圆锥曲线的最值问题(解析版)
(完整版)圆锥曲线的最大值、定问题
圆锥曲线最值、定值、范围一、圆锥曲线的最值问题方法1：定义转化法①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．例1、已知点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________．方法2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．例2、求椭圆x22＋y2＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．方法3：参数法（函数法）①选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值例3、在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．方法4：基本不等式法①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．例4、求椭圆x23＋y2＝1内接矩形ABCD面积的最大值．二、圆锥曲线的范围问题方法1：曲线几何性质法①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．例1、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线中ac 的取值范围是________．方法2：判别式法当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零① 联立曲线方程，消元后求判别式；②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．例2、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP→＋OQ→与AB →共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由．三、圆锥曲线的定值、定点问题方法1：特殊到一般法根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题① 根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．。
2025高考数学一轮复习-圆锥曲线中的最值、范围问题-专项训练【含解析】
课时过关检测(五十四)圆锥曲线中的最值、范围问题【原卷版】1．在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2．以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设经过点(－2,0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 面积的最大值．2．已知抛物线C ：y 2＝4x ，点F 是C 的焦点，O 为坐标原点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)求向量OA ―→与OB ―→的数量积；(2)设FB ―→＝λAF ―→，若λ∈[9,16]，求l 在y 轴上的截距的取值范围．3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，E 的左顶点为A ，上顶点为B ，点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的周长为4＋23．(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G (1,0)，求k 的取值范围．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 21(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆E 的离心率为32，且通径长为1．(1)求E 的方程；(2)直线l 与E 交于M ，N 两点(M ，N 在x 轴的同侧)，当F 1M ∥F 2N 时，求四边形F 1F 2NM 面积的最大值．课时过关检测(五十四)圆锥曲线中的最值、范围问题【解析版】1．在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2．以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设经过点(－2,0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 面积的最大值．解：(1)由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上．设椭圆E的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2b2，∴椭圆E的标准方程为x22b2＋y2b2＝1．又椭圆E，∴12b2＋12b2＝1，解得b2＝1．∴椭圆E的标准方程为x22＋y2＝1．(2)由于点(－2,0)在椭圆E外，所以直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．k(x＋2)，y2＝1，消去y得，(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0．由Δ＞0得0≤k2＜12，从而x1＋x2＝－8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，∴|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝21＋k22－4k2(1＋2k2)2．∵点F2(1,0)到直线l的距离d＝3|k|1＋k2，∴△F2MN的面积为S＝12|MN|·d＝3k2(2－4k2)(1＋2k2)2．令1＋2k2＝t，则t∈[1,2)，∴S＝3(t－1)(2－t)t2＝3－t2＋3t－2t2＝3－1＋3t－2t2＝3当1t＝34即t[1，S有最大值，S max＝324，此时k＝±66．∴当直线l的斜率为±66时，可使△F2MN的面积最大，其最大值324．2．已知抛物线C：y2＝4x，点F是C的焦点，O为坐标原点，过点F的直线l与C相交于A，B两点．(1)求向量OA―→与OB―→的数量积；(2)设FB―→＝λAF―→，若λ∈[9,16]，求l在y轴上的截距的取值范围．解：(1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意知直线l的斜率不可能为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1．＝my＋1，2＝4x，得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16＞0，1＋y2＝4m，1y2＝－4.∴OA―→·OB―→＝x1x2＋y1y2＝y21y2216＋y1y2＝1616－4＝－3．∴向量OA―→与OB―→的数量积为－3．(2)由(1)1＋y2＝4m，1y2＝－4.∵FB―→＝λAF―→，∴y2＝－λy1．将y2＝－λy11＋y2＝4m，1y2＝－4，1－λ)y1＝4m，λy21＝－4，－λ)2y21＝16m2，λy21＝－4，∴(1－λ)2－λ＝－4m2，∴4m2＝(1－λ)2λ＝λ＋1λ－2．令f(λ)＝λ＋1λ－2，易知f(λ)在[9,16]上单调递增，∴4m2∈649，22516，∴m2∈169，22564，∴m∈－158，－43∪43，158．∴l在y轴上的截距－1m的取值范围为－34，－815∪815，34．3．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，E的左顶点为A，上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4＋23．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G(1,0)，求k的取值范围．解：(1)a＋2c＝4＋23，＝ca＝32，＝2，＝3，则b2＝a2－c2＝1，∴椭圆E的方程为x24＋y2＝1．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，弦MN的中点D(x0，y0)，kx＋m，y2＝1，消去y整理得，(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，∵直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点，∴Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＞0，即m2＜1＋4k2，1＋x2＝－8km1＋4k2，1·x2＝4m2－41＋4k2，则x0＝x1＋x22＝－4km1＋4k2，y0＝kx0＋m＝m1＋4k2，所以直线DG的斜率为k DG＝y0x0－1＝－m4km＋1＋4k2，又由直线DG和直线MN垂直可得－m4km＋1＋4k2·k＝－1，则m＝－1＋4k23k，代入m2＜1＋4k2可得＜1＋4k2，即k2＞15，解得k＞55或k＜－55．故所求k∞4．已知椭圆E：x2a2＋y2b21(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为32，且通径长为1．(1)求E的方程；(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM 面积的最大值．解：(1)c2，＝2，＝1，＝3，故椭圆的方程为x24＋y2＝1．(2)假设M，N两点在x轴上侧，如图所示，延长MF1交E于点M0，由F1M∥F2N知M0与N关于原点对称，从而有|F1M0|＝|F2N|，由(1)可知F1(－3，0)，F2(3，0)，设M(x1，y1)，M0(x2，y2)，设MF1的方程为x＝my－3，由my－3，y2＝1得(m2＋4)y2－23my－1＝0，Δ＝12m2＋4(m2＋4)>0，故1＋y2＝23mm2＋4，1y2＝－1m2＋4.设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，则S＝12(|F1M|＋|F2N|)d＝12(|F1M|＋|F1M0|)d＝12|MM0|d＝S△MF2M0，又因为S△MF2M0＝12·|F1F2|·|y1－y2|＝12×23×|y1－y2|＝3(y1＋y2)2－4y1y2＝3·12m2(m2＋4)2＋4m2＋4＝43m2＋1m2＋4＝43m2＋1＋3m2＋1≤4323＝2，当且仅当m2＋1＝3m2＋1，即m＝±2时，等号成立，故四边形F1F2NM面积的最大值为2．。
圆锥曲线中的最值问题
面积最值问题
总结词
面积最值问题主要研究圆锥曲线与其 内部区域的面积的最小或最大值。
详细描述
求解面积最值问题通常需要利用曲线 的参数方程或极坐标方程，转化为关 于角度或参数的定积分，通过求积分 得到面积表达式，再求最值。
周长最值问题
总结词
周长最值问题主要研究圆锥曲线 上的点的轨迹形成的曲线的周长 的最小或最大值。
圆锥曲线中的最值问
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线中最大值最线中的最值问题的实例分析
01
引言
圆锥曲线的定义与性质
圆锥曲线是由平面与圆锥的侧面或顶 点相交形成的几何图形，包括椭圆、 抛物线和双曲线等。
圆锥曲线具有多种性质，如对称性、 焦点、准线等，这些性质在解决最值 问题时具有重要作用。
详细描述
解决周长最值问题通常需要利用 曲线的参数方程，通过求导数找 到曲线的拐点，从而确定周长的 最大或最小值。
角度最值问题
总结词
角度最值问题主要研究圆锥曲线上的点与坐标轴形成的角度 的最小或最大值。
详细描述
解决角度最值问题通常需要利用曲线的极坐标方程，通过求 导数找到曲线的极值点，从而确定角度的最小或最大值。
在实际生活中的应用
航天器轨道设计
在航天领域，卫星和行星的轨道通常呈现为某种圆锥曲线 的形状，通过研究这些轨道的最值问题，可以优化航天器 的发射和运行轨迹。
物流运输
在物流和运输行业中，货物的运输路径通常受到多种因素 的限制，呈现出某种圆锥曲线的轨迹，通过求解最值问题， 可以找到最优的运输路径和最低的成本。
03
解决圆锥曲线中最大值最小值问题的
方法
利用导数求最值
导数可以帮助我们找到函数的极值点 ，通过求导并令导数为零，我们可以 找到可能的极值点。
圆锥曲线中的范围与最值问题
解：(2)由 2 ＝λ 1 ，
延长 BF 1， AF 2交椭圆于 C ， D 两点，根据椭圆的对
称性可知，四边形 ABCБайду номын сангаас 为平行四边形，且四边形
ABF 1 F 2的面积为四边形 ABCD 的面积的一半.
由题知， BF 1的斜率不为零，
故设 BF 1的方程为 x ＝ my － 2 ，
= 4，
(*)， x 1
＋ x 2＝4 k ， x 1 x 2＝－4 b ，所以｜ AB ｜＝ 1 + 2 ｜ x 1－ x 2｜＝
1 + 2 · (1 ＋2 )2 − 41 2 ＝4 1 + 2 · 2 ＋ .因为 x 2＝4 y ，即 y ＝
2
1
，所以y'＝ ，则抛物线在点 A 处的切线斜率为 ，在点 A 处的切线方
3
3
2 2
1 2
2
2
2
2
∴b ＝a －c ＝a － a ＝ a ，
3
3
∴椭圆的标准方程为 x 2＋3 y 2＝ a 2.
2 + 3 2 ＝2 ，
2 −2
由൝
⇒ y ＝±
.
3
＝ 2
2 −2
2 3
由题可知2
＝
，解得 a 2＝3，
3
3
2
∴椭圆 C 的方程为 ＋ y 2＝1.
3
(2)若 A 和 B 为椭圆 C 上在 x 轴同侧的两点，且 2 ＝λ 1 ，求四边形
的纵坐标的最小值为( A )
D. 1
(2)设 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)， M ( x 0， y 0)，直线 AB 的方程为 y ＝ kx ＋
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。
高考数学利用均值不等式求圆锥曲线中的最值(解析版)
利用均值不等式求圆锥曲线中的最值一、考情分析与圆锥曲线有关的最值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐，其中利用均值不等式求圆锥曲线中的最值是一类常见问题，求解时常涉及函数与方程、化归转化等数学思想．二、解题秘籍(一)利用均值不等式求圆锥曲线中最值的方法与策略利用均值不等式求圆锥曲线中的最值，一是直接根据圆锥曲线中的和(积)为定值的性质求积(和)的最大(小)值，如根据椭圆中PF 1 +PF 2 为定值，可求PF 1 PF 2 的最大值，二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用基本不等式求最值，求解这类问题的核心是建立参数之间的等量关系.【例1】(2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考)设椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，F 1，F 2是椭圆Γ的左、右焦点，点A 1,32 在椭圆Γ上，点P 4,0 在椭圆Γ外，且PF 2 =4-3．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若B 1,-32，点C 为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C 的直线l 与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA ，PB 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，记△OMN ，△PMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 21-S 1S 2+S 22的最小值．【解析】(1)因为点A 1,32 在椭圆Γ上，所以1a 2+34b 2=1，①因为点P 4,0 在椭圆Γ外，且PF 2 =4-3，所以c =3，即a 2-b 2=c 2=3，②由①②解得a 2=4，b 2=1，故椭圆Γ的方程为x 24+y 2=1．(2)设点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设直线MN ：x =my +t ，由椭圆性质以及点C 的横坐标大于1可知，t >2，将直线MN 代入方程x 24+y 2=1并化简可得，my +t 2+4y 2-4=0，即m 2+4 y 2+2mty +t 2-4=0，因为直线l 与椭圆有且仅有一个交点，所以Δ=4m 2t 2-4m 2+4 t 2-4 =0，即t 2=m 2+4．直线AP 的方程为：x =4-23y ；直线BP 的方程为l BP ：x =4+23y ，联立方程x =my +t ,x =4-23y ,得y 1=4-t 23+m ，同理得y 2=t -423-m，所以y 1-y 2=4-t -43 m 2-12=43t +4，所以S 1=12t y 1-y 2 ，S 2=124-t y 1-y 2 ，所以S 21-S 1S 2+S 22=14t 2y 1-y 2 2-t 4-t 4y 1-y 2 2+14(4-t )2y 1-y 22=14y 1-y 2 2t 2-4t +t 2+16-8t +t 2 =14×48t +4 23t 2-12t +16 =36-489t +8 t 2+8t +16，令9t +8=λλ>26 ，则S 21-S 1S 2+S 22=36-48×81λ+282λ+56≥97，当且仅当λ=28，即t =209时，不等式取等号，故当t =209时，S 21-S 1S 2+S 22取得最小值97．【例2】已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的离心率为32，且过点1,2 .(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 被圆x 2+y 2=a 2截得的弦长为26，设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 面积的最大值.【解析】(1)e =32，b a =a 2-c 2a =1-e 2=12，由椭圆过点1,2 得4a 2+1b 2=1，解得a 2=8，b 2=2，∴椭圆C 的方程为y 28+x 22=1.(2)直线l 被圆x 2+y 2=8截得的弦长为26，则圆心到直线l 的距离d 满足6 2=22 2-d 2，解得d =2，当l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，圆心为原点则有d =m 1+k 2=2，∴m 2=2k 2+1.将l 方程代入椭圆方程中整理得：k 2+4 x 2+2mkx +m 2-8=0，∴x 1+x 2=-2mk k 2+4，x 1x 2=m 2-8k 2+4，AB =k 2+1⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=k 2+1⋅42k 2+8-m 2k 2+4=46⋅k 2+1k 2+4，∴S △OAB =12AB d =43×1k 2+1+3k 2+1≤2，当且仅当k 2+1=3k 2+1，即k =±2时取等号.当l 的斜率不存在时，则l ：x =±2，过椭圆的左、右顶点，此时直线l 与椭圆只有一个交点，不符合题意.∴△OAB 面积的最大值为2.(二)把距离或长度用单变量表示，然后利用均值不等式求最值.此类问题通常利用两点间距离或弦长公式，把距离或长度表示成关于直线斜率、截距或点的横坐标(纵坐标)的函数，然后利用均值不等式求最值.【例3】已知圆C 过定点A (0，p )(p >0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设|AM |=m ，|AN |=n ，∠MAN =θ.(1)当点C 运动时，|MN |是否变化？试证明你的结论；(2)求m n +n m的最大值.【解析】(1)设C x 0,x 202p ，则AC =x 20+x 202p -p 2，故圆C 的方程x -x 0 2+y -x 202p2=x 20+x 202p -p2 ，令y =0有x -x 0 2+x 404p 2=x 20+x 404p 2-x 20+p 2，故x -x 0 2=p 2，解得x 1=x 0+p ，x 2=x 0-p ，故MN =x 1-x 2 =2p 不变化，为定值(2)由(1)不妨设M x 0-p ,0 ,N x 0+p ,0 ，故m =x 0-p 2+p 2，n =x 0+p 2+p 2，故m n +nm=m 2+n 2mn =x 0-p 2+p 2+x 0+p 2+p 2x 0-p 2+p 2x 0+p 2+p 2=2x 20+4p 2x 20+2p 2 2-4p 2x 2=2x 20+2p 2 x 40+4p 4=21+4x 20p 2x 40+4p 4=21+4p 2x 20+4p 4x 2≤21+4p 22x 20⋅4p 4x 20=22，当且仅当x 2=4p 4x 20，即x 0=±2p 时取等号.故m n +nm 的最大值为22(三)把面积表示为单变量函数，然后利用基本不等式求值该类问题求解的基本思路是把三角形面积表示成关于直线斜率与截距的函数，然后利用均值不等式求最值.【例4】(2022届陕西省汉中市高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(-3,0),F 2(3,0)且经过点P (3,2).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)【解析】(1)由椭圆的定义，可知2a =PF 1 +PF 2 =(23)2+4+2=4+2=6解得a =3，又b 2=a 2-(3)2=6.∴椭圆C 的标准方程为x 29+y 26=1.(2)设直线l 的方程为y =x +m ，联立椭圆方程，得5x 2+6mx +3m 2-18=0，△=36m 2-60m 2+360>0，得-15<m <15设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-6m 5,x 1⋅x 2=3m 2-185，∴|AB |=2⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=2⋅36m 225-12m 2-725=435⋅15-m 2，点O (0,0)到直线l :x +y -m =0的距离d =|m |2，∴S △AOB =12|AB |⋅d =12×435×15-m 2×|m |2=6515-m 2 ⋅m2≤6515-m 2+m 22 2=65×152=362.当且仅当15-m 2=m 2,(-15<m <15)，即m 2=152,m =±302时取等号；∴△AOB 面积的最大值为362.(四)把面积用双变量表示，然后利用均值不等式求最值求解该类问题通常先建立两个变量之间的等量关系，然后利用和或积为定值，借助均值不等式求最值.【例5】(2022届湖南省长沙市高三上学期11月月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的离心率为e =32，Q 2,22 为椭圆上一点.直线l 不经过原点O ，且与椭圆交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点.(1)求椭圆的方程；(2)求△OAB 面积的最大值，并求当△OAB 面积最大时AB 的取值范围.【解析】(1)∵e =c a =32,a 2=b 2+c 2,∴a 2=43c 2,b 2=c 23，∴3x 24c 2+3y 2c 2=1.将Q 2,22 代入得32c 2+32c2=1⇒c =3⇒a 2=4,b 2=1，∴椭圆方程为x24+y 2=1.(2)设l :x =ty +m m ≠0 ，与椭圆联立得：t 2+4 y 2+2tmy +m 2-4=0，所以y 1+y 2=-2tm t 2+4,y 1y 2=m 2-4t 2+4,Δ=16t 2+4-m 2 >0.则S △OAB =12m ⋅y 1-y 2 =2m t 2+4-m 2t 2+4=2m 2t 2+41-m 2t 2+4 ，因为t 2+4-m 2>0，故0<m 2t 2+4<1，所以2m 2t 2+41-m 2t 2+4 ≤m 2t 2+4+1-m 2t 2+4 =1当且仅当m 2t 2+4=12时取等号，此时Δ=16m 2>0，符合题意.所以S △OAB ≤1，即△OAB 面积的最大值为1.当t 不存在时，设l :y =h h ≠0 ，则S △OAB =21-h 2⋅h ≤1，当h =22时取等号.综上，△OAB 面积的最大值为1当△OAB 面积最大时：若t 存在，则此时t 2=2m 2-4≥0⇒m 2≥2，则AB =1+t 2⋅4t 2+4-m 2t 2+4=22-3m 2∈2,22 ，若t 不存在，则此时AB =41-h 2=22.综上，AB ∈2,22 .．(五)与斜率有关的最值问题与斜率有关的最值问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解.【例6】(2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ =9QF，求直线OQ 斜率的最大值．【解析】(1)抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F p 2,0 ，准线方程为x =-p2，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为p 2--p2=p =2，所以该抛物线的方程为y 2=4x ；(2)设Q x 0,y 0 ，则PQ =9QF=9-9x 0,-9y 0 ，所以P 10x 0-9,10y 0 ，由P 在抛物线上可得10y 0 2=410x 0-9 ，即x 0=25y 20+910，据此整理可得点Q 的轨迹方程为y 2=25x -925，所以直线OQ 的斜率k OQ =y 0x 0=y 025y 20+910=10y 025y 20+9，当y 0=0时，k OQ =0；当y 0≠0时，k OQ =1025y 0+9y 0，当y 0>0时，因为25y 0+9y 0≥225y 0⋅9y 0=30，此时0<k OQ ≤13，当且仅当25y 0=9y 0，即y 0=35时，等号成立；当y 0<0时，k OQ <0；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.(六)与数量积有关的最值问题求解与数量积有关的最值问题，通常利用数量积的定义或坐标运算，把数量积表示成某个变量的函数，然后再利用均值不等式求最值.【例7】设椭圆x 25+y 24=1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ，曲线C 的两条切线PA 、PB 交于点P ，且与C 分别切于A 、B 两点，求PA ⋅PB的最小值．【解析】设椭圆的两切线为l 1，l 2．①当l 1⊥x 轴或l 1⎳x 轴时，对应l 2⎳x 轴或l 2⊥x 轴，可知切点为；②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x ≠±5，设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为-1k，并设l 1,l 2 的交点为x 0,y 0 ，则l 1的方程为y -y 0=k x -x 0 ，联立x 25+y 24=1，得：5k 2+4 x 2+10y 0-kx 0 kx +5y 0-k 0x 0 2-20=0 ，∵直线与椭圆相切，∴Δ=0，得5y 0-kx 0 2k 2-5k 2+4 y 0-kx 0 2-4 =0，∴x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0，∴k 是方程x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0的一个根，同理-1k是方程x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0的另一个根，∴k ⋅-1k =y 20-4x 20-5得x 20+y 20=9，其中x ≠±5，∴交点的轨迹方程为：x 2+y 2=9x ≠±5 ，∵±5,±2 也满足上式；综上知：轨迹C 方程为x 2+y 2=9；设PA =PB =x ，∠APB =θ，则在△AOB 与△APB 中应用余弦定理知，AB 2=OA 2+OB 2-2OA ⋅OB ⋅cos ∠AOB =PA 2+PB 2-2PA ⋅PB ⋅cos ∠APB ，即32+32-2⋅3⋅3cos 180°-θ =x 2+x 2-2x ⋅x ⋅cos θ ，即x 2=91+cos θ1-cos θ，PA ⋅PB =PA ⋅PB cos ∠APB =x ⋅x cos θ=91+cos θ cos θ1-cos θ，令t =1-cos θ∈0,2 ，则cos θ=1-t ，PA ⋅PB =92-t 1-t t =9t 2-3t +2 t =9⋅t +2t-3 ≥9⋅2t ⋅2t -3 =922-3 ，当且仅当t =2t，即t =2时，PA ⋅PB 取得最小922-3 ；综上，PA ⋅PB 的最小为922-3 .三、跟踪检测1.(2023届山东省青岛市高三上学期检测)在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆C 1:x 2+y 2+2x -454=0内切，且与圆C 2:x 2+y 2-2x +34=0外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)不过圆心C 2且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ,M 两个不同的点，连接AC 2交轨迹E 于点B .(i )若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；(ii )若过圆心C 1的直线交轨迹E 于D ,G 两个不同的点，且AB ⊥DG ，求四边形ADBG 面积的最小值.【解析】(1)设动圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为x ,y由题意可知：圆C 1的圆心为C 1-1,0 ，半径为72；圆C 2的圆心为C 21,0 ，半径为12.∵动圆P 与圆C 1内切，且与圆C 2外切，∴PC 1 =72-RPC 2 =12+R⇒PC 1 +PC 2 =4>C 1C 2 =2∴动圆P 的圆心的轨迹E 是以C 1,C 2为焦点的椭圆，设其方程为：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，其中2a =4,2c =2,∴a =2,b 2=3从而轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1(2)(i )设直线AB 的方程为y =k x -1 k ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1,-y 1 由y =k x -1x 24+y 23=1可得：4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0∴x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3直线BM 的方程为y +y 1=y 2+y 1x 2-x 1x -x 1 ，令y =0可得N 点的横坐标为：x N =x 2-x 1y 2+y 1y 1+x 1=k x 2-x 1 x 1-1 k x 1+x 2-2+x 1=2x 1x 2-x 1+x 2 x 1+x 2-2=2×4k 2-124k 2+3-8k 24k 2+38k 24k 2+3-2=4∴N 为一个定点，其坐标为4,0(ii )根据(i )可进一步求得：AB =1+k 2x 2-x 1 =1+k 2×x 2+x 12-4x 1x 2=1+k 2×8k 24k 2+3 2-4×4k 2-124k 2+3=12k 2+1 4k 2+3.∵AB ⊥DG ,∴k DG =-1k，则DG =12k 2+13k 2+4∵AB ⊥DG ，∴四边形ADBG面积S=12AB×DG=12×12k2+14k2+3×12k2+13k2+4=72k2+124k2+33k2+4(法一)S=72k2+124k2+33k2+4≥72k2+124k2+3+3k2+422=28849等号当且仅当4k2+3=3k2+4时取，即k=±1时，S min=288 49(法二)令k2+1=t,∵k≠0,∴t>1，则S=72t212t2+t-1=72-1t2+1t+12=72-1t-122+494当1t=12，即k=±1时，S min=288492.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点3,-32，且椭圆的离心率e=12，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A,B及C、D．(1)求椭圆的方程；(2)求证：1|AB|+1|CD|为定值；(3)求|AB|+916|CD|的最小值．【解析】(1)由e=ca=12，得c2a2=14，∴a2=4c2=4(a2-b2)，∴3a2=4b2．①，由椭圆过点3,-3 2知，3a2+34b2=1②．联立①②式解得a2=4，b2=3．故椭圆的方程是x24+y23=1．(2)1|AB|+1|CD|为定值712．证明：椭圆的右焦点为F(1,0)，分两种情况．1°不妨设当AB的斜率不存在时，AB:x=1，则CD:y=0．此时|AB|=2b2a=3，|CD|=2a=4，1|AB|+1|CD|=712；2°当直线AB的斜率存在时，设AB:y=k(x-1)(k≠0)，则CD:y=-1k(x-1)．又设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程组y=k(x-1)3x2+4y2=12 ，消去y并化简得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，∴x1+x2=8k24k2+3，x1∙x2=4k2-124k2+3，∴|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k2|x1-x2|=1+k2∙(x1+x2)2-4x1x2=1+k2∙64k4-16(k2-3)(4k2+3)(4k2+3)2=12(k2+1)4k2+3，由题知，直线CD的斜率为-1 k，同理可得|CD |=12(1+k 2)4+3k 2所以1|AB |+1|CD |=7k 2+712(k 2+1)=712为定值．(3)解：由(2)知1|AB |+1|CD |=712，∴|AB |+916|CD |=127|AB |+916|CD | 1|AB |+1|CD |=1272516+916|CD ||AB |+|AB ||CD |≥1272516+2916|CD ||AB |×|AB ||CD |=214，当且仅当916|CD ||AB |=|AB ||CD |，即|AB |=34|CD |，即|AB |=3，|CD |=4时取等号，∴|AB |+916|CD |的最小值为214．3.(2023届四川省隆昌市第一中学高三上学期考试)已知离心率为12的椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点1,32，抛物线C 2:y 2=2px p >0 ．(1)若抛物线C 2的焦点恰为椭圆C 1的右顶点，求抛物线方程；(2)若椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为A ，过A 但不经过原点的直线l 交椭圆C 1于B ，交抛物线C 2于M ，且AM =MB，求p 的最大值，并求出此时直线l 的斜率．【解析】(1)由c a =12设a 2=4c 2，b 2=3c 2，所以将点1,32 代入椭圆C 1:x 24c 2+y 23c 2=1得：椭圆C 1:x 24+y 23=1，所以C 1的右顶点为2,0 ，依题意p 2=2，所以抛物线C 2方程为y 2=8x ；(2)设直线l 的方程为x =my +t t ≠0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，M x 0,y 0 ，联立x =my +t x 24+y 23=1，消去x 整理得3m 2+4 y 2+6mty +3t 2-12=0，显然Δ>0则y 1+y 2=-6km 3m 2+4，所以y 0=y 1+y 22=-3km 3m 2+4，x 0=my 0+t =4t3m 2+4；联立x =my +t y 2=2px，消去x 整理得y 2-2pmy -2pt =0，∴Δ>0，且y 1y 0=-2pt∴y 1=-2pty 0=2p 3m 2+4 3m由抛物线方程得x 1=y 212p =2p 3m 2+4 29m 2，所以点坐标为A 2p 3m 2+4 29m 2,2p 3m 2+4 3m，将点A 代入椭圆方程3x 2+4y 2=12有：32p 3m 2+429m 22+42p 3m 2+4 3m 2=12整理得：27p2=133m +4m 4+43m +4m 2，令t =3m +4m2，则t ≥23m ⋅4m 2=48，当且仅当3m =4m即m =43，即直线l 的斜率k =32时t ≥48取等号，所以27p2=13t 2+4t ≥20×48，∴p 2≤9320，∴p ≤3540，即p 的最大值为3540，此时直线l 的斜率为32．4.平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为26，过焦点的最短弦长为 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为12的直线与椭圆交于A ,B 两点，P 为椭圆上异于A ,B 的点，求△PAB 的面积的最大值.【解析】(1)由题意得2c =26,2b 2a =2a 2-b 2=c 2⇒a 2=8,b 2=2，故椭圆的标准方程为x 28+y 22=1；(2)设直线AB 的方程为y =12x +m ，则x 28+y 22=1y =12x +m⇒x 2+2mx +2m 2-4=0，，Δ=16-4m 2>0⇒-2<m <2，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，x 1+x 2=-2m x 1x 2=2m 2-4AB =16-4m 2×1+14=5×4-m 2，当-2<m ≤0时，当P 到AB 的距离最大时，点P 在第二象限且过P 点的切线正好与AB 平行，设切线方程为y =12x +n ，n >0，x 28+y 22=1y =12x +n⇒x 2+2nx +2n 2-4=0，由Δ=16-4n 2=0得n =2，此时P (-2,1)，P 到AB 的距离最大为d =m -21+14=2m -2 5，故△PAB 的面积S =12×AB ×d =12×5×4-m 2×2m -2 5=4-m 2×m -2 ，则S 2=(2+m )(2-m )3=13(6+3m )(2-m )3≤13×6+3m +6-3m 4 4=27，故S ≤33，当且仅当m =-1时取等号. 当0<m <2时，当P 到AB 的距离最大时，点P 在第四象限且过P 点的切线正好与AB 平行，设切线方程为y =12x +n ，n <0，x 28+y 22=1y =12x +n⇒x 2+2nx +2n 2-4=0，由Δ=16-4n 2=0得n =-2，此时P (2,-1)，P 到AB 的距离最大为d =m +21+14=2m +2 5，故△PAB 的面积S =12×AB ×d =12×5×4-m 2×2m +2 5=4-m 2×m +2 ，则S 2=(2-m )(2+m )3=13(6-3m )(2+m )3≤13×6-3m +6+3m 4 4=27，故S ≤33，当且仅当m =1时取等号. 所以△PAB 的面积的最大值为33.5.平面直角坐标系中，过点(1,0)的圆C 与直线x =-1相切．圆心C 的轨迹记为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)设A ,B 为曲线Γ上的两点，记AB 中点为M ，过M 作AB 的垂线交x 轴于N ．①求x N -x M ；②当AB =10时，求x N 的最大值．【解析】(1)设C (x ,y )，由题意，则C 到(1,0)的距离等于C 到x =-1的距离，故C 的轨迹为抛物线y 2=4x ；(2)设A y 124,y 1 ,B y 224,y 2 ，则M y 12+y 228,y 1+y 22，①k AB =y 1-y 2y 124-y 224=4y 1+y 2故k MN=-y 1+y 24，MN :y -y 1+y 22=-y 1+y 24x -y 12+y 228，令y =0，得0-y 1+y 22=-y 1+y 24x -y 12+y 228，故x N =y 12+y 228+2，即xN -x M =2，②由题意y 124-y 2242+(y 1-y 2)2=10，即40=(y 1-y 2)2[(y 1+y 2)2+16]≤(y 1-y 2)2+(y 1+y 2)2+162=y 12+y 22+8，故x N =y 12+y 228+2≥6．6.已知点F 1、F 2分别为椭圆Γ:x 22+y 2=1的左､右焦点，直线l :y =kx +t 与椭圆Γ有且仅有一个公共点，直线F 1M ⊥l ,F 2N ⊥l ，垂足分别为点M 、N .(1)求证：t 2=2k 2+1；(2)求证：F 1M ⋅F 2N为定值，并求出该定值；(3)求OM +ON ⋅ OM -ON的最大值.【解析】(1)联立l :y =kx +t 与Γ:x 22+y 2=1得：2k 2+1 x 2+4ktx +2t 2-2=0，由直线与椭圆有一个公共点可知：Δ=4kt 2-42k 2+1 2t 2-2 =0，化简得：t 2=2k 2+1；(2)由题意得：F 1-1,0 ,F 21,0 ，因为F 1M ⊥l ,F 2N ⊥l ，所以F 1M ∥F 2N ，故F 1M ⋅F 2N =F 1M ⋅F 2N ，其中F 1M =-k +tk 2+1，F 2N =k +tk 2+1，所以F 1M ⋅F 2N =F 1M ⋅F 2N =-k +t k 2+1⋅k +t k 2+1=t 2-k 2 k 2+1=2k 2+1-k 2k 2+1=1，F 1M ⋅F 2N为定值，该定值为1；(3)OM +ON =OF 1 +F 1M +OF 2 +F 2N =F 1M +F 2N =F 1M +F 2N ，由题意得：点F 1,F 2在直线l 的同侧，所以F 1M +F 2N =-k +t k 2+1+k +t k 2+1=2t k 2+1，OM -ON =NM =F 1F 2 ⋅MNMN=F 1F 2 cos α=2k 2+1，(其中α为F 1F 2 ,MN 的夹角)，由此可知：OM +ON ⋅ OM -ON =4t k 2+1=8t t 2+1=8t +1t ≤82t ⋅1t=4，当且仅当t =1t即t =1,k =0时，等号成立，所以OM +ON ⋅ OM -ON 的最大值为4.7.(2022届广东省佛山市高三上学期12月模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e =22，且点P 2,1 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)若点A ,B 都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP (不包括端点)上.求△AOB 面积的最大值.【解析】(1)离心率e =c a =22，将P 代入椭圆方程，可得4a 2+1b2=1，又a 2-b 2=c 2 ，∴联立上述方程，可得：a =6， b =c =3，∴椭圆方程为x 26+y 23=1；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 可得：x 21+2y 21=6,x 22+2y 22=6，相减可得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0，由题意，k OM =k OP =12，即y 1+y 2x 1+x 2=12，∴直线AB 的斜率y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 22y 1+y 2=-12×2=-1，故可设直线AB 为y =-x +t ，代入椭圆方程可得：3x 2-4tx +2t 2-6=0，由Δ=16t 2-12(2t 2-6)>0，解得-3<t <3，∴x 1+x 2=4t 3,x 1x 2=2t 2-63，AB =2⋅(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2⋅16t 29-8t 2-243=439-t 2，又O 到AB 的距离为d =t2，∴△AOB 面积为S =12AB d =23t 29-t 2≤23⋅t 2+9-t 22=322，当且仅当t 2=9-t 2，即t =±322时，S 取得最大值322.8.(2022届衡水金卷高三一轮复习摸底测试)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的上顶点为B 0,1 ，过点2,0 且与x 轴垂直的直线被截得的线段长为233.(1)求椭圆Γ的标准方程﹔(2)设直线l 1交椭圆Γ于异于点B 的P ,Q 两点，以PQ 为直径的圆经过点B ,线段PQ 的中垂线l 2与x 轴的交点为(x 0,0)，求x 0的取值范围.【解析】(1)由已知条件得：b =1，令x =2，得y =±1-2a2，由题意知：21-2a 2=233，解得a =3，∴椭圆的标准方程为x 23+y 2=1，(2)①当直线PQ 的斜率不存在时，显然不合题意；②当直线PQ 斜率存在时，设PQ :y =kx +m ，当k =0时，此时P ,Q 关于y 轴对称，令P (x ,y ),Q (-x ,y )，∴BP =(x ,y -1),BQ =(-x ,y -1)且BP ⋅BQ=0，则(y -1)2=x 2，又x 2=3-3y 2，∴2y 2-y -1=0，解得y =-12或y =1(舍)，则P 32,-12 ,Q -32,-12符合题设.∴此时有x 0=0；当k ≠0时，则y =kx +mx 2+3y 2=3，得1+3k 2 x 2+6km x +3m 2-3=0，Δ=36k 2+12-12m 2>0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则y =kx +mx 2+3y 2=3，得1+3k 2 x 2+6km x +3m 2-3=0，Δ=36k 2+12-12m 2>0，且x 1+x 2=-6km 1+3k2x 1x 2=3m 2-31+3k 2，由BP ⋅BQ=x 1x 2+y 1-1 y 2-1 =0，即1+k 2 x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +m -1 2=0，∴1+k 2 ⋅3m 2-31+3k 2-k m -1 ⋅6km 1+3k 2+m -1 2=0，整理得2m 2-m -1=0，解得m =-12，m =1(舍去)，代入Δ=36k 2+12-12m 2>0得：k ∈R ，∴PQ 为y =kx -12，得：x M =x 1+x 22=3k 21+3k 2 ,y M =-121+3k 2 ，则线段的PQ 中垂线l 2为y +121+3k 2 =-1k x -3k 21+3k 2，∴在x 轴上截距x 0=k 1+3k 2，而x 0=k 1+3k 2≤k 2×3k=36，∴-36≤x 0≤36且x 0≠0，综合①②:线段PQ 的中垂线l 2在x 轴上的截距的取值范围是-36,36.9.(2022届河北省高三上学期12月教学质量监测)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1-1,0 ，F 21,0 ，点P 满足PF 1 +PF 2 =22，点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)不过F 1的直线l 与C 交于A ､B 两点，若直线l 的斜率是直线AF 1､BF 1斜率的等差中项，直线AB 和线段AB 的垂直平分线与y 轴分别交于P ､Q ，求PQ 的最小值.【解析】(1)由椭圆的定义知，点P 在以F 1，F 2为焦点且a =2的椭圆上，所以其方程为：x 22+y 2=1(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0.直线l 的方程为y =kx +b ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立得x 2+2y 2=2y =kx +b得1+2k 2 x 2+4kb x +2b 2-2=0，所以Δ=4kb 2-41+2k 2 2b 2-2 >0得k 2+1>b 2x 1+x 2=-4kb 1+2k 2，x 1x 2=2b 2-21+2k 2由题意得2k =y 1x 1+1+y 2x 2+1，即2k x 1+1 x 2+1 =kx 1+b x 2+1 +kx 2+b x 1+1整理得b -k x 1+x 2 =2k -b∵直线l 不过F 1，∴b ≠k ，x 1+x 2=-2∴-4kb 1+2k 2=-2，∴b =1+2k 22k ∵b 2<k 2+1，∴1+2k 22k 2<k 2+1，解得k >22或k <-22线段AB 的中点为-1,b -k ，线段AB 中垂线方程为y -b -k =-1kx +1 当x =0时，y Q =-1k-k +b ，直线AB 与y 轴交点的纵坐标y P =b PQ =y P -y Q =k +1k，k >22或k <-22当k =±1时，PQ 最小，最小值为2.10.已知两圆C 1:(x -2)2+y 2=54,C 2:(x +2)2+y 2=6，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1内切，和圆C 2外切.(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过点A 3,0 的直线与曲线C 交于P ,Q 两点.P 关于x 轴的对称点为R ，求△ARQ 面积的最大值.【解析】(1)依题意，圆C 1的圆心C 12,0 ，半径r 1=36，圆C 2的圆心C 2-2,0 ，半径r 2=6，设圆M 的半径为r ，则有MC 1 =r 1-r ，MC 2 =r 2+r ，因此，MC 1 +MC 2 =r 1+r 2=46>4=C 1C 2 ，于是得点M 的轨迹是以C 1,C 2为焦点，长轴长2a =46的椭圆，此时，焦距2c =4，短半轴长b 有：b 2=a 2-c 2=20，所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为：x 224+y 220=1.(2)显然直线PQ 不垂直于坐标轴，设直线PQ 的方程为x =my +3(m ≠0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，由x =my +35x 2+6y 2=120消去x 得：(5m 2+6)x 2+30my -75=0，则y 1+y 2=-30m 5m 2+6，y 1y 2=-755m 2+6，点P 关于x 轴的对称点R (x 1,-y 1)，S △PQR =12⋅|2y 1|⋅|x 2-x 1|，S △APR =12⋅2y 1⋅ 3-x 1 ，如图，显然x 1与x 2在3的两侧，即x 2-x 1与3-x 1同号，于是得S △AQR =S △PQR -S △APR =y 1 x 2-x 1- 3-x 1 =y 1⋅ x 2-x 1 -3-x 1=|y 1|⋅|x 2-3|=|y 1|⋅|my 2|=|my 1y 2|=75|m |5m 2+6=755|m |+6|m |≤7525|m |⋅6|m |=5304，当且仅当5|m |=6|m |，即m =±305时取“=”，因此，当m =±305时，(S △AQR )max =5304，所以△ARQ 面积的最大值5304.11.已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >0)的离心率为22，分别过左、右焦点F 1，F 2作两条平行直线l 1和l 2.(1)求l 1和l 2之间距离的最大值；(2)设l 1与C 的一个交点为A ，l 2与C 的一个交点为B ，且A ，B 位于x 轴同侧，求四边形AF 1F 2B 面积的最大值.【解析】(1)∵椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >0)的离心率为22，且b =1，∴a =2,b =1,c =1，∴x 22+y 2=1，设直线l 1：x =ty -1；直线l 2：x =ty +1.∴l 1和l 2之间距离d =21+t 2≤2，当t =0时，d max =2；(2)根据题意，不妨设直线l 1与椭圆C 交于A 、D 两点，直线l 2与椭圆C 交于B 、N 两点，则AD ∥BN ，且AD =BN ，即四边形ABND 为平行四边形，∴四边形AF 1F 2B 面积为四边形ABND 面积的一半，由(1)知，d =21+t 2，联立方程x =ty -1x 2+2y 2=2 ,则2+t 2 y 2-2ty -1=0，∴Δ=8t 2+1 >0,y 1+y 2=2t 2+t 2,y 1y 2=-12+t 2，∴AD =1+t 2y 1-y 2 =22t 2+1 2+t 2，∴12S ▱ABND =12d ⋅AD =12×21+t 2×22t 2+1 2+t 2=221+t 22+t 22，令u =1+t 2≥1，12S ▱ABND =22u u +1 2=221u +1u+2，∵u ≥1，∴u +1u+2≥4，∴12S ▱ABND ≤2，当且仅当t =0时，取等号.故四边形AF 1F 2B 面积的最大值2.12.(2022届广西玉林市、贵港市高三12月模拟)设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过M 1,32 ，N 3,12 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA ⊥OB若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】(1)将M ，N 的坐标代入椭圆E 的方程得1a 2+34b 2=13a 2+14b 2=1 ，解得a 2=4，b 2=1．所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x 2+y 2=R 2，其中0<R <1，设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，当直线AB 的斜率存在时，令直线AB 的方程为y =kx +m ，①将其代入椭圆E 的方程并整理得4k 2+1 x 2+8km x +4m 2-4=0，由韦达定理得x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1，②因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2+y 1y 2=0，③将①代入③并整理得1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=0，联立②得m 2=451+k 2 ，④因为直线AB 和圆相切，因此R =|m |1+k 2，由④得R =255，所以存在圆x 2+y 2=45满足题意．当切线AB 的斜率不存在时，易得x 12=x 22=45，由椭圆方程得y 12=y 22=45，显然OA ⊥OB ，综上所述，存在圆x 2+y 2=45满足题意．当切线AB 的斜率存在时，由①②④得AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2=1+k 2x 1-x 2 2=1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2-8km 4k 2+1 2-4×4m 2-44k 2+1=1+k216+64k 2-16m 21+4k 22=4551+k 21+16k 21+4k 22=45516k 4+17k 2+116k 4+8k 2+1=4551+9k 216k 4+8k 2+1=4551+916k 2+1k2+8，由16k 2+1k 2≥8，得1<1+916k 2+1k2+8≤54，即455≤AB ≤5．当切线AB 的斜率不存在时，易得AB =455，所以455≤AB ≤5．综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=45满足题意，且455≤AB ≤5．13.(2022届上海市青浦区高三一模)已知抛物线y 2=x .(1)过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求OA ∙OB 的值(其中O 为坐标原点)；(2)过抛物线上一点C x 0,y 0 ，分别作两条直线交抛物线于另外两点P x p ,y p ､Q x Q ,y Q ，交直线x =-1于A 1-1,1 ､B 1-1,-1 两点，求证：y p ⋅y Q 为常数(3)已知点D 1,1 ，在抛物线上是否存在异于点D 的两个不同点M ､N ，使得DM ⏊MN ?若存在，求N 点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点F 的直线为x =my +14，联立y 2=xx =my +14得y 2-my -14=0，y 1+y 2=my 1⋅y 2=-14，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则OA ∙OB =x 1x 2+y 1y 2=y 21⋅y 22+y 1y 2=-316；(2)由题可设过点C x 0,y 0 的一条直线交抛物线于P x p ,y p ，交直线x =-1于A 1-1,1 ，另一条直线交抛物线于Q x Q ,y Q ，交直线x =-1于B 1-1,-1 ，则k A 1C ≠0,k B 1C ≠0，k A 1C =y 0-1x 0+1,k B 1C =y 0+1x 0+1，直线A 1C 方程可表示为：y =y 0-1x 0+1x +1 +1，直线B 1C 方程可表示为：y =y 0+1x 0+1x +1 +1，联立直线A 1C 与抛物线方程y 2=xy =y 0-1x 0+1x +1+1可得y 2-x 0+1y 0-1y +x 0+1y 0-1+1 ，故y 0+y p =x 0+1y 0-1，即y p =x 0+1y 0-1-y 0，同理联立直线B 1C 和抛物线方程化简可得y 2-x 0+1y 0-1y +1-x 0+1y 0-1=0，故y 0+y Q =x 0+1y 0+1，y Q =x 0+1y 0+1-y 0，即y p ⋅y Q =x 0+1y 0-1-y 0 x 0+1y 0+1-y 0 =y 20+1y 0-1-y 0 y 20+1y 0+1-y 0=y 0+1y 0-1⋅1-y 0y 0+1=-1(3)假设存在点D 满足DM ⏊MN ，设M y 23,y 3 ,N y 24,y 4 ，DM =y 23-1,y 3-1 ,MN =y 24-y 23,y 4-y 3 ，则DM ⋅MN =y 23-1 ⋅y 24-y 23 +y 3-1 y 4-y 3 =0，易知y 3≠1,y 4≠y 3，化简得y 3+1 y 4+y 3 +1=0，即y 4=-1y 3+1+y 3 =-1y 3+1+y 3+1 -1，当y 3+1<0时，y 4=-1y 3+1-y 3+1 +1≥2-1y 3+1⋅-y 3+1 +1=3，当且仅当y 3=-2时取到等号，故y 4≥3；当y 3+1>0时，y 4=-1y 3+1+y 3+1 -1 ≤-21y 3+1⋅y 3+1 -1 =-1，当且仅当y 3=0时取到等号，因为y 3≠1，故y 3+1≠2，令t =y 3+1，则t +1t ≠52，但t =y 3+1=12能取到，此时t +1t =52，故y 4∈-∞,-1 ；故y 4∈-∞,-1 ⋃3,+∞ .。
微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)
专题30 圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。
圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】1．已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞2． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为73．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是434．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 .5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝ （x >0）（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0，2x 2－），B （x 0，－20x 2－），OAO B ⋅ ＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0 依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2222122212244(1)(2)0201201k b k b kb x x k b x x k ⎧⎪∆=--∙--≥⎪⎪+=>⎨-⎪⎪+=>⎪-⎩解得|k |>1， 又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为2【典型示例】求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值? 分析一：设抛物线上任一点坐标为P(0x ,-x20)，由点到直线的距离公式得P 到直线的距离d(0x )=5|834|200--x x =5320)32(320+-x 34≥， 当0x =32时，d(0x )取得最大值34,分析二：设抛物线上点P(0x ,-x20)到直线4x+3y-8=0距离最小，则过P 且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，故y '( 0x )=-2 0x =-34,∴0x =32,∴P(32,-94), 此时d=5|8943324|--⨯+⨯）（=34，. 分析三：设直线方程为4x+3y+C=0则当l 与抛物线相切时l 与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0342C y x y x 得4x-3x 2+C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=-34,此时d=345|348|=---）（【分类解析】例1:已知椭圆221259x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PA PB +的最小值；（2）求||||PA PB +的最小值和最大值 分析：（1）A 为椭圆的右焦点。
如何利用定义法解答圆锥曲线最值问题
定义法是用圆锥曲线的定义解题的方法.圆锥曲线的定义是解题的重要依据.在解答圆锥曲线最值问题时，灵活运用椭圆、双曲线、抛物线的定义，可简化运算，有效提升解题的效率.下面结合实例，谈一谈运用圆锥曲线定义解答最值问题的一些技巧.一、利用椭圆的定义求最值若平面内一个动点M 与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a （大于|F 1F 2|），则该点的轨迹叫做椭圆，这两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距，常用|F 1F 2|或2c 表示.由椭圆的定义可得：|MF 1|＋|MF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ，其中c 2=a 2-b 2，a ＞0，c ＞0，且a 、c 为常数.运用椭圆的定义求最值，需先确定两个定点的位置；然后根据椭圆的定义，建立关于动点到定点的距离的关系式.例1.已知椭圆x 24+y 23=1上有一动点P ，圆()x -12+y 2=19上有一动点Q ，圆()x +12+y 2=49上有一动点R ，则||PQ +||PR 的最大值为（）.A.3 B.5C.8D.9解：由椭圆的方程x 24+y 23=1得a =2,b =3,c =1，所以其焦点为F 1()-1,0,F 2()1,0，由圆的方程()x -12+y 2=19可得其圆心为F 2()1,0，半径为r 1=13，由圆的方程()x +12+y 2=49可得其圆心为F 1()-1,0，半径为r 2=23，则P 点到圆F 1上动点R 的最大值为||PR max =||PF 1+r 2=||PF 1+23，P 点到圆F 2上动点Q 的最大值为||PQ max =||PF 2+r 1=||PF 2+13，所以()||PQ +||PR max=||PQ max +||PR max =||PF 1+||PF 2+1，由椭圆的定义知||PF 1+||PF 2=2a =4，得()||PQ +||PR max=5.故选B 项．此题中涉及了三个动点，需根据圆的性质：圆外一点M 到圆上一点的最大距离为圆心到M 的距离加上半径，求得P 点到圆F 1上动点R 的最大值||PR max =||PF 1+r 2，以及P 点到圆F 2上动点Q 的最大值||PQ max =||PF 2+r 1，进而得到()||PQ +||PR max =||PF 1+||PF 2+1.而F 1、F 2是两个定点，P 为动点，即可根据椭圆的定义，求得||PF 1+||PF 2的值，从而求得最值.解答本题的关键在于结合图形，明确两圆、椭圆、动点的位置关系，以根据圆的性质、椭圆的定义求得最值.例2.已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1,F 2，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E :()x -42+()y -32=1上任意一点，则||MN -||MF 1的最小值为______．解：因为N 为圆E :()x -42+()y -32=1上的任意一点，所以||MN min =||ME -r ，由圆E :()x -42+()y -32=1，得其圆心为E ()4,3，半径为r =1，所以()||MN -||MF 1min=()||MN min-||MF 1min =()||ME -r -||MF 1min=()||ME -||MF 1-1min，根据椭圆的定义知||MF 1+||MF 2=2a =4，由三角形的三边关系知()||ME -||MF 1-1min=()||ME +||MF 2-5min=||EF 2-5，由椭圆C :x 24+y 23=1得其焦点为F 2()1,0，则||EF 2=()4-12+()3-02=32，所以||MN -||MF 1的最小值为32-5.此最值问题中涉及了两个动点和一个定点，需根据圆的性质：圆外一点P 到圆上一点的最小距离为圆心到P 的距离减去半径，求得M 点到圆E 上的动点N 的最小值||MN min =||ME -r .然后根据椭圆的定义和三角形三边之间的关系，将求||MN -||MF 1的最小值转化为求焦半径||EF 2的值.解答此类题，需灵活运用数形结合思想和转化思想.二、利用双曲线的定义求最值平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|F 1F 2|）的点M 的轨迹叫做双曲线.这两个定46点之间的距离|F 1F 2|叫做双曲线的焦距.由双曲线的定义可得||MF 1|-|MF 2||=2a ，|F 1F 2|=2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0.在运用双曲线的定义求最值时，要注意：（1）明确动点与两定点距离之间的关系；（2）确保a ＜c .例3.已知点P 在曲线C 1:x 216-y 29=1上，点Q 在曲线C 2:()x +52+y 2=1上，点R 在曲线C 3:()x -52+y 2=1上，则||PQ -||PR 的最大值是（）.A.6B.8C.10D.12解：画出如图1所示的图形.由曲线C 2:()x +52+y 2=1，得其圆心为C 2()-5,0，半径为1，由曲线C 3:()x -52+y 2=1，得其圆心为C 3()5,0，半径为1，则||PQ max =||PC 2+1，||PR min =||PC 3-1，则()||PQ -||PR max =||PC 2-||PC 3+2，由曲线C 1:x 216-y 29=1可知其左右焦点分别为F 1()-5,0,F 2()5,0，根据双曲线的定义得||PF 1-||PF 2=2a =8，所以()||PQ -||PR max=||PC 2-||PC 3+2=||PF 1-||PF 2+2=8+2=10.故答案选C 项．此问题中的三个动点分别在两个圆和双曲线上，需先根据圆的性质确定||PQ max =||PC 2+1，||PR min =||PC 3-1，将求||PQ -||PR 的最大值转化为求||PC 2-||PC 3的值.而C 2()-5,0、C 3()5,0为定点，于是根据双曲线的定义建立关系式，求得||PC 2-||PC 3的值，即可求得最值.例4.已知A ()-4,0，B 是圆()x -12+()y -42=1上的一点，点P 在双曲线x 29-y27=1的右支上，则||PA +||PB 的最小值为（）.A.9B.25+6C.10D.12解：由题意画出如图2所示的图形，由圆()x -12+()y -42=1，得其圆心为C ()1,4，半径为1，所以||PB min =||PC -r =||PC -1，因此()||PA +||PB min =||PA +||PC -1，由双曲线x 29-y 27=1得其左右焦点为F 1()-4,0，F 2()4,0，根据双曲线定义可知||PF 1-||PF 2=2a =6，因为A ()-4,0，所以||PA -||PF 2=6，所以()||PA +||PB min =()||PA +||PC -1min=()6+||PF 2+||PC -1min=()5+||PF 2+||PC min，根据三角形三边之间的关系，()||PF 2+||PC min=||CF 2=()1-42+()4-02=5，所以()||PA +||PB min =10．故答案选C 项．我们根据题意画出图形，即可明确问题中两个动点和一个定点的位置，于是根据圆的性质，将求||PA +||PB 转化为求()5+||PF 2+||PC min.而F 1()-4,0、F 2()4,0为定点，便联想到双曲线的定义，得到||PF 1-||PF 2=2a =6，将问题转化为求焦半径||CF 2的值.为了确定最值，往往需根据P 、A 、B 三点的位置关系，利用圆的性质和三角形三边关系确定取得最值的临界情形.三、利用抛物线的定义求最值平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.直线l 叫作抛物线的准线.利用抛物线的定义解题时，应将抛物线上的点到焦点的距离与其到准线距离进行等价转化，以确定取得最值时的临界情形.例5.已知抛物线y 2=4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点.若点B ()3,2，则||PB +||PF 的最小值为_____．解：由抛物线C 2:y 2=4x 知其焦点为F ()1,0，准线为x =-1，由抛物线定义可知，||PF =||PA ，则()||PB +||PF min =()||PB +||PA min =||AB ，而B ()3,2,则||AB =3+1=4，所以()||PB +||PF min =4．故答案为4．本题中P 为动点，B 、F 为定点，要求||PB +||PF 的最小值，需先确定其临界的情形.因为F 为抛物线的焦点，由抛物线的定义，得||PF =||PA ，于是将||PB +||PF 转化为||PB +||PA .显然当P 、B 、F 三点共线时，||PB +||PA 最小，此时||PB +||PA =||AB ，求得||AB 的值，即可求得最值.总之，运用圆锥曲线的定义解题，需先确定动点与定点之间距离的关系：相等、和为定值、差为定值；然后根据椭圆、双曲线、抛物线的定义建立焦半径之间的关系式；再结合图形将最值问题进行转化，以快速确定取得最值的情形，求得最值.（作者单位：江苏省淮北中学）图1xy图247。
圆锥曲线求最值方法总结及典型例题
圆锥曲线最值问题—5大方面最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。
解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。
以下从五个方面予以阐述。
一．求距离的最值例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ， 解析：抛物线y=x 2的焦点为F （0 ，41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1， 则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411, 当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值411， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。
二．求角的最值例2．M ，N 分别是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠MPN 的最大值是 .解析：不妨设l 为椭圆的右准线，其方程是22=x ，点)0)(,22(00>y y P ，直线PM 和PN 倾斜角分别为βα和.∵)0,2(),0,2(N M -∴,232220tan 00y y k PM =+-==α22220tan 00y y k PN =--==β于是)tan(tan αβ-=∠MPN 2321232tan tan 1tan tan 0000y y y y ⋅+-=+-=αβαβ 33622262262200200=≤+=+=y y y y ∵)2,0[π∈∠MPN ∴6π≤∠MPN 即∠MPN 的最大值为6π. 评注：审题时要注意把握∠MPN 与PM 和PN 的倾斜角之间的内在联系.三、求几何特征量代数和的最值例3.点M 和F 分别是椭圆192522=+y x 上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值. ⑵求45|MF|+|MB|的最小值. 解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F ′(-4,0)，离心率e=54，准线方程x=±425. ⑴|MF| + |MB| = 10―|MF ′ | + |MB| =10―（|MF ′|―|MB|）≥10―|F ′B|=10―210.故当M ，B ，F ′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―210.⑵过动点M 作右准线x=425的垂线，垂足为H ， 则54||||==e MH MF ⇒||54|H |MF M =. 于是45|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=417. 可见，当且仅当点B 、M 、H 共线时，45|MF|+|MB|取最小值417. 评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。
圆锥曲线中的最值问题
1 AB (d P AB d Q AB ) 2
设P (2 cos , sin ), 则Q(2 cos , sin )
5 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 S ( ) 2 5 5 0 0 45 ) 2 2 2 sin( 45 ) 2 5 2 2 sin( ( ) 2 5 5 5 4 2 2 2 S Max 2 2 2 5
所以设与AB平行的直线方程为:x+2y+m=0 (m 2)
x 2y m 0 联立: x 2 4 y 2 4 2 x 2
2mx m 4 0
2
4m 2 8(m 2 4) 由 0 m 2 2 所以与AB平行且和椭圆相切的两直线方程分别为:
课堂演练 形成技能
x y 练习 1.如 图A( 3,2)、F1 ( 4,0), P是 椭圆 1 25 9 上 一点 ， 则 PA PF1 的 最大 值为 ____
y
P
2
2
A
10 5
x
F1
O
F2
策略:几何法
x 2 例2.如 图 直 线y kx( k 0)与 椭 圆 y 1交 于 4 P，Q 两 点, A、B分 别 是 椭 圆 的 右 ,上 顶 点 ， 则 四边形 APBQ 面 积 的 最 大 值 为 _____
2
24k 32 x1 x2 2 (1); x1 x2 2 ( 2) 4k 1 4k 1
如图，过P、Q分别作PF、QE垂直于y轴， 则 x 1 x2 (3)
联立(1)、(2)、(3)得：
(1 )2
y
M
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圆锥曲线最值问题（精讲）最值（含范围）问题是解析几何中常见的问题之一，其基本解题方法是把所求量表示成某个变量的函数，利用二次函数或函数单调性求最值或范围，也可以利用基本不等式，有时也会利用几何量的有界性确定范围.求最值的思维导图如右最大最小为最值 单调二次不等式 几何有界也有用 具体问题再审视思路点拨解1 显然两条直线的斜率都存在且不为0，抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F .设1:(1)l y k x =-，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消元y 得2222(24)0k x k x k -++=，所以22224424A B k AB x x p k k+=++=+=+， 同理，244DE k =+，2214()816AB DE k k+=++≥，当且仅当1k =±时取等号.选（A ）. 例1 已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 （A ）16（B ）14（C ）12（D ）10用参数表示该量 求 某 量 最 值化简、换元转化为可以利用函数单调性、二次函数、基本不等式、导数、几何图形有界等方法求最值解2 设直线1l 的倾斜角为α，则2l 的倾斜角为2+πα，因为22sin p AB =α，22sin ()2pDE =+πα， 所以2244sin sin ()2AB DE +=++παα 2222444sin cos sin cos =+=αααα21616sin 2=≥α， 当且仅当4=πα或34=πα时取等号.选（A ）.注1 过抛物线22y px =的焦点弦长22||sin pAB θ=.注2 也可以设1:1l x ty =+，则214x ty y x =+⎧⎨=⎩，，消取x 得2440y ty --=，所以2()444A B A B AB x x p t y y t =++=++=+，同理，244DE t=+， 2214()816AB DE t t +=++≥，当且仅当1t =±时取等号.思路点拨当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60a b ≥=o ≥，得01m <≤. 当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60a b ≥=o ≥，得9m ≥. 故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U .思路点拨要求两个绝对值之和的最小值，就要去掉绝对值，需要分类讨论.怎么确定分类标准？就是令绝对值内部的式子为0.比如，若令220x y +-=，则直线220x y +-=与圆相交，把圆分成两部分.解1 原问题可以转化为如下的非线性规划问题：可行域为单位圆（含内部）的任意一点，直线22y x =-将可行域分成两个部分，不妨将左下方的区域（大弓形区域）记作Ⅰ，将右上方的区域（小弓形区域）记作Ⅰ．因为单位圆221x y +≤及其内部在直线630x y --=下方，所以630x y -->，所以(,)|22||63|f x y x y x y =+-+--42,22,834,22.x y y x x y y x +-≥-⎧=⎨--<-⎩直线22y x =-与单位圆221x y +=交点10E ,（），3455F （，）. 设1242,834z x y z x y =+-=--，分别作直线13,24y x y x ==-并平移，则1242,834z x y z x y =+-=--都在点3455F （，）取得最小值3.所以2263x y x y +-+--的最小值是3. 解2(,)|22||63|f x y x y x y =+-+--|(22)(63)||348|x y x y x y ≥+----=+-，（当220x y +-≤时取等号）.设cos ,sin x r y r θθ==，其中01,02r θπ≤≤≤≤. 则 |348||3cos 4sin 8|x y r r θθ+-=+-|5sin()8|85853r r θϕ=+-≥-≥-=.其中ϕ由34sin ,cos 55ϕϕ==确定，等号当且仅当1,sin+=1r θϕ=（），即3455x ,y ==.另外，当220x y +->时，2263x y x y +-+--3>. 所以2263x y x y +-+--的最小值是3.240,x y -+≥⎧⎪22例 3 若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 .思路点拨在平面直角坐标系中画出可行域如图，22x y + 的几何意义为可行域内的点到原点距离的平方．过原点O 作直线220x y +-=的垂线，垂足为A ，可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点O 到直线220x y +-=的距离，d ==()22min45x y +=， 图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ，则()22max13x y +=．所以，22x y +的取值范围为4[,13].5思路点拨第（2）题的关键是选择适当的参数表示||||PA PQ ⋅，可以用直线AP 的斜率为k 为参数，需要求出Q 的坐标，再分别求出||||PA PQ 、的表达式，计算量较大.也可以设2(,)P t t ，以t 为参数，从向量的角度得到||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r PA PQ =-⋅u u u r u u u r +PA PB BQ PA PB =-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）=.转化为t 函数，再求最大值. 满分解答（1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-.（2）解1设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为y =kx +12k +14，BQ 的方程为y =13924x k k -++. 联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩，，解得点222234981(,)2244k k k k Q k k +-++++.因为1||)1)2PA x k =+=+，2||)Q PQ x x =-=，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=--+.令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2()(42)(1)f k k k '=--+，所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当12k =时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716.解2 用向量法，令2(,)P t t ，所以 ||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r PA PQ PA PB =-⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r221319()()()()2244t t t t =+-+--4233216t t t =-+++222127(1)(1)216t t =----+2716≤.当且仅当1t =时等号成立.第（2）题可设SOM θ∠=，则2SOT θ∠=，则23sin 23AB MC OM OC AB θ==+. 223OC AB=+⋅，只要求sin θ的最小值，即只要求OC AB的最小值.选择1k 作变量，需要分别求出|AB |和|OC |的表达式，预计有一定的计算量.(2) 设SOM θ∠=，则2SOT θ∠=，且223sin 2233AB MC OC OM OC AB ABθ===++⋅. 设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程221122x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2211(42)10k x x +--=，由题意知0∆>，且121221112(21)x x x x k +==-+，故12212AB x k =-=+.联立方程22112x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC ==.注211kOCAB+=22=.令21112,1(0,1)t k tt=+>∈，，则211=2tk-，代入上式整理得OCAB=当且仅当112t=，即2t=时OCAB的最小值23，此时12k=±.思路点拨第（1）题直接计算可得。
第（2）要选择参数表示PQG∆面积，结合图形可选点P的坐标为参数，因为Q、E都分别用P的坐标表示，从而直线QE与椭圆交点即可解除G点坐标。
（2）（i ）从结论并结合图形发现要证明k PQ ∙k PG =−1。
由已知可得(把条件翻成图式)：设直线PQ 的方程为y =kx (k>0)P (x 1,y 1),G((x 0,y 0),则Q (−x 1,−y 1),E (x 1,0)，k =y1x 1。
由此可得（中间结论：）Q 、E 、G 三点共线:k QG =k EQ =y 12x 1=k2,由k PG =y 1−y 0x1−x 0,k GQ =−y 1−y 0−x1−x 0=y 1+y 0x1+x 0,k PG ∙k GQ =y 12−y 02x 12−x 02，在把点坐标代入椭圆方程作差化积。
页利用求P ，G 坐标（“暴力解法”）（ii ）由于1||()2PQG G Q S PE x x ∆=⨯-001()2G y x x =+，剩下就是化简求最值。
若发现QG 中点M ，则三角形OQM 面积是三角形PQG 面积的四分之一（隐含条件），则更简单。
但是由于是双变量，可以预见运算量较大，既考能力也考意志。
满分解答（1）由题，得1222y y x x ⋅=-+-(2)x ≠±，即22142x y +=(2)x ≠±，所以曲线C 为22142x y +=(2)x ≠±，表示焦点在x 轴上，长轴长为4的椭圆（除去左右定点）.（2）（i ）设直线PQ 的方程为y =kx (k>0)P (x 1,y 1),G((x 0,y 0),则Q (−x 1,−y 1),E (x 1,0)，k =y1x 1。
由此可得 Q 、E 、G 三点共线:k QG =k EQ =y 12x 1=k2,由k PG =y 1−y 0x1−x 0,k GQ =−y 1−y 0−x1−x 0=y 1+y 0x1+x 0,k PG ∙k GQ =y 12−y 02x 12−x 02因为Q 、G 在椭圆上，所以x 12+2y 12=4，x 02+2y 02=4，可得k PG ∙k GQ =−12，从而 k PG ∙k GQ =k PG ∙k 2=−12, k PG =−1k ，所以k PG ∙k PQ =−1,即PQ ⊥PG 。