2012年全国高中数学联赛福建赛区
2012年全国高中数学联赛、广西高一、高二数学竞赛获奖情况通报
2012年全国高中数学联赛、广西高一、高二数学竞赛获奖情况通报2012年全国高中数学联赛、2012年广西高一、高二数学竞赛结果已揭晓，现将我市考生获奖情况通报如下（合浦县自治区、市级奖情况由合浦教研室另行通报），请各有关学校查阅。
附件一：2012年全国高中数学联赛获奖名单附件二：2012年广西高二数学竞赛获奖名单附件三：2012年广西高一数学竞赛获奖名单北海市数学学会二O一二年十二月附件一：2012年全国高中数学联赛获奖名单全国二等奖（10名）邓亮（廉州中学）李国卫（廉州中学）何意（北海中学）林新强（北海中学）沈小英（廉州中学）唐略钧（北海中学）朱家良（北海中学）吴毓俭（北海中学）苏振杰（廉州中学）叶柏宁（北海中学）自治区三等奖（37名）黄子睿（北海中学）罗圣治（北海中学）陈天浩（北海中学）张洪瑞（北海中学）荣靖（北海中学）廖秋衡（北海中学）张峻琦（北海中学）邱凌峰（北海中学）黎昌昊（北海中学）陈思含（北海中学）冯敏（北海中学）王永健（北海中学）陈文凯（北海中学）柳炎（北海二中）陈毓（北海中学）李世科（北海七中）伍开庆（北海七中）欧业宝（南康中学）李晓东（国发高中）周蒲淞（北海七中）周子民（北海二中）陈汉南（北海七中）江基政（北海七中）阮永林（北海七中）陈凤（南康中学）陈德康（南康中学）何德焱（北海七中）苏永宝（北海七中）谭燕玲（南康中学）谭维仁（北海七中）林兆铭（北海七中）冯钻（北海二中）张宝森（北海二中）苏小玲（北海五中）欧祥华（南康中学）罗翠（国发高中）邓振玲（国发高中）北海市三等奖（7名）钟德明（南康中学）李建钊（南康中学）罗勉（北海二中）郑朝仁（北海五中）李豪（北海五中）黄居岸（北海五中）杨萍（北海九中）附件二：2012年广西高二数学竞赛获奖名单自治区一等奖（17名）何丹昀（北海中学）黄锟（北海七中）蔡丽蓉（南康中学）叶愈林（北海中学）李泽受（北海中学）卜兴淳（北海中学）何泽维（南康中学）龙恒（北海中学）苏显东（北海中学）赖柏君（北海中学）邱天怡（北海七中）赖雄健（北海中学）刘颖（北海七中）李世靖（北海七中）裴耀建（北海中学）毛远华（北海中学）李艳鸿（国发高中）自治区二等奖（17名）颜以伦（北海中学）钟云肖（北海中学）周志杰（北海七中）伍新奎（北海中学）张义伦（北海中学）何文栋（北海中学）钟世军（北海五中）周业程（北海九中）陈明莉（北海七中）黄裕凯（北海七中）朱定诚（北海七中）李霖（南康中学）王天（北海七中）张正杰（北海七中）李小凤（北海五中）叶佳朋（北海二中）谢小琴（北海七中）北海市三等奖（13名）徐晖（北海五中）谭大坚（北海七中）雷朝锦（北海二中）叶明澣（北海九中）吴静（北海七中）林飞鹏（北海七中）蒋义琪（北海中学）冯月升（北海二中）张钦文（北海二中）梁振美（北海二中）利健霖（北海二中）潘小芳（北海五中）石夏榆（国发高中）附件三：2012年广西高一数学竞赛获奖名单自治区一等奖（40名）韦俊宝（北海中学）黎佳旻（北海中学）黄耀慷（北海中学）张俊滔（北海中学）邹玥虹（北海中学）蒋睿阳（北海中学）王静（北海中学）覃滢澜（北海中学）梁锋（北海中学）檀经考（北海中学）韩永平（北海九中）徐善斌（北海九中）原森（国发高中）罗诗岚（北海中学）杜佩钊（北海中学）郑蕾（北海七中）廖琼华（北海七中）颜大雄（北海中学）陈科涵（北海中学）张子吟（北海中学）黄启雯（南康中学）姚瑶（北海中学）周琳（北海中学）李世杰（北海七中）杨阳川（北海中学）姜明君（国发高中）赵一柽（北海中学）苏宇宙（国发高中）苏囿清（北海七中）林益民（北海中学）王心月（北海中学）杨有杰（北海七中）吴剑新（北海中学）廖伯龙（南康中学）刘泰成（南康中学）刘亚侃（北海二中）冯歆骅（北海中学）庞远雯（北海中学）程帅钦（北海七中）陈雪权（北海七中）自治区二等奖（42名）陈逸衡（北海中学）苏玮钊（北海中学）焦梦晓（北海七中）谭东海（北海七中）姚燕坤（北海七中）苏小红（北海二中）林荣海（北海二中）米诗烨（北海中学）李嘉雪（北海七中）秦文芳（北海二中）李子睿（北海中学）毛宏文（国发高中）熊昊（北海七中）庞万里（北海七中）吴信杰（北海七中）何营强（北海七中）李聪（南康中学）刘美伶（北海中学）于川（北海七中）黄振旺（北海七中）黄开潇（北海二中）陈聪（北海二中）莫谭秋（北海中学）陈海林（北海七中）陈思靖（北海中学）黄茂庭（北海中学）关安琪（北海七中）张运琳（北海七中）张德建（南康中学）陈虹（北海二中）陈岳（北海中学）李显明（北海七中）潘能毅（北海七中）廖栩笛（北海七中）林燕丽（北海七中）黎洪敏（南康中学）李佳欣（北海二中）姚逸凡（北海二中）顾祖瑶（北海中学）杨紫薇（北海七中）张智强（北海二中）吴辰涛（北海七中）北海市三等奖（23名）袁乔星（北海七中）毛自敏（北海中学）杨雅茹（北海中学）刘海意（北海九中）林庆文（北海二中）何皓（北海中学）赵夏苓（北海中学）邹佩珊（北海七中）黄安民（北海七中）曹子茵（北海七中）宋昊澄（国发高中）黄长浩（北海九中）林志娟（北海二中）陈剑辉（北海二中）曾全波（北海五中）吴丽华（北海七中）林美红（北海二中）毕怡（北海二中）林起明（北海中学）黄启明（北海二中）廖娇（北海九中）黎锐敏（北海七中）苏源君（北海七中）。
2012年全国高中数学联赛成绩公布
2012年全国高中数学联赛成绩公布2012年全国高中数学联赛成绩已经揭晓，有5位同学获全国三等奖；有7位同学获省一等奖，11位同学获省二等奖，18位同学获省三等奖；有49位同学获市一等奖，98位同学获市二等奖，135位同学获市三等奖。
有62位辅导教师被评为市优秀辅导员。
现将名单公布如下，以资鼓励。
优秀辅导员（62名）申利民（肇庆中学）俞洪升（肇庆中学）易增平（肇庆中学）李小梅（肇庆一中）罗成（肇庆一中）饶静（肇庆一中）万永峰（肇庆一中）周昌斌（肇庆一中）邓育军（四会中学）谌俊丽（肇庆中学）郭慧媛（江口中学）谢敏（肇庆中学）卢成志（肇庆一中）杨陆均（高要二中）冼健雄（高要二中）夏艳梅（高要一中）龙彪（香山中学）梁慧祯（高要一中）胡明方（新桥中学）邹桂兰（肇庆中学）熊燕（怀集一中）陈永祥（肇庆一中）李文君（鼎湖中学）袁则（高要一中）熊晓华（肇庆中学）彭艳兵（广宁一中）郑涯（怀集中学）冯永健（端州中学）廖伟东（端州中学）杨丽娟（端州中学）萧翠颜（鼎湖中学）蒙天森（江口中学）贾粉玲（广宁中学）罗圣国（加美学校）邓少元（高要一中）刘焕文（高要一中）刘明芳（肇庆一中）徐飞（高要二中）谢微（高要一中）欧阳志文（广宁一中）谢关林（香山中学）周高科（广宁中学）禤培升（肇庆一中）张红兰（高要二中）伍子琼（高要一中）陈宗铌（香山中学）庞海东（香山中学）廖卫邦（鼎湖中学）黄坚明（香山中学）黄之（广利高中）莫少卿（肇庆四中）王欢（高要一中）寇学军（肇庆十二中）李燕芬（鼎湖中学）李景贤（高要二中）杨国权（高要一中）郑晓亮（高要一中）谢庆生（香山中学）钟菊（鼎湖中学）谢晓慧（高要二中）林健明（广宁中学）刘汝霞（四会侨中）全国三等奖（5名）张永琛（四会中学）苏益民（肇庆中学）关健斌（肇庆中学）曾家荣（四会中学）冼昌宁（肇庆中学）省一等奖（7名）苏益民（肇庆中学）关健斌（肇庆中学）张乐民（肇庆中学）梁景天（肇庆中学）邓思欣（肇庆一中）曾家荣（四会中学）苏维洵（肇庆中学）省二等奖（11名）冼昌宁（肇庆中学）张伟俊（肇庆中学）邓浩彬（肇庆中学）陈丹露（肇庆中学）丁文健（肇庆一中）张永琛（四会中学）李炫锋（肇庆中学）陈浩权（江口中学）刘志强（四会中学）蔡幸烨（肇庆中学）欧阳端萍（高要一中）省三等奖（18名）李鸿治（肇庆一中）赵相锦（肇庆中学）梁隽昱（肇庆一中）陈子钧（肇庆中学）黄指标（高要二中）张展豪（高要二中）肖嘉霖（肇庆一中）黄家俊（四会中学）刘伟锋（高要一中）李国钊（肇庆一中）翁文轩（肇庆一中）曾柳莹（怀集一中）熊俊斌（肇庆中学）徐国成（新桥中学）杜逸昌（高要一中）赵智强（高要一中）伍世耀（高要二中）王耿辉（香山中学）市一等奖（49名）苏益民（肇庆中学）关健斌（肇庆中学）张乐民（肇庆中学）梁景天（肇庆中学）邓思欣（肇庆一中）曾家荣（四会中学）苏维洵（肇庆中学）冼昌宁（肇庆中学）张伟俊（肇庆中学）邓浩彬（肇庆中学）陈丹露（肇庆中学）丁文健（肇庆一中）张永琛（四会中学）李炫锋（肇庆中学）陈浩权（江口中学）刘志强（四会中学）蔡幸烨（肇庆中学）欧阳端萍（高要一中）李鸿治（肇庆一中）赵相锦（肇庆中学）梁隽昱（肇庆一中）陈子钧（肇庆中学）黄指标（高要二中）张展豪（高要二中）肖嘉霖（肇庆一中）黄家俊（四会中学）刘伟锋（高要一中）李国钊（肇庆一中）翁文轩（肇庆一中）曾柳莹（怀集一中）熊俊斌（肇庆中学）徐国成（新桥中学）杜逸昌（高要一中）赵智强（高要一中）伍世耀（高要二中）王耿辉（香山中学）霍洁锋（鼎湖中学）李启成（高要二中）陈礼荣（高要一中）陆智乐（高要一中）李阳（肇庆中学）何晓东（肇庆中学）曾桂荣（广宁一中）李鹉亨（怀集一中）林桌斐（怀集中学）张婷婷（肇庆一中）叶光照（肇庆一中）钟子淇（肇庆一中）陈荣（端州中学）市二等奖（98名）梁伟杰（香山中学）莫海权（香山中学）布晓旺（香山中学）苏嘉成（鼎湖中学）朱海枢（江口中学）区民东（肇庆中学）李浩明（肇庆中学）成玉琪（广宁一中）谭善宏（广宁中学）谢振国（怀集一中）黄繁昌（怀集中学）罗明锋（加美学校）高铫晖（肇庆一中）梁嘉殷（肇庆一中）朱嘉振（香山中学）谢浩雄（高要一中）严婉艳（高要一中）廖军涛（高要一中）纪伟金（广宁一中）莫彩欣（肇庆一中）张斌（肇庆一中）覃嘉玮（肇庆一中）苏珊（肇庆一中）梁桂昌（高要二中）廖文飞（高要二中）何韬（高要一中）林焕明（高要一中）伍星辉（肇庆一中）区建明（肇庆一中）苏晓颂（肇庆一中）程伟强（肇庆一中）谢振鹏（肇庆一中）邓志华（肇庆一中）陈思欣（香山中学）林秀琼（高要一中）杨兴华（高要一中）严子滨（肇庆中学）冯海欢（香山中学）余赞源（香山中学）梁建安（鼎湖中学）容汉铿（高要二中）黄林贤（高要一中）冯志飞（广宁一中）苏海莹（广宁一中）莫丽雯（怀集一中）李艳婷（肇庆一中）龙德安（香山中学）李金燕（香山中学）李诗琴（香山中学）唐海颜（香山中学）刘杰仪（高要二中）温瑞杨（高要一中）冼雪莹（高要一中）甘立烽（高要一中）陈钧通（高要一中）李秋鸿（高要一中）郑惠娴（广宁一中）高超（广宁一中）邓泳欣（广宁中学）卢冠成（四会中学）张燚（肇庆一中）吴广健（肇庆一中）朱学添（香山中学）符雄锋（香山中学）张智（香山中学）彭启麟（高要二中）林锡梅（高要一中）江智麟（广宁中学）程浩（广宁中学）欧维健（广宁中学）李丽冰（加美学校）温志豪（肇庆一中）梁逸然（肇庆一中）黄治韬（肇庆一中）谢科（香山中学）密坚（香山中学）莫肇基（香山中学）曹国健（鼎湖中学）张桂林（鼎湖中学）梁翠红（鼎湖中学）谢文婉（鼎湖中学）聂钊颖（江口中学）莫伟桐（江口中学）杜子云（高要二中）冼裕峰（高要二中）欧振杰（高要一中）黎振伟（高要一中）陈晓文（高要一中）赖家杰（高要一中）刘汉斌（高要一中）邓毅悫（高要一中）卢治霖（肇庆中学）李天盛（肇庆中学）伍敏安（肇庆中学）罗泓铸（广宁中学）李佩鸿（加美学校）夏振聪（肇庆一中）李展（肇庆一中）市三等奖（135名）陈荣榆（香山中学）欧须贤（香山中学）莫星航（香山中学）聂锦通（香山中学）谢德明（广利高中）陈松开（鼎湖中学）温阳权（鼎湖中学）梁东燕（高要二中）邓杰铭（高要二中）邱志诚（高要一中）谢振生（高要一中）梁建斌（高要一中）谭俊文（高要一中）黄翔鹏（肇庆中学）黄鸿杰（怀集一中）黄祥津（加美学校）傅铭（加美学校）王子咏聘（加美学校）封绍金（肇庆四中）蔡淑洁（肇庆四中）陈嘉俊（肇庆一中）浦钰婷（肇庆一中）陈雯婷（肇庆一中）聂宇平（香山中学）陈彦朋（香山中学）何海涛（香山中学）蒋晓玲（高要一中）钟泽辉（高要一中）余锦旗（怀集中学）莫枝浩（肇庆十二中）麦讯宁（肇庆一中）郭作标（肇庆一中）陆丽馨（肇庆一中）何斌（肇庆一中）李子健（肇庆一中）巫志煌（肇庆一中）冼健冰（高要一中）李锦妍（肇庆中学）何维炜（肇庆中学）林梅芬（香山中学）冯玉麟（香山中学）梁雅欣（香山中学）陈欣红（鼎湖中学）梁广源（高要二中）黎翠妍（高要一中）李嘉敏（加美学校）温海奇（肇庆一中）莫文懿（肇庆一中）钟毅然（肇庆一中）蒋晶晶（端州中学）孔令辉（香山中学）梁洁珍（香山中学）陈楚莹（香山中学）梁煜胜（江口中学）林煜昌（高要二中）莫永珊（高要一中）李智辉（高要一中）郑鑫君（肇庆中学）文伟海（怀集中学）韩玉琴（香山中学）莫晓峰（香山中学）冯宇涛（香山中学）邓千叶（香山中学）陈瑞琪（鼎湖中学）陆江城（江口中学）朱艳华（高要二中）谢炜珊（高要二中）梁儒斌（高要二中）伍煜政（高要二中）叶家颖（高要二中）李智炜（高要二中）陈立平（高要一中）何梓刚（高要一中）卢杰枝（高要一中）冯洁好（高要一中）林洪觉（高要一中）莫志聪（高要一中）李广星（新桥中学）刘劭燊（怀集一中）莫宇文（怀集一中）姚敏玲（怀集中学）黄伟岚（肇庆一中）陆嘉伟（肇庆一中）伍佳妮（肇庆一中）李芷灵（肇庆一中）胡家炜（肇庆一中）谢志锋（香山中学）林佳铃（香山中学）冼丽珍（香山中学）何灏彦（香山中学）严颖欢（香山中学）郭秋莹（香山中学）龙志良（香山中学）梁银婷（香山中学）温海林（香山中学）何浩华（香山中学）谢紫惠（香山中学）谢雄略（香山中学）陈金霞（香山中学）梁培成（香山中学）林梓（香山中学）梁建庭（鼎湖中学）刁慧端（鼎湖中学）林政洪（鼎湖中学）黎锦坚（鼎湖中学）童晓芸（江口中学）聂斌强（江口中学）梁志豪（高要二中）何庆军（高要二中）陈洁文（高要二中）李进伟（高要二中）严粤飞（高要二中）张叙文（高要二中）伦裕毅（高要二中）莫健鹏（高要二中）莫嘉亨（高要二中）莫泳茹（高要一中）朱文焯（高要一中）钟伟连（高要一中）张伟宝（高要一中）孔淑杰（高要一中）文炫皓（肇庆中学）邹铭（肇庆中学）梁浩辉（广宁中学）邝惠冰（怀集中学）周斌（四会侨中）曾仕元（四会中学）黄启俊（四会中学）钟嘉瑜（加美学校）范旋飞（加美学校）卢晓玲（肇庆四中）王君亮（肇庆四中）容广健（肇庆一中）冯勇军（端州中学）陈国林（肇庆田中）肇庆市教育局教研室肇庆市中学数学教研会2012年12月18日。
2012年全国高中数学联赛福建赛区
2012年全国高中数学联赛福建赛区获奖学生及指导教师名单奖次姓名所在学校指导教师一等奖（41名）李君诚龙岩一中方秦金陈景林福州一中王欣苏肇祺厦门双十中学赵祥枝陈洁锋南安一中林建源吴秉杰福建师大附中连信榕陈景发泉州七中杜成北黄熹之福州一中王欣赖泽华泉州五中陈显林永锋泉州七中曹东方高登峰长乐一中刘宇璋郑予凡福州三中林风林楠莆田一中吴天然蔡宇涵福州一中陈德燕涂霁原福建师大附中黄振胜张毅厦门外国语学校周志伟郑婉怡长乐一中刘宇璋林坚福建师大附中连信榕吴艺杰厦门一中徐小平郑延敏厦门一中周翔刘淇禄厦门双十中学许波付祖悦福州一中李迅林梓楠厦门一中徐小平陈集懿仙游一中刘金星一一等奖（41名）张泽华福州一中林玲刘锦鹏三明二中林保平范兴鹏永定一中李辉林真厦门外国语学校吴铭辉林杰安溪一中陈荣海林继航福州一中夏彦婴洪伟峻福州一中宋梅玉郭靖邦福建师大附中连信榕高志杰安溪一中叶良清许昭贤安溪一中苏文新蔡健福州一中郭艺斌林雨福州一中丘远青陈泽群南安一中梁淮森林若轩厦门外国语学校周志伟黄安祥厦门双十中学郭俊芳洪景渠厦门双十中学许波叶豪大田一中郑锐严炜泉州五中黄寒凝二等奖（51名）陈天乐福建师大附中林峰康泽淇厦门双十中学赵祥枝苏室勋同安一中谢继林杨铮厦门双十中学赵祥枝张禛厦门一中周翔林超超泉州五中许华军郑文超南安一中陈聪贤二林鹏凯厦门双十中学赵祥枝林子楹厦门一中徐小平钟少涵龙岩一中方秦金等奖（51名）蔡熠莆田一中吴天然郑俊萍莆田一中吴天然刘雨晨龙岩一中方秦金岳宇福州一中王欣刘定峰厦门一中张帆罗融厦门双十中学赵祥枝吴茂恺福清一中陈贻康王海滨永春一中李金进谢宇航南安一中梁淮森潘兴禄福鼎一中曹齐平许良坤厦门双十中学赵祥枝林迪熙厦门外国语学校周志伟钱成德漳州一中林良斌许泽君福州一中林玲颜仁学南安一中梁淮森钟玺峰泉州实验中学刘晓波曾奕辉三明二中林保平张德洁尤溪一中陈祥湾李响厦门一中徐小平庄镕胜厦门双十中学赵祥枝卓杰鹏泉州七中杜成北蔡宇超漳州一中林良斌戴志聪泉州七中赖呈杰二陈垚鑫泉州五中黄寒凝林青恺福安一中林旭杨以恒泉州五中黄寒凝曾武贤漳州立人学校林智生苏杭厦门双十中学许波等奖（51名）叶茂胜晋江养正中学周彩瑛林志常泉州七中林志敏陈靖国安溪一中叶良清张其斌长汀一中魏木水谢雨彤宁德一中金新雄汪慧铭泉州七中纪建灵石壮壮厦门双十中学张瑞炳白蔚楠安溪一中苏文新卢长胜连城一中黄椿施宇福清一中余小萍陈思杰厦门一中徐小平黄哲雄泉州一中陈志文吴超厦门双十中学许波三等奖（67名）李甲辰安溪一中苏文新黄志喜福鼎一中丁合剑戴飞栋厦门双十中学张瑞炳许悦厦门双十中学张瑞炳林泽宇长乐一中刘宇璋郑炜豪泉州实验中学刘晓波王雨亭厦门双十中学张瑞炳陈龙漳平一中叶培杰三等奖林炳辉长乐一中刘宇璋郭颖超仙游一中刘金星陈兵莆田一中吴天然吴婧旸漳州实验中学郭欢陈扬锐尤溪一中陈师民陈晓越莆田一中吴天然林毓斌仙游一中黄开云（67名）谢新锋南安一中梁淮森罗飞扬安溪一中苏文新郑文俊福州一中宋梅玉傅坤隆泉州七中赖艳红蔡崇泽晋江养正中学周彩瑛陈炳森漳州一中冯真丽丁嘉靖泉州五中李晖黄垚开永定一中李辉包迪福州三中耿熹连庭泉州五中苏建民郑思鹏福州一中宋梅玉陈轶伦厦门一中李寅童留永信晋江季延中学陈煌图黄泽龙厦门一中张帆洪世鑫南安一中梁淮森江旭厦门外国语学校周志伟陈晓灿永春一中王冬生李毅福州一中陈德燕许恭瀚泉州五中赵清木三等奖（67名）三等奖（67名）陈楷民厦门双十中学王成焱翁智荣莆田一中吴天然彭钦一龙岩一中方秦金陈雨薇泉州五中杨苍洲叶智恺福州一中丘远青叶韫盛福建师大附中连信榕许晓毅安溪一中陈荣海苏楠淇厦门双十中学赵祥枝陈明豪长乐一中刘宇璋黄一帆泉州十一中柳明全卢皓川福州一中陈德燕张策南平一中周文绥柯薇福州一中郭艺斌杜一阳厦门一中张帆杨婉娴漳州实验中学郭欢林弘韬福建师大附中连信榕冯楷锐泉州五中郭智恒吴剑灿莆田一中吴天然严江鹏仙游私立一中林凤芬肖智超漳州正兴学校朱金海程思衍厦门双十中学李祥增张晟三明二中林保平王晨昀南安国光中学陈俊青郑蓊睿福州一中丘远青林焱仙游一中刘金星林江滨厦门双十中学赵祥枝三等奖（67名）温拓扑福州一中卓道章林譞福州一中郑超翔杨亦萍福州一中郭艺斌杜启明泉州实验中学刘晓波李庆涛三明一中廖新武练成龙三明一中黎明王震莆田一中林敏。
1高斯函数
第一讲:高斯函数 1第一讲:高斯函数高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容.定义:[x]表示不超过实数x 的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+α(0≤α<1),这里,[x]称为x 的整数部分,而α,即x-[x]称为x 的小数部分,记{x}=x-[x].函数性质:①高斯函数y=[x]的定义域是R,值域是Z;函数y={x}的定义域是R,值域是[0,1);②函数y=[x]与y=x-[x],即y={x}的图像分别为:③函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数,即当x 1≤x 2时,有[x 1]≤[x 2];y={x}是一有界、周期为1的非单调函数;等式性质:①[n+x]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈Z;②[-x]=⎩⎨⎧∉--∈-)(1][)]([Z x x Z x x ;③若n ∈N +,x ∈R,则[n nx ][]=[x],特别地,[n x ][]=[n x],[nm x][]=[mn x ](证明:由x-1<[x]≤x<[x]⇒n[x]≤nx<n([x]+1)⇒[x]≤[n nx ][]>[x]+1⇒[n nx ][]=[x])不等性质:①若x ∈R,则x-1<[x]≤x<[x]+1;②若x,y ∈R,则[x+y]≥[x]+[y],且{x}+{y}≥{x+y},一般地,若x i ∈R,则[∑=ni i x 1]≥∑=ni i x 1][,特别地,[nx]≥n[x],[b na ]≥n[b a ];③若x,y ∈R +,则[xy]≥[x][y],特别地,][][y x ≥[yx],一般地,若x i ∈R +,则[∏=ni i x 1]≥∏=ni i x 1][,特别地,[x n ]≥[x]n ,[x]≥[n x ]n;厄米特恒等式:若x ∈R,n ∈N 6,则[x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+nn 1-]=[nx]; 证明:引入辅助函数f(x)=[nx]-([x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-])⇒f(x+n 1)=[nx+1]-([x+n 1]+[x+n2]+…+[x+n n 1-]+[x+n 1+n n 1-])=[nx]+1-([x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-]+[x]+1)=f(x)⇒f(x)是一个以n1为周期的周期函数,而当x ∈[0,n1]时,直接计算知f(x)=0.故对任意x ∈R,厄米特等式成立. 1.函数性质:[例1]:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x 的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a),则正实数a 的取值范是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数).[解析]:设x+a=n+α,其中,n ∈Z,0≤α<1,则f(x)=|x-[x+a]|=|n+α-a-n|=|α-a|;①当0<a<21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|>|-a|⇒f(x)无最大值;②当a ≥21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|≤|-a|⇒f(x)有最大值.故a 的取值范是[21,+∞).[练习1]:2 第一讲:高斯函数1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=xa +11-21,且[m]表示不超过m 的最大整数,则[f(x)]+[f(-x)]的值域是 .2.(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设f(x)=⎩⎨⎧>-≤-)0)(1()0]([x x f x x x ,其中[x]表示不超过x 的最大整数,若f(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 .3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k 棵树种植在点P k (x k ,y k )处,其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时,x k =x k-1+1-5[51-k ]+5[52-k ],y k =y k-1+[51-k ]-[52-k ].其中,[a]表示实数a 的整数部分,例如[206]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 .2.求值问题:[例2]:(1993年全国高中数学联赛试题)整数[310103193+]的末两位数是_______.[解析]:由[310103193+]=[3103)310(313393+-+]=[(1031)2-1031×3+32-3103313+]=(1031)2-1031×3+32-1=1031(1031-3)+8⇒末两位数是08.[练习2]:1.(2006年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+[2.6m-0.2]+y+[4y]+ 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12[4c]-2c 除以7的余数,其中,c 表示年的前两位数字(即世纪),y 表示年的后两位数字,d 表示日,m 表示月对应的数字(见表). [x]表 示不于x 的最大整数.则2008年6月18日是星期 .2.①(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以[x]表示不超过x 的最大整数,试确定[sin1]+[sin2]+[sin3]+ [sin4]+[sin5]的值.②(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5] +[tan6]= .3.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,求集合{n|n=[20052k ],1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数.②(2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设a n =21⋅+32⋅+…+)1(+n n ,则[na n2]= . ③(2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设x n 是关于x 的方程nx 3+2x-n=0的实数根,记a n =[(n+1)x n ](n= 2,3,…)([x]表示不超过x 的最大整数).则10051(a 2+a 3+…+a 2011)= . ④(2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列满足{a n }:a n =3n-2,若b n =[5na ],则b 1+b 2+…+b 2007= . 3.求和问题:[例3]:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+ 第一讲:高斯函数 3[log 22012]= .[解析]:我们来解决一般性问题:设a ∈N +,且a ≥2,求和[log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n].当a t≤k<a t+1时,[log a k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[a t,a t+1)中的正整数有(a-1)a t个.并设a m≤n<a m+1,n=a m+b(b ∈N +),则 [log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n]=(a-1)[0×a 0+1×a+2×a 2+…+(m-1)×a m-1]+mb=(a-1){[1-a a (m-1)-2)1(-a a ]a m-1+ 2)1(-a a }+mb=[a(m-1)-1-a a ]a m-1+1-a a +m(b+1) 回到本题:a=2,由210<2012<211⇒m=10,由2012-210=2012-1024=988⇒b=988⇒和为(2×9-2)29+2+10×989=18084.[练习3]:对应的m 值 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.①(2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]= .②(2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2010]= . ③(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)[x]表示不超过x 的最大整数,若[log 36]+[log 37]+[log 38]+…+ [log 3(n-1)]+[log 3n]=2009,试确定正整数n 的值.④(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题){x}表示不小于实数x 的最小整数,则{log 21}+{log 22}+…+{log 21991} = .2.①(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[1]+[2]+[3]+…+ [19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]的值是 .②(2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n 的值.3.①(2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则∑+=+201201]222012[k k k = .②(2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数x,记m=[2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[k x 2],其中k 为满足2k≥x 的最小整数,符号[x]表示不超过x 的最大整数.x 与m 的差,即x-m 称为正整数x 的“亏损数”.(如x=100时,m=[2100]+[22100]+…+ [72100]=97,x-m=3,因此,数100的“亏损数”为3).则“亏损数”为9的最小正整数x 为________.4.方程问题:[例4]:(1995年全国高中数学联赛试题)用[x]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lgx]-2=0的实根个数是_____.[解析]:由x ≥[x],lg 2x-[lgx]-2=0⇒lg 2x-2=[lgx]≤lgx ⇒-1≤lgx ≤2⇒[lgx]=-1,0,1,2;当[lgx]=-1时,lg 2x=1⇒lgx=-1;当[lgx]=0时,lg 2x=2⇒lgx=±2,无解;当[lgx]=1时,lg 2x=3⇒lgx=3;当[lgx]=2时,lg 2x=4⇒lgx=2⇒实根个数是3.[练习4]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不大于x 的最大整数,集合A={x|x 2-2[x]=3},B={x|81<2x<8},则A ∩B= .②(2008年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设集合A={x|x 2-[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则A ∩B= .③(1999年全国高中数学联赛广西预赛试题)[tanx]表示不超过tan 的最大整数,则方程[tanx]=2cos 2x 的解为 . ④(2009年上海市高中数学竞赛试题)若[a]表示不超过实数a 的最大整数,则方程[tanx]=2sin 2x 的解是 .2.①(2006年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对于实数x,当且仅当n ≤x<n+1(n ∈N +)时,规定[x]=n.则不等式4[x]2-36[x] +45<0的解集为 .4 第一讲:高斯函数②(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)对任意的x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数,则满足[|x 2-1|]=10的x 的集合是( )(A)(-23,-11) (B)[11,23] (C)(-23,-11]∪[11,23) (D)[-23,-11)∪(11,23] ③(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程x [x]=29的实数解是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数). 3.①(2011年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)方程x 2-8[x]+7=0的所有解为 .②(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,且x 2-2008[x]+2007=0,则[x]的值是 .③(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则方程[3x-465]-2x-1=0的解是 .④(2011年全国高中数学联赛四川预赛试题)设x 为实数,定义[x]为不小于x 的最小整数,例如[π]=4,[-π]=-3,关于实数x 的方程[3x+1]=2x-21的全部实根之和等于 . 5.方程综合:[例5]:(1998年加拿大数学奥林匹克试题.2009年全国高中数学联赛安徽预赛试题)求方程[2x ]+[3x ]+[7x ]=x 的所有解([a]表示不超过实数a 的最大整数).[解析]:由方程知解x 是整数,设x=42p+q(p ∈Z,q ∈{0,1,…,41}),则(21p+[2q])+(14p+[3q ])+(6p+[7q ])=42p+q ⇒[2q ]+[3q ]+[7q]=p+q ⇒q=0,p=0,x=0;q=1,p=-1,x=-41;q=2,p=-1,x=-40;q=3,p=-1,x=-39,…,因此,方程的解集为{0, -6,-l2,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,- 51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}.[练习5]:1.(2010年全国高中数学联赛福建预赛试题)将方程x 3-3[x]=4的实数解从小到大排列得x 1,x 2,…,x k ,则x 13+x 23+…+x k 3的值为 ([x]表示不超过x 的最大整数).2.①(1989年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示x 的整数部分,{x}=x −[x],则方程[x 3]+[x 2]+[x]={x}−1的所有实数根是 .②(1991年上海市高中数学竞赛试题)求满足[x 2−2x]=[x]2−2[x]的一切实数x.其中[x]表示不超过x 的最大整数. ③(1993年上海市高中数学竞赛试题)自然数x 使得[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x7]=1993.则x=_____. 3.①(2007年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)求正整数n,使得[log 31]+[log 32]+[log 33]+[log 34]+…+[log 3n]=2007.其中[x]表示不超过x 的最大整数.②(2009年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)对整数n>1,设x=1+21+…+n1,y=lg2+lg3+…+lgn.则满足[x]=[y]的所有整数n 构成的集合为 ([a]表示不超过实数a 的最大整数).6.方程应用:[例6]:(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为__________. [解析]:设该数为x,则(x-[x])x=[x]2⇒x=251+[x](x>0);由0<x-[x]<1⇒0<215-[x]<1⇒0<[x]<251+<2⇒[x]=1 第一讲:高斯函数 5⇒x=251+. [练习6]:1.(2009年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设a 是整数,0≤b<1.若a 2=2b(a+b),则b= . 注:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的图形的面积是 .②(2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)若[x]表示不超过x 的最大整数.求在平面直角坐标系xOy 中满足[x][y]=2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.③(2012年全国高中数学联赛新疆预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足[x][y]=2013的所有点(x,y)组成的图形面积为 .3.①(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)数(3+8)2n (n ∈N +),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)7②(2009年全国高中数学联赛吉林预赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .7.等式问题:[例7]:(1987年第19届加拿大数学奥林匹克试题)对每一个正整数n,证明:[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[解析]:设正整数m 满足:m 2>4n+1;若m 为偶数,则m 2=4k>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+4>4n+3;若m 为奇数,则m 2=4k+1>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+5>4n+3;综上m 2>4n+3,即m>34+n ;特别地,取m=[14+n ]+1,满足:m 2>4n+1,则m>34+n⇒[14+n ]+1>34+n >14+n ≥[14+n ]⇒[34+n ]=[14+n ]⇒[14+n ]=[24+n ]=[34+n ];因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n >2n+1+2n=4n+1⇒n +1+n >14+n ⇒[n +1+n ]≥[14+n ];且(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+2(n+1)=4n+3⇒n +1+n <34+n ⇒[n +1+n ]<[34+n ]⇒[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[练习7]:1.①(1981年第44届莫斯科数学奥林匹克试题)试问:对x>1,下面的等式[][x ]=[x ]一定能成立吗？②(1948年第8届普特南数学奥林匹克试题)如果n 为一正整数,试证:[n +1+n ]=[24+n ]. 2.①(1991年第9届美国数学邀请赛试题)设r 是实数,且满足条件[r+10019]+[r+10020]+…+[r+10091]=546.求[100r]. ②(1981年第13届加拿大数学奥林匹克试题)试证方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解. 3.(1989年国家理科试验班入学考试试题)通项为a n =b[c n +]+d 的数列{a n }:1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,其中每一个正奇数m 恰好连续出现m 次.上述b 、c 、d 是侍定的整数,求b+c+d 的值.8.不等问题:[例8]:(1981年美国数学奥林匹克试题)对正整数n 和一切实数x.求证:[nx]≥1][x +2]2[x +…+nnx ][. [解析]:为方便,记a n =1][x +2]2[x +…+nnx ][.用数学归纳法证明:①当n=1时,a 1=[x],[nx]=[x]⇒原不等式成立;②假设当k<n 时,原不等式均成立,即a 1≤[x],a 2≤[2x],…,a n-1≤[(n-1)x];注意到:a k -a k-1=kkx ][⇒ka k -ka k-1=[kx]⇒na n =a 1+(2a 2-a 1) 6 第一讲:高斯函数+(3a 3-2a 2)+…+[na n -(n-1)a n-1]=a 1+(2a 2-2a 1)+(3a 3-3a 2)+…+(na n -na n-1)+(a 1+a 2+…+a n-1)=[x]+[2x]+[3x]+…+[nx]+(a 1+a 2+…+a n-1)≤n[nx]⇒a n ≤[nx].[练习8]:1.(第10届地中海地区数学奥林匹克试题)设x 为大于1的实数.证明:(][}{x x x +-}{][x x x +)+(}{][x x x +-][}{x x x +)>29.2.(2005年国家集训队训试试题)求所有正整数m 、n,使得不等式[(m+n)α]+[(m+n)β]≥[m α]+[m β]+[n(α+β)]对任意实数α、β都成立.3.(2005年国家集训队选拔考试试题)设n 是任意给定的正整数,x 是正实数.证明:∑++-=nk x kx x k x 1])1)[1(][(≤n.第一讲:高斯函数 1第一讲:高斯函数高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容.定义:[x]表示不超过实数x 的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+α(0≤α<1),这里,[x]称为x 的整数部分,而α,即x-[x]称为x 的小数部分,记{x}=x-[x].函数性质:①高斯函数y=[x]的定义域是R,值域是Z;函数y={x}的定义域是R,值域是[0,1);②函数y=[x]与y=x-[x]与y={x}的图像分别为:③函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数,即当x 1≤x 2时,有[x 1]≤[x 2];y={x}是一有界、周期为1的非单调函数;等式性质:①[n+x]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈Z;②[-x]=⎩⎨⎧∉--∈-)(1][)]([Z x x Z x x ;③若n ∈N +,x ∈R,则[n nx ][]=[x],特别地,[n x ][]=[n x],[nm x][]=[mn x ](证明:由x-1<[x]≤x<[x]⇒n[x]≤nx<n([x]+1)⇒[x]≤[n nx ][]>[x]+1⇒[n nx ][]=[x])不等性质:①若x ∈R,则x-1<[x]≤x<[x]+1;②若x,y ∈R,则[x+y]≥[x]+[y],且{x}+{y}≥{x+y},一般地,若x i ∈R,则[∑=ni i x 1]≥∑=ni i x 1][,特别地,[nx]≥n[x],[b na ]≥n[b a ];③若x,y ∈R +,则[xy]≥[x][y],特别地,][][y x ≥[yx],一般地,若x i ∈R +,则[∏=ni i x 1]≥∏=ni i x 1][,特别地,[x n ]≥[x]n ,[x]≥[n x ]n;厄米特恒等式:若x ∈R,n ∈N 6,则[x]+[x+n1]+[x+n2]+…+[x+nn 1-]=[nx];证明:引入辅助函数f(x)=[nx]-([x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-])⇒f(x+n 1)=[nx+1]-([x+n 1]+[x+n2]+…+[x+ n n 1-]+[x+n 1+n n 1-])=[nx]+1-([x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-]+[x]+1)=f(x)⇒f(x)是一个以n1为周期的周期函数,而当x ∈[0,n1]时,直接计算知f(x)=0.故对任意x ∈R,厄米特等式成立. 1.函数性质:[例1]:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x 的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a),则正实数a 的取值范是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数).[解析]:设x+a=n+α,其中,n ∈Z,0≤α<1,则f(x)=|x-[x+a]|=|n+α-a-n|=|α-a|;①当0<a<21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|>|-a|⇒f(x)无最大值;②当a ≥21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|≤|-a|⇒f(x)有最大值.故a 的取值范是[21,+∞).[练习1]:2 第一讲:高斯函数1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=xa+11-21,且[m]表示不超过m 的最大整数,则[f(x)]+[f(-x)]的值域是 .解:因f(x)+f(-x)=(x a +11-21)+(x a -+11-21)=x a +11+xxa a +1-1=0⇒f(-x)=-f(x);设f(x)=k+α,其中,k ∈Z,0≤α<1,①若α=0,则f(x)=k ⇒-f(x)=-k ⇒[f(x)]=k,[f(-x)]=-k ⇒[f(x)]+[f(-x)]=0;②若α≠0,则f(x)=k+α⇒-f(x)=-k-α= -(k+1)+(1-α)⇒[f(x)]=k,[f(-x)]=-(k+1)⇒[f(x)]+[f(-x)]=-1⇒[f(x)]+[f(-x)]的值域是{-1,0}. 2.(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设f(x)=⎩⎨⎧>-≤-)0)(1()0]([x x f x x x ,其中[x]表示不超过x 的最大整数,若f(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 . 解:令g(x)=kx+k,由图知g(2)≤1,g(3)>1⇒41<k ≤31. 3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k 棵树种植在点P k (x k ,y k )处,其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时,x k =x k-1+1-5[51-k ]+5[52-k ],y k =y k-1+[51-k ]-[52-k ].其中,[a]表示实数a 的整数部分,例如[206]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 . 解:令f(k)=[51-k ]-[52-k ],则f(k+5)=[515-+k ]-[525-+k ]=[1+51-k ]-[1+52-k ]=[51-k ]-[52-k ]=f(k),故f(k)是周期为5的函数;计算可知:f(2)=0,f(3)=0,f(4)=0,f(5)=0,f(6)=1;由x k =x k-1+1-5f(k)⇒x k -x k-1=1-5f(k)⇒x 2008=x 1+(x 2- x 1)+(x 3-x 2)+…+(x 2008-x 2007)=x 1+2007-5[f(2)+f(3)+…+f(2008)]=x 1+2007-5[4001(f(2)+f(3)+…+f(6))+f(2)+f(3)]=3;同理可得y 2008=402.所以,2008棵树的种植点为(3,402).2.求值问题:[例2]:(1993年全国高中数学联赛试题)整数[310103193+]的末两位数是_______.[解析]:由[310103193+]=[3103)310(313393+-+]=[(1031)2-1031×3+32-3103313+]=(1031)2-1031×3+32-1=1031(1031-3)+8⇒末两位数是08.[练习2]:1.(2006年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+[2.6m-0.2]+y+ [4y ]+[4c]-2c 除以7的余数,其中,c 表示年的前两位数字(即世纪),y 表示年的后两位数字,d 表示日,m 表示月对应的数字 (见表). [x]表 示不于x 的最大整数.则2008年6月18日是星期 . 解:因c=20,y=8,d=18,m=4⇒d+[2.6m-0.2]+y+[4y ]+[4c]-2c=18+[10.2]+8+[2]+[5]-40=3≡3(mod7)⇒2008年6月18日是星期三.2.①(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以[x]表示不超过x 的最大整数,试确定[sin1]+[sin2]+[sin3]+ [sin4]+[sin5]的值. 解:因为0<1<2π,2π<2、3<π,π<4<23π,23π<5、6<2π⇒sin1、sin2、sin3∈(0,1),sin4、sin5∈(-1,0)⇒[sin1]=第一讲:高斯函数 3[sin2]=[sin3]=0,[sin4]=[sin5]=-1⇒[sin1]+[sin2]+[sin3]+[sin4]+[sin5]=-2.②(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5] +[tan6]= . 解:因为0<1<2π,2π<2<π,43π<3<π,π<4<23π,23π<5<2π,47π<6<2π⇒sin1∈(0,1),cos2∈(−1,0),tan3∈(−1, 0),sin4∈(−1,0),cos5∈(0,1),tan6∈(−1,0)⇒[sin1]+[cos 2]+[tan 3]+[sin 4]+[cos5]+[tan 6] =0+(-1)+(-1)+(-1) +0+(-1)=-4.3.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,求集合{n|n=[20052k ],1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数. 解:当20052k <1,即k<44时,[20052k ]=0;当1≤20052k <2,即45≤k<63时,[20052k ]=1;当2≤20052k <3,即64≤k<77时,[20052k ]=2; 当3≤20052k <4,即78≤k<89时,[20052k ]=3;当4≤20052k <5,即90≤k<100时,[20052k ]=4;当5≤20052k <6,即100≤k<109时,月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对应的m 值111212345678910[20052k ]=5;当6≤20052k <7,即110≤k<118时,[20052k ]=6;当7≤20052k <8,即119≤k<126时,[20052k ]=7;…,集合{n|n=[20052k ], 1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数=1503.②(2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设a n =21⋅+32⋅+…+)1(+n n ,则[na n2]= . 解:由k<)1(+k k <k+21⇒2)1(+n n <a n <2)1(+n n +21n ⇒n+1<n a n 2<n+2⇒[n a n 2]=n+1. ③(2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设x n 是关于x 的方程nx 3+2x-n=0的实数根,记a n =[(n+1)x n ](n= 2,3,…)([x]表示不超过x 的最大整数).则10051(a 2+a 3+…+a 2011)= . 解:设f(x)=nx 3+2x-n,易知,当n 为正整数时,f(x)为增函数;f(1)=2>0,且当n ≥2时,f(1+n n )=n(1+n n )3+21+n n -n=3)1(+n n (- n 2+n+1)<0⇒x n ∈(1+n n ,1)⇒n<(n+1)x n <n+1⇒a n =[(n+1)x n ]=n ⇒10051(a 2+a 3+…+a 2011)=2013. ④(2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列满足{a n }:a n =3n-2,若b n =[5na ],则b 1+b 2+…+b 2007= . 解:由b n =[5n a ]=[523-n ]⇒b 5k+r =[52)5(3-+r k ]=[3k+523-r ]=3k+[523-r ](r=0,1,2,3,4)⇒b 5k =3k-1,b 5k+1=b 5k+2=3k,b 5k+3=3k+1,b 5k+4=3k+2⇒b 5k-4+b 5k-3+b 5k-2+b 5k-1+b 5k =15k-10⇒b 1+b 2+…+b 2007=(b 1+b 2+…+b 5)+…+(b 401×5-4+b 401×5-3+b 401×5-2+b 401×5-1+b 401×5)+(b 401×5+1+b 401×5+2)=152)4011(401+-10×401+(3×401+3×401)=(15×201-4)401=1207411.3.求和问题:[例3]:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 22012]= .[解析]:我们来解决一般性问题:设a ∈N +,且a ≥2,求和[log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n].当a t≤k<a t+1时,[log a k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[a t,a t+1)中的正整数有(a-1)a t个.并设a m≤n<a m+1,n=a m+b(b ∈N +),则 [log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n]=(a-1)[0×a 0+1×a+2×a 2+…+(m-1)×a m-1]+mb=(a-1){[1-a a (m-1)-2)1(-a a ]a m-1+ 4 第一讲:高斯函数2)1(-a a }+mb=[a(m-1)-1-a a ]a m-1+1-a a +m(b+1) 回到本题:a=2,由210<2012<211⇒m=10,由2012-210=2012-1024=988⇒b=988⇒和为(2×9-2)29+2+10×989=18084.[练习3]:1.①(2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]= .解:当2t ≤k<2t+1时,[log 2k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[2t ,2t+1)中的正整数有2t 个.设f(x)=[log 2x],注意到29=512,所以, [log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]=∑=5001)(k k f =f(1)+∑-=1222)(k k f +∑-=12232)(k k f +∑-=12243)(k k f +∑-=12254)(k k f +∑-=12265)(k k f +∑-=12276)(k k f +∑-=12287)(k k f +∑=50028)(k k f =0+1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26+7×27+8(28-11)=3498.②(2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2010]= . 解:因为1≤k ≤9⇒[lgk]=0;10≤k ≤99⇒[lgk]=1;100≤k ≤999⇒[lgk]=2;1000≤k ≤2010⇒[lgk]=3;所以,[lg1]+ [lg2]+[lg3]+…+[lg2010]=60×1+900×2+1011×3=4923.③(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)[x]表示不超过x 的最大整数,若[log 36]+[log 37]+[log 38]+…+ [log 3(n-1)]+[log 3n]=2009,试确定正整数n 的值.解:由[log 36]=[log 37]=[log 38]=1⇒[log 36]+[log 37]+[log 38]=3;[log 39]=[log 310]=…=[log 326]=2⇒[log 39]+[log 310]+ …+[log 326]=36;[log 327]=[log 328]=…=[log 380]=3⇒[log 327]+[log 328]+…+[log 380]=162;[log 381]=[log 382]=…= [log 3242]=4⇒[log 381]+[log 382]+…+[log 3242]=648;3+36+162+648=849;[log 3243]=[log 3244]=…=[log 3728]=5⇒ [log 3243]+[log 3244]+…+[log 3728]=2430⇒n=474.④(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题){x}表示不小于实数x 的最小整数,则{log 21}+{log 22}+…+{log 21991} = .解:当log 2n 为整数时,{log 2n}=[log 2n](n=20,21,…,210);当log 2n 为整数时,{log 2n}=[log 2n]+1;所以,{log 21}+{log 22}+…+{log 21991}=[log 21]+[log 22]+…+[log 21991]+1991-11;由a=2,1024=210<1991<211⇒m=10,由1991-210=967⇒b=967⇒ [log 21]+[log 22]+…+[log 21991]+1991-11=[2×9-2]29+2+10×968+1991-11=19854.2.①(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[1]+[2]+[3]+…+ [19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]的值是 .解:当k 为整数时,[k ]+[-k ]=0(k=12,22,…,19892),当k 不是整数时,设k =n+α(0<α<1),则[k ]=n,[-k ]=[-n-α]=[-(n+1)+(1-α)]=-(n+1)⇒[k ]+[-k ]=-1⇒[1]+[2]+[3]+…+[19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]=-1989×1990+1989=-19892.②(2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n 的值.解:因为nlg2和nlg5是无理数,那么可以表示nlg2=m+a 其中m=[nlg2],a={nlg2}≠0,而nlg5=n-nlg2=n-m-a=(n-m-1)+(1- a)⇒[nlg5]=n-m-1⇒[nlg2]+[nlg5]=n-1=2012⇒n=2013.3.①(2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则∑+=+201201]222012[k k k = . 解:由1222012++k k <1⇒2012+2k <2k+1⇒2k>2012⇒k>11⇒当k>11时,[1222012++k k ]=0;当k=0时,[1222012++k k ]=1006;当k=1时,[1222012++k k]=503;当k=2时,[1222012++k k ]=250;当k=3时,[1222012++k k ]=126;当k=4时,[1222012++k k ]=63;当k=5时,[1222012++k k ]=31;当k=6时,[1222012++k k ]=16;当k=7时,[1222012++k k ]=8;当k=8时,[1222012++k k ]=4;当k=9时,[1222012++k k ]=2;当k=10、第一讲:高斯函数 511时,[1222012++k k ]=1⇒∑+=+20121]222012[k k k =1006+503+250+126+63+31+16+8+4+2+1+1=2012.②(2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数x,记m=[2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[k x 2],其中k 为满足2k≥x 的最小整数,符号[x]表示不超过x 的最大整数.x 与m 的差,即x-m 称为正整数x 的“亏损数”.(如x=100时,m=[2100]+[22100]+…+ [72100]=97,x-m=3,因此,数100的“亏损数”为3).则“亏损数”为9的最小正整数x 为________.解:设下x=a n ×2n+a n-1×2n-1+…+a 2×22+a 1×21+a 0×20,其中a i ∈{0,1}(i=0,1,2,…,n),则x-2[2x ]=a 0;[2x ]-2[22x]=a 1; [22x ]-2[32x ]=a 2,…,[nx 2]-2[12+n x ]=a n ⇒a 0+a 1+a 2+…+a n =(x-2[2x ])+([2x ]-2[22x ])+([22x ]-2[32x ])+…+([n x2]- 2[12+n x])=x-([2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[12+n x ])=x-m=x 的“亏损数”⇒亏损数”为9的最小正整数x=1+2+22+…+28=511. 4.方程问题:[例4]:(1995年全国高中数学联赛试题)用[x]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lgx]-2=0的实根个数是_____.[解析]:由x ≥[x],lg 2x-[lgx]-2=0⇒lg 2x-2=[lgx]≤lgx ⇒-1≤lgx ≤2⇒[lgx]=-1,0,1,2;当[lgx]=-1时,lg 2x=1⇒lgx=-1;当[lgx]=0时,lg 2x=2⇒lgx=±2,无解;当[lgx]=1时,lg 2x=3⇒lgx=3;当[lgx]=2时,lg 2x=4⇒lgx=2⇒实根个数是3.[练习4]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不大于x 的最大整数,集合A={x|x 2-2[x]=3},B={x|81<2x<8},则A ∩B= .解:由81<2x <8⇒-3<x<3⇒[x]=-3,-2,-1,0,1,2;①若[x]≤-2,则x 2=2[x]+3<0,没有实数解;②若[x]=-1,则x 2=1⇒x=-1; ③若[x]=0,则x 2=3,没有符合条件的解;④若[x]=1,则x 2=5,没有符合条件的解;⑤若[x]=2,则x 2=7⇒有一个符合条件的解x=7⇒ A ∩B={-1,7}.②(2008年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设集合A={x|x 2-[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则A ∩B= .解:因|x|<2⇒[x]的值可取-2,-1,0,1;当[x]=-2,则x 2=0无解;当[x]=-1,则x 2=1⇒x=-1;当[x]=0,则x 2=2无解;当[x]=1,则x 2=3⇒x=3⇒A ∩B={-1,3}.③(1999年全国高中数学联赛广西预赛试题)[tanx]表示不超过tan 的最大整数,则方程[tanx]=2cos 2x 的解为 . 解:由0≤2cos 2x ≤2⇒0≤[tanx]≤2⇒[tanx]=0,1,2;当[tanx]=0时,cosx=0,tanx 无意义;当[tanx]=1时,cosx=±22, 注意:[tanx]=1⇒x=k π+4π(k ∈Z);当[tanx]=2时,cosx=1⇒sinx=0⇒tanx=0,矛盾. ④(2009年上海市高中数学竞赛试题)若[a]表示不超过实数a 的最大整数,则方程[tanx]=2sin 2x 的解是 . 解:由0≤2sin 2x ≤2⇒0≤[tanx]≤2⇒[tanx]=0,1,2;当[tanx]=0时,sinx=0,tanx=0⇒x=k π;当[tanx]=1时,sinx=±22,注意:[tanx]=1⇒x=2k π+4π(k ∈Z);当[tanx]=2时,sinx=1⇒cosx=0⇒tanx=0无意义.2.①(2006年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对于实数x,当且仅当n ≤x<n+1(n ∈N +)时,规定[x]=n.则不等式4[x]2-36[x] +45<0的解集为 .6 第一讲:高斯函数解:由4[x]2-36[x]+45<0⇒23<[x]<215⇒2≤[x]≤7⇒2≤x<8. ②(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)对任意的x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数,则满足[|x 2-1|]=10的x 的集合是( )(A)(-23,-11) (B)[11,23] (C)(-23,-11]∪[11,23) (D)[-23,-11)∪(11,23]解:因[|x 2-1|]=10⇔10≤|x 2-1|<11⇔-11<x 2-1≤-10,或10≤x 2-1<11⇔x ∈(-23,-11]∪[11,23),选(C).③(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程x [x]=29的实数解是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数). 解:显然x>0;①若x ≥3,则[x]≥3⇒x [x]≥27>29;②若0<x<2,则0≤[x]<2⇒x [x]<22=4<29;③若2≤x<3,则[x]=2⇒x 2=29 ⇒x223. 3.①(2011年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)方程x 2-8[x]+7=0的所有解为 .解:由x ≥[x]=872+x ⇒1≤x ≤7⇒[x]=1,2,3,4,5,6,7⇒x=1,33,41,7.②(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,且x 2-2008[x]+2007=0,则[x]的值是 .解:1,2005,2006,2007.③(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则方程[3x-465]-2x-1=0的解是 .解:设2x+1=k,则x=21-k ,3x-465=6389-k =k+6383-k ,于是原方程等价于[k+6383-k ]-k=0⇒[6383-k ]=0⇒0≤6383-k<1⇒338≤k<344⇒k=13,14⇒解是x=6,213. ④(2011年全国高中数学联赛四川预赛试题)设x 为实数,定义[x]为不小于x 的最小整数,例如[π]=4,[-π]=-3,关于实数x 的方程[3x+1]=2x-21的全部实根之和等于 . 解:设2x-21=k ∈Z,则x=412+k ,3x+1=k+1+432+k ,于是原方程等价于[432+k ]=-1,即-2<432+k ≤-1⇒-211<k ≤-27⇒k=-5,-4⇒x=-49,-47⇒所有实根之和为-4. 5.方程综合:[例5]:(1998年加拿大数学奥林匹克试题.2009年全国高中数学联赛安徽预赛试题)求方程[2x ]+[3x ]+[7x ]=x 的所有解([a]表示不超过实数a 的最大整数).[解析]:由方程知解x 是整数,设x=42p+q(p ∈Z,q ∈{0,1,…,41}),则(21p+[2q ])+(14p+[3q ])+(6p+[7q ])=42p+q ⇒[2q ]+[3q ]+[7q]=p+q ⇒q=0,p=0,x=0;q=1,p=-1,x=-41;q=2,p=-1,x=-40;q=3,p=-1,x=-39,…,因此,方程的解集为{0, -6,-l2,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,- 51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}.第一讲:高斯函数 7 [练习5]:1.(2010年全国高中数学联赛福建预赛试题)将方程x 3-3[x]=4的实数解从小到大排列得x 1,x 2,…,x k ,则x 13+x 23+…+x k 3的值为 ([x]表示不超过x 的最大整数).解:由x-1<[x]≤x;①当x ≥3时,x 3-3[x]≥x 3-3x=x(x 2-3)≥3(32-3)=18;②当x ≤-3时,x 3-3[x]<x 3-3(x-1)=x(x 2-3)+3≤ -3[(-3)2-3]+3=-15;③当-3<x<3时,[x]=-3,-1,-1,0,1,2;若[x]=-3,则x 3=3[x]+4=-5,不合要求;若[x]=-2,则x 3=3[x]+4= -2⇒x=-32,合要求;若[x]=-1,则x 3=3[x]+4=-1,不合要求;若[x]=0,则x 3=3[x]+4=4,不合要求;若[x]=1,则x 3=3[x]+4= 7⇒x=37,合要求;若[x]=2,则x 3=3[x]+4=10⇒x=310,合要求⇒(-32)3+(37)3+(310)3=15.2.①(1989年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示x 的整数部分,{x}=x −[x],则方程[x 3]+[x 2]+[x]={x}−1的所有实数根是 .解:由[x 3]+[x 2]+[x]∈Z ⇒{x}−1∈Z ⇒{x}=0⇒x ∈Z ⇒x 3+x 2+x=-1⇒(x+1)(x 2+1)=0⇒x=-1.②(1991年上海市高中数学竞赛试题)求满足[x 2−2x]=[x]2−2[x]的一切实数x.其中[x]表示不超过x 的最大整数. 解:设[x]=n,x-[x]=α(0≤α<1),则x 2−2x=(n+α)2-2(n+α)=n 2-2n+α2+2(n-1)α,所以原方程等价于[n 2-2n+α2+2(n-1)α]=n 2-2n ⇔[α2+2(n-1)α]=0⇔0≤α2+2(n-1)α<1;当α=0时,不等式成立,此时,x=n;当α≠0时,由0≤α2+2(n-1)α<1⇔0<α<1)1(2+-n -(n-1)⇔0<x-n<1)1(2+-n -(n-1)⇔x ∈(n,1)1(2+-n +1)(n=1,2,…). ③(1993年上海市高中数学竞赛试题)自然数x 使得[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x7]=1993.则x=_____. 解:由[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x 7]=1993⇒[x]<1993⇒x<1994⇒[！x 7]=0⇒[x]+[！x 3]+[！x5]=1993⇒x>5！;设x=5！n+r(0≤r<5！=120)⇒(120n+r)+(20n+[6r ])+n=1993⇒141n+r+[6r ]=1993=14×141+19⇒n=14,r+[6r]=19⇒r=17⇒x=1697. 3.①(2007年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)求正整数n,使得[log 31]+[log 32]+[log 33]+[log 34]+…+[log 3n]=2007.其中[x]表示不超过x 的最大整数.解:因为当3k≤n<3k+1时,[log 3n]=k(k=0,1,2,…),且区间[3k,3k+1)内的正整数个数=3k+1-3k=2×3k,所以,S k =[log 31]+[log 32]+ [log 33]+[log 34]+…+[log 3(3k+1-1)]=2(0×30+1×31+2×32+…+k ×3k)=(23k-43)3k +43;令(23k-43)3k+43≤2007⇒(2k- 1)3k≤2675⇒k ≤5;S 5=1391,2007-1391=6×101⇒n=36+100=829. ②(2009年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)对整数n>1,设x=1+21+…+n1,y=lg2+lg3+…+lgn.则满足[x]=[y]的所有整数n 构成的集合为 ([a]表示不超过实数a 的最大整数). 解:{5,6}.6.方程应用:[例6]:(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为__________. [解析]:设该数为x,则(x-[x])x=[x]2⇒x=251+[x](x>0);由0<x-[x]<1⇒0<215-[x]<1⇒0<[x]<251+<2⇒[x]=1 ⇒x=251+. [练习6]:1.(2009年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设a 是整数,0≤b<1.若a 2=2b(a+b),则b= .解:若a 为负整数,则a 2>0,2b(a+b)<0,不可能,故a ≥0;于是a 2=2b(a ＋b)<2(a+1)⇒a 2-2a-2<0⇒0≤a<1+3⇒a=0,1,8 第一讲:高斯函数2;a=0时,b=0;a=1时,2b 2+2b-1=0⇒b=213-;a=2时,b 2+2b-2=0⇒b=3-1. 注:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的图形的面积是 .解:由[x]2+[y]2=50⇒[x]=±1,[y]=±7;[x]=±5,[y]=±5;[x]=±7,[y]=±1.每组解有4种情况,每种情况下的面积为1⇒图形的面积是12.②(2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)若[x]表示不超过x 的最大整数.求在平面直角坐标系xOy 中满足[x][y]=2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.解:设[x]=a,[y]=b,即所有这样的点(x,y)组成的图形就是a ≤x<a+1,b ≤y<b+1界定的区域,它的面积为1,又2011是质数,所以满足[x][y]=2011的点(x,y)组成的图形是4个面积为1的区域,即[x]=1,[y]=2011;[x]=2011,[y]=1;[x]=−1,[y] =−2011;[x]=−2011,[y]=−1.这些图形的总面积是4.③(2012年全国高中数学联赛新疆预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足[x][y]=2013的所有点(x,y)组成的图形面积为 .解:由[x][y]=2013=1×2013=3×671=11×183=33×61,共有16种情况,每种情形下的面积为1,所以,所有点(x,y)组成的图形面积为16.3.①(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)数(3+8)2n (n ∈N +),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)7解:设a n =(3+8)2n +(3-8)2n =(17+122)n +(17-122)n ,则a 1=34,a 2=342-2=1154,a n+2=34a n+1-a n ⇒a 1≡2(m0d8),a 2≡2(m0d8),a 3≡34×2-2≡2(m0d8)⇒a n ≡2(m0d8);又因0<(3-8)2n <1⇒[(3+8)2n ]=a n -1⇒[(3+8)2n]≡1(m0d8).选(A).②(2009年全国高中数学联赛吉林预赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .解:因(2+3)2010+(2-3)2010为整数,则(2+3)2010的小数部分为1-(2-3)2010,又因0<(2-3)2010<0.21005<(0.008)300,所以0.9<1-(2-3)2010<1,可知(2+3)2010的小数点后一位数字是9.7.等式问题:[例7]:(1987年第19届加拿大数学奥林匹克试题)对每一个正整数n,证明:[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[解析]:设正整数m 满足:m 2>4n+1;若m 为偶数,则m 2=4k>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+4>4n+3;若m 为奇数,则m 2=4k+1>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+5>4n+3;综上m 2>4n+3,即m>34+n ;特别地,取m=[14+n ]+1,满足:m 2>4n+1,则m>34+n⇒[14+n ]+1>34+n >14+n ≥[14+n ]⇒[34+n ]=[14+n ]⇒[14+n ]=[24+n ]=[34+n ];因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n >2n+1+2n=4n+1⇒n +1+n >14+n ⇒[n +1+n ]≥[14+n ];且(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+2(n+1)=4n+3⇒n +1+n <34+n ⇒[n +1+n ]<[34+n ]⇒[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[练习7]:1.①(1981年第44届莫斯科数学奥林匹克试题)试问:对x>1,下面的等式[][x ]=[x ]一定能成立吗？解:设[x ]=n,由[x ]≤x <[x ]+1⇒n ≤x <n+1⇒n 2≤x <(n+1)2⇒n 2≤[x ]<(n+1)2⇒n ≤][x <n+1⇒n ≤[][x ]<n+1⇒[][x ]=n ⇒[][x ]=[x ]成立.②(1948年第8届普特南数学奥林匹克试题)如果n 为一正整数,试证:[n +1+n ]=[24+n ].第一讲:高斯函数 9解:因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+[n+(n+1)]=4n+2⇒n +1+n <24+n ⇒[n +1+n ]≤[24+n ];若存在某个正整数n,使得[n +1+n ]≠[24+n ],则[n +1+n ]<[24+n ];设[24+n ]=k,则n +1+n <k ≤24+n⇒2n+1+2)1(+n n <k 2≤4n+2⇒2)1(+n n <k 2-(2n+1)≤2n+1⇒4n(n+1)<[k 2-(2n+1)]2≤4n(n+1)+1(因4n(n+1)与4n(n+1)+1是连续整数)⇒[k 2-(2n+1)]2=4n(n+1)+1⇒k 2=4n+2,但任意整数的平方被4除不余2,矛盾. 2.①(1991年第9届美国数学邀请赛试题)设r 是实数,且满足条件[r+10019]+[r+10020]+…+[r+10091]=546.求[100r]. 解:设[r]=n,r=n+α(0≤α<1),则[r+100i ]=[n+α+100i ]=n(当0<α+100i <1时),或n+1(当1≤α+100i<2时),设其中有 73-k 个n,k 个n+1,则(73-k)n+k(n+1)=546⇒n=7+7335k -⇒k=35,n=7⇒α+10056<1,α+10057≥1⇒10043≤α<10044⇒7+10043≤r<7+10044⇒743≤100r<744⇒[100r]=743. ②(1981年第13届加拿大数学奥林匹克试题)试证方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解. 解:设f(x)=[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x],则f(x)单调不减;由f(x)≤[(1+2+4+8+16+32)x]=[63x]≤63x ⇒x ≥6312345>195;f(196)=63×196=12348⇒x<196⇒x ∈(195,196);令t=x-195,则t ∈(0,1),且f(x)=[195+t]+[2(195+t)]+ [4(195+t)]+[8(195+t)]+[16(195+t)]+[32(195+t)]=63×195+[t]+[2t]+[4t]+[8t]+[16t]+[32t]<12285+0+1+3+7+15+31 =12342⇒方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解.3.(1989年国家理科试验班入学考试试题)通项为a n =b[c n +]+d 的数列{a n }:1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,其中每一个正奇数m 恰好连续出现m 次.上述b 、c 、d 是侍定的整数,求b+c+d 的值.解:由a n+1-a n =b([c n ++1]-[c n +]),由题知,a n+1-a n =0,或2⇒b([c n ++1]-[c n +])=0,或2;由c n ++1-c n +=cn c n ++++11≤1⇒c n +<c n ++1≤c n ++1⇒[c n +]<[c n ++1]≤[c n +]+1⇒[c n ++1]-[c n +]=0,或1;显然b ≠0,当b([c n ++1]-[c n +])=2时,b=2,[c n ++1]-[c n +]=1;由a 1=2[c +1]+d=1⇒c ≥-1,d=1-2[c +1];注意到2k a =2k-1⇒2[c k +2]+d=2k-1⇒2[c k +2]+1-2[c +1]=2k-1⇒[c k +2]-[c +1]=k-1对任意的k ∈N +恒。
2012全国高中数学联赛一试试题参考答案(B卷)2012.10.14
．
当且仅当 Ａ Ｍ⊥Ｂ Ｃ ， 即Ａ Ｂ＝ Ａ Ｃ＝ ５时， 上式等号成立． 故△Ａ Ｂ Ｃ面积的最大值为 １ ２ ． → → → 【 方法 ２ 】 因为 │Ａ Ｂ－ Ａ Ｃ Ｃ ａ ＝ ６ ， │＝ │Ｂ │＝ → ２ → ２ → → 所以 │Ａ Ｂ Ｃ ２ Ａ Ｂ ·Ａ Ｃ＝ ３ ６ ． │ ＋ │Ａ │ －
．
{
２ ｘ （ ｘ ） ， ≥０
则２ ｆ （ ｘ ）＝ ｆ （ ２ ｘ ） ． 槡 ２ － ｘ （ ｘ ＜ ０ ） ，
因此， 原不等式等价于 ｆ （ ｘ ＋ ａ ） （ ２ ｘ ） ． ≥ｆ 槡 因为 ｆ （ ｘ ） 在 Ｒ上是增函数， 所以 ｘ ＋ ａ ２ ｘ ， 即ａ ２－ １ ） ｘ ． ≥槡 ≥（ 槡 又ｘ ａ ， ａ ＋ ２ ］ ， 所以当 ｘ ＝ ａ ＋ ２时， （ ２－ １ ） ｘ 取得最大值为（ ２－ １ ） （ ａ ＋ ２ ） ． ∈［ 槡 槡 因此， ａ ２－ １ ） （ ａ ＋ ２ ） ， 解得 ａ ２ ． ≥（ ≥槡 槡 故ａ 的取值范围是［ ２ ， ＋ ． ∞） 槡 ８ ．一个均匀的正方体骰子的各面上分别标有数字 １ ， ２ ， …， ６ ， 每次投掷这样两个相同的骰子， 规定向上的两个面上的数字之和为这次投掷的点数． 那么， 投掷 ３次所得 ３个点数之积能被 １ ４整 除的概率是 解： １ ． ３ ６ １ 投出的点数是奇（ 偶） 数的概 ２＝ ， ６ ６ ． （ 用最简分数表示）
２ ０ １ ２年全国高中数学联赛试题（ Ｂ卷） 参考答案及评分标准 第 １页（ 共 ６页）
３ ．如图 １ ， 设椭圆
２ ２ ｘ ｙ １ （ ａ＞ｂ ＞ ０ ） 的左、 右焦点分别为 Ｆ 、 １ ２＋ ２＝ ａ ｂ
Ｆ ， 过点 Ｆ （ ｘ ， ｙ ） 、 Ｂ （ ｘ 、 ｙ ） 两点． 若 △Ａ Ｆ Ｂ内切 ２ ２ 的直线交椭圆于 Ａ １ １ ２ ２ １ ， 且│ｙ ｙ ４ ， 则椭圆的离心率为 圆的面积为 π │＝ １－ ２ 解： １ ． ２ ．
福建省教育厅、福建省科学技术协会关于公布全国高中数学联赛福建
福建省教育厅、福建省科学技术协会关于公布全国高中数学
联赛福建赛区获奖名单的通知
【法规类别】教育综合规定
【发文字号】闽教基[2008]82号
【发布部门】福建省教育厅福建省科学技术协会
【发布日期】2008.11.26
【实施日期】2008.11.26
【时效性】现行有效
【效力级别】XP10
福建省教育厅、福建省科学技术协会关于公布全国高中数学联赛福建赛区获奖名单的通
知
（闽教基〔2008〕82号）
各设区市教育局、科协：
由省教育厅、省科协委托省数学学会举办的“2008年全国高中数学联赛福建赛区”的竞赛工作已结束，共评出一等奖41名、二等奖53名、三等奖59名，现将获奖学生及指导教师名单（见附件）予以公布，请通知有关学校、获奖学生及指导教师。
二○○八年十一月二十六日附件：
2008年全国高中数学联赛福建赛区获奖学生及指导教师名单。
全国高中数学联赛福建赛区
李毅
福州一中
陈德燕
许恭瀚
泉州五中
赵清木
三
等
奖
（67名）
三
等
奖
（67名）
陈楷民
厦门双十中学
王成焱
翁智荣
莆田一中
吴天然
彭钦一
龙岩一中
方秦金
陈雨薇
泉州五中
杨苍洲
叶智恺
福州一中
丘远青
叶韫盛
福建师大附中
连信榕
许晓毅
安溪一中
陈荣海
苏楠淇
厦门双十中学
赵祥枝
陈明豪
长乐一中
刘宇璋
黄一帆
泉州十一中
柳明全
卢皓川
福州一中
苏文新
郑文俊
福州一中
宋梅玉
傅坤隆
泉州七中
赖艳红
蔡崇泽
晋江养正中学
周彩瑛
陈炳森
漳州一中
冯真丽
丁嘉靖
泉州五中
李晖
黄垚开
永定一中
李辉
包迪
福州三中
耿熹
连庭
泉州五中
苏建民
郑思鹏
福州一中
宋梅玉
陈轶伦
厦门一中
李寅童
留永信
晋江季延中学
陈煌图
黄泽龙
厦门一中
张帆
洪世鑫
南安一中
梁淮森
江旭
厦门外国语学校
周志伟
陈晓灿
永春一中
2012年全国高中数学联赛福建赛区
获奖学生及指导教师名单
奖次
姓名
所在学校
指导教师
一
等
奖
（41名）
李君诚
龙岩一中
方秦金
陈景林
2012年全国初中数学竞赛福建赛区获奖学生及指导教师名单
阙开煜
李昱丞
同安一中
李葵阳
蒋书凝
泉州实验中学
王冠
林波阳
泉州实验中学
叶荣川
涂常和
晋江南区中学
张国强
王昕韬
泉州现代中学
张建南
叶栋梓
厦门市汀溪中学
陈清同
杨均晖
泉州实验中学
吕海斌
姚璐
永春华侨中学
王月真
黄玲玲
泉州现代中学
张建南
吴书涵
泉州实验中学
杨伟纯
谢树珏
永春华侨中学
谢雅礼
祝梦超
泉州实验中学
王冠
赵育君
厦门一中
黄晚玉
卓若凡
长乐朝阳中学
陈锦秀
陈董泽
漳浦英才学校
林大元
董惠清
福鼎太姥山中学
方光德
方啸
霞浦一中
罗惠青
胡哲扬
诏安一中
许美妹
黄树东
南靖实验中学
庄响全
林琼宇
建阳二中
李 敏
孙黄铄
东山二中
陈进喜
吴岳展
南靖实验中学
解勇
张世杰
古田新城中学
李建法
林维贵
宁德树德中学
申敏陆
吴军
南靖实验中学
李勤
张介宇
宁德蕉城中学
王瀚枢
泉州第三中学
洪伟红
林吴曦
仙游私立一中
陈勇辉彭书浩泉来自实验中学刘联车刘佳芸
泉州实验中学
吴剑滨
许景毅
泉州现代中学
张建南
杜泽虎
泉州实验中学
吴剑滨
何宇杰
泉州实验中学
李瑞平
林锦坤
泉州现代中学
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郑文俊
福州一中
宋梅玉
傅坤隆
泉州七中
赖艳红
蔡崇泽
晋江养正中学
周彩瑛
陈炳森
漳州一中
冯真丽
丁嘉靖
泉州五中
李晖
黄垚开
永定一中
李辉
包迪
福州三中
耿熹
连庭
泉州五中
苏建民
郑思鹏
福州一中
宋梅玉
陈轶伦
厦门一中
李寅童
留永信
晋江季延中学
陈煌图
黄泽龙
厦门一中
张帆
洪世鑫
南安一中
梁淮森
江旭
厦门外国语学校
周志伟
陈晓灿
永春一中
许波
叶豪
大田一中
郑锐
严炜
泉州五中
黄寒凝
二
等
奖
（51名）
陈天乐
福建师大附中
林峰
康泽淇
厦门双十中学
赵祥枝
苏室勋
同安一中
谢继林
杨铮
厦门双十中学
赵祥枝
张禛
厦门一中
周翔
林超超
泉州五中
许华军
郑文超
南安一中
陈聪贤
二
等
奖
（51名）
林鹏凯
厦门双十中学
赵祥枝
林子楹
厦门一中
徐小平
钟少涵
龙岩一中
方秦金
蔡熠
莆田一中
吴天然
郑俊萍
许悦
厦门双十中学
张瑞炳
林泽宇
长乐一中
刘宇璋
郑炜豪
泉州实验中学
刘晓波
王雨亭
厦门双十中学
张瑞炳
陈 龙
漳平一中
叶培杰
三
等
奖
（67名）
林炳辉
长乐一中
刘宇璋
郭颖超
仙游一中
刘金星
陈兵
莆田一中
吴天然
吴婧旸
漳州实验中学
郭欢
陈扬锐
尤溪一中
陈师民
陈晓越
莆田一中
吴天然
林毓斌
仙游一中
黄开云
谢新锋
南安一中
梁淮森
罗飞扬
安溪一中
2012年全国高中数学联赛福建赛区
获奖学生及指导教师名单
奖次
姓名
所在学校
指导教师
一
等
奖
（41名）
李君诚
龙岩一中
方秦金
陈景林
福州一中
王欣
苏肇祺
厦门双十中学
赵祥枝
陈洁锋
南安一中
林建源
吴秉杰
福建师大附中
连信榕
陈景发
泉州七中
杜成北
黄熹之
福州一中
王欣
赖泽华
泉州五中
陈显
林永锋
泉州七中
曹东方
高登峰
长乐一中
刘宇璋
郑予凡
陈靖国
安溪一中
叶良清
张其斌
长汀一中
魏木水
谢雨彤
宁德一中
金新雄
汪慧铭
泉州七中
纪建灵
石壮壮
厦门双十中学
张瑞炳
白蔚楠
安溪一中
苏文新
卢长胜
连城一中
黄椿
施宇
福清一中
余小萍
陈思杰
厦门一中
徐小平
黄哲雄
泉州一中
陈志文
吴超
厦门双十中学
许波
三
等
奖
（67名）
李甲辰
安溪一中
苏文新
黄志喜
福鼎一中
丁合剑
戴飞栋
厦门双十中学
张瑞炳
厦门双十中学
赵祥枝
三
等
奖
（67名）
温拓扑
福州一中
卓道章
林譞
福州一中
郑超翔
杨亦萍
福州一中
郭艺斌
杜启明
泉州实验中学
刘晓波
李庆涛
三明一中
廖新武
练成龙
三明一中
黎明
王震
莆田一中
林敏
曾奕辉
三明二中
林保平
张德洁
尤溪一中
陈祥湾
李响
厦门一中
徐小平
庄镕胜
厦门双十中学
赵祥枝
卓杰鹏
泉州七中
杜成北
蔡宇超
漳州一中
林良斌
戴志聪
泉州七中
赖呈杰
二
等
奖
（51名）
陈垚鑫
泉州五中
黄寒凝
林青恺
福安一中
林旭
杨以恒
泉州五中
黄寒凝
曾武贤
漳州立人学校
林智生
苏杭
厦门双十中学
许波
叶茂胜
晋江养正中学
周彩瑛
林志常
泉州七中
林志敏
王冬生
李毅
福州一中
陈德燕
许恭瀚
泉州五中
赵清木
三
等
奖
（67名）
三
等
奖
（67名）
陈楷民
厦门双十中学
王成焱
翁智荣
莆田一中
吴天然
彭钦一
龙岩一中
方秦金
陈雨薇
泉州五中
杨苍洲
叶智恺
福州一中
丘远青
叶韫盛
福建师大附中
连信榕
许晓毅
安溪一中
陈荣海
苏楠淇
厦门双十中学
赵祥枝
陈明豪
长乐一中
刘宇璋
黄一帆
泉州十一中
柳明全
卢皓川
福州一中
莆田一中
吴天然
刘雨晨
龙岩一中
方秦金
岳宇
福州一中
王欣
刘定峰
厦门一中
张帆
罗融
厦门双十中学
赵祥枝
吴茂恺
福清一中
陈贻康
王海滨
永春一中
李金进
谢宇航
南安一中
梁淮森
潘兴禄
福鼎一中曹齐平许良坤源自厦门双十中学赵祥枝
林迪熙
厦门外国语学校
周志伟
钱成德
漳州一中
林良斌
许泽君
福州一中
林玲
颜仁学
南安一中
梁淮森
钟玺峰
泉州实验中学
刘晓波
陈德燕
张策
南平一中
周文绥
柯薇
福州一中
郭艺斌
杜一阳
厦门一中
张帆
杨婉娴
漳州实验中学
郭欢
林弘韬
福建师大附中
连信榕
冯楷锐
泉州五中
郭智恒
吴剑灿
莆田一中
吴天然
严江鹏
仙游私立一中
林凤芬
肖智超
漳州正兴学校
朱金海
程思衍
厦门双十中学
李祥增
张晟
三明二中
林保平
王晨昀
南安国光中学
陈俊青
郑蓊睿
福州一中
丘远青
林焱
仙游一中
刘金星
林江滨
三明二中
林保平
范兴鹏
永定一中
李辉
林真
厦门外国语学校
吴铭辉
林杰
安溪一中
陈荣海
林继航
福州一中
夏彦婴
洪伟峻
福州一中
宋梅玉
郭靖邦
福建师大附中
连信榕
高志杰
安溪一中
叶良清
许昭贤
安溪一中
苏文新
蔡健
福州一中
郭艺斌
林雨
福州一中
丘远青
陈泽群
南安一中
梁淮森
林若轩
厦门外国语学校
周志伟
黄安祥
厦门双十中学
郭俊芳
洪景渠
厦门双十中学
福州三中
林风
林楠
莆田一中
吴天然
蔡宇涵
福州一中
陈德燕
涂霁原
福建师大附中
黄振胜
张毅
厦门外国语学校
周志伟
郑婉怡
长乐一中
刘宇璋
林坚
福建师大附中
连信榕
吴艺杰
厦门一中
徐小平
郑延敏
厦门一中
周翔
刘淇禄
厦门双十中学
许波
付祖悦
福州一中
李迅
林梓楠
厦门一中
徐小平
一
一
等
奖
（41名）
陈集懿
仙游一中
刘金星
张泽华
福州一中
林玲
刘锦鹏