高一数学(人教A版)必修1课件：1-3-1-2 函数的最值

第一章 集合与函数概念
第一章
1．3 函数的基本性质
第一章
1．3.1 单调性与最大(小)值
第一章
第 2 课时 函数的最值
课前自主预习
温故知新 1．判断正误： (1)若函数 f(x)在区间(a，b)和(c，d)上均为增函数，则函 数 f(x)在区间(a，b)∪(c，d)上也是增函数． (2)若函数 f(x)和 g(x)在各自的定义域上均为增函数，则 f(x) ＋g(x)在它们定义域的交集(非空)上是增函数．
当 x＝－1.5 时取得最小值即 ymin＝－2.
作出函数 f(x)＝|x－3|＋ x2＋6x＋9的图象，并说明该函 数的最值情况．
[解析]
－2x，x≤－3 原函数可化为 f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝6，－3<x≤3， ，
2x，x>3
图象如图： 由图象可知，函数有最小值为 6，无最大值．
利润＝总―收―益→－总成本
构造fx 解析式
利润函数单调性 ――→
求最 大值
[解析] (1)设月产量为 x 台，则总成本为 20 000＋100x， 从而 f(x)＝－12x2＋300x－20 000，0≤x≤400，
60 000－100x， x>400. (2)当 0≤x≤400 时， f(x)＝－12(x－300)2＋25 000， ∴当 x＝300 时，f(x)max＝25 000；
5
1 (2)3
1 2
－12
－13
(3)－3
5
－
3 0 －4 0
思路方法技巧
1 利用图象法求函数最值
学法指导：利用图象法求函数最值的方法 (1) 利 用 函 数 图 象 求 函 数 最 值 是 求 函 数 最 值 的 常 用 方 法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对图象易作出 的函数求最值较常用．
从图中看出，图(1)中 f(x)≤yA，图(3)中 f(x)≥yC，图(5)中 yD≤f(x)≤yE，(1)(5)中的 yA、yE 称为函数的最大值，图(3)中的 yC 称为函数 y＝x2，x∈(－1,1)的最小值，图(2)(4)两个函数无 最大值，也无最小值．
总结：(1)最大值的概念： 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：①对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M ；②存在 x0∈I， 使得 f(x0)＝M .那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最大值． (2)最小值的概念： 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：① 对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M ；②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M . 那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最小值．
(3)函数 y＝x2－2x－3 在[－2,0]上的最小值为________， 最大值为________；在[2,3]上的最小值为________，最大值为 ________ ； 在 [ － 1,2] 上 的 最 小 值 为 ________ ， 最 大 值 为 ________．
[答案]
(1)－5
[解析] 按例题的证明方法，易证 f(x)在区间[2,4]上是增 函数，又函数在[1,2]上是减函数，所以函数 f(x)的最小值是 4. 又 f(4)＝5，所以函数的最大值是 5.
(2012～2013 包头高一月考检测)已知函数 f(x)＝xx＋－21. (1)求证：f(x)在[3,5]上为增函数； (2)求 f(x)在[3,5]上的最大、小值．
2 利用单调性求函数最值
学法指导：对函数最值与单调性的认识 (1)运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特 别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法．
(2)函数最值与单调性有如下关系： ①如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区 间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． ②如果函数 y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b， c)上是减函数，则函数 y＝f(x)，(x∈，(a，c))在 x＝b 处有最 大值 f(b)； ③如果函数 y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b， c)上是增函数，则函数 y＝f(x)，(x∈(a，c))在 x＝b 处有最小 值 f(b)；
【归纳提升】 (1)M 首先是一个函数值，它是值域的一 个元素．如 f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为 0，有 f(0)＝0，注意 对定义②中“存在”一词的理解．
(2)对于定义域内的全部元素，都有 f(x)≤M 成立，“任 意”是说对每一个值都必须满足不等式．
(3)这两条缺一不可，若只有定义中的①，M 不是最大值， 如 f(x)＝－x2(x∈R)，对任意 x∈R，都有 f(x)≤1 成立，但 1 不是最大值，否则大于零的任意实数都是最大值了；最大值 的核心是不等式 f(x)≤M，故不能只有定义中的②.
(2)由(1)知，当 x＝3 时，函数 f(x)取得最小值为 f(x)＝25， 当 x＝5 时，函数 f(x)取得最大值为 f(5)＝47.
建模应用引路
5 函数最值的实际应用
学法指导：求解实际问题“四步曲” (1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情 景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关 系)． (2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解 析式，把实际问题转换成函数问题． (3)求解：选择合适的数学方法求解函数．
[解析] (1)任取 x1，x2∈[3,5]且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝xx11－ ＋12－xx22－＋12 ＝x1－1x2x＋1＋22－x2x＋2－21 x1＋2 ＝x1x2＋2x1－xx21－＋22－xx21＋x2－2 2x2＋x1＋2
＝x13＋x21－xx2＋2 2 ∵x1，x2∈[3,5]且 x1<x2， ∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)， ∴函数 f(x)＝xx－ ＋12在 x∈[3,5]上为增函数．
[例 2] (2012～2013 扶沟高中月考试题)利用单调性定义 证明函数 f(x)＝x＋4x在[1,2]上的单调性并求其最值．
[分析] 当所给函数图象不易作出时，可考虑利用函数单 调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值．
[解析] 设 1≤x1<x2≤2， 即 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4xx21－x2x1 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 4
3．从函数 f(x)＝x2 的图象上还可看出，当 x＝0 时，y＝0 是所有函数值中 最小值． 而对于 f(x)＝－x2 来说，x＝0 时， y＝0 是所有函数值中 最大值．
新课引入 某小卖部从批发市场批发某种笔芯，进价是每支 0.35 元， 以每支 0.5 元的价格销售，卖不掉的笔芯还可以每支 0.08 元 的价格退回批发市场．在一个月(30 天)中，有 20 天每天可以 卖出 400 支，其余 10 天每天只能卖出 250 支． 假设每天从批发市场买进的笔芯的数量相同，则每天进 货多少支才能使每月所获得的利润最大？最大利润是多少？
[解析] 设每天从批发部买进笔芯 x 支，250≤x≤400， 每月的纯收入为 y 元，则 y＝0.3x＋1 050，x∈[250,400]．易解： 当每天进货 400 支时，每月所获得的利润最大，最大利润是 1 170 元．
自主预习 问题 1：观察下图所示的函数图象，有何特征？
探究：图(1)函数 y＝－x2－2x 的图象有最高点 A，没有最 低点；图(2)函数 y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的图象没有最高 点，也没有最低点；图(3)函数 y＝x2，x∈(－1,1)的图象无最 高点，有最低点；图(4)函数 y＝1x的图象没有最高点，也没有 最低点；图(5)函数 y＝x2－2x，x∈[0,4]的图象有最高点 E，最 低点 D.
当 x>400 时， f(x)＝60 000－100x 是减函数， f(x)<60 000－100×400<25 000. ∴当 x＝300 时，f(x)max＝25 000. 即每月生产 300 台仪器时利润最大，最大利润为 25 000 元．
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场 对此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x) ＝500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最 后将结果应用于现实，做出解释或预测．
也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个 步骤．
[例 3] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函 数：
R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400， 其中 x 是仪器的月总 80 000，x>400.
(2)图象法求最值的一般步骤是：
[例 1] 如图为函数 y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的 最大值、最小值．
[分析] 利用图象法求函数最值，要注意函数的定义 域．函数的最大值、最小值分别是图象的最高点和最低点的 纵坐标．
[解析] 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是 (3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数 y＝f(x)当 x＝3 时取 得最大值即 ymax＝3；
量． (1)将利润表示为月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大利润＝总收益－总成本，故 f(x)＝R(x)－ 100x.(2)求分段函数最大值，就是将各段的最大值分别求出， 然后取其中最大值的．
(3)
分析数据： 成本、收益
[答案] (1)× (2)√
2．填空： (1)函数 y＝|x|的单调增区间为 [0，＋∞)． (2)函数 y＝ax＋b(a≠0)的单调区间为 (－∞，＋∞) ；函 数 y＝(a2－1)x 为减函数，则 a 的取值范围是 (－1,1)．