(完整word版)第四章 能带理论思考题
第四章 思考题参考答案.docx
第四章同步电机思考参考答案1、直流电机是旋转电枢式，是为了要进行机械换向。
同步发电机是因电枢功率大，不宜置于旋转体上，滑动接触导出大电流，不但工艺困难，还会引起滑动接触电阻的铜耗，导致滑动接触因高温而损坏，所以将相对功率较小的励磁回路放在转子上。
2、汽轮机高速，所以发电机p=l,机体相对细长，直径相对小些可降低转子高速旋转引起的离心力，有利于转子材料的选用，汽轮发电机都是卧式的。
水轮机转速低，所以发电机的极数多达几十对，转子直径必需大，才能安置大量的磁极。
水轮机是立式的，故水轮发电机组都是立式的，相应要求配置结构复杂的推力轴承。
3、直流发电机励磁，要受直流发电机（高速）容量的限制，只能应用于中等容量的同步发电机，且直流励磁发电机需要维护。
静止半导体励磁，克服了直流励磁机受容量限制的缺点，主励磁机为交流，避免了直流机换向火花问题，并可减少维护工作量，担任有滑动接触，且要求有可靠性高的整流装置。
旋转半导体励磁，取消了滑动接触。
因为交流主励磁机与同步发电机转子同轴。
励磁机和同步机励磁绕组直接连接。
所以这种方式亦称为无刷励磁，在解决了半导体装置的可靠性问题后，此乃最佳方案。
4、平均每极每相绕组占的槽数不是整数的绕组称为分数槽绕组。
当电机的极对数很多时，采用整数槽绕组会使整个绕组的槽数过多，使设计大受限制。
分数槽绕组和短距、分布一样有利于获得较好的电动势波形。
因为总槽数必须是整数，极数必须是偶数，所以当q=l|时，该绕组至少要有10个极，p=5o5、分布绕组实现了槽与槽的分布，对比一下集中绕组就显而易见了。
短距绕组槽中上层绕组的分布与下层导体的分布是相同的，但两层间错过了一个位置，故绕组实现了层与层的分布。
参看图3-6b。
分数槽绕组各个极面下的槽分布不相同，如将一个单元绕组的各个极对重叠起来, 可见极面下的导体（槽）是分布的，故称之实现了极对间的分布。
参看图4-10bo6、增大发电机容量不外于增大其额定电流和电压，相应地其体积必然增大。
固体物理习题解答
的离子实势场中运动。通过绝势近似将电子系统和原子核 (离子实)系统分开考虑。 平均场近似视固体中每个电子所处的势场都相同，使每个电子 所受势场只与该电子位置有关，而与其它电子位置无关。 通过平均场近似使所有电子都满足同样的薛定鄂方程。 通过绝热近似和平均场近似，将一个多粒子体系问题简化为单 电子问题。绝热近似和平均场近似也称为单电子近似。 周期势场假定则认为电子所受势场具有晶格平移周期性。 通过以上近似和假定，最终将一个多粒子体系问题变成在晶格 周期势场中的单电子的薛定鄂方程定态问题。
复式格子？
3
第一章 思考题
3、引入倒格子有什么实际意义？对于一定的布拉菲格子，基 矢选择不唯一，它所对应的倒基矢也不唯一，因而有人说 一个布拉菲格子可以对应于几个倒格子，对吗？复式格子 的倒格子也是复式格子吗？
答：
引入倒格子概念，对分析和表述有关晶格周期性的各种问题 非常有效，如：晶体X射线衍射，晶体周期函数的傅里 叶变换。
方 (110)晶面的格点面密度最大。根据
dhkl
h2
a k2 l2
，有面心立 d11方 1 a3，体心立d1方 10
a 2
因此，最大格点面密度表达式，
dh1h2h32 /G h1h2h3
面心立 11方 1a43 a343a23，体心立 11方 0a23a2a2 2
13
第一章 习题
1.7 证明体心立方格子和面心立方格子互为倒格子。
7
第一章 习题
1.1 何谓布拉菲格子？画出NaCl晶格所构成的布拉菲格子，说 明基元代表点构成的格子是面心立方晶体，每个原胞中含 几个格点？
解： 由基元代表点-格点-形成的晶格称为布拉菲格子或布拉菲点
(完整word版)固体的能带理论习题.doc
第五章固体的能带理论1.布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？解：布洛赫电子论作了 3 条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。
布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。
2.周期场对能带形成是必要条件吗？解：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。
由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。
3.一个能带有N 个准连续能级的物理原因是什么？解：这是由于晶体中含有的总原胞数 N 通常都是很大的，所以 k 的取值是十分密集的，相应的能级也同样十分密集，因而便形成了准连续的能级。
4.禁带形成的原因如何？您能否用一物理图像来描述？解：对于在倒格矢K h中垂面及其附近的波矢k ，即布里渊区界面附近的波矢k ，由于采用简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使E (k)函数在布里渊区界面处“断开”，即发生突变，从而产生了禁带。
可以用下面的图 5.1 来描述禁带形成的原因：E(k)>0<0D BA CO kaa5.近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时， 将主要受到该原子场的作用， 把其它原子场的作用看成微扰作用。
这两种模型的相同之处是： 选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数 集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开， 其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。
第四章_能带理论-II
r，和准动量
k
基本运动方程：
r
1
k
n
(k)
k eE v B
4-2 恒定电场、磁场作用下
电子的运动
恒定电场下： 自由电子怎样运动？ 能带电子？
qE
第四章 能带论－2
一、恒定电场下电子运动方程
半经典近似下：
E
k eE
k t k 0 eEt
电子在k空间匀速运动。
k
在坐标空间,自由电子匀加速运动——直流电
子化的
既有量子、又有经典
4.1 电子运动的半经典模型
电子的粒子性与波动性如何联 系和统一起来？
第四章 能带论－2
一、模型的描述
电子有确定的位置r，波矢k，能量εn(k) 在外加电、磁场下：
n不变，忽略带间跃迁（低场强，无击穿）
电子的速度：
r
vn
1
k
n
k
K空间的速度：
k eE(r,t) vn k Br,t
第四章 能带论－2
一、模型的描述：波包
r ：波包中心——粒子的位置
k ：波包平均动量——粒子的准动量
1) 晶体中，布洛赫波可以组成波包 2) 把波包看成准粒子的条件是 △r
远小于观察尺寸; 具体在晶格中
要求： r a
总结：准粒子的经典物理量对 应相应算符对波包的平均
第四章 能带论－2
二、电子速度
有效质量近似为常数－有效质量近似，那么晶 体电子运动的图像如经典图像。
F m * v k
第四章 能带论－2
例1、求自由电子的速度、有效质量
k 2k 2
2m
v k p mm
m*x m*y m*z m
第四章 能带论－2
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第四章
4.1，根据 k黄昆 固体物理 习题解答第四章 能带理论= ± π 状态简并微扰结果，求出与 E − 及 E +相应的波函数ψ − 及ψ+?，并说明它 a们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 ψ2说明能隙的来源(假设V n =V n *)。
＜解＞令 k= + π ， k ′ = − π ，简并微扰波函数为ψ=A ψk( ) + B ψk( )a*a⎡E k ( ) − E A V B n= 0( )V A n+ ⎡E k − E B =取 E E +带入上式，其中 E += E k0( )+ V nV(x)<0,V n < 0 ,从上式得到 于是A ⎡ n π− n π ⎤πψ = A ⎡ψ 0( )−ψk0′( )⎤ =ixe a − e i x a =2A sin n x+⎣k⎢ L ⎣⎥ ⎦L a 取 E E − ， E −=E k0( )− V nV A n= −V B n,得到A BA ⎡ i nπx−i n πx⎤πψ = A ⎡ψ 0( )−ψk0′( )⎤ =e a − ea=2A cos n x−⎣ k⎦⎢ ⎣L a由教材可知，Ψ+及 Ψ − ν ( ) 为零．产生驻波因为电子波矢n kπ=时，电子波的波长aλ =2π=2a ，恰好满足布拉格发射条件，这kn时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入 能量。
4.2,写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 k π= 的 0 级波函数。
2a11r2π1π 2π1i2π1xi mx i x i mx(m+ )ψ* ＜解＞( ) = ikx=eikx ae e= e2a⋅ea= e a 4k L⋅π=L*Lπ1 i2xL第一能带：m0, m = 0,ψ( ) = e a2ab b′则b′ →,k2π⋅= −L2π, m= −1,i2πx i π∴ψ *( )= 13πi xe第二能带：a a即（e a=e ）2a k L2a2π2π 1 π2π 1 5π第三能带：c′ →, ⋅=aa即m =,*1,ψk( ) = Li x i xe2a⋅ea= L i xe2a解答（初稿）作者季正华- 1 -4.3 电子在周期场中的势能．黄昆 固体物理 习题解答1 2 2 2 2 m ω ⎡b − −( x na ⎤) ,当na b x na b + V x ( ) =0 ，当(n-1)a+b ≤ ≤x na b −其中 d ＝4b ， ω 是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带 度．＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．(2)势能的平均值：由图可见， V x ( ) 是个以 a 为周期的周期函数，所以V x ( )= 1∫ V x L( )=1∫a( )=1a b( )L a ba ∫−b题设 a = 4b ，故积分上限应为 a b − = 3b ，但由于在 [b b ,3 ] 区间内[− , ] 区间内积分．这时， n = 0 ，于是V x ( ) 0=，故只需在= 1∫b= m ω2∫b22=m ω2 ⎡ 2b− 1x 3b ⎤ = 1m ωb 2V( )b − x dx )( b x ⎢ −b −b⎥ 。
思考题与自测题(固体电子学)
思考题与自测题（固体电子学）第二章思考题与自测题1.在势场的作用和运动中，原子中的电子和晶体中的电子有什么区别？参与共有运动的原子的内部电子和外部电子之间有什么区别？答：能带理论就是认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子，并且共有化电子在晶体的周期性势场中运动；2、晶体体积的大小对能级和能带有什么影响？3.为什么引入“有效质量”的概念来描述电子在半导体中的运动？用电子的惯性质量M0来描述电子在能带中的运动有什么局限性？4、一般来说，对应于高能级的能带较宽，而禁带较窄，是否如此？为什么？5、有效质量对能带的宽度有什么影响？有人说：“有效质量愈大，能量密度也愈大，因而能带愈窄。
”是否如此？为什么？6、简述有效质量与能带结构的关系？7.对于自由电子，加速度的反方向与外力的反方向一致。
这个结论适用于布洛赫电子吗？8、从能带底到能带顶，晶体中电子的有效质量将如何变化？外场对电子的作用效果有什么不同？9.在周期性势场中运动的电子的一般性质是什么？10、以硅的本征激发为例，说明半导体能带图的物理意义及其与硅晶格结构的联系？为什么电子从其价键上挣脱出来所需的最小能量就是半导体的禁带宽度？11.为什么半导体全带中的少量空态可以用带正电荷和一定质量的空穴来描述？12、有两块硅单晶，其中一块的重量是另一块重量的二倍。
这两块晶体价带中的能级数是否相等？彼此有何联系？13.解释布里渊区和k空间等能面之间的差异。
为什么等能面在极值附近是球形半导体，当存储反转改变时，只能观察到一个共振吸收峰？14、说明杂质能级以及电离能的物理意义。
为什么受主、施主能级分别位于价带之上或导带之下，而且电离能的数值较小？15.为什么在纯锗和硅中加入III族或V族元素后，半导体的电性能会发生很大变化？杂质半导体（p型或n型）被广泛使用，但为什么我们要强调半导体材料的提纯？16.解释了掺杂对半导体导电性的影响。
第三章思考题与自测题1.半导体在热平衡状态下可以称为什么状态？它的物理意义是什么。
第四章-能带理论-(Band-Theory)
近自由电子适用于价电子束缚较弱的金属晶体, 采用赝 势方法后也可以用来研究半导体的价带和导带；对于价电子 束缚较强的半导体和绝缘体, 通常采用紧束缚近似 (TightBinding Approximation, TBA) 来讨论其电子结构.
1
与利用平面波描写零级近似状态的近自由电子 近似不同, 紧束缚近似中首先把电子看作所属原子 的电子, 晶体环境对电子的影响则作为微扰处理.
N
2
V
2
3
4
3
kF2
kF
3 2n 1/3 .
Fermi 球的表面称为 Fermi 面, Fermi 面的能量
称为Fermi 能 (级). Fermi 能对应的动量和速度分称
为 Fermi 动量和 Fermi 速度.
15
一方面, 三维晶体的能量作为简约波矢的函数, 随波矢方向变换而性质有所变化; 另一方面, 三维BZ 构造复杂, 讨论起来比较困难.
由于对称性的存在, 实际上人们并不需要研究整 个BZ (FBZ). 利用对称性, 人们可以通过研究部分 FBZ的情况来了解整个FBZ.
16
晶体全部对称操作的集合构成空间群.
26
原子中的电子能级是分立的, 可以具体表明各能 级的能量. 固体中, 电子能级形成准连续的能带, 标明 每个能级很困难也没有必要. 这时通常引入能态密度 来描写能级的分布：
状态数
能态密度： N E lim Z
E0 E
能量间隔
27
k 空间等能面 E 和 E + ΔE 之间的状态数为
Z
2V
V
当 取遍晶体所属点群中的所有对称操作, 得到一组
k , 它们是等价的, 称为 k*.
固体物理第四章作业答案
x
na
b
x
na
i 2 n x
b e a dx
Байду номын сангаас
2V0 a
cos
n
2 b a
• 按照近自由电子模型，第一布里渊区边界的能隙
Eg 2 V1
Eg
2 V1
2 2V0 a
cos b
a
4V0 a
cos 2b
a
•
第一布里渊区
a
k
a
， k 的个数为：
• （2）试讨论分别同A、B两种材料组成的一维超晶格量子 阱的能带变化。*(如下图)
ECA A
B
EVA
8a a
ECB
EVB
克朗尼格-朋奈模型 (基泰尔，固体物理导论，P119)
克朗尼格-朋奈模型得到结果：
超晶格得到结果与克朗尼格-朋奈模型类似，但是不同的是上 图中每段红色的能带都会分裂成八条子能带。
r
eik r u k
r
uk r uk r Rl
知
2
u k
r
2
由此可知，电子密度分布具有周期性。
• 思考题
（1）对有限尺寸晶体（如量子点，量子线或量子井），你 认为其晶体能带相对于理想晶体会有什么变化？
周期性边界条件破坏，边界效应开始变得明显能带不再是准 连续的。
第四章作业
1. (1)能带论的结论是什么?
(2)这个结论是考虑了晶体内部电子运动受到了什么作用后得 出的?
(3)以一维晶体为例, 如果作自由电子近似,把上述作用看作是 微扰, 应用非简并微扰理论得出电子的能量与k的关系是:
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第四章
能带理论思考题
1. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解答]
波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、
, 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、
1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目.
倒格空间中一个倒格点对应的体积为
*321) (Ω=⨯⋅b b b ,
波矢空间中一个波矢点对应的体积为
N N b N b N b *
332211)(Ω=⨯⋅,
即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N . 由于N 是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.
2. 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？ [解答]
当电子的波矢k 满足关系式
)2(=+⋅n n K
k K
时, 与布里渊区边界平行且垂直于n K 的晶面族对波矢为k 的电子具有强烈的散射作用. 此时, 电子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里渊区边界上, k 垂直于布里渊区边界的分量的
模等于2/n K .
3. 一维周期势函数的付里叶级数
nx a
i
n
n e
V x V π2)(∑=
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?
[解答]
周期势函数V (x ) 付里叶级数的通式为
x
i n
n n e V x V λ∑=)(
上式必须满足势场的周期性, 即
x
i n
n a i x i n
n a x i n
n n n n n e V x V e e V e V a x V λλλλ∑∑∑====++)()()()(.
显然
1=a i n e λ.
要满足上式, n λ必为倒格矢
n a n πλ2=
.
可见周期势函数V (x )的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的. 4. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答]
电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度)(2n K V E g =,
)(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数.
不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交.
5. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别? [解答]
晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F , 晶格对电子的作用力为F l , 电子的加速度为
)(1
l m F F a +=
.
但F l 的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含F l , 又要保持上式左右恒等, 则只有
F
a *1m =.
显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m 的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强, 有效质量m *与真实质量m 的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别. 6. 带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点? [解答]
由本教科书得
m m m l
F F F +
=*.
将上式分子变成能量的增量形式
m t
m t m
t l d d d *
ννν⋅+⋅=⋅F F F ， 从能量的转换角度看, 上式可表述为
m
E m
E m E 晶格对电子作的功
外场力对电子作的功
外场力对电子作的功
)d ()(d )(d *
+
=
.
由于能带顶是能带的极大值，
22k E
∂∂<0，
所以有效质量
22
2
*
k E m ∂∂= <0.
说明此时晶格对电子作负功, 即电子要供给晶格能量, 而且电子供给晶格的能量大于外场力对电子作的功. 而能带底是该能带的极小值，
22k E
∂∂>0，
所以电子的有效质量
22
2
*
k E m ∂∂= >0.
但比m 小. 这说明晶格对电子作正功. m*<m 的例证, 不难由(5.36)式求得
n n
V T m
m 211*
+=<1.
7. 电子的有效质量*
m 变为∞的物理意义是什么? [解答]
仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化
m E m E m E 晶格对电子作的功
外场力对电子作的功
外场力对电子作的功
)d ()(d )(d *
+
=
[]电子对晶格作的功外场力对电子作的功)d ()(d 1
E E m -=.
从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量*
m 变
为∞. 此时电子的加速度
1
*==F a m ,
即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 8. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答]
以s 态电子为例.紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分
r R r R r r r d )()]()([)(*
n at
s n at N at s s V V J ----=⎰ϕϕΩ
的大小又取决于)(r at
s ϕ与相邻格点的
)(n at s R r -ϕ的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的)(r at s ϕ与)(n at s R r -ϕ交叠程度小, 外层电子的)(r at s ϕ与)(n at s R r -ϕ交迭程度大. 因此, 紧
束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽.
9. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么？ [解答]
将电子的波矢k 分成平行于布里渊区边界的分量//k 和垂直于布里渊区边界的分量k ┴. 则由电子的平均速度
)
(1k E k ∇=
ν
得到
////1k E ∂∂=
ν, ⊥⊥∂∂=
k E 1ν.
等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交, 则在布里渊区边界上恒有⊥∂∂k E /=0, 即垂直于界面的速度分量⊥ν为零. 垂直于界面的速度分量为零, 是晶格对电子产生布拉格反射的结果. 在垂直于界面的方向上, 电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波. 10. 一维简单晶格中一个能级包含几个电子? [解答]
设晶格是由N 个格点组成, 则一个能带有N 个不同的波矢状态, 能容纳2N 个电子. 由于电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有(N /2)个. 可见一个能级上包含4个电子. 11. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?
[解答]
在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献.。