现代信号处理_第七章_多分辨分析2
现代信号处理
求离散时间信号x(t)为严格平稳随机信号的条件。
1.2相关函数、协方差函数、功率谱密度
1.2.1自相关函数、自协方差函数、功率谱密度
二阶统计量 相关函数：信号 x(t ) Rxx ( ; t ) E{x(t ) x* (t )} 协方差函数： Cxx ( ; t ) E{[ x(t ) mx (t )][ x(t ) mx (t )]*} 高阶统计量（k 3) k 阶矩： (t1 , , tk ) E{x(t t1 ) x(t t2 ) x(t tk )} k 阶累积量(cumulant) c(t1 , , tk ) cum{x(t t1 ), x(t t2 ), , x(t tk )}
2. 两个随机信号的二阶统计量（续）
互协方差函数
C xy ( ) E [ x(t ) mx ][ y (t ) m y ]* 不含直流分量
两个减去均值的信号存在共性部分（确定量）和非共性部 分（随机量），而共性部分相乘总是取相同符合，使得该 部分加强，从而保留下来；而两个信号的非共性部分是随 机的，它们的乘积有时为正，有时为负，通过数学期望的 平均运算后，会相互抵消。这表明，互协方差函数能把两 个信号的共性部分提取出来，并抑制掉非共性部分。因此 互协方差函数描述了两个信号之间的相关程度。但这种相 关程度是用绝对量衡量的，不方便，对互协方差进行归一 化，得到互相关系数，两个信号间的相关程度就直观了。
“零均值化”：均值不为0的信号减去其均值 注：一些书将“零均值化”信号的相关函数的Fourier变换 定义为功率谱。
自功率谱密度是实函数，而互功率谱是复函数。其实部称 同相谱，虚部称正交谱。
2. 两个随机信号的二阶统计量（续）
《现代信号处理》教学大纲
《现代信号处理》教学大纲适用专业：信息与通信工程、物联课程性质：学位课网工程、电子与通信学时数：32 学分数： 2课程号：M081001 开课学期：秋季第(1)学期大纲执笔人：何继爱大纲审核人：陈海燕一、课程的地位和教学目标现代信号处理作为信息类专业研究生的一门专业基础课，是在传统数字信号处理基础上，基于概率统计的思想，用数理统计、优化估计、线性代数和矩阵计算等工具，研究有限数据量的随机信号的分析与处理，且系统可能是时变、非线性的，它是近代才发展起来的前沿学科。
主要讨论基于信号模型分析和滤波的基本理论和基本方法；以现代谱估计和自适应滤波为核心内容，并介绍现代信号处理的新技术。
该课程为众多信号处理的应用领域打下基础，包括通信、声学、图像、雷达、声纳、生物医学等领域的信号处理。
本课程的知识目标是使学生牢固掌握现代信号处理一些最基本的理论、方法和应用，并能跟踪和学习新的理论、方法和技术；内容涉及随机信号统计分析、现代谱估计、自适应滤波器、时频分析与二次型时频分布、信号多速率变换、盲信分离和阵列信号处理方法等；建立现代信号处理的知识体系，对课程内容总体把握；具有一定的实验和模拟仿真的基本知识。
了解现代信号处理重要新技术的发展趋势，为从事信息与通信工程及相关电子系统的工程设计打下坚实的基础。
本课程的能力目标是通过课程的学习提高学生的分析计算方法、演绎推理方法和归纳法等基本数学处理方法；运用数学、物理及工程概念及方法发现问题、分析问题和解决问题的能力，以及理论与实际相结合的能力；能够触类旁通，提高学生的科学学习方法；掌握通信学科的信号分析与处理基本理论和技能，思路开阔，具有运用所学知识的能力、搜集和提炼信息的能力、团队合作能力、表达能力和创新能力等。
本课程的专业素质目标通过本课程的课堂学习、单元知识及章节总结、习题及专题研讨培养学生培养良好严谨的科学研究态度和正确的思维方法，使学生敢于提出问题、善于分析问题和解决问题的能力及具有团队合作精神。
清华大学《现代信号处理》课件
现代信号处理（离散随机信号处理）电子工程系本课程要讨论的主要问题：（1）对信号特性的了解随机信号（随机过程，时间序列––随机过程的一个实现）信号模型→参数估计→现代谱估计：参数化谱估计讨论信号模型及模型参数的估计问题，比较参数谱估计方法和周期图方法的优劣。
（2）对统计意义下最优滤波器设计的研究平稳条件下：Wiener滤波器理论非平稳条件下：Kalman滤波理论上的目标，实际算法可达到的最佳结果（3）对环境的自适应，具备“学习能力”的滤波算法自适应均衡、波束形成、线性自适应滤波器（4）更多信息的利用，挖掘（针对非高斯问题）线性系统、功率谱：二阶矩，高斯过程的完全刻划非线性、多谱：高阶量，循环平稳（5）对时间（空间）–––频率关系的适应性：全局特性与局域特性，小波变换，时频分析信号处理算法设计面向的几个主要因素n信噪比n先验知识n雷达n通信系统n电子对抗n对先验知识的利用：统计基础上的假设、学习过程n算法复杂性与性能要求的匹配性一些进展中的课题盲自适应信号处理序列贝叶斯估计、粒子滤波阵列信号处理等等与信号处理紧密关联的学科人工神经网络统计学习理论模式识别等等教材n张旭东，陆明泉：离散随机信号处理，2005年10月，清华大学出版社主要参考书①S. Haykin, Adaptive Filter theory, Third Edition, Prentice-Hall, 1996，//Fouth Edition 2001 (电子工业出版社均有影印本)①S.M. Kay, Modern Spectral Estimation: Theory & Application,Prentice-Hall, 1988①S.M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory, Prentice Hall PTR, 1993.①S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic press, 1998，Second Edition 1999①扬福生, 小波变换的工程分析与应用, 科学出版社, 2000.① D. G. Manolakis, et,al. Statistical and Adaptive Signal Processing, Mcgraw-Hall, 2000.①J. G. Proakis, et al. Algorithms for Statistical Signal Processing, Prentice hall, 2002①张贤达现代信号处理第2版清华大学出版社课程成绩n平时作业10％n2个Matlab作业40％（布置后2周内提交）n期末开卷考试50％1.1随机信号基础被噪声干扰的初相位是随机值的正弦波信号本质上均是随机的，但将信号作为随机信号处理，还是做为确定信号处理，与我们的应用目标和我们的先验知识有关，一般地，我们总是选择对应用有利的处理方式。
现代信号处理教程 - 胡广书(清华)
180第7章 两通道滤波器组7.1 两通道滤波器组中各信号的关系第6.1节已提及，滤波器组分为分析滤波器组和综合滤波器组。
分析滤波器组将)(n x 分成M 个子带信号。
若M ＝2，则分析滤波器组由一个低通滤波器和一个高通滤波器所组成，它们把)(n x 分成了一个低通信号和一个高通信号。
我们可依据这两个子带信号所具有的能量的不同，也即“重要性”的不同而分别给以不同的对待及处理。
例如，分别赋以不同的字长来实现信号的编码及压缩，或是别的处理。
处理后的信号经传输后再由综合滤波器组重建出原信号。
由于分析滤波器组将原信号的带宽压缩为1/M ，因此，对每一个子带信号均可作M 倍的抽取，从而将抽样率减低M 倍。
这样可减小编码和处理的计算量，同时，在硬件实现时也可以降低对系统性能的要求，从而降低成本。
在综合滤波器组前面，再作M 倍的插值，以得到和原信号相同的抽样率。
一个两通道滤波器组如图7.1.1所示。
图7.1.1两通道滤波器组如果)()(ˆn x n x=，或)()(ˆ0n n cx n x -=，式中c 和0n 为常数，我们称)(ˆn x 是对)(n x 的“准确重建(Perfect Reconstruction ，PR)”。
本节首先讨论图7.1.1中各信号间的关系，然后讨论实现准确重建的途径。
也即，如何确定)(0z H ,)(1z H ,)(0z G 和)(1Z G 才能去除混叠失真，幅度失真及相位失真。
由图7.1.1及第五章关于抽取与插值的输入、输出关系，对图中的分析滤波器组，有：)()()(00z H z X z X =，)()()(11z H z X z X =)181)]()([21)(2102100z X z X z V -+=)]()()()([212102121021z H z X z H z X --+= ( 7.1.1a )_)]()([21)(2112111z X z X z V -+=)]()()()([212112121121z H z X z H z X --+= （7.1.1b ）即： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()()()()()(21)()(212121121121021010z X z X z H z H z H z H z V z V （7.1.2）对综合滤波器组，有：)()()()()(ˆ1100z G z U z G z U z X += 而 )()(200z V z U =，)()(211z V z U =所以 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()()()()(ˆ212010z V z V z G z G z X （7.1.3） 将（7.1.2）式代入(7.1.3)式，有：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=)()()()()()()()(21)(ˆ110010z X z X z H z H z H z H z G z G z X（7.1.4）该式给出了)(ˆz X 和)(z X 及分析滤波器组)(z H i ，综合滤波器组)(z G i 之间的关系（i＝0，1）。
现代信号处理-胡广书-清华
X ( jΩ)
=
1 2π
<
x(t), e jΩt
>
式中 < x, y > 表示信号 x 和 y 的内积。若 x ， y 都是连续的，则
（1.1.5）
< x, y >= ∫ x(t) y*(t)dt
若 x ， y 均是离散的，则
< x, y >= ∑ x(n) y*(n)
从时域波形还是从频域波形，我们都很难看出该信号的调制类型及其他特点。和图 1.1.1(c)
一样，图 1.1.2(c)也是 x(n) 的时－频分布表示，由该图可明显看出，该信号的频率与时间成
Line ar sca le
Real part
S ignal in time 1
0
-1 |S TF T|2, Lh=48 , Nf=1 92, lin. scale, co ntour, Thld =5%
gt,Ω (τ ) = g(t − τ )e jΩτ
（1.1.8）
来代替傅立叶变换中的基函数 e jΩt ，则
< x(τ ), gt,Ω (τ ) >=< x(τ ), g(t −τ )e jΩτ >
∫= x(τ )g*(t − τ )e− jΩτ dτ = STFTx (t, Ω)
(1.1.9)
该式称为 x(t) 的短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, STFT）。式中 g(τ ) 是一窗函
愈多。但由傅立叶变换 X ( jΩ) 看不出在什么时刻发生了此种类型的突变。现举两个例子说
明这一概念。 例 1．1．1 设信号 x(n)由三个不同频率的正弦所组成，即
现代信号处理教程_-_胡广书(清华)
- 352 -
a1 (n)
a 0 ( n)
H0 (z-1)
′ ( n) a1
↑2
H0(z)
↓2
ˆ 0 ( n) a
d 1 2
H1(z)
↓2
图 12.1.1 双正交滤波器组
a1 ( n ) = a0 ( n ) ∗ h0 ( 2n )
= ∑ a0 ( k )h0 ( k − 2n ) = a0 ( k ), h0 ( k − 2n )
- 355 -
(12.1.14a)
ˆ 1 ( z ) = z − ( 2 l +1) H 0 ( − z −1 ) H
假定 l = 0 ，它们对应的时域关系是
(12.1.14b)
ˆ (1 − n ) h1 ( n ) = ( −1) n +1 h 0
ˆ ( n ) = ( −1) n +1 h (1 − n ) h 1 0
重建的充要条件是：
* ˆ 0 (ω ) + H 1* (ω + π ) H ˆ 1 (ω ) = 0 H 0 (ω + π ) H
(12.1.6a) (12.1.6b)
及
ˆ 0 (ω ) + H 1 (ω ) H ˆ 1 (ω ) = 2 H 0 (ω ) H
* *
证明：仿照(7.1.5)式的导出，有
ˆ ∗ (ω + π ) H 1 (ω ) = e − j ( 2 l +1)ω H 0 ˆ (ω ) = e − j ( 2 l +1)ω H ∗ (ω + π ) H 1 0
或
(12.1.13a) (12.1.13b)
ˆ 0 ( − z −1 ) H 1 ( z ) = z − ( 2 l +1) H
现代信号处理第7章高阶谱分析共24页
信号处理
21
高阶谱的应用
高阶谱可以用来处理非高斯过程 信号的检测和处理，系统的辨识，信号的重构等
高阶谱可以自动抑制加性高斯噪声
高阶谱能够检测和刻划过程的非线性特性
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信号处理
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谢谢！
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高阶累积量和高阶矩的定义
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信号处理
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续
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随机序列（随机信号）的高阶矩和累积量
表示为
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累积量和矩关系为
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几个特征量定义
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累积量和矩的一个重要关系式
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线性非高斯过程的高阶谱
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线性非高斯过程的高阶谱
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线性非高斯过程高阶谱和低阶谱之间的关系
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非线性过程的高阶谱
相位耦合问题
x 1 ( k ) A 1 c1 k o 1 ) s A 2 c (2 k o 2 ) s A 3 c (3 k o 3 ) s(
这两个信号的三阶累积量
c3x1(1,2)0
c3x2(1,2)1 4[co2s1(12)cos31 (12)]
cos11(22)cos31 (22)
cos11(32)cos2(132)
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信号处理
现代信号处理 - 第13讲
42 15
3 、卷积同态系统
信号和噪声的关系除相加、相乘外，可以为卷积：
语音信号是声带源和声道冲激响应的卷积 地震波是地震源波形和地壳冲激响应的卷积
处理这类信号，使用卷积同态系统 卷积同态系统：输入、输出矢量空间中矢量间的运 算是卷积运算( 、为卷积运算)
x(n) *
＋＋ ＋＋ * L[] T* [] T*-1[] x(n) y(n)
三个子系统都是同态系统 第一个系统T []称为运算 的特征系统 -1 第三个系统 TO []称为运算O的特征系统的逆系统 第二个系统 L[]则为线性系统
42 6
三个子系统均满足广义的线性叠加原理 T 1(n) 2(n)]=T 1(n)]＋T 2(n)] [x x [x [x T [cx(n)]=cT [x(n)] ˆ ˆ ˆ ˆ L[ x1 (n) x2 (n)] L[ x1 (n)] L[ x2 (n)] ˆ ˆ L[cx(n)] cL[ x(n)] ˆ ˆ ˆ ˆ To-1[ y1 (n) y2 (n)] To-1[ y1 (n)]OTo-1[ y2 (n)]
42 12
如何从图像s(x，y)中提取反射图sr(x，y)？ 解：可以采用乘法同态滤波系统 第一个子系统：乘法特征系统，通过对数运算得： ln[s(x，y)]=ln[si(x，y)]+ln[sr(x，y)] 即：照度图和反射图的相乘关系被转变为相加关系 由于照度图是低频的，而反射图是高频的，因此 第二个子系统：线性系统 L[]可设计成一个二维的高 通滤波器。理想情况下，第二个子系统的输出为： ln[sr(x，y)] 第三个子系统：乘法特征系统的逆系统，通过指 数运算，将ln[sr(x，y)]变为： exp{ln[sr(x，y)]}= sr(x，y) 因此达到分离反射图的目的
现代信号处理算法PPT课件
通信信号处理
— 子空间方法
基于子空间的多用户检测 基于子空间的MIMO信道估计 基于子空间的自适应阵列 基于子空间的波达方向估计 基于子空间的时延和Doppler频移的估计 盲空时信号处理的子空间方法
27
通信信号处理
— 空时编码
基于空时编码的多用户接收机 基于空时编码的信道估计 自适应天线 空时处理的TDMA
作为信息载体的信号处理经历了从模拟到数字，从确 知到随机的发展过程，正阔步迈向以非平稳信号、非 高斯信号为主要研究对象和以非线性、不确定性为主 要特征的智能信号处理时代。
6
序言
通信担负着信息流通的功能，近一、二十年获得异乎 寻常的发展；各种基于因特网和移动网的新业务相继 出现，新概念和新技术层出不穷。标志性技术有：IP 技术、3G,4G移动通信技术、宽带接入技术、基于波 分复用技术的光传送网(WDM-OTN)技术。
10
信号处理的基础（续）
这些论文是：
The past, present, and future of multimedia signal processing. IEEE SP Magazine, July 1997
The past, present, and future of neural networks for signal processing. IEEE SP Magazine, Nov. 1997
30
通信信号处理
— Monte Carlo 统计信号处理
❖ Kalman滤波与Monte Carlo信号处理 - Kalman滤波: 线性状态空间模型问题(过程噪声和观测噪声 服从正态分布)，解决高斯噪声情况下参数估计和滤波问题。 - MC处理(又称粒子滤波,particle filtering,使用MC仿真实现 递推Bayes滤波)：非线性状态空间模型问题、解决非高斯噪 声情况下的参数估计和滤波问题。
现代信号处理
现代信号处理一 信号分析基础傅里叶变换的不足：()()1()()2j t j tX j x t e dtx t X j e d π∞-Ω-∞∞Ω-∞Ω==ΩΩ⎰⎰1.不具有时间和频率的“定位”功能；2.傅里叶变换对于非平稳信号的局限性；3.傅里叶变换在分辨率上的局限性。
频率不随时间变化的信号，称为时不变信号（又称为平稳信号），频率随时间变化的信号称为时变信号（又称为非平稳信号），傅里叶变换反映不出信号频率随时间变化的行为，只适合于分析平稳信号。
而我们希望知道在哪一时刻或哪一段时间产生了我们所要考虑的频率，现代信号处理主要克服傅里叶变换的不足，这些方法构成了现代信号处理。
分辨率包括频率分辨率和时间分辨率，含义是指对信号能作出辨别的时域或频域的最小间隔。
分辨率的好坏一是取决于信号的特点，二是取决于信号的长度，三是取决于所用的算法。
克服傅里叶变换不足的主要方法有：方法一：STFT （Short Time Fourier Transform ）方法二：联合时频分析Cohen 分布，联合时频分析Wigner 分布 方法三：小波变换方法四：信号的子带分解，将信号的频谱均匀或非均匀地分解成若干部分，每一个部分都对应一个时间信号。
方法五：信号的多分辨率分析，与方法四类似，为了适应在不同频段对时域和频域分辨率的不同要求，可以将信号的频谱做非均匀分解。
明确概念：时间中心、时间宽度、频率中心和频带宽度 信号能量：2221()()()2E x t x t dt X j d π===ΩΩ<∞⎰⎰时间中心：21()()t t x t dt Eμ=⎰ 频率中心：21()()2x d EμπΩ=ΩΩΩ⎰ 时间宽度：22201()()t t t x t dt E ∞-∞∆=-⎰频率宽度：22221=()2X d Eπ∞Ω-∞∆ΩΩΩ-Ω⎰ 时宽和带宽：2,2t T B Ω=∆=∆品质因数=信号的带宽/信号的频率中心。
不定原理：给定信号x(t)，若()0t t →∞=,则12t Ω∆∆≥当且仅当x(t)为高斯信号，即2()t x t Ae α-=等号成立。
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n
及其偶平移构成一正交集。现在，若选
择 h1 n 1 h0 3 n b0 a1 , b0b1 , a0b1 , a0 a1 ，则集合 h0 n 2l , h1 n 2k , k , l Z 构成正交基
* H 0 H 0 H1* H1
* H 0 H 0 H1* H1 显然，当且仅当对所有 , ，有 1 (恢复信号)和 0 (消除 H 0 H 0 H1 H1 1 H * H H * H 0
i i
x l , x k k l
类似地，式 hi n 2l , h j n 2k i j k l 容易证明下面的正交性
x l , x k k l x l , x k 0
BUPT
ˆ 考虑离散信号 x n ，其Fourier变换记为 x ，则上图中的分析节将 x n 变成逼近序列 f n 和细节序列 d n ，它们的Fourier变换可分别表 示为 1 ˆ ˆ ˆ f 2 H 0 x H 0 x
n
并且h0(n)和h1(n)的偶移位正交：
h0 n 2l , h1 n 2k 0, k , l Z
上述两种正交关系可用矩阵形式分别写作 * * H0 H0 I 和 H 0 H1* I 或 H1H 0 I
BUPT
x n
H 0
2 1
低通
1 2
BUPT
7.6.3 对偶滤波器与对偶小波
为克服用FIR滤波器组构造正交小波的上述缺点，我们就必须对小波的 正交性让步，改用双正交小波。 令 H i , i 0,1 是 H i 的对偶滤波函数，并且保持图7.6.1中的分析滤 波器不变，重构滤波器则分别替换为它们的对偶滤波器，如图，
最后证明不同尺度的 x 函数是正交的。显然，
2 x l , 2 x k
h n 2 x 2l n , 2 x k
n 0 1 L 1 n 0 1
L 1
h n 2 x 2l n , 2 x k 0
一路：低通H0(w)对信号x(n)滤波——下采样——原信号的逼近H0(w)x 二路：高通H1(w)对信号x(n)滤波——下采样——原信号的细节H1(w)x 分别进行上采样——通过滤波器H0*和H1*
原信号重构（称综合或重构节）
整个系统输出：
逼近输出 细节输出
* H 0 H 0 x H 0 x 2
小波变换—FIR滤波器组
杜文涛 杨心武 魏世乐
BUPT
提纲
7.6.1 基于FIR滤波器组的信号重构 7.6.2 基于FIR滤波器组的正交小波构造 7.6.3 对偶滤波器与对偶小波 7.6.4 完全重构FIR滤波器组的设计
BUPT
7.6.1.基于FIR滤波器组的信号重构
设有一FIR滤波器组 滤波器 H0 H1 冲激响应 h0(0),h0(1),· ,h0(L-1) · · h1(0),h1(1),· ,h1(L-1) · ·
i 1
2 1
(c)
因此，图(b)中的级联滤波器可以等价于图(c)的形式，等价滤波器的z变 换为 i 1
H z H z 2 , i 1, 2,
i
k
其中
H
0
z 1
k 0
BUPT
假定滤波器H(z)的冲激响应为h(0),h(1),…,h(L-1)。令f (i)(x)是在长度为 2-i的间隔内分为不变的函数 并且用迭代方式
H1* H1 x H1 x
2
BUPT
显然，为实现信号的完全重构，滤波器组必须满足“完全重构条件”：
H 0 H1 1
2 2
或矩阵形式：
* H 0 H 0 H1* H1 I
常把H0成为共轭二次滤波器。
2 2 b 例7.6.1 选择 h0 n a0 a1 , a0b1 , b0b1 , b0 a1 ，其中 ai cos i ，i sin i ，由于 ai bi 1 ，故
求其极限。业已证明，当滤波器满足正则条件式(7.5.20)时， f (i)(x)随 i 收敛于极限函数 x 。
下面证明 x 满足尺度函数的所有要求。 首先，取上式的极限形式，便得到 x 满足的双尺度方程：
x 2 h0 m 2 x m
* H 0
* H 0 H 0 x n
+
H1
重构的信号
分析滤 波器组
2 1
高通
1 2
H1*
H1* H1 x n
1 2
上采样：两个样本值之间插零
综合或重构 滤波器组
2 1 下采样：去除奇次编号的样本值
用滤波器组H0和H1实现信号的完全重构： 信号分解（称分析节）
BUPT
7.6.2基于FIR滤波器组的正交小波构造
容易验证，下采样后再用H(z)滤波等价于先用H(z2)滤波，然后下采样 ，如图(a)所示
2 1
H z
H z2
2 1
(a)
2 1
H z
2 1
H z
2 1
H z
(b)
H z H z 2 H z 2
x n
H 0
2 1
低通
1 2
* H 0
* H 0 H 0 x n
+
H1
重构的信号
2 1
高通
1 2
H1*
H1* H1 x n
1 2
上采样：两个样本值之间插零
2 1 下采样：去除奇次编号的样本值
H 0 H 0 1
2 2
由此易得 0 和 的值为
H0 0 1 和
H 0 0
BUPT
然而，从信号处理的观点看，满足 H 0 H 0 1 的解即共 轭二次滤波器H0存在一些严重的缺点： 2 2 由式 H 0 H 0 1 的解给出的滤波器 H 0 不能够同时是FIR(有
BUPT
j i 同理可证，穿过不同尺度的 2 x l 与 2 x l 也正交，其中j≠i和 k≠l。综合以上证明， x 和 x 分别具有尺度函数和小波的正交性。
综上所述，利用FIR滤波器组可以构造正交小波，只要FIR滤波器组满 足下面的条件即可：
令重构的信号为 r n ，其Fourier变换可表示为
ˆ ˆ ˆ r x x
2 1 ˆ ˆ ˆ d 2 H1 x H1 x 2
ˆ 式中 x 表现为信号的混叠形式，并且
m 0 n 0 0
L 1 L 1
h n h n 2l 2k k l
0 n 0
L 1
BUPT
这就证明了第i+1级的正交性。这表明 f x l , f n k k l 对所有i均成立，从而当 i 时，上式的极限形式也成立，即有
f x l , f n k k l
i i
利用这一假设，有
f
i 1
x l , f i 1 x k
i
i
2 h0 m h0 n f 2 x 2l m , f 2 x 2k n
f
i
f x 2i 2 h n , 2i n x 2i n 1
i i
x
2 h0 m f
m 0
L 1
i 1
2 x m , 2i n 2i 1 m x 2i n 2i 1 m 1
2 2
限冲激响应)和线性相位(即滤波器系数对称，并为实数)的。
由于是二次型方程的解，所以滤波器系数没有简单的表达式。 滤波器的设计是先设计满足上式的 H 0 ，然后分解得到 H 0 。这种方 法无法推广到多维(如图像)信号的情况。
2
在FIR滤波器情况下，子空间Vj除了定义为 close j , k : k Z 之外，别无 其它直接和简单的定义。因此，它无法利用样条函数(Harr小波除外)，而基 数样条函数是构造正交和双正交小波的有效手段。
*
于是，只需要解 H 0 H 0 H1 H1 1 便可求出对偶滤 波器组 H 0 和 H 0 上式的解可以完全避免共轭二次滤波器的缺点：
若固定 H 0 不变，则上式变为线性方程组，其解即是待求的对偶滤波器 H 0 系数可以非常简单，它们可以是实的和对称的，即滤波器 H 0 和 H 0 既可以是FIR的，又可以是线性相位的。
m0 L 1
BUPT
利用 x 定义带通函数：
x 2 h1 m 2 x m
L 1 m0
并假定 h1 n 和 h0 n 相对偶平移是正交的： hi n 2l , h j n 2k i j k l 利用数学归纳法可以证明 x 的正交性。由定义式 f i x 2i 2 hi n 可知f(0) (x)恰好是在区间[0,1]上的指示函数，这就证明了第0级的正交性， 0 0 即 f x l , f n k k l ，现假定第i级函数f(i) (x)的正交性