解一元二次方程因式分解法
一元二次方程的解法—因式分解法
一元二次方程的解法——因式分解法1.因式分解法：将一元二次方程先因式分解为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。
这种解法叫做因式分解。
2.因式分解法的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程的左边化成两个一次因式的积；（3）令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
同步练习用因式分解法解下列方程：(1)x2＋12x＝0；(2)4x2－1＝0；(3)x2＝7x； (4)x2－4x－21＝0；(5)(x－1)(x＋3)＝12；(6)3x2＋2x－1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8 (2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 (3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( ) A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53 C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对 (5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5 (6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4 (7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11 (8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．。
一元二次方程公式大全
一元二次方程公式大全一、因式分解法：设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
如果方程可以被因式分解为(a_1x+d_1)(a_2x+d_2)=0的形式，则根据零乘性质可得x=-d_1/a_1或x=-d_2/a_2，即方程的根为这两个值。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以通过因式分解得到(x+2)(x+3)=0，因此方程的根为x=-2和x=-3二、求根公式法：求根公式法适用于任意一元二次方程。
设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
根据求根公式，方程的根可以表示为：x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}其中±表示可以取正负两个值。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，根据求根公式可得x=\frac{-5±\sqrt{5^2-4×1×6}}{2×1}，计算可得根为x=-2和x=-3三、配方法：配方法适用于一元二次方程中b较大的情况，通过配方将方程转化为一个完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将一元二次方程写成标准形式：ax^2+bx+c=0。
2.根据方程中的b项，将方程分成两部分，将x^2系数a与x系数c分别进行配方。
3.将分离的两部分进行配方，使其转化为完全平方。
4.将配方后的两部分相加或相减，消去中间项，得到一个完全平方。
5.将方程转化为(x±d)^2=n的形式，其中d为常数，n为已知数。
6.通过求平方根或其他方法求解方程。
例如，对于方程x^2+7x+12=0，可以通过配方法进行解答：1.将方程写成标准形式，即x^2+7x+12=0。
2.将方程分成两部分，即a为x^2的系数1，b为x的系数7，c为常数123.配方后得到(x+4)(x+3)=0。
4.将配方后的两部分相加，得到(x+4)+(x+3)=2x+7=0。
5.将方程转化为(x+7/2)^2=49/4的形式。
解一元二次方程--因式分解法
10．已知（x2+y2﹣3）（x2+y2+1）=12，求x2+y2的值．
3．灵活选用方法解一元二次方程
【例3】选择适当方法解下列方程：
（1）x2﹣5x+1=0；
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；
（3）2x2﹣2 x﹣5=0；
（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．
总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.
解一元二次方程---因式分解法
一、学习目标
1．会用因式分解法解一元二次方程；
2．会用换元法解一元二次方程；
3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.
二、知识回顾
1．分解因式的常用方法有哪些？
（1）提取公因式法：
am+bm+cm=m(a+b+c)
（2）公式法：
Байду номын сангаас， ，
（3）十字相乘法：
三、新知讲解
1．因式分解法
③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
3．因式分解法的条件、理论依据
因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；
理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.
四、典例探究
1．用因式分解法解一元二次方程
【例1】用因式分解法解方程：
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的口诀：一移，二分，三转化，四再求根容易得。
步骤：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
数学中用以求解高次一元方程的一种方法。
把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。
在使用因式分解法解一元二次方程时：
①因式分解法解一元二次方程时，等式右边必须为0。
②方程中如果有括号不要急于去掉括号，要先观察方程是否可采用因式分解法求解。
③因式分解法有提公因式法，公式法，分组分解法等（十字相乘法最常用）。
④利用因式分解法解一元二次方程时，注意不能将方程两边同时约去相同的因式或未知数。
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
因式分解法求解一元二次方程
因式分解法求解一元二次方程一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常数且a≠0。
解一元二次方程的一种常见方法是因式分解法。
因式分解法的基本思想是将方程两边表示为多个因式的乘积，然后令每个因式等于零，得到多个简单的方程，再解这些方程得到所有的解。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，首先需要判断方程的根的个数。
根据判别式Δ（delta）=b^2-4ac的值，可以得到如下结论：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
3.当Δ<0时，方程没有实根。
此时无法使用因式分解法求解。
对于情况1和情况2，下面将详细介绍因式分解法的步骤和解题思路。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程ax^2+bx+c=0移项得到ax^2+bx=-c。
步骤二：将方程左边进行因式分解。
根据二次三项完全平方式分解公式，将左边进行因式分解得到(a*x+p)(x+q)=0，其中p和q是待定常数。
步骤三：将方程化简并分别解得p和q的值。
将方程(a*x+p)(x+q)=0展开并与原方程进行对比，得到以下等式：ax^2+(a*q+p)*x+a*p*q=-c将该等式与原方程对应的系数进行比较，可得到以下等式组：a*q+p=ba*p*q=-c通过解这个等式组，得到p和q的值。
步骤四：求解x的值。
将得到的p和q的值带入最初的因式分解形式(a*x+p)(x+q)=0中，分别令每个因式等于零，求解得到x的值。
以上就是因式分解法求解一元二次方程的基本步骤。
下面通过一个具体的例子来演示如何使用因式分解法求解一元二次方程。
例题：解方程2x^2+7x+3=0。
解：根据判别式Δ=b^2-4ac，计算出Δ=49-24=25>0，所以方程有两个不相等的实根。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程2x^2+7x+3=0移项得到2x^2+7x=-3。
解一元二次方程的方法
解一元二次方程的方法一元二次方程是初中数学中的重要内容，解一元二次方程是数学学习的基础，也是数学建模和实际问题求解的基础。
下面我们将介绍几种解一元二次方程的方法。
首先，我们来介绍一元二次方程的标准形式，ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c分别是一元二次方程的系数，a≠0。
解一元二次方程的方法有，因式分解法、配方法、公式法和求根公式法。
1. 因式分解法。
当一元二次方程可以因式分解时，我们可以利用因式分解法来解方程。
例如，对于方程x^2 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x 2)(x 3) = 0，从而得到方程的解x=2和x=3。
2. 配方法。
当一元二次方程不能直接因式分解时，我们可以利用配方法来解方程。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其配方为(x+3)^2=0，从而得到方程的解x=-3。
3. 公式法。
一元二次方程的一般解为x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)，这就是一元二次方程的求根公式。
我们可以利用这个公式来解一元二次方程。
例如，对于方程x^2 4x + 3 = 0，我们可以直接代入a=1，b=-4，c=3，然后利用求根公式来求得方程的解。
4. 求根公式法。
当一元二次方程的系数较为复杂时，我们可以利用求根公式法来解方程。
求根公式法是一种通过求根公式来求得一元二次方程的解的方法，适用于所有一元二次方程的解法。
例如，对于方程2x^2 5x + 3 = 0，我们可以直接代入a=2，b=-5，c=3，然后利用求根公式来求得方程的解。
综上所述，解一元二次方程的方法有很多种，我们可以根据具体的方程形式和系数情况来选择合适的方法来解方程。
通过掌握这些方法，我们可以更加灵活地解决实际问题中的一元二次方程，提高数学建模和实际问题求解的能力。
希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地掌握解一元二次方程的方法，提高数学学习的效率和水平。
(完整版)-解一元二次方程因式分解法
（3）利用十字相乘法：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 解：(x 1)(x 7) 0
1 1
x 1 0或x 7 0
1 7
x1 1, x2 7
1.解下列方程
(1)x2 x 0
解: x(x 1) 0. x1 0, x2 1.
(3)3x2 6x 3
解: x2 2x1 0 (x 1)2 0.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
学习是件很愉快的事
淘金者
• 你能用分解因式法解下列方程吗？
1. x2-4=0;
2. (x+1)2-25=0.
解： (x+2)(x-2)=0,
解： [(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0.
∴x+6=0,或x-4=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法?
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为:
方程x2右+2边x－化8为=零0 左边分(解x－成两2)个(x一+次4)因=0式 的乘积 至少有一个x一－次2因=式0或为零x得+4到=两0个一元一次方程
两个一元∴一x次1=方2程,x的2解=-就4 是原方程的解
例题欣赏 ☞
(1)x(x-2)+x-2=0;
解：x(x 2) x 2 0,
例3 解下列方程:
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 ,
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ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根：
x1
x2
b 2a
3、当b2-4ac<0时，一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根：
一个数的平方与它本身互为相反数
，问：这个数是多少？
解：设这个数为x，则有：
x2+x=0
你可以有哪些方法 解这个方程？
观察
x2+x=0 除了配方法、公式法外，还有没有更简 便的方法解这个方程呢？ 方程右边为0。左边因式分解，得：
复习回顾
一元二次方程的解法有： 1、配方法；(直接开平方法） 2、公式法；
复习回顾
1、当b2-4ac>0时，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等实数根：
x b b2 4ac 2a
b b2 4ac
x1
2a
,
x2 b
b2 4ac 2a
2、当b2-4ac=0时，一元二次方程
4
4
解：移项，合并得：
4x2 1 0
因式分解，得：
(2x 1)(2x 1) 0
2 x 1 0或2 x 1 0
则 x１
－１ 2 ，x２
１ 2
练习
解下列方程：
(1)(2a－3)2=(a－2)(3a－4) (2)(4x－3)2=(x+3)2
小结
因式分解法的基本步骤： （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元 二次方程转化为解两个一元一次方程.
3x( x 2) 5( x 2) 0
提公因 (x+2)(3x－5)=0
式. x+2=0或3x－5=0
∴ x1=-2 , x2=
5 3
(2)(3x+1)2－5= 0
解：原方程可变形为
平方差 公式.
(3x 1 5 )(3x 1 5 ) 0
3x 1 5 0
3x 1 5 0
则x1
1 3
5
,
x2
小结
一元二次方程的解法：
1、配方法； 2、公式法；
适用任何一元二次方程
3、因式分解法. 适用部分一元二次方程
x(x+1)=0
x2+x=0 解：因式分解,得:
x(x+1)=0 ∴x=0 或 (x+1)=0 则x1=0 ，x2=-1 可以发现，利用因式分解可以很快捷地 解出方程。
梳理
上述解法中，通过因式分解使一元二次 方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再 使这两个一次式分别等于0，从而实现降次， 求出方程的根，这种解法叫做因式分解法。
1 3
5
梳理
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1、方程右边化为 零 。 2、将方程左边分解成两个一次因式 的乘积 。 3、至少 有一个因式为零，得到两个一元 一次方程。 4、两个一元一次方就程是的原解方程的解。
练习
1.不计算，请你说出下列方程的根.
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
x 2 3, x 1 1 ×
则x1 1, x2 2
这个方程需要先转化为一般形式再求解.
(2)解方程： y2 4 y
解： y 2 4 y ×
y 4
根据等式性质，等式两边都除以一个不 为0的数时，等式仍然成立。上式中，方程两 边同除以y，而y有可能为0.那么，这个方程应 该怎样解呢？
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x 2)(2x 1) 0 x1
(4)x2 x x1 0, x2 1
2 3 , x2
1 2
2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误 在哪？ (1)解方程： ( x 2)(x 1) 3
解：( x 2)(x 1) 31
1、 什么样的一元二次方程可以 用因式分解法来解？
2、用因式分解法解一元二方程， 必须要先化成一般形式吗？
3、用因式分解法解一元二次方程， 其关键是什么？
例题讲解
解下列方程：
(1)3x(x 2) 5(x 2) (2)(3x 1)2 5 0
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
y2 4y
解：移项，得 y2 4y 0
因式分解，得 y( y 4) 0
y 0 或 y 4 0 则 y1 4, y2 0
例题讲解
解方程：
5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
分析：等号右边不为0，需因式分
解。
(1)5x 2 2 x 1 x 2 2 x 3