普通年金的终值与现值
终值和现值的计算(2)
=A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
=A×[（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）]
=A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m+n）
m：递延期 n：年金期
互为倒数关系的
三组系数
复利终值系数与复利现值系数；
偿债基金系数与普通年金终值系数；
资本回收系数与普通年金现值系数。
（二）永续年金求现值
永续年金没有终值，但有现值。永续年金现值=A/i。
☆经典题解
【例题1·单选题】下列各项中，与普通年金终值系数互为倒数的是（ ）。（2017年第Ⅱ套）
A.预付年金现值系数
B.普通年金现值系数
C.偿债基金系数
D.资本回收系数
【答案】C
【解析】普通年金终值系数与偿债基金系数互为倒数，普通年金现值系数与资本回收系数互为倒数。所以选项C正确。
【例题11·判断题】在有关货币时间价值指标的计算过程中，普通年金现值与普通年金终值是互为逆运算的关系。（ ）
【答案】×
【解析】普通年金现值和年资本回收额的计算是互为逆运算；普通年金终值和年偿债基金的计算是互为逆运算。
【例题12·判断题】随着利率的提高，未来某一款项的现值将逐渐增加。（ ）
【答案】×财务管理Fra bibliotek础【考点二】终值和现值的计算（掌握）
项目
公式
系数符号
系数名称
复利终值
F=P（1+i）n
（1+i）n=（F/P,i,n）
复利终值系数
复利
现值
P=F（1+i）-n
（1+i）-n=（P/F,i,n）
复利现值系数
普通年金终值
F=A
普通年金终值、现值及年金的计算(有图解)
在计算年金时，应选择稳定的利率，以避免利率 波动对计算结果的影响。
时间价值的重要性
时间价值是指资金在时间推移 下产生的增值效应，是计算年
金的重要基础。
时间价值的长短会影响年金 的现值和终值，时间越长， 年金的现值和终值越大。
在计算年金时，应充分考虑时 间价值的影响，以准确评估年
例如，每年年末存入银行一笔钱，年利率为r，存款期限为n年， n年后这笔钱的总价值即为普通年金终值。
计算公式
FV=A[(1+r)^n-1]/r
其中，FV表示普通年金终值，A表示每期期末等额收付款项，r表示年利率，n表 示存款期限。
图解示例
01
假设每期期末存入银行1000元， 年利率为5%，存款期限为5年， 则普通年金终值的计算过程如下
普通年金现值通常用于评估投资项目 的经济价值，或者计算贷款的贴现值 。
计算公式
普通年金现值的计算公式为：PV = A × [(1 - (1 + r)^(-n)) / r]，其中A是每年收付款的金额，r是折现率，n是收付款的年 数。
该公式考虑了货币时间价值的影响，将未来的现金流折算 到现在的价值。
图解示例
第5年末存入1000元，复利终值为 1000×(1+5%)=802.57元。
03
普通年金终值 =1276.25+1143.75+1020.78+
906.94+802.57=4949.34元。
04
02
普通年金现值(Present Value)
定义
普通年金现值是指未来一定时间的系 列等额收付款的折现值之和，即考虑 货币时间价值的情况下，对一系列等 额的现金流进行பைடு நூலகம்现计算出的现值。
公司金融课件 - 第4章
终值与现值
终值 终值（future value ，FV）是指，在已知利率下， 一笔金额投资一段时期所能增长到的数量。 单期投资FV1= PV0(1+i ) 多期投资：复利计息：FVn=PV0 (1+i)n 单利计息： FVn=PV0 (1+i*n)
现值 终值是一项投资在未来某个时点的价值。与终值相 对的是现值概念。
思考题
◆什么是货币时间价值？货币时间价值在公司金融中有何作用？ ◆什么是年金？年金有哪些分类？ ◆以一个你可获得的本金（比如1万元）投资，估算在6%利率下你成为百万富翁所需的
时间？在拥有100万后，按6%重新估算你拥有200万所需时间？你从计算结果中观 察到了什么？ ◆假设电脑市价3000元，如果你要在2年后购买电脑，假设电脑性能更好，但价格相当 ，按6%的市场利率，你需要在今天存多少钱才能满足该需要？ ◆据估计，2013年末中国老年人口数量约为1.6亿，据有关部门预测2026年将达3亿， 2037年超过4亿，2051年达到最大值，请计算2026年之前老年人口年增长速度? 2026年至2037年间速度老年人口年增长速度如何?按后者速度，2051年峰值将是多 少? ◆下面是两条经验法则：“72法则”指出利用离散复利方式，一项投资增加一倍所需的 时间大约是72/利率（百分比），“69法则”指出利用连续复利方式，一项投资增加 一倍所需的时间恰好是69.3/利率（百分比）。 1）如果年复利利率为12%，利用72法则计算你的现金增加一倍大约所需的时间。然 后再精确计算之。 2）你能证明69法则吗？
PV A( P / A, i, m n) A( P / A, i, m)
永续年金的终值和现值
永续年金没有终止的时间，也没有终值。 ◆永续年金的现值可以通过普通年金现值的计算公式导出 ： 1 (1 i ) n
年金终值和现值得计算
1.4 资本回收额
[例题]：某企业想投资100万元购买设备， 预计可使用3年，社会平均利润率8%。 则该设备每年至少带来多少收益是可行 的？
A= P/ (P/A, 8%, 3)=100/2.577=38.88万元
1.4 资本回收额
[例题]：某公司借入2000万元，约定8内， 按i=12%均匀偿还，则每年还本付息多 少？
年金的终值及现值的计算
年金
定义：年金是指一定时期内每期相等金 额的收付款项。
按付款时间分类： 普通年金（或称后付年金） 先付年金（或称即付年金、预付年金） 延期年金（或称递延年金） 永续年金
1. 普通年金（0rdinary Annuity）
普通年金，即后付年金，是指在一定时期 内，每期期末有等额收付款项的年金。
定义：普通年金现值是指一定时期内每期期末等 额的系列收付款项的现值之和. 令P——年金现 值
公式：P=A﹡ [(1+i)n-1]/i(1+i) n=A ﹡ [1-(1+i)-n ]/i [1−(1+i)-n]/ i被称做年金现值系数或年金贴现系数 记作(P/A, i, n)
普通年金现值，通常借助于“年金现值系数表”计算。 P=A ﹡(P/A，i, n)
1.1 普通年金终值
定义：普通年金终值是一定时期内每期 期末等额收付款项的复利终值之和。
令：A——年金数额 i ——利息率 n ——计息期数 F——年金终值
1.1 普通年金终值
计算公式： F=A﹡ [(1+i)n −1]/i 其中[(1+i)n −1]/i被称作年金终值系数， 记作(F/A, i, n) 普通年金终值，通常借助于“年金终值系 数表”计算。 F=A ﹡(F/A, i, n)
年金终值和年金现值的计算
六、年金终值和年金现值的计算（一）年金的含义年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项。
通常记作A 。
具有两个特点：一是金额相等；二是时间间隔相等。
也可以理解为年金是指等额、定期的系列收支。
在现实工作中年金应用很广泛。
例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金收付形式。
老师手写板：①②年、月、半年、2年1年 2年 3年1年 1年 1年（二）年金的种类年金按其每次收付款项发生的时点不同，可以分为四种：普通年金（后付年金）：从第一期开始每期期末收款、付款的年金。
预付年金（先付年金、即付年金）：从第一期开始每期期初收款、付款的年金。
与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。
递延年金：从第二期或第二期以后开始每期期末收付的年金。
永续年金：无限期的普通年金。
注意：各种类型年金之间的关系（1）普通年金和即付年金区别：普通年金的款项收付发生在每期期末，即付年金的款项收付发生在每期期初。
联系：第一期均出现款项收付。
【例题1·单选题】2007年1月1日，甲公司租用一层写字楼作为办公场所，租赁期限3年，每年12月31日支付租金10万元，共支付3年。
该租金有年金的特点，属于（ ）。
(2010年考试真题)A ．普通年金B ．即付年金C ．递延年金D ．永续年金【答案】A【解析】每年年末发生等额年金的是普通年金。
（2）递延年金和永续年金二者都是在普通年金的基础上发展演变起来的，它们都是普通年金的特殊形式。
它们与普通年金的共同点有：它们都是每期期末发生的。
区别在于递延年金前面有一个递延期，也就是前面几期没有现金流，永续年金没有终点。
在年金的四种类型中，最基本的是普通年金，其他类型的年金都可以看成是普通年金的转化形式。
【提示】1.这里的年金收付间隔的时间不一定是1年，可以是半年、一个季度或者一个月等。
A A A A A A A A A A 300万 200万 100万2.这里年金收付的起止时间可以是从任何时点开始，如一年的间隔期，不一定是从1月1日至12月31日，可以是从当年7月1日至次年6月30日。
终值和现值
终值和现值1.年金终值和年金现值（1）年金现值（普通年金现值）普通年金现值是指将在一定时期内按相同时间间隔在每期期末收付的相等金额折算到第一期期初的现值之和。
根据复利现值的方法计算年金现值的公式为：P A=A（1+i）-1+A（1+i）-2+A（1+i）-3+···+A（1+i）-n=A式中称为“年金现值系数”记做（P/A,i,n）【例题】某投资项目于2017年年初完工，假定当年投产，从投产之日起每年末可获得收益100000元。
按年利率5%计算，预期5年收益的现值是多少元？（P/A，5%，5）=4.3295【答案】P A=A×（P/A，i，n）=100000×（P/A，5%，5）=100000×4.3295=432950（元）。
【例题·单选题】2017年1月1日，某企业的投资项目正式投入运营，从运营之日起，该企业每年年末可从该项目中获得收益200000元，预计收益期为4年。
假设年利率6%，已知（P/A，6%，4）=3．4651。
不考虑其他因素，2017年1月1日该项目预期4年总收益的现值为（）元。
（2018年）A．693020B．200000C．2772080D．800000【答案】A【解析】P A=200000×（P/A，6%，4）=200000×3.4651=693020（元）。
【例题·单选题】下列各项中，属于普通年金形式的是（）。
（2018年）A．企业在某中学设立奖励基金，用于每年发放等额奖学金B．企业租房2年，每个月初向出租方支付等额房租C．企业生产线使用年限为5年，从年初投产之日起每年年末获得等额现金收益D．企业设立一项公益基金，连续10年于每年年初投入等额奖金【答案】C【解析】普通年金是年金的最基本形式，它是指从第一期起，在一定时期内每期期末等额收付的系列款项，又称为后付年金，即选项C正确。
各类年金终值 现值计算公式对比表
两次折现法:
年金现值=年金×年金现值系数利率,偿付本息的期数×年金现值系数利率,未偿还的期数
FVIFAi,n=年金的复利终值系数
计算递延年金终值和计算后付年金终值类 似,递延年金终值与递延期无关。
年金现值系数之差法:
年金现值=年金×（年金现值系数利率，总期数-年金现值系数利率，未偿还的期数）
方法二： 普通年金公式*（1+利率）
年金现值 = 年金 * （年金现值系数利率，期数+1-1） 年金现值 = 年金 * 年金现值系数利率，期数 *（1+利率）
方法一：
V0 = A *（PVIFAi，n+1-1）
方法二：
V0 = A * PVIFAi，n *（1+i）
文 字
延期年金
字 母
年金终值 = 年金 * 年金终值系数利率，期数
各类年金现值、终值计算公式对比表
名称
文 字
复利
字 母
文 字
后付年金
（普通年金） 字 母
终值
文字表达
复利终值 = 现值 * 复利现值系数 FVn = PV * FVIFi,n
年金终值 = 年金 * 年金终值系数利率，期数
FVAn = A * FVIFAi,n
备注
FVIFi,n = (1 + i)n n=期数， i=利率 FVIF i,n=复利终值系数
PVIFAi,n=年金的复利现值系数
先付年金
文 年金终值 = 年金 * （年金终值系数利率，期数+1-1）
字
年金终值 = 年金 * 年金终值系数利率，期数 *（1+利率） 方法一： 期数加一，系数减一
普通年金现值与终值计算
F=A+A×（1+i）+A×（1+i）2+…+A×（1+i）n-1
①
等F×式（两1边+同i）乘=A（×1（+i）1+，i）则+有A×：（1+i）2+A×（1+i）3 +…+A×（1+i）n
②
②-①得： n
F=A×1-（1+i）-1
普通年金终值系数， 记做（F/A,i,n)
24
24
24
24
0 2018
2019 2020
2021
支付价款的现值=24×（P/A，10％，4）＝24×3.1699＝76.08（万元）
〖注意〗上期期末和下期期初是同一个时点，2019年年初相当于2018年年末；
（2)普通年金终值 对于等额收付n次的普通年金而言，其终值是指各期等额收付金额在第n期期 末的复利终值之和。
A
A
A
0
1
2
3
普通年金现值是指普通年金中各期等额收付金额在第一期期初（0时点）的 复利现值之和。
普通年金现值 P=A×（P/A, i, n)
A AA
......
AA
0 1 23
nБайду номын сангаас1 n
P=A×(1+i) -1 +A×(1+i) -2 +A×(1+i)-3 +... +A×(1+i)-n
①
等式两边同乘（1+i）：
普通年金现值与终值的计算
主讲人：
终值和现值的计算
1、年金的含义：定期、等额的系列收付款项，年金的符号为A [注意]年金中收付的间隔时间不一定是1年，可以是半年、1个月等等； 2、年金包括普通年金、预付年金、递延年金、永续年金等；
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【例题.计算题】某投资項目于2018年年初动工，假设当年投产，从投产之日起每年年末可得收益40000元。按年利率6%计算，计算预期10年收益的现值。
【解析】
P=40000×（P/A，6%，10）=40000×7.3601=294404（元）。
【例题•计算题】
（1）某人存入银行10万元，若存款利率4%，第5年年末取出多少本利和？
【解析】
F=1000×（F/A，2%，9）=1000×9.7546=9754.6（元）
2．普通年金现值
PA=A×（1+i）-1+A×（1+i）-2+……..+A×（1+i）-n
经计算可得：
式中： 被称为年金现值系数，
记作（P/A，i，n）。
年金现值系数表（P/A，i，n）
期限利率
4%
5%
6%
7%
8%
1．普通年金终值
FA=A×（1+i）0+A×（1+i）1+0+A×（1+i）2+……+A×（1+i）n+A×（1+i）n-1
式中： 被称为年金终值系数，用符号表示（F/A，i，n）。
年金终值系数表（F/A，i，n）
利率期数
1%
2%
3%
4%
5%
5
5.1010
5.2040
5.3091
5.4163
5.5256
6
5.2421
5.0757
4.9173
4.7665
4.6229
7
6.0021
5.7864
5.5824
5.3893
5.2064
8
6.7327
6.4632
6.2098
5.9713
5.7466
9
7.4353
7.1078
6.8017
6.5152
6.2469
10
8.1109
7.7217
7.3601
7.0236
普通年金的终值与现值
三、年金
（一）年金的含义
年金（annuity）是指间隔期相等的系列等额收付款。
（二）年金的种类
普通年金：从第一期开始每期期末收款或付款的年金。
预付年金：从第一期开始每期期初收款或付款的年金。
递延年金：在第二期或第二期以后收付的年金。
永续年金：无限期的普通年金。
（三）普通年金的终值与现值
6
6.1520
6.3081
6.4684
6.6630
6.8091
7
7.2135
7.4343
7.6625
7.8983
8.1420
8
8.2857
8.5830
8.8923
9.2142
9.54919Fra bibliotek9.36859.7546
10.159
10.583
11.027
【例题.计算题】小王计划每年末存入银行1000元，若存款利率为2%，问第9年末账面的本利和为多少？
（2）某人计划每年年末存入银行10万元，连续存5年，若存款利率4%，第5年年末账面的本利和为多少？
（3）某人希望未来第5年年末可以取出10万元的本利和，若存款利率4%，问现在应存入银行多少钱？
（4）某人希望未来5年，每年年末都可以取出10万元，若存款利率4%，问现在应存入银行多少钱？
【解析】