七年级数学竞赛 第12讲 趣味运动

第12讲趣味运动知能概述：行程问题是最为有趣而又多变的方程应用题的一种，其三要素是距离、速度、时间。

行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等，而相遇、追及是最基本的模型。

熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元，借助直线图辅助分析，巧用比例等是解行程问题的技巧。

问题解决：例1．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车。

假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间x发一辆车，那么，发车间隔的时间x是分钟。

（《数学周报》杯全国初中数学竞赛题）解题思路：本题包含了行程问题中的相遇与追及两种情况。

设汽车的速度为a米/分，小王速度为b米/分，则当一辆汽车追上小王时，另一辆汽车在小王后面ax米处，它用6分钟追上小王；又当一辆汽车与小王相遇时，另一辆汽车在小王前面ax米处，它经过3分钟与小王相遇，由此布列方程。

例2．如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A……方向，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（）A．AB边上B．DA边上C．BC边上D．CD边上（安徽省竞赛题）解题思路：本例是一个特殊的环形的追及问题，注意甲实际在乙的前面3×90=270（米）处。

例3．父亲和儿子在100米的跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲能跑6步，儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等，现在儿子站在100米跑道的中点处，父亲站在100米跑道的起点处同时开始跑。

问父亲能否在100米的终点处超过儿子?并说明理由。

（重庆市竞赛题）解题思路：把问题转化为追及问题，即比较父亲追上儿子时，儿子跑的路程与50米的大小，为了理顺步长、路程的关系，需增设未知数，这是解题的关键。

例4．甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的23，甲跑第二圈的速度比乙BD第一圆提高了13，乙跑第二圈时速度提高了15，已知甲、乙三人第二次相遇点距第一次相遇点190米。

问：这条椭圆形跑道长多少米?（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）解题思路：设跑道长s 米，甲跑第一圈的速度是每分钟v 米，把两次相遇时甲距出发点的距离分别用s 的代数式表示。

例5．甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑（假定三人均为匀速直线运动）如果当甲到达终点时，乙距终点还有5米，丙距终点还有10米，那么，当乙到达终点时，丙距终点还有多少米?（北京市“迎春杯”竞赛题）解题思路：为建立方程，需增设甲、乙分别跑完全程所需时间及乙的速度。

例6．甲、乙二人分别从A ，B 两地同时出发，在距离B 地6千米处相遇，相遇后两人又再继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达B 地、A 地后，立刻返回，又在距A 地4千米处相遇，求A ，B 两地相距多少千米?（“祖冲之杯”邀请赛试题）解法1：第一次相遇时，甲、乙两人所走的路程之和，正是A ，B 两地相距的路程，即当甲、乙合走完A ，B 间的全部路程时，乙走了6千米。

第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的3倍（如图，图中实线表示甲所走路线，虚线表乙所走路线），因此，这时乙走的路程应为6×3=18（千米）。

考虑到乙从B 地走到A 后又返回了4千米，所以A ，B 两地间的距离为18−4=14（千米）。

解法2：甲、乙二人同时动身，相向而行，到相遇时二人所走时间相等，又因为二人都做匀速运动，应有：二人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例。

到第一次相遇，甲走了（全程−6）千米，乙走了6千米；到第二次相遇，甲走了（2×全程−4）千米，乙走了（全程+4）千米；设全程为S ，易得到下列方程：62464S S S −−=+，解之得S 1=14，S 2=0（舍去）。

所以A ，B 两地相距14千米。

解法3：设全程为S 千米，甲、乙二人速度分别为v 1，v 2， 则121266 244 S v v S S v v −⎧=⎪⎪⎨−+⎪=⎪⎩①②，①÷②，得66244S S S −=−+， 解得S =14或S =0（舍去）。

例7．8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距甲乙A B火车站15千米的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟，这时，唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60千米/时，人步行的平均速度是5千米/时，试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。

（全国初中数学竞赛题）分析与解：有以下设计方案：（1）当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，立即返回接步行的4个人到火车站；（2）当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人先下车步行，另一辆车将车内的4个人送到某地方后，让他们下车步行，再立即返回接因汽车出现故障而步行的另外4个人，使得两批人员最后同时到达车站。

对于方案（1），设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为x 千米，列方程， 有1515560x x +−=，解得x =3013，因此，这8个人全部到达火车站所需时间为 3030355(15)60131352÷+−÷=（小时）=54013（分钟）<42分钟。

故此方案可行，对于方案（2），两批人员步行的距离相同，如图所示，D 为乘无故障汽车人员下车地点，C 为乘有故障 汽车人员再次上车地点，因此，设AC =DB =y ， 列方程，有15152560y y y −+−=，解得y =2。

因此，这8个人同时到达火车站所需时间为21523756060−+=（小时）=37（分钟）<42（分钟）， 故此方案也可行。

环形运动：环形运动是一种在封闭的状态下进行的特殊运动，若同向运动时，则是个追及问题；若反向运动时，则是一个相遇问题。

化圆为直，化陌生为熟悉，运用直线图分析环形运动这是解相关问题的本质的策略。

例8．如图，已知一周长为30cm 的圆形轨道上有相距10cm 的A ，B 两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长），动点P 从A 点出发以a cm /s 的速度，在轨道上按逆时针方向运动；与此同时，动点Q 从B 点出发，以3cm /s 的速度，按同样的方向运动。

设运动时间为t (s )，当t =5时，动点P ，Q 第一次相遇。

（1）求a 的值；（2）若a >3，则在P ，Q 第二次相遇前，当动点P ，Q 在轨道上相距12cm 时，求t 的值。

解题思路：化圆为直，由直线图中的线段关系布列方程。

“P ，Q 第二次相遇前”是怎样的含义?故全面讨论是解题的关键。

火车站故障点D刻 意 练 习1．如图，正方形ABCD 的周长为40m ，甲、乙两人分别从A ，B 同时出发，沿正方形边行走，甲按逆时针方向每分钟行35m ，乙按顺时针方向每分钟行30m 。

如果记号（a ，b ）表示两人出发后已行了a m in ，并相遇过b 次，那么，当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是 。

（江苏省竞赛题）2．在一条笔直的公路上，某一时刻，有一辆客车在前，一辆小轿车在后，一辆货车在客车与小轿车的正中间同向行驶，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；此后，再过t 分钟，货车追上了客车，则t = 。

（“希望杯”邀请赛试题）3．A ，B 两地相距15km ，甲、乙两人同时从A 出发去B 。

甲先乘汽车到达A ，B 之间的C 地，然后下车步行，乙全程骑自行车，结果两人同时到达。

已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的一半，乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半，那么，C 地与A 地相距 km 。

（四川省竞赛题）4．甲、乙两个同学从A 地到B 地，甲步行的速度为每小时3千米，乙步行速度为每小时5千米，两人骑自行车的速度都是每小时15千米，现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发，走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放车处改骑自行车，以后不断交替行进，两人恰好同时到达B 地，甲走完全程的平均速度是 千米/小时，（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）5．甲、乙两个机器人同时按匀速进行100米跑道测试，自动记录仪显示：当甲距离终点1米时，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1.01米经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多了 米。

（江西省南昌市竞赛题）6．某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则该汽车在这段公路上行驶的平均速度为（ ）。

A ．1233v v v ++ B ．1231113v v v ++ D C BC ．1231111v v v ++D ．1233111v v v ++ （天津市竞赛题）7．甲、乙两人骑自行车同时在早晨7点从A 地出发，沿同一路线匀速行进前往B 地，A 地与B 地相距24千米，甲每行进4千米停下来休息5分钟，乙以甲75%的速度每行进6千米停下来体息3分钟，结果两人同时到达B 地。

此时应是上午（ ）。

A ．8:04B ．8:13C ．8:24D ．8:34（2016年天津市竞赛题）8．甲乙两人同时从A 地出发沿同一条线路去B 地，若甲用一半的时间以a 千米/时的速度行走，另一半时间以b 千米/时的速度行走；而乙用a 千米/时的速度走了一半的路程，另一半的路程以b 千米/时的速度行走 a ≠b ），则（ ）。

A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲、乙同时到达B 地D ．甲、乙谁先到达不能确定（天津市竞赛题）9．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点A ，C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2007次相遇在边（ ）上。

A ．AB B ．BC C ．CD D ．DA（湖北省黄冈市竞赛题）10．甲、乙两人沿同一路线从A 站骑车（匀速）到B 站，甲要用30分钟，乙要用40分钟。

如果乙比甲早出发5分钟去B 站，则甲追上乙时，是甲出发后的第（ ）。

A ．12分钟B ．13分钟C ．14分钟D ．15分钟（“希望杯”邀请赛试题）11．甲、乙、丙三辆车都匀速从A 地驶往B 地，乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车。