电磁场与波复习(本部)

电磁场基础
第一章
矢量分析考试重点
矢量代数——矢量的加减法、标量积（点乘）、矢量
积（叉乘） 矢量场的通量、散度、散度定理；环量、旋度、斯托 克斯定理 标量场的方向导数、梯度 曲面坐标系中三种坐标的转换
1
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1.1
, B x 2 3, 设 A x y9 z y4 z 求(1)A B, A B, A B (2)求 A和B的夹角
P (2 x) 2 (2 y ) 2 ( 1) 2 3
(1,1,1)
即最大的方向导数，故 P 恒成立。
l
P
显然，梯度 P 描述了P点处标量函数 的最大变化率，
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电磁场基础
1.9
12
电磁场基础
第二章
电磁场基本方程考试重点
高斯定理，电场强度、电通密度的计算 毕奥---萨伐定律，磁感应强度(磁通密度) 的计算 法拉第电磁感应定律，感应电动势的计算 全电流连续性原理，位移电流密度
0 a 3 0 a 3 0 a 3 0 a 3 D E ˆ ˆ 2 E D 2 E r ,D r 2 2 3 0 r 3r 3 0 r 3r
0
0
r
r
a
E
（2）求球体内一点的场强,r<a

S
1 E dS
o

V
0dV
4 0 r 3 3 4 r 2 E
y
2 e Iazd ' ez Ia d '
Idl
载流圆环
I1dl1 R12 3 C1 R12
轴线上任一点P(0,0,z)的磁感应强度为
0 Ia 2 e z ez a B( z ) d ' 2 2 3/2 4 0 ( z a )
3
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1.3
4
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1.4 已知点电荷q所产生的电场强度
点M处的散度 E 。 解：
E
qr 4 0 r
3
，求其在任何一
ˆ yy ˆ zz ˆ r xx r x2 y 2 z 2 Ex qx 4 0 r
3
, Ey
qy 4 0 r
解:
B A, 则A B=0
3 A B =3a 4b 0 b a 4
又 B 1, B 2 a 2 b2 a 2 9 2 25 2 4 a a 1 a 16 16 5
故有两组解,
4 3 a ,b ; 5 5 4 3 a ,b 5 5
( 2 ) 均匀磁场 B 为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速 运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体L在磁场中运动产 生的，故得
或
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in C (v B) dl C (exv ez B0 ) ey dl vB0b d d in B dS (bB0vt ) bB0v dt S dt
U a ln
dEM U b (ln 1) 0 b 2 da (a ln a ) a
得
ln
a
b 1 a
b e a
故
b 1.8 0.662 cm e 2.718
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2.3 计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。 解：设圆环的半径为a，流过的电流为I。为计算方便取线电 流圆环位于xy平面上，则所求场点为P(0,0,z),如图 所示。采用圆柱 坐标系，圆环上的电流元为 Idl e Iad ' ，其位置矢量为 r e a 而场点 P 的位置矢量为
3
, Ez
qz 4 0 r 3
Ex Ey Ez q 3r 2 3r 2 E 0 5 x y z 4 0 3r
可见，除点电荷q所在位置(r=0)外，电场的散度处处为0。
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1.5
求下列矢量场的旋度：
ˆ x A B Ax Bx
ˆ y Ay
( 3 ) 矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L 在磁场中运动产生的，故得
B in dS (v B) dl S t C (ez B0 cos t )ez dS (ex v ez B0 cos t ) e y dl S t C 21 vtbB0 sin t vbB0 cos t
（1） B ez B0 cos(t ) ，矩形回路静止； （2） B e ，矩形回路的宽边b = 常数，但其长边因可滑动 z B0 （3） B ez B0 cos(t ) ，且矩形回路
B
运动而随时间增大； 导体L以匀速 v ex v 上的可滑动导体L以匀速 v ex v 运动。
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2.1 求真空中均匀带电球体的电场强度和电通密度分布。已知球 体半径为a ，电 荷密度为 0 。
解：应用高斯定理，取半径为r的同心球面为高斯面 q 1 2 E d S E e 4 r v dv n S v 0 0 （1）球外某点的场强，r>a q 1 4 3 E d S a 0 S 0 0 3
ˆ (1 2) y ˆ[9 (4)] z ˆ(1 3) 解：（1） A B=x ˆy ˆ5 z ˆ4 x
ˆ x
ˆ y
ˆ z
ˆx ˆ2 y ˆ 9 ( y ˆ 4)] z ˆ (z ˆ3) A B=x A B Ax Ay Az 2 36 3 35 Bx By Bz ˆ y ˆ ˆ x z ˆ ( 27 4) y ˆ ( 2 3) z ˆ31 y ˆ5 z ˆ( 4 18) x ˆ14 A B = 1 9 1 x 2 4 3
a
r
o
E
0 r r ,D 0 3 o 3
ˆ Er
0 r r ˆ 0 ,D r 3 o 3
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2.2
如图所示，同轴线的内外导体半径分别为a和b。在内外导体 间加电压U，则内导体通过的电流为I，外导体返回的电流为-I。 a)设内外导体上单位长度的带电量分别为 l 和 l，求内外导体 间的 D及E ； b)用电压U来表示，则 E =？其最大值 E =？ M c)若给定b=1.8cm，应如何选择a以使用同轴线承受的耐压最大？
ˆ z Az Bz ey y Fy
ez z Fz
By ex Fz Fy Fx Fz Fy Fx F ex ey ez z x y x z y x Fx
解：(1) 均匀磁场 随时间作简谐
y
a
o
B
L
v
b x
变化，而回路静止，因而回路内的感应 电动势是由磁场变化产生的，故
x 均匀磁场中的矩形环
B in dS [ez B0 cos(t )] ez dS abB0 sin(t ) S t S t
r ez z
，故得
R a o r
x
B1 (r2 ) 0 4
P r
z
r r ez z e a, r r ( z 2 a2 )1/2 Idl (r r ) e Iad ' (ez z e a)
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2.4 长为2l的直导线上流过电流I，求真空中P点的磁通密度。
0 B ( r ) 把上式代入 1 2 4
I1dl1 R12 3 C1 R12
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20 长为 a、宽为 b
的矩形环中有均匀磁场 B
2.5
垂直穿过，
如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。
6
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1.6
7
Байду номын сангаас
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8
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1.7
9
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1.8 设一标量函数 (x,y,z) = x2＋y2－z 描述了空间标量场。试求： (1) 该函数 在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的 单位矢量； ˆx (2) 求该函数 沿单位矢量 l ˆ cos60 y ˆ cos 45 z ˆ cos60 方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值 作以比较，得出相应结论。 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为 2 2 ˆ +y ˆ +z ˆ )( x y z ) P ( x y x z 表征其方向的单位矢量
（2）
cos
A B 35 = 0.7134 AB 82 29 44.49 or arccos(0.7134)
A B AB cos
2
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3 , B xa 1.2 设 A x y4 z yb, 为使B A ，且B 的模为1，求a,b.
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线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 en与 e 成α角，如图所 y
示。试求： （1）线圈静止时的感应电动势；
（2）线圈以角速度 ω 绕 x 轴旋转时的感应电动势。
2.6 在时变磁场 B ey B0 sin t 中，放置有一个 a 的矩形 b
解: （1）线圈静止时，感应电动

s
得
l ˆ D 2
E
D

ˆ
l 2
a b
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b)
l l b U E dl d ln l a 2 2 a