-+=---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，又2m >，211m m ∴->+， []1,21N m m ∴=+-.……………………………………………………5分(2)Q p 是q 的必要不充分条件，N M ∴Ø，即[][]1,215,7m m +--Ø，51721m m -≤+⎧∴⎨≥-⎩，且等号不同时取，…………………………………8分 解得64m -≤≤，又2m >，24m ∴<≤.………………………10分19.(1)2a =时，22390x x -+-+≥，3x ≥时，()()310x x -+≤，13x ∴-≤≤，3x ∴=； 3x <时，()()350x x -+≤，53x ∴-≤≤，53x ∴-≤<；综上所述，不等式的解集为[]5,3-. …………………………………6分 （如果解集中不包含3，扣1分）(2)()0f x ≤恒成立时，2930x a x ---≥恒成立，①3x =时，不等式恒成立，R a ∴∈；……………………………7分 ②3x >时，()()330x x a -+-≥恒成立，30x a ∴+-≥恒成立，6a ∴≤； …………………………………9分③3x <时，()()330x x a -++≥恒成立，30x a ∴++≤恒成立，6a ∴≤-；…………………………………11分综上所述，a 的取值范围是(],6-∞-. ………………………………12分20.(1)()()()2112322n n n n a n a n n ++⋅-+⋅=++⋅Q ，等式两边同时除以()()12n n ++得：1221n n n a an n +-=++，即12n n n b b +-=；………………………………2分 2n ∴≥时，有1212b b -=，2322b b -=...112n n n b b ---=.累加得111222212n n n b b ---==--，又1122ab ==， 2n ∴≥时，2n n b =.…………………………………………………5分又1n =时，12b =也满足上式，*N n ∴∈时，2n n b =.…………6分(2)由(1)可得()12nn a n =+⋅，()123223242...12n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+++⋅，()23412223242...12n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+++⋅，……………8分()12312222...212n n n S n +∴-=⋅++++-+⋅，…………………10分()11122212212nn n n n ++-=+-+⋅=-⋅-，12n n S n +∴=⋅.…………………………………………………………12分21.(1)234S xy x =⋅+=Q ，2y ∴=，…………3分由y x >得0x <<∴函数的定义域为{|0x x <<.……………………………5分(2)设圆形铁片半径为R ，则面积2S R π=，过圆心O 作CD 的垂线，垂足为E ，交AB 于点F ，连结OD ，则,2x DE OF ==， 22222224x x R OD y ⎛⎫⎛⎛⎫∴==+=+ ⎪ ⎝⎭⎝，221313483x x =++…………………………………………………8分 20x >Q ，由基本不等式得:2222131313483666R OD x x +∴==++≥=，当且仅当221313483x x=，即(2x =∈时，取“=”.∴(2cm ).………………………11分答：当2x =(2cm ). …………………………………………………………………………12分22.(1)2(1)n n S n a =+Q ，2n ∴≥时，()1121n n S n a --=-，12(1)n n n a n a na -∴=+-，即 1(1)(2)n n n a na n --=≥，………2分又110a =≠，0n a ∴≠，1(2)(1)n n a nn a n -∴=≥-， 3212123,,...,121n n a a a na a a n -∴===-， 累乘得2n ≥时，123 (121)n a nn a n =⋅=-，…………………………4分 1n =时，11a =也满足上式，n a n ∴=. …………………………5分（或构造常数列1(2)(1)n n a an n n -=≥-） (2)设()3434222...n na a a f n a a a ---=⋅ 则()()31434122221...n n n n a a a a f n f n a a a a ++⎡----+-=⋅⎢⎣ ()()343411222...1n n n n a a a a a a n ⎡-+---=⋅⎢+⎢⎥⎣⎦3434222...0n n a a a a a a ---=⋅<⎢⎥⎣⎦，()f n ∴在*3,N n n ≥∈上单调递减， …………………………8分()3a f ∴>=a ∴>.…………………………………10分 (3)()22211111111121222n n c a n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===<=- ⎪ ⎪ ⎪++++⋅++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 123...n n T c c c c ∴=++++2311111111111......4422435572n c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111112111242231232123n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 23n T ∴<.…………………………………………………………14分。
2018-2019学年上海市西南位育中学高二上学期期中数学试题(解析版)
上海市西南位育中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与2l ：()160x a y +++=平行”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要 【答案】A【解析】两直线平行等价于(1)20a a +-=,且610a +≠,即1a =或2a =-,根据充分非必要条件的定义可得答案. 【详解】当1a =时,1:210l x y +-=,与2:260l x y ++=平行,当1:210l ax y +-=与2:(1)60l x a y +++=平行时, (1)20a a +-=且610a +≠,解得1a =或2a =-.所以“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与2l ：()160x a y +++=平行”的充分非必要条件. 故选:A. 【点睛】本题考查了两条直线平行的条件以及充分非必要条件,属于基础题.2．已知点P 分12PP u u u u r 的比为23-，设121PP PP λ=u u u u r u u u r ，则λ的值为（ ） A ．25-B ．35C ．13D ．12【答案】D【解析】由点P 分12PP u u u u r 的比为23-得1223PP PP =-u u ur u u u r ,再将121PP PP λ=u u u u r u u u r 化为1211PP PP λ=-+u u u r u u u r ,由此可得答案. 【详解】因为点P 分12PP u u u u r 的比为23-,所以1223PP PP =-u u u r u u u r , 由121PP PP λ=u u u u r u u u r 得121PP PP PP λ+=u u u r u u u r u u u r ,得121PP PP PP λ+=-u u u r u u u r u u u r ,得1211PP PP λ=-+u u u r u u ur , 所以1213λ-=-+,解得12λ=.故选:D. 【点睛】本题考查了向量的线性运算,属于基础题.3．曲线y =0y x +=的公共点的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】联立y y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩可求得两个交点的坐标.【详解】联立y y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩,消去y得||x =-,化简得212x =,所以2x =,或2x =-,所以2y =-,所以曲线y =0y x +=的公共点为(22--和,故选:B. 【点睛】本题考查了求曲线的交点,属于基础题. 4．关于x 的方程210tan sin x x θθ+-=有两个不等实根a 和b ，那么过点()2,A a a ，()2,B b b 的直线与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．随θ值的变化而变化 【答案】B【解析】由根与系数的关系得到+a b 和ab ,根据两点的坐标求出直线方程,再根据圆心到直线的据求出距离等于圆的半径,可得答案. 【详解】因为关于x 的方程210tan sin x x θθ+-=有两个不等实根a 和b , 所以a b ¹,1tan a b θ+=-,1sin ab θ=-,因为过点()2,A a a，()2,B b b 的直线方程为222()a b y a x a a b--=--,化简得()0a b x y ab +--=,由圆心到直线的距离公式得1==11==,所以过点()2,A a a ，()2,B b b 的直线与圆221xy +=的位置关系是相切.故选:B. 【点睛】本题考查了根与系数的关系,由两点坐标求直线方程,点到直线的距离,直线与圆相切,属于中档题.二、填空题5．已知直线l 的一个方向向量()3,4d =，且过点()1,2-，则直线l 的点方向式方程为______ 【答案】1234x y +-=【解析】直接写出直线l 的点方向式方程即可. 【详解】因为直线l 的一个方向向量()3,4d =，且过点()1,2-, 所以直线l 的点方向式方程为:1234x y +-=. 故答案为: 1234x y +-=. 【点睛】本题考查了直线l 的点方向式方程,属于基础题.6．已知矩阵3121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，45B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =________【答案】173⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据矩阵的乘法运算法则计算可得.【详解】 因为矩阵3121A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，45B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以AB =34151724153⨯+⨯⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⨯-⨯⎝⎭⎝⎭.故答案为: 173⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了矩阵的乘法运算,属于基础题.7．在行列式4513789xx 中，第二行第一列元素1的代数余子式的值为11，则x 的值是_______ 【答案】7【解析】根据代数余子式的定义列式计算可得. 【详解】 依题意得21(1)(598)11x +-⨯-=,解得7x =. 故答案为:7. 【点睛】本题考查了三阶行列式的代数余子式的计算,属于基础题.8．已知()3,4a =r ，()1,1b =-r ，则向量a r 在向量b r方向上的投影为_______【答案】2-【解析】根据向量数量积的几何意义计算可得. 【详解】向量a r 在向量b r方向上的投影为2||a b b ⋅==-rr r . 故答案为:【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义,属于基础题.9．已知直线l 过点()1,1A -，且与直线m ：3560x y -+=平行，则直线l 的一般式方程为_______【答案】3580x y --=【解析】设直线l 的一般式方程为:350(6)x y m m -+=≠,再代入(1,1)A -计算出8m =-,可得设直线l 的一般式方程.【详解】依题意设直线l 的一般式方程为:350(6)x y m m -+=≠,因为直线l 过点()1,1A -,所以315(1)0m ⨯-⨯-+=,解得8m =-, 所以直线l 的一般式方程为:3580x y --=. 故答案为: 3580x y --=. 【点睛】本题考查了根据两直线平行求直线方程的一般式,属于基础题.10．直线1l ：6870x y +-=与2l ：340x y c ++=间的距离为2，则实数c 的值为_______ 【答案】132或272- 【解析】由6870x y +-=得73402x y +-=,再根据两条平行直线之间的距离公式列式解方程可得答案. 【详解】由6870x y +-=得73402x y +-=,7||2c --=,解得132c =或272c =-. 故答案为: 132或272-. 【点睛】本题考查了两条平行直线之间的距离公式,属于基础题.11．直线350x y -+=关于直线y x =对称的直线方程为_______ 【答案】350x y -++=【解析】在所求直线上设动点(,)M x y ,则M 关于直线y x =对称的点(,)N y x 在已知直线上,将N 的坐标代入已知直线方程可得答案. 【详解】设所求直线上任意一个点(,)M x y ,则M 关于直线y x =对称的点(,)N y x 在已知直线350x y -+=上,所以350y x -+=,即350x y -++=. 故答案为:350x y -++=. 【点睛】本题考查了求直线与直线关于直线对称的直线方程,属于基础题.12．已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域2{12x y x y +≥≤≤上的一个动点，则·OAOM u u u r u u u u r 的取值范围是_________.【答案】[0,2] 【解析】【详解】令z =OA OM ⋅u u u r u u u u rx y =-+，则y =x+z ，画出2,{1,2x y x y +≥≤≤对应的可行域，可得在点（1，1）处取得最小值0，在点（0,2）处取得最大值 213．已知点P 、Q 是以点C 为圆心、半径为3的圆上的两点，且3PQ =u u u r，则PC CQ ⋅=u u u r u u u r______【答案】92-【解析】根据题意分析可得,120PC CQ <>=o u u u r u u u r,再根据向量的数量积的定义计算可得答案. 【详解】因为圆C 的半径为3, 3PQ =u u u r,所以△CPQ 为边长为3的正三角形, 所以,120PC CQ <>=o u u u r u u u r,所以PC CQ ⋅=u u u r u u u r 19||||cos12033()22PC CQ ⋅=⨯⨯-=-ou u u r u u u r .故答案为:92-.【点睛】本题考查了向量的数量积,属于基础题.14．已知直线1l ，：30x y -+=和直线2l ：()3y a x =+的夹角θ在区间0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动，则实数a 的取值范围为_______【答案】(3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭U【解析】设直线2l 的倾斜角为α,由已知可得64ππα<<或43ππα<<,根据斜率的定义可得答案. 【详解】因为直线1l ，：30x y -+=的斜率为1,所以倾斜角为4π, 设直线2l 的倾斜角为α,则||(0,)412ππα-∈,所以64ππα<<或43ππα<<,tan 1α<<或1tan α<<1a <<或1a <<故答案为: (3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭U .【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率,属于基础题.15．如图，已知在以O 为圆心，AB 为直径的半圆中，AB 4=，C 是»AB 上靠近点A 的三等分点，F 是»AB 上一点，若//AC OF ，则AF BC ⋅=______【答案】6-【解析】以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系,根据已知条件求出60CAO FOB ∠=∠=o,求出,,,A F B C 的坐标,求出AF u u u r ,BC uuur 的坐标,再根据向量的数量积进行运算即可得到答案. 【详解】以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系:连接OC ,依题意得60COA ∠=o ,所以60CAO FOB ∠=∠=o ,且2OC OF ==, 所以(2,0)A -,3)F ,(2,0),(3)B C -,所以3)AF =u u u r ,(3)BC =-u u u r,所以936AF BC ⋅=-+=-u u u r u u u r.故答案为:6-. 【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算,建立直角坐标系是解题关键,属于基础题. 16．在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C与直线280x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为______ 【答案】165π 【解析】设以AB 为直径的圆C 与直线280x y +-=相切于点D ,连,CD OC ,根据图象可知, ,,O C D 三点共线时,圆的半径最小,从而圆的面积最小,由原点到直线的距离可求得半径的两倍的最小值.从而可求得面积的最小值. 【详解】 圆的半径为r ,设以AB 为直径的圆C 与直线280x y +-=相切于点D ,连,CD OC , 如图所示:则CD OC r ==,过O 作直线280x y +-=的垂线,垂足为E , 所以85541OE ==+, 所以OC CD OE +≥855=,当且仅当,,O C D 三点共线时等号成立, 所以852r ≥,所以45r ≥,45,所以圆C 的面积的最小值为2165r ππ=. 故答案为:165π. 【点睛】本题考查了直线与圆相切,点到直线的距离,属于基础题.17．两条直线1l ：1110a x b y ++=和2l ：2210a x b y ++=相交于点()5,6P -，则过点()11,A a b ，()22,B a b 的直线方程为_______【答案】5610x y -+=【解析】将点()5,6P -的坐标代入12,l l 的方程,可知()11,A a b ，()22,B a b 都在直线5610x y -+=上,由此可得过点()11,A a b ，()22,B a b 的直线方程. 【详解】因为两条直线1l ：1110a x b y ++=和2l ：2210a x b y ++=相交于点()5,6P -, 所以115610a b -+=,225610a b -+=,所以点()11,A a b ,()22,B a b 都在直线5610x y -+=上, 所以过点()11,A a b ，()22,B a b 的直线方程为: 5610x y -+=. 故答案为: 5610x y -+= 【点睛】本题考查了求直线方程,属于基础题.18．设()1,2M -，()2,2N - ，若动点(),P x y ，满足5PM PN +=，则2y x+的取值范围为_______【答案】(][),40,-∞-+∞U【解析】根据5||PM PN MN +==,可得点P 的轨迹为线段MN ,求出其方程,根据其方程可得2y x+的取值范围. 【详解】因为||5MN ==,且5PM PN +=, 所以点(,)P x y 在线段MN 上,因为224213MN k --==-+,所以直线MN 的方程为42(1)3y x -=-+,即4233y x =-+, 所以点P 的轨迹为线段:42(12)33y x x =-+-≤≤,所以2yx+428243333xx x-++==-+,当10x-≤<时,844834333x-+≤--=-,当02x<≤时,8844330332x-+≥-+=,所以2yx+的取值范围是(][),40,-∞-+∞U.故答案为: (][),40,-∞-+∞U【点睛】本题考查了由两个点的坐标求直线方程,两点间的距离公式,属于基础题.19．在锐角ABC∆中，1tan3A=，D为边BC上的点，ABD∆与ACD∆的面积分别为2和4，过D作DE AB⊥于E，DF AC⊥于F，则DE DF⋅=u u u r u u u r_________【答案】45-【解析】由题意画出图象,结合面积求出10310sin,cos1010A A==,410||||15DE DF⋅=u u u r u u u r,然后代入数量积公式可得.【详解】如图所示:因为ABD∆与ACD∆的面积分别为2和4，所以1||||2,2AB DE⋅=u u u r u u u r1||||42AC DF⋅=u u u r u u u r,所以4||||DEAB=u u u ru u u r,8||||DFAC=u u u ru u u r,所以||||DE DF⋅=u u u r u u u r32||||AB AC⋅u u u r u u u r,又1tan3A=,所以sin1cos3AA=,将sin 1cos 3A A =与22sin cos 1A A +=联立,结合A 为锐角解得sin 1010A A ==,由1||||sin 242AB AC A ⋅=+u u ur u u u r ,可得||||AB AC ⋅=u u u r u u u r所以||||15DE DF ⋅==u u u r u u u r , 所以||||cos ,DE DF DE DF DE DF ⋅=⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r cos()15A π=-cos 15A =-45==-. 故答案为:45-. 【点睛】本题考查了同角公式,三角形的面积公式,向量的数量积,属于中档题.20．已知4OA =u u u r ，6OB =u u u r ，OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r，且1x y +=，AOB ∠是钝角，若()f t OA tOB =-u u u r u u u r的最小值为OC u u u r 的最小值是_______【答案】19【解析】根据()f t OA tOB =-u u u r u u u r的最小值为结合图象分析可知, 当()OA tOB OB -⊥u u u r u u u r u u u r时, 直线OB 上的动点与定点A 之间的距离的最小,由此计算出23AOB π∠=,再求出2||OC u u u r 关于x 的表达式,根据二次函数求出最小值后,开方可得答案. 【详解】因为()f t OA tOB =-u u u r u u u r的最小值为23即直线OB 上的动点与定点A 之间的距离的最小值为23所以当()OA tOB OB -⊥u u u r u u u r u u u r时, 直线OB 上的动点与定点A 之间的距离的最小,因为AOB ∠是钝角,所以33sin()42AOB π-∠==,所以3AOB ππ-∠=,所以23AOB π∠=, 因为OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r,且1x y +=, 所以22()OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r 2222||||2x OA y OB xyOA OB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r2211636246()2x y xy =++⨯⨯-g221636(1)2(1)(12)x x x x =+-+-⨯- 2769636x x =-+21276()19x =-10819+, 所以1219x =时,2||OC u u u r 取得最小值10819,所以||OC u u u r 取得最小值65719. 【点睛】本题考查了向量的线性运算,向量的数量积,二次函数求最值,属于中档题. 21．在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y x P x y x y-++'；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C '关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 【答案】②③【解析】【详解】试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故错误；对于②，设曲线0(),f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=对曲线0(),f x y =表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y --=++也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以正确；③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故正确；对于④，直线y kx b =+上取点后得其伴随点2222(,)y xx y x y-++消参后轨迹是圆，故错误.所以正确的为序号为②③. 【考点】对新定义的理解、函数的对称性.三、解答题22．利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组()6232x ay a x y a +=-⎧⎨-+=-⎩.【答案】当3a ≠且1a ≠-时,原方程组有唯一组解,2(3)1a x a +=-+, 41y a =-+当1a =-时,原方程组无解, 当3a =时,原方程组有无数组解.【解析】先求出系数行列式,,x y D D D ,然后讨论a ,从而确定二元一次方程组解的情况. 【详解】 由题意得,2113(2)2323aD a a a a a ==⨯--=-++-(3)(1)a a =--+,2618(2)2182(3)(3)23x aD a a a a a a -==---=-=-+-, 1626(2)4(3)22y D a a a a a-==-+-=---,当0D ≠,即3a ≠且1a ≠-时,原方程组有唯一组解,2(3)(3)2(3)(3)(1)1x D a a a x D a a a -++===---++, 4(3)(3)(1)y D a y Da a -==--+41a =-+, 当0D =,0x D ≠,即1a =-时,原方程组无解, 当0x y D D D ===,即3a =时,原方程组有无数组解. 【点睛】本题考查了用行列式解二元一次方程组,属于基础题.23．已知在平面直角坐标系中，()1,2A ，()2,1B -，O 为坐标原点. （1）求AOB ∆的面积； （2）求AOB ∆的外接圆的方程.【答案】（1）52；（2）22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】(1)利用两点,A B 的坐标求出,OA OB 的斜率,根据斜率判断出OA OB ⊥,求出两直角边的长度后,代入面积公式可求得;(2)求出圆心坐标和半径后,写出圆的标准方程可得. 【详解】 (1)20210OA k -==-,101202OB k --==--,且12()12OA OB k k ⋅=⨯-=-, 所以OA OB ⊥,又||OA =,||OB ==所以12OAB S =V 52=.(2)由(1)可知圆心为AB 的中点31(,)22,2=, 所以AOB ∆的外接圆的方程为:22315()()222x y -+-=.【点睛】本题考查了用斜率乘积为1-判断两直线垂直,圆的标准方程,属于基础题.24．已知a r 与b r 的夹角为34π，且2a =r，b =r（1）求32a b +r r；（2）求32a b +r r 与a r的夹角θ的大小.【答案】（1）（2）. 【解析】(1)利用|32|a b +=rr;(2)利用cos θ(32)|32|||a b a a b a +⋅=+r r r r rr 2=r r r .【详解】(1)|32|a b +==rr====(2)cos θ(32)|32|||a b a a b a +⋅=+r r r r rr 2=rrr 3422(⨯+⨯==所以θ=【点睛】本题考查了求向量的模,向量的夹角,属于基础题.25．在ABC ∆中，点A 的坐标为()1,2，AB 边上的高所在直线方程为2310x y -+=，且4CAB π∠=.（1）求边AB 所在的直线方程； （2）求边AC 所在的直线方程.【答案】（1）3270x y +-=；（2）530x y --=或5110x y +-=.【解析】(1)先根据AB 边上的高所在直线的斜率求出边AB 所在的直线的斜率,再由点斜式可得答案;(2)根据夹角公式列式求出边AC 所在直线的斜率,再由点斜式求得答案. 【详解】(1)因为AB 边上的高所在直线方程为2310x y -+=,所以32AB k =-, 由点斜式可得边AB 所在的直线方程为32(1)2y x -=--,即3270x y +-=, (2)因为||tan 4|1|AB AC AB AC k k k k π-==+2||312|1|3AC AC k k -=+, 所以22|||1|33AC AC k k -=+,解得15AC k =-或5AC k =,由点斜式可得边AC 所在直线的方程为12(1)5y x -=--或25(1)y x -=-,即5110x y +-=或530x y --=. 【点睛】本题考查了两条直线垂直与斜率的关系,夹角公式,直线方程的点斜式,属于中档题. 26．在平行四边形ABCD 中，()1,1A ，()6,0AB =，()2,4AD =. （1）求点C 的坐标；（2）过点()3,3P -的直线l 与平行四边形ABCD 围成的区域（包括边界）有公共点，求直线l 的倾斜角θ的取值范围；（3）对角线AC 所在的直线与圆Q ：222924505x y mx my m m +--++-=没有交点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()9,5；（2）,arctan 24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（3）89,1,95⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .【解析】(1)根据AC =u u u r AB AD +u u u r u u u r可求得答案;(2)作出图象后,利用直线PB 和PA 的倾斜角表示即可;(3)求出直线AC 的方程后,利用圆心到直线的距离大于半径,列不等式即可解得答案. 【详解】(1) 在平行四边形ABCD 中,AC =u u u r AB AD +u u u r u u u r()6,0=()2,4+(8,4)=,又()1,1A ,设(,)C a b ,则(1)1,AC a b =--u u u r,所以18,14a b -=-=, 所以9,5a b ==,所以(9,5)C . (2)如图所示:因为()1,1A ，()6,0AB =，()2,4AD =, 所以(7,1)B , 因为1(3)41734PB k --===-,1(3)213PA k --==--,所以直线PB 的倾斜角为4π,直线PA 的倾斜角为arctan 2π-, 由图可知直线l 的倾斜角θ的取值范围是[,arctan 2]4ππ-. (3)由圆Q ：222924505x y mx my m m +--++-=可得229()(2)5x m y m m -+-=-,所以圆心为(,2)m m ,99()55m m ->, 又511912AC k -==-,所以直线AC 的方程为11(x 1)2y -=-,即210x y -+=, 依题意直线AC 与圆Q 没有交点,9514m >-+化简得(98)(1)0m m +->,解得1m >或89m <-, 又95m <,所以89m <-或915m <<.所以实数m 的取值范围是89,1,95⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 【点睛】本题考查了平行四边形法则,向量的线性运算,直线的倾斜角与斜率,直线与圆的位置关系,点到直线的距离,属于中档题.27．已知过点()0,3A -的动直线l 与圆C ：22450x x y -+-=相交于P 、Q 两点，M是PQ 中点，l 与直线m ：230x y t ++=（t 为常数）相交于点N . （1）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； （2）当25PQ =时，求直线l 的方程；（3）当直线l 的倾斜角θ变化时，探索AM AN ⋅的值是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）0x =或512360x y --=；（3）AM AN ⋅u u u u r u u u r为常数,该常数为9t -【解析】(1)根据直线l 与m 垂直可得到直线l 的斜率,由点斜式可得l 的方程,由圆的方程可得圆心坐标,将圆心坐标代入直线l 的方程满足可证结论正确,(2)利用弦长的一半,半径和勾股定理可求得||2CM =,再讨论直线l 的斜率,利用点到直线的距离公式列等式可解得.(3)利用CM AN ⊥,将AM AN ⋅u u u u r u u u r 转化为AC AN ⋅u u u r u u u r,再讨论直线l 的斜率是否存在,可得点N 的坐标,利用向量的数量积运算可得结论.【详解】 如图所示:(1)证明: 当l 与m 垂直时,32l k =,所以直线l 的方程为:33(0)2y x +=-,即332y x =-,又圆C ：22450x x y -+-=的圆心为(2,0)满足直线l 的方程, 所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C(2)因为圆C ：22450x x y -+-=的圆心(2,0)C ,半径为3,根据圆的性质可知,CM PQ ⊥,所以有222||||3PM CM +=,所以22||9CM +=,所以2||4CM =,所以||2CM =,当直线l 的斜率不存在时,0x =满足||2CM =,当直线l 的斜率存在时,设:3l y kx =-,即30kx y --=,由点到直线的距离可得||CM =2=,解得512k =, 所以5:3012l x y --=,即512360x y --=, 综上所述:直线l 的方程为0x =或512360x y --=. (3)因为CM AN ⊥,所以0CM AN ⋅=u u u u r u u u r,所以()AM AN AC CM AN ⋅=+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r AC AN =⋅u u u r u u u r,①当l 与x 轴垂直时,易得(0,)3t N -,则(0,3)3tAN =-+u u u r ,(2,3)AC =u u u r , 所以AM AN AC AN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r 02(3)393tt =⨯+-+⨯=-,②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为3y kx =-,即30kx y --=,则由30230kx y x y t --=⎧⎨++=⎩ 得923623t x k kt y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=-⎪+⎩,所以96(,)2323t kt N k k -+-++, 则99(,)2323t k ktAN k k --=++u u u r , 所以AM AN AC AN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r 99(2,3)(,)2323t k kt k k --=⋅++1822732323t k ktk k--=+++ 9(23)(23)23k t k k +-+=+9t =-.综上所述: AM AN ⋅u u u u r u u u r为常数,该常数为9t -.【点睛】本题考查了圆的性质,直线方程,点到直线的距离,向量的数量积,属于中档题.。
2018-2019学年上海市西南位育中学高二上学期期中数学试题(解析版)
【详解】
因为圆 的半径为3, ,所以△ 为边长为3的正三角形,
所以 ,
所以 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查了向量的数量积,属于基础题.
14．已知直线 ，： 和直线 ： 的夹角 在区间 内变动，则实数 的取值范围为_______
【详解】
圆的半径为 ,
设以 为直径的圆 与直线 相切于点 ,连 ,
如图所示:
则 ,
过 作直线 的垂线,垂足为 ,
所以 ,
所以 ,当且仅当 三点共线时等号成立,
所以 ,所以 ,即圆的半径的最小值为 ,
所以圆 的面积的最小值为 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查了直线与圆相切,点到直线的距离,属于基础题.
【答案】
【解析】以 为原点, 所在直线为 轴,建立平面直角坐标系,根据已知条件求出 ,求出 的坐标,求出 , 的坐标,再根据向量的数量积进行运算即可得到答案.
【详解】
以 为原点, 所在直线为 轴,建立如图所示的平面直角坐标系:
连接 ,依题意得 ,
所以 ,且 ,
所以 , , ,
所以 , ,
所以 .
故答案为: .
【考点】对新定义的理解、函数的对称性.
三、解答题
22．利用行列式解关于 、 的二元一次方程组 .
【答案】当 且 时,原方程组有唯一组解, ,
当 时,原方程组无解,
当 时,原方程组有无数组解.
【解析】先求出系数行列式 ,然后讨论 ,从而确定二元一次方程组解的情况.
【详解】
由题意得, ,
,
上海市位育中学高二数学学科月考(2019.03)(含答案)
位育中学高二月考数学试卷2019.03一. 填空题1. 复数22(34)(56)i z m m m m =--+--为纯虚数，则实数m =2. 34i +的平方根为3. 如果a 、b 是异面直线，b 、c 也是异面直线，则直线a 、c 的位置关系是4. 已知复数z 满足(1i)4i z +⋅=，则z 的模为5. 计算：2320131111i i i i+++⋅⋅⋅+所得的结果为 6. 已知z 为虚数，且4z z+为实数，则||z = 7. 在复数范围内分解因式：221x x -+= 8. 由正方体各个面的对角线所确定的平面共有 个9. 关于x 的方程2(3i)40x k x k ++++=（k ∈R ）有实根的充要条件10. 设1z 、2z 是非零复数，且满足2211220z z z z ++=，则22121212()()z z z z z z +=++ 11. 在空间四边形ABCD 中，E 为边AB 的中点，F 为边CD 的中点，若6AC =，10BD =， 且AC BD ⊥，则线段EF 的长为12. 在复平面内，三点A 、B 、C 分别对应复数A z 、B z 、C z ，若41i 3B AC A z z z z -=+-，则△ABC 的三边长之比为二. 选择题13. 设1z 、2z 是两个复数，则“120z z ->”是“12z z >”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 设m 、n 是两条不同的直线，α是一个平面，有如下四个命题：（1）若m n ⊥，m α⊆，则n α⊥；（2）若m α⊥，n ∥m ，则n α⊥；（3）若n ∥α，m α⊆，则n ∥m ；（4）若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；其中所有错误命题的序号是（ ）A. （1）（2）（3）B. （1）（2）（4）C. （1）（3）（4）D. （2）（3）（4）15. 若a 、b 是所成角的60°的两条异面直线，点O 为空间一点，则过点O 与a 、b 均成60°角的直线有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条16. 设非零复数0Z 为复平面上一定点，1Z 为复平面上的动点，其轨迹方程101||||Z Z Z -=， Z 为复平面上另一个动点满足11Z Z =-，则Z 在复平面上的轨迹形状是（ ）A. 焦距为012||Z 的双曲线B. 以01Z -为圆心，01||Z -为半径的圆 C. 一条直线 D. 以上都不对三. 解答题17. 已知复数1z 、2z 满足1||2z =，2||3z =，1232i 6z z +=，求12z z ⋅.18. 已知方程20x x p ++=，p ∈R .（1）设a ∈R ，i 为虚数单位，且i a +是方程20x x p ++=的一个根，求p ；（2）设1x 、2x 是方程20x x p ++=的两个根，若12||3x x -=，求p 的值.19. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1.（1）正方体1111ABCD A B C D -中哪些棱所在的直线与直线1A B 是异面直线？（2）若M 、N 分别是1A B 、1BC 的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.20. 如图所示，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4PA =，设E 为线段PC 中点.（1）求直线BE 与平面PAC 所成角的大小；（2）求点B 到平面PCD 的距离.21. 已知复数01i z m =-（0m >），其中i 为虚数单位，对于任意复数z ，有10z z z =⋅，1|||z z =.（1）求m 的值；（2）若复数z 满足|||1i |z z =+-，求1||z 的取值范围；（3）我们把上述关系式看作复平面上表示复数z 的点P 和表示复数1z 的点Q 之间的一个变换，问是否存在一条直线l ，若点P 在直线l 上，则点Q 仍然在直线l 上？如果存在，求出直线l 的方程，否则，说明理由.参考答案一. 填空题1. 42. (2)i ±+3. 相交平行或异面4.5. i -6. 27. 112(44x x --8. 209. 4k =- 10. 1- 12. 3:4:5二. 选择题13. B 14. C 15. C 16. B三. 解答题17. 3i -.18.（1）54；（2）52或2-. 19.（1）AD 、11B C 、1DD 、1CC 、DC 、11D C ；（2）4π.20.（1）；（221.（1）2；（2）)2+∞；（3）12y x -=.。
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西南位育中学高二期中数学卷
2019.11
一. 填空题
1.
10y -+=的倾斜角为
2. 直线l 过(3,1)A -，且l 的一个法向量(3,2)n =，则直线l 的点法向式方程为
3. 将代数式24b ac -表示成一个二阶行列式
4. 已知(1,2)a =，(4,6)b =，c 是b a -的单位向量，则c 的坐标为
5. 已知线性方程组的增广矩阵为122301c c -⎛⎫ ⎪⎝
⎭，若该方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 6. 行列式544
53202
k -中元素0的代数余子式的值为5，则k =
7. 已知直线l 的法向量(3,1)n =，若l 与直线10x ay -+=的夹角为6
π，则实数a = 8. 设椭圆的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，若2122BF F F ==，则该椭圆的标准方程为
9. 已知圆C ：22(1)(2)5x y m -++=-与直线34100x y ++=相切，则m =
10. 若||1a =，||2b =，且a 与b 的夹角为3
π，则|2|a b -= 11. 设不等式组062x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
表示的平面区域为M ，若直线(2)y k x =+与区域M 有公共点，
则实数k 的取值范围是
12. 已知(,)P x y 为直线y x =上的动点，m =，则 m 的最小值为
13. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：2y x =在第一象限内的一个点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 相交于另一点D ，若0AB CD ⋅=，则A 点的横坐标为
14. 已知圆M ：22(1)1x y +-=，圆N ：22(1)1x y ++=，直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，P 是圆
2268240x y x y +--+=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为
二. 选择题
15. 已知梯形ABCD ，AB ∥CD ，设1AB e =，向量2e 的起点和终点分别是A 、B 、C 、
D 中的两个点，若对平面内任意的非零向量a ，都可以唯一的表示为1e 和2e 的线性组合，下面几个选项中，不可以作为2e 的是（ ）
A. AC
B. CD
C. BC
D. BD
16. 己知ABC 的周长为12，(2,0)B ，(2,0)C -，则顶点A 的轨迹方程为（ ） A. 221(0)1216x y x +=≠ B. 22
1(0)1216
x y y +=≠ C. 221(0)1612x y x +=≠ D. 22
1(0)1612
x y y +=≠ 17. 已知向量a 、b 均为非零向量，且a 在b 方向上的投影是2，则下列说法正确的是（ ）
A. a 在2b -方向上的投影是4-
B. a 在2b -方向上的投影是2
C. a 在2b 方向上的投影是2
D. a 在2b 方向上的投影是4
18. 在直角坐标系xOy 中，异于坐标原点的点(,)P P P x y 和点(,)Q Q Q x y 满足Q P P Q P P x y x y y x =+⎧⎨
=-⎩， 按此规则由点P 得到点Q ，称为直角坐标平面的一个“点变换”，若||||
OQ m OP =及POQ θ∠=，其中O 为坐标原点，则m 与θ的值（ ）
A. m 不确定，4πθ=
B. m =，θ不确定
C. m =4πθ=
D. m 不确定，θ不确定
三. 解答题
19. 己知向量(1,1)OA =，(3,0)OB =，(3,5)OC =.
（1）求AB 与AC 的坐标；
（2）求ABC 的面积.
20. 已知曲线C ：2244()x ay a a +=∈R . （1）当(4,)a ∈+∞ 时，求曲线C 的焦点坐标（用a 表示）；
（2）当0a >时，讨论曲线C 的类型.
21. 已知关于,x y 的二元一次方程组(1)24a x y a x ay a
-+=⎧⎨
+=-⎩()a ∈R 讨论方程组解的情况， 并求解方程组.
22. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于(3,0)M ，AB 边所在直线的方程为
370x y --=，点(0,1)T 在AD 边所在直线上.
（1）求AD 边所在的直线方程；
（2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
23. 2019年国庆，甲同学在10月1日看完阅兵式之后，10月2号启程前往某一著名沿海城 市O 地旅游，10月3号从天气预报上看到该沿海城市附近海面有一台风“米娜”，据监测，
当前台风中心位于城市O （看作一点）的西偏北θ2(cos )θ=角方向300km 的海面P 处， 并以20/km h 的速度向东南方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并 以10/km h 的速度不断增大. 问：
（1）10小时后，该台风是否开始侵袭城市O ，说明理由；
（2）城市O 受到该台风侵袭的持续时间为多久？
24. 如图，己知(6,63)A ，(0,0)B ，(12,0)C ，直线:(3)20l k x y k +--=.
（1）求直线l 经过的定点坐标；
（2）若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的方程；
（3）若(2,23)P ，点E 、F 分别在线段BC 和AC 上，
且APF BPE S
S =，求PE PF ⋅的取值范围.
参考答案
一. 填空题 1. 3π 2. 3(3)2(1)0x y -++= 3. 22b c a b
4. 34(,)55
5. 2
6. 5
7.
8. 22
143
x y +=
9. 4 10. 2 11. 1[,1]2 12.
13. 3 14. 32
二. 选择题
15. B 16. D 17. C 18. C
三. 解答题
19.（1）(2,1)-，(2,4)；（2）5
20.（1）(；（2）当04a <<，焦点在y 轴上的椭圆；当4a =，圆； 当4a >，焦点在x 轴上的椭圆
21. 当2a =，无数解；当1a =-，无解；当2a ≠，1a ≠-，41a x a +=
+，21a y a -=+ 22.（1）310x y +-=；（2）22(3)8x y -+=
23.（1）160<
（2）222))(6010)t +≤+，1224t ≤≤，持续12小时
24.（1）；（2）过9
(,0)2，50y +-=；（3）建系，(8,16]-。