递延年金终值与现值的计算(有图解)
延期(递延)年金的计算
例：ABC公司面临两个投资机会可供选择，A 项目是一个高科技项目，该领域市场竞争激烈， 如果经济发展迅速并且项目研制开发搞得好， 则能够取得较大的市场份额，获得较高的利润； 反之，将会获得较少的利润甚至亏损。B项目 是一个成熟的产品，市场发展稳定，销售前景 可以根据市场调研资料进行可靠的预测。经预 测发现未来的市场行情可能有三种情况：繁荣、 一般、衰退，每种情况发生的可能概率以及各 种情况下的预期报酬率资料见表：
i
例
例：某企业要建立一项永久性的奖励基金，计 划每年发放500000元，在年利率为8％的情况 下，该企业现在应该存入银行多少元? P=A÷i＝500000÷8％＝6 250 000(元) 例：某企业在第一年年初向银行借入100万元， 银行规定从第一年到第五年每年年末应等额偿 还25.6万元，试计算利率？ i=A/P=25.6÷100=25.6%
（二）递延期m的确定： （1）首先搞清楚该递延年金的第一次收付发生在第几期末（假设为第W 期末）； （2）然后根据（W-1）的数值即可确定递延期m的数值； 注意：在确定“该递延年金的第一次收付发生在第几期末”时，应该记住 “本期的期初和上期的期末”是同一个时间点。 〔例1〕 某递延年金从第4年开始，每年年末支付A元。 〔解答〕由于第一次发生在第4期末，所以，递延期m＝4-1＝3 〔例2〕 某递延年金从第4年开始，每年年初支付A元。 〔解答〕由于第一次发生在第4期初（即第3期末），所以，递延期m＝31＝2 （三）下面把上述的内容综合在一起，计算一下各自的现值： 〔例1〕 某递延年金从第4年起，每年年末支付A元，直至第8年年末为止。 〔解答〕由于n=5，m=3，所以，该递延年金的现值为： A[（PVAi,8）-（PVAi,3）]或A（PVAi,5）×（PVi,3） 〔例2〕 某递延年金从第4年起，每年年初支付A元，直至第8年年初为止。 〔解答〕由于n=5，m=2，所以，该递延年金的现值为： A[（PVAi,7）-（PVAi,2）]或 A（PVAi,5）×（PVi,2）
终值与现值计算公式
P＝A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
现值
计算方法二：先计算m＋n期年金现值，再减去m期年金现值。 P＝A×[（P/A，i，m＋n）-（P/A，i，m）]
计算方法三：先求递延年金终值，再折现为现值。
单利 复利 普通年金
预付年金 递延年金 永续年金
终值与现值的计算
终值 现值 终值 现值
终值
F＝P＋P×n×i＝P×（1＋i×n）
P＝F/(1＋i×n）
F=P×(1+i)n＝P×（F/P，i，n） P=F×(1+i)-n=F×（P/F，i，n） F=A×[(1+i)n-1]/i ＝A×（F/A，i，n） 在普通年金终值计算公式中，如果已知年金终值求年金，则求出的年金被称为“偿债基金” 。 年偿债基金A=F*i/[(1+i)n-1]=F*(A/F,i,n)
即：偿债基金＝普通年金终值×偿债基金系数
“偿债基金系数”与“年金终值系数”互为倒数。
现值
P=A×[1-(1+i)-n]/i ＝A×（P/A，i，n）
在普通年金现值计算公式中，如果已知年金现值求年金，则求出的年金被称为“资本回收 额”。
资本回收额A=P*i/[(1-(1+i)-n]=P*(A/P,i,n)
P＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）
终值 无终值
现值 P＝A/i
即：资本回收额＝普通年金现值×资本回收系数
“资本回收系数”与“年金现值系数”互为倒数。
终值
F＝A×（F/A，i，n）×（1＋i） Leabharlann A×[（F/A，i，n＋1）-1]
各类年金终值、现值计算公式对比表
FVAn
= A
* FVIFAi,n
年金现值系数之差法:
文 字
V0 = A × （ PVIFAi,n+m - PVIFAi,m ）
永久年金
永久年金没有终值
永久年金现值 = 年金 / 折现率 = A / i
复利终值系数与复利现值系数之间互为倒数
FVn
= PV * FVIFi,n
FVIF
i,n=复利终值系数
年金终值 = 年金 * 年金终值系数利率，期数 FVIFAi,n=年金的复利终值系数
年金现值 = 年金 * 年金现值系数 PVIFAi,n=年金的复利现值系数 PVAn = A * PVIFAi,n
后付年金
（普通年金）
FVAn
= A
* FVIFAi,n
文 字
年金终值 = 年金 * （年金终值系数利率，期数+1 -1） 年金终值 = 年金 * 年金终值系数利率，期数 *（1+利率） 方法一：期数加一，系数减一
年金现值 = 年金 * （年金现值系数利率，期数+1-1） 年金现值 = 年金 * 年金现值系数利率，期数 *（1+利率） 方法一： 期数加一，系数减一 方法二： 普通年金公式*（1+利率）
先付年金
方法一： 字 母
方法二：普通年金公式*（1+利率） Vn = A *（FVIFAi，n+1-1）
方法一：
V0 = A *（PVIFAi，n+1-1）
方法二：
方法二：
Vn = A * FVIFAi，n *（1+i）
V0 =
两次折现法:ห้องสมุดไป่ตู้
A * PVIFAi，n *（1+i）
延期(递延)年金的计算
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3
例：某企业采用补偿贸易方式引进国外一条先 进的生产线，协议中约定生产线投产后从第4 年年末开始，连续5年用该生产线生产出的价 值500 000元的产品偿还设备的价款。若银行 存款年利率为6％，则到最后一期设备款支付 完毕为止该公司共支付货款多少元?
F＝A× (F／A，i，n) ＝A×(F／A，6％，5)
因此，可以说你的股票投资是一项有风险的投 资
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（二）风险的分类
1、按风险能否分散分----不可分散风险（市场风险） 和可分散风险(公司特有风险)
不可分散风险是指影响所有公司的因素带来的风险 ， 通货膨胀、经济衰退、战争
可分散风险是指发生于个别公司的特有事件给企业 带来的风险 ，如开发新产品失败、诉讼失败
式推导得出。公式 ：永续年金现值 P A
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i8
例
例：某企业要建立一项永久性的奖励基金，计 划每年发放500000元，在年利率为8％的情况 下，该企业现在应该存入银行多少元?
P=A÷i＝500000÷8％＝6 250 000(元) 例：某企业在第一年年初向银行借入100万元，
银行规定从第一年到第五年每年年末应等额偿 还25.6万元，试计算利率？ i=A/P=25.6÷100=25.6%
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投资风险的概念 (续)
例2：设你现在投资10000元购买深发展股票 1000股（每股10元）。那么，一年后你的股票 价值是多少？
（1） 一年后，股票价值11000元。则你的投 资收益率K=（11000-10000）/10000= 10%
（2） 一年后，股票价值为9500元，则你的投 资收益K=（9500-10000）/10000= －5%
递延年金终值和现值
财务管理》第二章重难点讲解及例题：递延年金终值和现值递延年金终值和现值（1）递延年金终值（已知从第二期或第二期以后等额收付的普通年金A，求FA）递延年金是指第－次等额收付发生在第二期或第二期以后的普通年金。
图示如下：求递延年金的终值与求普通年金的终值没有差别（要注意期数），递延年金终值与递延期无关。
如上图中，递延年金的终值为：FA＝AX（F／A，i，n），其中，“n，，表示的是A的个数，与递延期无关。
（2）递延年金现值（已知从第二期或第二期以后等额收付的普通年金A，求PA）方法－：把递延期以后的年金套用普通年金公式求现值，这时求出的现值是第－次等额收付前－期的数值，再往前推递延期期数就得出递延年金的现值。
图示如下：PA＝AX（P／A，i，n）×（P／F，i，m）方法二：把递延期每期期末都当作有等额的收付，把递延期和以后各期看成是－个普通年金，计算这个普通年金的现值，再把递延期多算的年金现值减去即可。
图示如下：PA＝AX（P／A，i，m＋n）－A×（P／A，i，m）【提示】方法－、方法二求递延年金现值的思路是把递延年金的现值问题转换为普通年金的现值问题，再求递延年金现值。
方法三：先求递延年金的终值，再将终值换算成现值，图示如下：PA＝A×（F／A，i，n）×（P／F，i，m＋n）【提示】递延年金现值计算公式中的“n”指的是等额收付的次数，即A的个数；递延期“m”的含义是，把普通年金（第－次等额收付发生在第1期期末）递延m期之后，就变成了递延年金（第－次等额收付发生在第W期期末，W>1）。
因此，可以按照下面的简便方法确定递延期m的数值：（1）确定该递延年金的第－次收付发生在第几期末（假设为第W期末）（此时应该注意“下－期的期初相当于上－期的期末”）；（2）根据（W－1）的数值确定递延期m的数值。
【例题7.单选题】下列关于递延年金的说法中，错误的是（）。
A.递延年金是指隔若干期以后才开始发生的系列等额收付款项B.递延年金没有终值C.递延年金现值的大小与递延期有关，递延期越长，现值越小D.递延年金终值与递延期无关【答案】B【解析】递延年金是指隔若干期以后才开始发生的系列等额收付款项；递延年金存在终值，其终值的计算与普通年金是相同的；终值的大小与递延期无关；但是递延年金的现值与递延期是有关的，递延期越长，递延年金的现值越小，所以选项B的说法是错误的。
终值与现值计算公式
终值F ＝P ＋P ×n ×i ＝P ×（1＋i ×n ）现值P ＝F/(1＋i ×n ）终值F=P ×(1+i)n ＝P ×（F/P ，i ，n ）现值P=F ×(1+i)-n =F ×（P/F ，i ，n ）F=A ×[(1+i)n -1]/i ＝A ×（F/A ，i ，n ）在普通年金终值计算公式中，如果已知年金终值求年金，则求出的年金被称为“偿债基金”。
年偿债基金A=F*i/[(1+i)n -1]=F*(A/F,i,n)即：偿债基金＝普通年金终值×偿债基金系数“偿债基金系数”与“年金终值系数”互为倒数。
P=A ×[1-(1+i)-n ]/i ＝A ×（P/A ，i ，n ）在普通年金现值计算公式中，如果已知年金现值求年金，则求出的年金被称为“资本回收额”。
资本回收额A=P*i/[(1-(1+i)-n ]=P*(A/P,i,n)即：资本回收额＝普通年金现值×资本回收系数“资本回收系数”与“年金现值系数”互为倒数。
F ＝A ×（F/A ，i ，n ）×（1＋i ）＝A ×[（F/A ，i ，n ＋1）-1]P ＝A ×（P/A ，i ，n ）×（1＋i ）＝A ×[（P/A ，i ，n －1）＋1]终值F ＝A ×（F/A ，i ，n ），其中n 是指A 的个数，与递延期无关。
计算方法一：先将递延年金视为n 期普通年金，求出在m 期末普通年金现值，然后再将此年金现值按求复利现值的方法折算到第一期期初。
P ＝A ×（P/A ，i ，n ）×（P/F ，i ，m ）计算方法二：先计算m ＋n 期年金现值，再减去m 期年金现值。
P ＝A ×[（P/A ，i ，m ＋n ）-（P/A ，i ，m ）］计算方法三：先求递延年金终值，再折现为现值。
递延年金终值与现值
递延年金发生的期数
• 即：
P AP / A, i, nP / F , i, m
• 其中，m为递延期；n为连续收Байду номын сангаас款的期数。
ж Eg.
• 某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为 10%，每年复利一次。借款合同约定前五年不用还 本付息，从第6年至第10年每年末偿还本息50000 元。计算这笔款项的金额大小。 解答： • 根据递延年金现值计算公式： • P A P / A, i, n P / F , i, m • ＝ 50000×（F/A,10%,5）×(F/A,10%,5) • ＝ 117685.386 (元)
递延年金终值
• 由于递延期m与终值无关 • 只需考虑递延年金发生的期数n。
0 1 2… m m+1 m+2 … m+n
递延期
递延年金发生的期数
• 横轴表示时间的延续，数字表示各期的顺序号，A表示各期收付款的金额， m表示递延期数，n表示收付款次数。
• 由图可知，递延年金终值为： • F=A+A(1+i)+A(1+i)² +A(1+i)³ +…+A(1+i)ⁿ﹣2+ A(1+i)ⁿ﹣1
★方法二：
• 把递延期每期期末都当作有等额的年金收付A，把递延期和以 后各期看成是一个普通年金，计算出这个普通年金的现值 • 再把递延期虚增的年金现值减掉即可。
0 1 2… m
m+1
m+2 …
m+n
假设递延期内每期都有A收付
• 即：
P AP / A, i, m n P / A, i, m
年金终值和现值得计算
4.永续年金
[例题]：拟建立一项永久性奖学金，每年计划 颁发1万元奖金，若利率为10%，现在应存入 多少钱？ P=1/10%=10万元 [例题]：如果有一股优先股，每季分得股息3 元，而利率是年利6%，对于一个准备购买这 种股票的人来说，他愿意出多少前来购买此优 先股？ i=6%/4=1.5% P=3/1.5%=200元
3 延期年金 [例题]：某企业向银行借入一笔款项，银行的 贷款利率是8%，银行规定前10年不用还本付 息，但是从第11年到第20年每年年末偿还本息 1000元，问这笔款项的现值应为多少？
P=1000﹡(P/A, 8%, 10) ﹡(P/F, 8%, 10) =100A﹡﹡(P/A, 8%, 20)-A ﹡ (P/A, 8%, 10) =1000﹡（9.818−6.710）=3107 元
PVA=A﹡ (P/A, 8%, 3) =5000﹡2.577=12885元
1.3普通年金现值 [例题]：某企业打算购置一台柴油机更新目前 使用的汽油机，每月可节省燃料费用60元，但 柴油机比汽油机高1500元。请问柴油机是用多 少年才合算？(假设年利率为12%，每月复利 一次)
1500≤60﹡ (P/A, 1%, n) 25≤ (P/A, 1%, n) 查表得：n=30月
A= P/ (P/A, 12%, 8)=2000/4.968=402.6万元
2.1先付年金终值
[例题]：某人每年年初存入1000元，存 款利率i=8%，问第10年末的本利和应是 多少？
F=1000﹡(F/A,8%,10) ﹡(1+8%) =1000﹡14.408﹡1.08=15645元 F=1000﹡ (F/A,8%,11) −1000 =1000﹡(16.645−1)=15645元
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0 1 2… m m+1 m+2 … m+n
递延期
递延年金发生的期数
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二、递延年金终值计算
由于递延期m与终值无关 只需考虑递延年金发生的期数n。
0 1 2… m m+1 m+2 … m+n
递延期
递延年金发生的期数
递延年金发生的期数10 递延年金发生的期数
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三、递延年金现值的计算
递延年金的现值与递延期数相关，递延的期数越长， 递延年金的现值与递延期数相关，递延的期数越长， 其现值越低。 其现值越低。 递延年金的现值计算有三种方法： 递延年金的现值计算有三种方法：
求该农庄给企业带来的累计收益， 求该农庄给企业带来的累计收益，实际上就是求递 延年金终值。 延年金终值。
根据 F = A(F / A, i, n ) ＝50000×（F/A，10%，10） ＝50000×15.937 ＝796850（元）
0 1 2… 5 5+1 5+2 … 5+10
递延期5 递延期
主教材： 高等教育出版社 钭志斌《公司理财》
第四节 递延年金终值与现值的计算
钭志斌 丽水职业技术学院
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一、递延年金
递延年金（ 递延年金（Deferred Annuity）是指第一次年 金收付形式发生在第二期或第二期以后的年金。 金收付形式发生在第二期或第二期以后的年金。
按第三种方法计算： 按第三种方法计算：
P＝50000×（F/A，10%，10）×（P/F， 10%，15） ＝50000×15.9370×0.2394 ＝190765.89（元）
计算结果表明， 计算结果表明，该农庄的累计投资限额为 190759.11元。 采用上述三种方法计算得出的结果存在微小的差异， 采用上述三种方法计算得出的结果存在微小的差异， 这主要是尾数差异造成的。 这主要是尾数差异造成的。
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【例2-12】农庄的累计投资限额为多少？ 】农庄的累计投资限额为多少？
接例2-11，
假设江南公司决定投资开发该农庄，根据其收益情况， 假设江南公司决定投资开发该农庄，根据其收益情况， 该农庄的累计投资限额为多少？ 该农庄的累计投资限额为多少？
0 1 2… 5 5+1 5+2 … 5+10
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方法1： 方法 ：
把递延期以后的年金套用普通年金公式求现值，然后 把递延期以后的年金套用普通年金公式求现值， 再向前折现。 再向前折现。
0 1 2… m m+1 m+2 … m+n
递延期
递延年金发生的期数
即：
P = A(P / A, i, n )(P / F , i, m )
在考虑资金时间价值的因素下， 在考虑资金时间价值的因素下，若农庄的投资报酬率 该农庄给企业带来累计收益为多少？ 为10%，该农庄给企业带来累计收益为多少？
0 1 2… 5 5+1 5+2 … 5+10
递延期5 递延期
递延年金发生的期数10 递延年金发生的期数
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方法2： 方法 ：
把递延期每期期末都当作有等额的年金收付A，把递 延期和以后各期看成是一个普通年金， 延期和以后各期看成是一个普通年金，计算出这个普 通年金的现值 再把递延期虚增的年金现值减掉即可。 再把递延期虚增的年金现值减掉即可。
0 1 2… m m+1 m+2 … m+n
计算公式如下： 计算公式如下：
F = A(F / A, i, n )
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【例2-11】农庄的累计净收益为多少？ 】农庄的累计净收益为多少？
假设江南公司拟一次性投资开发某农庄， 假设江南公司拟一次性投资开发某农庄，预计该农 年不会产生净收益， 庄能存续15年，但是前5年不会产生净收益， 年开始， 万元。 从第6年开始，每年的年末产生净收益5万元。
【同步训练2-6】不同折现率对决 同步训练 】 策的影响
若江南公司的近年来资产报酬率为 15%，则对该农庄的投资额估 计应高于还是低于190759.11 元？ 若资产报酬率为8%？为什么？ 为什么？ 若江北公司是一位潜在投资者， 若江北公司是一位潜在投资者，该公 司的投资报酬率也是10%，它 现在最高愿意花多少价格购卖该 农庄？ 农庄？
假设递延期内每期都有A收付
即： P = A[(P / A, i, m + n ) − (P / A, i, m )]
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方法3： 方法 ：
先求递延年金终值，再折现为现值 先求递延年金终值，
0 1 2… m m+1 m+2 … m+n
即
P = A(F / A, i, n )(P / F , i, m + n )
递延期5 递延期
递延年金发生的期数10 递延年金发生的期数
实质上， 实质上，求现值
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按第一种方法计算： 按第一种方法计算：
P＝50000×（P/A，10%，10）×（P/F， 10%，5） ＝50000×6.1446×0.6209 ＝190759.11（元）
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按第二种方法计算： 按第二种方法计算：
P＝50000×（P/A，10%，15）－50000× （P/A，10%，5） ＝50000×7.6061－50000×3.7908 ＝190765.00（元）
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