2014年自主招生考试模拟试题与答案 数学
2014年自主招生模拟数学试卷(附答案)
2014年自主招生模拟试卷 数学试题卷（2014.5）一、选择题（共5题，每题5分，共25分） 1、若20 10a bb c==，，则a b b c ++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210112、已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ）1132+ （C ） 7132+ （D ）5 3、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）124、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 5、如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）6、已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于 7、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为 ．8、如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_________。
9、已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在yxM N OCBA线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为 ．三、解答题（共2题，第10题15分，第11题15分）10、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．11、已知c ≤b ≤a ，且，求的最小值．数学答案一、选择题（共5题，每题5分，共25分）QP xy DCBAO1、若20 10a bb c==，，则a b b c ++的值为（ D ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210112、已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ A ）．（A ）7 （B ）1132+ （C ） 7132+ （D ）5 3、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ C ）． （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）124、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( B )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 5、如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ A ）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）6、已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于 1 7、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为 262+ ．8、如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_____53,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭____。
2014年“北约”“华约”自主招生数学模拟试题带答案
2014年“北约”“华约”自主招生模拟试题数学（满分150分）第一部分：填空题（共5小题 每题10分）1. 若tan 2α=,则224sin 3sin cos 5cos αααα--= 1 .2. 在复数集C 内,方程22(5)60x i x --+=的解为 .3. 设8219)22015()22015(+++=x ，求数x 的个位数字.4. 设{|100600,}A n n n N =≤≤∈，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______70_______.5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,且分PA 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 9y ²-12x-4=0 .第二部分：解答题（共5小题 每题20分）1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅ ，求实数a 的取值范围-1≤a ＜0或0＜a ≤32. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量1)a =- ,1(,22b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-, 使向量2(tan 3)c a b =+- ,tand ma b θ=-+ ,且c d ⊥ .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A b a ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、 选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22 +⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=. 二、 解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅ 不符． 综上所述，()()1,00,3a ∈-2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
2014-2015重点高中自主招生数学试题及答案 (2)
2014-2015重点高中自主招生数学模拟试题一．选择题（每小题5分，共40分）1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ D ）A．2π+B ．83πC ．4πD．2π2.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数xy 1=在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3512=-x x . 则=∆AOB S （ B ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 141323.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ）A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 0083.设2 015个整数为1x ，2x ，…，2015x .记1x +2x +…+2015x =M.不妨设M-i x =i （i =1，2，…，2014），M-2015x =A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当i x =1008-i （i =1，2，…，2014），2015x =1时取到.4.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( D )A. 521.B. 27.C. 13D. 8214、解 从10个球中取出4个，不同的取法有410C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有45C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种.因此，取出的球的编号互不相同的概率为80821021=. 故选（D ）.5. 使得381n+是完全平方数的正整数n 有 （ B ）2 2 2侧（左）视222正（主）视俯视图.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5、解 当4n ≤时，易知381n +不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则38181(31)n k +=+.因为381n +是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231k x +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n +为完全平方数.故选（B ）.6.如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，C D ⊥AB 于D ，AD=9，BD=4，以C 为圆心，CD 为半径的圆与⊙O 相交于P,Q 两点，弦PQ 交CD 于E ，则PE •EQ 的值是（ D ）A ．24 B. 9 C. 36 D. 277.已知实系数一元二次方程x 2+(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x 1,x 2,且0 ＜x 1＜1，x 2＞1，则ab 的取值范围（ ） A -1＜a b 21-≤ B -1＜a b ＜21- C -2＜a b 21-≤ D -2＜a b ＜21-8. 图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( )A.4+26+22B. 2+26+22C. 4+23 +42 D ．4+23+42 二．填空题（每小题6分，共36分） 9.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则32 .由题意记S=21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如48-+74-+17-+51-+25-+62-+36-+83-=32.10.记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，a k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 2014(k=1,2,, 100,则在这100个整数中，不同的整数的个数为 6911.设非负实数x,y,z 满足x+y+z=1,则t=29x ++24y ++21z +12．如图所示，线段OA = OB = OC =1，∠AOB = 60º，∠B OC = 30º，以OA ，OB ，OC 为直径画3个圆，两两的交点为M ，N ，P ，则阴影部分的曲边三角形的面积是 ．解：如图，连接AC ，AN ，BN ，AM ，BM ， MP ，NP ，OM ，ON ，OP ，易知∠OP A =∠OPC =90º，∠ANO =∠BNO = 90º，∠BMO =∠CNO = 90º，所以A ，P ，C 共线；A ，N ，B 共线；B ，M ，C 共线．由OA =OB =OC =1，可知P ，M ，N 分别是AC ，BC ，AB 的中点，MPNB 为平行四边形，BN =MP ，BM =NP ，所以BN 与MP 长度相等，BM 与NP 长度相等，因此，曲边三角形MPN 的面积= S MPNB =12S △ABC ， 而 S △ABC = S AOCB – S △AOC = S△AOB + S △BOC – S△AOC 1142-所以，曲边三角形MPN 的面积=12S △ABC 13. 将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则 有 不同的染法.（用数字作答）解：第一行染2个黑格有24C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况： （1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定； （3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定. 因此，共有染法为()9024616=⨯++⨯种.填90.14.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周顺时针滚动。
2014北约自主招生数学试题及解答
2014年北约自主招生数学试题1.圆心角为60 的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.4.设2()2()()33a b f a f b f ++=,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1xy xy+的最值.6.已知22()arctan 14x f x c x +=+-在11(,)44-上是奇函数,求c .7.证明tan3 是无理数.8.已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足3()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根,如果已知()0f x =有两个不同的实根,求证()0g x =没有实根.9.1213,,,a a a 是等差数列,{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:7160,,23是否可以同时在M 中,并证明你的结论.10.已知12,,,n x x x R +∈ ,且121n x x x = ,求证:12))1)n n x x x ≥ .2014年北约自主招生试题参考答案1.【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =.于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.2.【解】由题知所有分组方法有3341074222100C C C N A ==种. 3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ∆=--≥,解得1a ≥或0a ≤.4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===; 124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.5.【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-⇒+=⇒+=,所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=⨯≤=,即1(0,]4xy ∈,令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1(0,]4上递减,于是1xy xy +有最小值117444+=,无最大值.6.【解】奇函数(0)0f =,故arctan2c =-.7.【证明】由三角公式22tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβααβααβ+=+=--⋅, 若tan3 是有理数,则tan6,tan12,tan 24 为有理数,再由tan 6 和tan 24 可得tan30 为有理数,这与tan30=!因此,tan3 是无理数. 8.【证】由题可设2211223()()(),()()()f x g x a x b f x g x a x b +=--=-,其中120,0a a ≠≠,则22221222112211()[()()],()[()3()]44f x a x b a x bg x a x b a x b =-+-=---,由()0f x =有两个不同的实根,则必有12,a a 异号,且120a a +≠,此时22212112211221()[()2()]4f x a a x a b a b x a b a b =+-+++,即2222112212112212124()4()()4()0a b a b a a a b a b a a b b ∆=+-++=-->,所以12b b ≠,故此时观察2211221()[()3()]4g x a x b a x b =---可知,12,3a a -同号,且1230a a -≠,12b b ≠,故()0g x >恒成立,即证明()0g x =没有实根.9.【解】不可以同时在M 中,下面给予证明.假设7160,,23同时在M 中,设*(113,)k a a kd k k N =+≤≤∈,其中d 为公差,则*{3()|113}{3|636,}M a i j k d i j k a md m m N =+++≤<<≤=+≤≤∈于是存在正整数6,,36x y z ≤≤,使得30,73,21633a xd a yd a zd ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩从而7(),216()3y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩也所以2132y x z x -=-,由于21,32互质,且,y x z x --为整数,则有||21,||32y x z x -≥-≥, 但||36630z x -≤-=,矛盾!假设错误,即证明7160,,3不可以同时在M中.10.【证】(一法:数学归纳法)①当1n =时,111x =≥=右边,不等式成立;②假设*(1,)nk k k N=≥∈时,不等式12))1)k k x x x ≥ 成立. 那么当1n k =+时,则1211k k x x x x += ,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k kx x x x x x+++--≤⇒+≥+,所以1212)2(2)kk x xx x + 12112)2()]kk k k x x xx x x ++=+++11212)2(2(1)1)(21)k k k k x x x x ++≥≥= 其中推导上式时利用了1211()1k k k x x x x x -+= 及n k =时的假设,故1n k=+时不等式也成立.综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立.(二法)左边展开得12))nx x x12121212111()()k k nn n n n k i i j i i i n i i j ni i i nx x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++++∑∑∑由平均值不等式得1112121212111211()(())k kknn nk k k k C C C k k k i i i ni i i nn n i i i ni i i nx x x C x x x C x x x C --≤<<<≤≤<<<≤≥==∑∏故12))nx x x1122))2)(2)(21)n n n n k kn n n nnC C C C ---≥++++ ,即证. (三法)由平均值不等式有111(nnnk kn ==≥……①;111(nnnk k n==≥……②①+②得1()nkk nn x =≥,即12))1)n n x x x ≥ 成立.。
2014年自主招生考试模拟试题 数学
2014年自主招生考试数学模拟试题—— “华约”模式一、一个赛跑机器人有如下特性：（1） 步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；（2） 发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成； （3） 当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？二、在ABC 中，求三角式)sin sin sin A B C ++的最大值。
三、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；（2）若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？五、数列{}n a 中，设3,121==a a ，且对所有自然数n N +∈，有n n n a n a n a )2()3(12+-+=++.（1）求通项n a ；（2）求使n a 能被11整除的所有自然数n 之值.六、 已知()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（3）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．七、设,,0a b c ≥，且3a b c ++=，求满足 2224a b b c c a abc λ+++≤ 的实数λ的最大值。
2014高中自主对外招生数学试卷和答案
高中自主招生考试数 学(试卷满分：150分 考试时间：120分钟)准考证号 姓名 座位号注意事项：1.全卷三大题，22小题，试卷共4页，另有答题卡；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分．每小题只有一个选项是正确的.) 1． 如果1-=ab ,那么两个实数a ,b 一定是( )A ．互为倒数B ．-1和+1C ．互为相反数D ．互为负倒数 2．下列运算正确的是（ ） A ．()b a ab 33= B ．1-=+--ba ba C ．326a a a =÷ D ．222)(b a b a +=+3．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是5 4．长方体的主视图、俯视图如右图所示， 则其左视图面积为（ ）A ．3B ．4C ．12D ．16 5．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、双曲线、圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．236．如图，已知⊙O 的半径为r ，C 、D 是直径AB 的同侧圆周上的两点，100AOC ∠=，D 是BC 的中点，动点P 在线段AB 上，则PC ＋PD 的最小值为 （ ） A ．r Br CDr CPDO BA（第6题）二．填空题(本题有8个小题，每小题5分．共40分) 7． 实数b a ,满足0132=+-b a ，则ba 的值为 ．9． 在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a 中A 点的坐标为（4，－2），则图形b 中与A 点对应的A '点的坐标为___ ____. 10．如图，在四边形纸片ABCD 中，∠A =130°，∠C =40°，现将其右下角向内折出∆FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为 ．11．对于实数a 、b ，定义运算⊗如下：=⊗b a ⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≠>-)0,()0,(a b a a a b a a b b， 例如1612424==⊗-. 计算 [][]=⊗-⨯⊗2)3(23 .13．已知直线1y x =，213y x =+，633+-=x y 的图象如图所示，无论x 取何值，当y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值时， y 的最大值为14． 若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰好有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a=- 的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为 . （第12题）G FE DCBA（第10题）三、解答题(本题有8个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.) 15．（本题满分7分）计算01( 3.14)(sin30)4cos 45π︒-︒-++-16．（本题满分9分）已知2)2()]2()()[(22=-÷-++--y y x y y x y x ．求228242x x y x y---的值．17．（本题满分10分） 如图，直线AB 交双曲线()y 0kx x=>于A ，B 两点， 交x 轴于点C (4,0)a ， AB =2BC ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ， 连结OA ，若OM =3MC ，S △OAC =8，则k 的值为多少？18. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠A ＝60°，以点D 为圆心的⊙D 与AB 相切于点E ，与DC 相交于点F . （1）求证：⊙D 与BC 也相切；（2）求劣弧EF 的长(结果保留π)．19．（本小题满分12分）某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．（1）求A 产品的采购数量与采购单价的函数关系式；（2）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价出售A ，B 两种产品，且全部售完，在A 产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购A 种 产品多少件时总利润最大，并求最大利润．（第18题）（第17题）ABCCDDEE FFA20．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，D 是斜边BC 上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF .（1）若AB =AC ，BE +CF =4，求四边形AEDF 的面积。
2014年乐清中学自主招生考试——数学(含参考答案)word版
2014年乐清中学自主招生考试——数学（考试时间：90分钟，总分：150分）一、选择题：（每小题6分，共48分）1、计算： 322)31()21(2----+-的值是（ ）A ．222+B ．224-C ．232+-D ．230--2、如果a ，b 为给定的实数，且1＜a ＜b ，设2，a +1，2a +b ，a +b +1这四个数据的平均数为M ，这四个数据的中位数为N ，则M 、N 的大小关系是（ ）A ．M ＞NB ．M =NC ．M ＜ND ．M 、N 的大小不确定 3、如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A 、B 、C 均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4、如图，把正△ABC 的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点F 上，若BC =5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为（ ） A ．310 B ．335 C ．3310 D ．255、如图， Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 反向延长线交y 轴负半轴于E ，双曲线xky =（x ＞0）的图象经过点A ，若S △BEC =8，则k 等于（ ） A ．8 B ．16 C ．20 D ．106、用min {a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数}11min{22x x y -+=，，则y 的图象为（ ）AABCD第11题7、如图，三根音管被敲击时能依次发出“1”、“3”、“5”，两只音锤同时从“1”开始，以相同的节拍往复敲击这三根音管，不同的是：甲锤每拍移动一位（左中右中左中右…），乙锤则在两端各有一拍不移位（左中右右中左左中右…）．在第2014拍时，你听到的是（ ）A ．同样的音“1”B ．同样的音“3”C ．同样的音“5”D ．不同的两个音第7题8、如图，AB 是半圆的直径，线段CA ⊥AB 于点A ，线段DB ⊥AB 于点B ，AB =2，AC =1，BD =3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是（ ） A ．22+ B ．21+ C ．23+ D ．23+二、填空题：（每小题6分，共42分）9、若k x x +-232有一个因式是x +1，则k =_____________． 10、若不等式043)2(＜b a x b a -+-的解集是94＞x ， 则不等式032)4(＞b a x b a -+-的解集是_____________．11、如图，E ，F 分别是□ABCD 的边AB ，CD 上的点，AF 与DE 相交于点BF 与CE 相交于点Q ，若210cm S APD =△，220cm S BQ C =△，则图中阴影部分的面积为_____________2cm ．12、设0≤a ≤5 且a 为实数，整数b 满足3b =a (3a －8)，则符合条件的整数b 有_____________个． 13、某建筑公司有甲乙两个工程队，如果从甲队调70人到乙队，则乙队人数为甲队人数的2倍；如果从乙队调若干人去甲队（至少调一人），则甲队人数为乙队人数的3倍．那么甲队原来至少有_____________人．14、如图，OA 与OB 是⊙O 的两条互相垂直的半径，点C 在OA 上，OC =1，CA =2，连接BC 并延长交⊙O 于点D ，则△DOC 的面积是_____________． 15、已知二次函数）＞（02a c bx ax y ++=经过点M （－1，2）和 点N （1，－2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ， 以下说法正确的有_____________（填序号）． ①b =－2；②该二次函数图像与y 轴交于负半轴；③ 存在这样一个a ，使得M ，A ，C 三点在同一条直线上； ④若a =1，则2OC OB OA =⋅．135右中左DCABA三、解答题（共4小题，12+14+16+18共60分）16、（1）化简：1814121111842+-+-+-+--a a a a a ．（2）解关于x ，y ，z 的方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=-030102yz x z x y x ．17、如图，△ABC 内接于⊙O ，AC =BC ，D 为弧AB 上一点，延长DA 至E ，使CE =CD ． （1）求证：∠ACE =∠BCD ． （2）若CD BD AD 3=+，求∠ACD 的大小．18、如图，长方形ABCD 中，点P 沿着四边按B →C →D →A 方向运动，开始以每秒m 个单位匀速运动，a 秒后变为每秒2个单位匀速运动，b 秒后恢复原速匀速运动．在运动过程中，△ABP 的面积S 与运动时间t 的函数关系如图所示．（1）求长方形的长和宽．（2）求m ，a ，b 的值．（3）当P 点在AD 边上时，求S 与t 的函数解析式．ED 第17题B A19、如图，已知一次函数41042+-+=m m x y 与二次函数4842+-+-=m mx x y 相交于点A ，B （A 在B 的右侧），点C 为抛物线上的点，且BC 平行于x 轴． （1）证明：当m 为整数时，点A ，B 横坐标均为整数． （2） 求△ABC 的面积．（3）若抛物线4842+-+-=m mx x y 与直线y =7交点的横坐标均为整数，求整数m 的值．第19题2014年乐清中学自主招生考试——数学参考答案一、选择题：（每小题6分，共48分）二、填空题：（每小题6分，共42分） 三、解答题（共4小题，12+14+16+18共60分）16、解：（1）11616-=a 原式．（2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=221z y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===21323z y x ．17、解：（1）AC =BC ，CE =CD ⇒∠CAB =∠CBA =∠CDE =∠CED ⇒∠ACB =∠ECD ⇒∠ACE =∠BCD ． （2）AC =BC ，CE =CD ，∠ACE =∠BCD ⇒△ACE ≌△BCD ⇒AE =BD ⇒AD +BD =AD +AE =DE =3CD⇒∠ECD =120°⇒∠ACB =120°．18、解：（1）6~8秒点P 以2单位/秒的速度从点C 到点D ，∴CD =4，AD =8．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-=---=2)13(2)(2204b m a b m a m a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===1141b a m ．（3）⎩⎨⎧≤+-≤≤+-=）＜（）（1311262118484t t t t S19、解：（1）证明：⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=+-+=484410422m m x x y m m x y ，解得m x A 2=，12-=m x B ∴当m 为整数时，点A ，B 横坐标均为整数．（2）A （2m ，4842+-m m ），B （2m －1，3842+-m m ），二次函数484)2(22+-+--=m m m x y∴A 为抛物线顶点，∴C （2m +1，3842+-m m ），∴S △ABC =1．（3）令74842=+-+-m mx x ，解得38422)38(416422--±=+-±=m m m m m m x要使x 为整数，3842--m m 应为完全平方数，设22384n m m =--（n 为正整数）⇒227)22(n m =--⇒7)22(22=--n m ⇒7)22)(22(=--+-n m n m ∴⎩⎨⎧=--=+-122722n m n m 或⎩⎨⎧-=---=+-722122n m n m ，解得⎩⎨⎧==33n m 或⎩⎨⎧=-=31n m∴m =3或－1．。
浙江省余姚中学2014年自主招生数学模拟试卷及答案
浙江省余姚中学2014年自主招生数学模拟试卷一、选择题（共7题，每题5分，共35分）1．二次函数2y ax bx c =++的图像如右图所示，则化简二次根式）A ．a+bB ．-a-bC ．a-b+2cD ．-a+b-2c2.有4支队伍进行4项比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、2、1分。
每队的4项比赛得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且其中一队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？（ ）A ．7B ．8C ．9D ．103．已知a 是方程3310x x +-=的一个实数根，则直线1y ax a =+-不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．有一种长方体集装箱，其内空长为5米，高4.5米，宽3.4米，用这样的集装箱运长为 5米，横截面的外圆直径为0.8米的圆柱形钢管，最多能运（ ）根。
A ．20根 B ．21根 C ．24根 D ．25根 5．将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概 率是（ ） A ．328 B ． 528 C ． 356 D ． 5566．用[x]表示不大于x 的最大整数，则方程[]2230x x --=的解的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7.对每个x ，y 是x y 21=,1223,232+-=+=x y x y 三个值中的最小值，则当x 变化时，函数y 的最大值是（ ）A ． 4B ． 6C ． 8D ． 487二、填空题（共7题，每题5分，共35分）8. 已知()21()()4b c a b c a -=--，且a ≠0,则b c a += 。
9．G 是△ABC 的重心，过G 的直线交AB 于M ，交AC 于N ， 则BM CNAM AN+= 。
10. 已知a 、b 、c 都是实数，且满足a>b>c,a+b+c=0.那么，ca的取值范围是 。
2014年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷参考答案与试题解析
2014年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）若a为实数，则化简的结果是（）A．﹣a B．a C．±a D．|a|2．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣33．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC 的中点，点N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，那么只需条件（）A．AB=12 B．BC=4 C．AM=5 D．CN=24．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣5．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（2a+b）x﹣1=0无解，那么ab的值是（）A．负数 B．正数 C．非负数D．非正数6．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元7．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE （∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形8．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2 B．C．D．9．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：1010．（3分）（2015•黄冈中学自主招生）已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．二、填空题（每小题5分，共40分）11．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）如果不等式组无解，则a的取值范围是．12．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为．13．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是．14．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c=0；②acosθ﹣bsinθ+d=0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：．15．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）函数y=|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值是．16．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，在△ABC中，AB=AC=，BC=2，以AB 为直径的⊙O分别交AC、BC两边于点D、E，则△CDE的面积为．17．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p的取值范围是．18．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是．三、解答题（共4小题，共50分）19．（12分）（2015•永春县自主招生）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．20．（12分）（1999•福州）如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．（1）求证：PA•PE=PC•PF；（2）求证：；（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．21．（12分）（2015•黄冈中学自主招生）观察下列各个等式：12=1，12+22=5，12+22+32=14，12+22+32+42=30，…．（1）你能从中推导出计算12+22+32+42+…+n2的公式吗？请写出你的推导过程；（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、…、A n﹣1，分别过这n﹣1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B1、B2、B3、B4、B5、B6、…、B n﹣1，设△OBA1、△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…、△A n﹣1B n﹣1A的面积依次为S1、S2、S3、S4、…、Sn．①当n=2013时，求s1+s2+s3+s4+…+s2013的值；②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？22．（14分）（2015•黄冈中学自主招生）已知：直角三角形AOB中，∠AOB=90°，OA=3厘米，OB=4厘米．以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系．设P、Q分别为AB边，OB 边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，移动的速度都为1厘米每秒．设P、Q运动的时间为t秒（0≤t≤4）．（1）求△OPQ的面积S与（厘米2）与t的函数关系式；并指出当t为何值时S的最大值是多少？（2）当t为何值时，△BPQ和△AOB相似；（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形；（4）①试证明无论t为何值，△OPQ不可能为正三角形；②若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值．2014年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．D．2．D．3．A．4．A．5．D．6．B．7．C．8．C．9．D．10．B．二、填空题（每小题5分，共40分）11．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）如果不等式组无解，则a的取值范围是a≤1．12．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）．13．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 4.8．14．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c=0；②acosθ﹣bsinθ+d=0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：a2+b2=c2+d2．15．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）函数y=|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值是8．16．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，在△ABC中，AB=AC=，BC=2，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC两边于点D、E，则△CDE的面积为．17．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p的取值范围是p＜﹣1．18．（5分）（2015•黄冈中学自主招生）若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是0＜b≤1．三、解答题（共4小题，共50分）19．（1）；（2）最大值为10．20．【解答】（1）证明：连接AB，∵CA切⊙O'于A，∴∠CAB=∠F．∵∠CAB=∠E，∴∠E=∠F．∴AF∥CE．∴．∴PA•PE=PC•PF．（2）证明：∵，∴=．∴．再根据切割线定理，得PA2=PB•PF，∴．（3）解：连接AE，由（1）知△PEC∽△PFA，而PC：CE：EP=3：4：5，∴PA：FA：PF=3：4：5．设PC=3x，CE=4x，EP=5x，PA=3y，FA=4y，PF=5y，∴EP2=PC2+CE2，PF2=PA2+FA2．∴∠C=∠CAF=90°．∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径．∵⊙O与⊙O'等圆，∴AE=AF=4y．∵AC2+CE2=AE2∴（3x+3y）2+（4x）2=（4y）2即25x2+18xy﹣7y2=0，∴（25x﹣7y）（x+y）=0，∴．∴．【点评】此题综合运用了切线的性质、圆周角定理的推论、切割线定理以及相似三角形的性质和判定，难度比较大，综合性比较强．21．【解答】解：（1）∵n3﹣（n﹣1）3=3n2﹣3n+1，∴当式中的n从1、2、3、…依次取到n 时，就可得下列n个等式：13﹣03=3×12﹣3×1+1，23﹣13=3×22﹣3×2+1，33﹣23=3×32﹣3×3+1…n3﹣（n﹣1）3=3n2﹣3n+1，将这n个等式的左右两边分别相加得：n3=3（12+22+32+…n2）﹣3（1+2+3+…+n）+n，即12+22+32+…n2==．（2）先求得A、B两点的坐标分别为（3，0），（0，3），∴点A1（，0）A2（，0）A3（，0）A4（，0）…A n﹣1（，0），点B1（，﹣（）2+2（）+3），B2（，﹣（）2+2（）+3）…B n﹣1（，﹣[]2+2+3），∴S1=，S2=，S3=…S n=∴S1+S2+S3+…+S n==．∴①当n=2013时，S1+S2+S3+S4+…S2013=；②∵S1+S2+S3+…S n==+﹣，∴当n取到无穷无尽时，上式的值等于，即所有三角形的面积和等于．【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用立方差公式推导是解题关键，（2）利用等分得出A点坐标，利用点在函数图象上得出B点坐标，利用推导公式求出面积的和，计算是解题关键．22．【解答】解：（1）当t=时，S最大=．（2）在直角三角形BQP中，BP=BQ，解得t=0．因此当t=0时，△BPQ和△AOB相似（3）作PN⊥OB于N，PM⊥OA于M，若△OPQ为直角三角形，则OQ⊥PQ或OP⊥QP，设QP⊥OQ，则PQ===．PO===．OQ===≠t（t无解）．∴QP不与OQ垂直设OP⊥QP，则△OPQ∽△PNQ∴，∴PQ2=t2，PQ2=OQ2﹣OP2=t2﹣t2+t﹣9=t﹣9t2=t﹣9，解得t=3，t=15（不合题意舍去）∴当t=3是△OPQ是直角三角形．（4）①PO=，OQ=t，PQ=令PO=OQ=PQ，解t无解∴△OPQ不能成为正三角形．②设Q的速度为x，则OQ=xt．OP2=t2﹣t+9，OQ2=x2t2，PQ2=t2﹣t+12令OP2=OQ2=PQ2解得x=，t=舍去负值，则t=因此Q点的速度为，t=．【点评】该题综合运用了三角形相似有关性质和勾股定理，同时运用了分类讨论和假设的数学思想，是道代数几何压轴题．。
2014年自主招生数学模拟试题(华约联盟)
2014“华约联盟”自主招生数学模拟试题（时间： 90分钟，分值：满分100分）1.（10分）设M 是集合{}1,2,3,,2014S = 的子集，且M 中每一个自然数（元素）恰恰有一个0，则集合M 所含元素最多有多少个？2.（15分）已知△ABC 的三个角,,A B C ，满足2A C B +=，11cos cos cos A A B +=-, 求cos2A C -的值3.（15分）已知抛物线22y px =及定点(),A a b ，(),0B a -,2(0,2)ab b pa ≠≠。
M 是抛物线上的点, 设直线,AM BM 与抛物线的另一交点分别为12,M M ．求证：当M 点在抛物线上变动时(只要12,M M 存在且12M M ≠)直线12M M 恒过一个定点．并求出这个定点的坐标.4.（15分）某电子玩具按下钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是21。
从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下次出现红球、绿球的概率分别为32,31，若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为52,53，记第n )1,(≥∈n N n 次按下按钮后出现红球的概率为n p 。
（Ⅰ）求2p 的值；（Ⅱ）当2,≥∈n N n 时，求用1-n p 的表达式；（Ⅲ）求n p 关于n 的表达式。
5．（15分）已知数列{}n a 中，11,2a =且11123(),22n n n n a a n N ++++=+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。
6.（15分） z 为复数，则2T z z z =+-++的最小值为多少？7.（15分）（Ⅰ）设函数)10)(1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ， 求证：.log log log log 222323222121n p p p p p p p p n n -≥++++。
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2014年自主招生考试数学模拟试题一、一个赛跑机器人有如下特性：（1） 步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；（2） 发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成； （3） 当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？．解：约定用x 轾犏表示不小于实数x 的最小整数． 设步长为a 米，{0.1,0.2,,1.9}a Î ．机器人迈出50a 轾犏犏犏步恰可跑完50米，所需间隔次数为501a 轾犏-犏犏，于是，所需时间50()1f a a a 骣轾÷ç犏=?÷ç÷ç犏桫犏．计算得：(1.9)49.4,(1.8)48.6,(1.7)49.3,(1.6)49.6,(1.5)49.5f f f f f =====， 而 1.4a £时，50()15048.6(1.8)f a a a f a骣÷ç匙-=-?÷ç÷ç桫.于是，当机器人步长设置为1.8米时，跑50米所需时间最短，为48.6秒．二、在ABC中，求三角式)sin sin sin A B C ++的最大值。
解：因为)sin sin sin A B C ++s i n 2s i nc o s 22sin 22sin cos .22B CB CA AA A A +-=+?骣ç=+ç桫令sin2Ax =，则01x <<，于是()2sin cos 22A A f x 骣ç=+ç桫(2x =+ （ 01x <<）求导，得 ()('0f x x =+，得22x -=.在20,2x 骣-ç西çç÷桫上，有()'0f x >；在22x 骣-÷ç西ç÷ç÷桫上，有()'0f x <.所以(max 2()(32f x f -==+当22arcsin 2A -=时，三角式)sin sin sin A B C ++取得最大值(3+三、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值； （2）若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.解：（1）因为22221(0)x y a b a b+=>>满足：222a b c =+，c a =122b c ⨯⨯=. (翻译，列出方程组) 解得2255,3a b ==，（代入消元法解方程组）所以，椭圆方程为221553x y +=.将(1)y k x =+代入221553x y +=中，得2222(13)6350k x k x k +++-=，4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>.设A ()11,x y 、B ()22,x y ，（设点坐标）则 2122631k x x k +=-+（韦达定理）因为AB 中点的横坐标为12-， 所以 2231312k k -=-+,解得 3k =±. (解方程)（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+，（韦达定理） 所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ （内积公式）2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++（代入消元）2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++（用韦达定理代入消元）4222316549319k k k k ---=+++ （代数变形） ()()222231549319k k k k ++=-+++4.9=（为定值）. 四、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？解：（1）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75.（2）每天超过15人排队结算的概率为 0.25+0.2+0.05=21，一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为77)21(C ；一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为617)21)(21(C ；一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为5227)21()21(C ；所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：75.012899])21()21()21)(21()21([15227617707>=++-C C C ，所以，该商场需要增加结算窗口.五、数列{}n a 中，设3,121==a a ，且对所有自然数n N +∈，有n n n a n a n a )2()3(12+-+=++.（1）求通项n a ；（2）求使n a 能被11整除的所有自然数n 之值. 解：（1）由条件等式，得211(2)()n n n n a a n a a +++-=+-1(2)(1)()n n n n a a -=++-21(2)(1)43()(2)!n n a a n ==++⋅⋅⋅⋅-=+所以 )!2(12+=-++n a a n n .于是 )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a=12!3!!(1)n n ++++≥ .（2）注意到 33!4!3!2!14=+++=a ，能被11整除，845!(1667678)a a =+++⋅+⋅⋅， 1089!(110)a a =++能被11整除，当11≥n 时，)!11!121(!1110n a a n ++++= 能被11整除。
故所求的自然数为+∈N n ，且{}9,67,5,3,2,1∉n . 六、 已知()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（3）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围． 讲解： （1）当2a =时，2()ln f x x x x=+，（代入法） 22'()ln 1f x x x=-++，（求导） (1)2f =，'(1)1f =-， （求切点纵坐标，求斜率）所以, 曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+. （斜截式） （2）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，等价于：12max [()()]g x g x M -≥， （变更问题）考察32()3g x x x =--，22'()323()3g x x x x x =-=-，由列表可知：min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==， （求函数最值） 12maxmax min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=， 所以，满足条件12()()g x g x M -≥的最大整数4M =. （3）对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立, 等价于：在区间1[,2]2上，函数()f x 的最小值不小于()g x 的最大值。
（变更问题） 由（2）知，在区间1[,2]2上，()g x 的最大值为(2)1g =.(1)1f a =≥，可证当1a ≥时，在区间1[,2]2上，函数()1f x ≥恒成立.当1a ≥且1[,2]2x ∈时，1()ln ln a f x x x x x x x =+≥+，（消失a ！）记1()ln h x x x x =+， （构造函数）21'()ln 1h x x x=-++， '(1)0h =.当1[,1)2x ∈时，有21'()ln 10h x x x =-++<； 当(1,2]x ∈时，有21'()ln 10h x x x=-++>，所以, 函数1()ln h x x x x =+在区间1[,1)2上递减，在区间(1,2]上递增，于是min ()(1)1h x h ==，（求出最小值）即 ()1h x ≥，所以，当1a ≥，且1[,2]2x ∈时，有()1f x ≥成立， 即对任意1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥.故实数a 的取值范围1a ≥.七、设,,0a b c ≥，且3a b c ++=，求满足 2224a b b c c a abc λ+++≤ 的实数λ的最大值。
解：特别取1a b c ===，由2224a b b c c a abc λ+++≤，得1λ≤.下面证明，当1λ=时，2224a b b c c a abc +++≤不等式成立。
事实上，不妨设a b c ≤≤，或c b a ≤≤，则有 ()()0b a b c c --≤， 得 222.b c c a abc c b +≤+ 于是 222a b b c c a abc +++()()()()22223212221234.a b c b abc a c ba cb ac a c b ≤++=+=⋅+⋅++++⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦=当1a b c ===，或{}{},,0,1,2a b c =时等号成立. 故所求实数λ的最大值为1。
八、求证：三角形三边的垂直平分线交于一点。
证明： 如图，在ABC 中，取三边,,AB BC CA 的中点D ， E,，F ， 作OD AB ^，OE BC ^交于O ，连接OF ， 只要证明OF CA ^.因为OD AB ^，OE BC ^，所以 0OD AB ? ，0OE BC ?，即 ()0O F F A A D AB ?++， ()0O F F CC E BC ?++，有 11220OF CA AB AB 骣÷ç?÷ç+÷桫+ ， 11220OF AC CB BC 骣÷ç?÷+÷ç桫+ ，得 120O A CB B F 骣÷ç?÷+ç÷桫， ①120O B AB C F 骣÷ç?÷+ç÷桫 . ②由①+②，得 0O F O B F A BC ??，即 ()0A B B C OF ?= ，所以0AC OF ?，于是 OF CA ^，获证。