第十七届北京市大学生数学竞赛甲乙组试题与解答

合集下载

约数与倍数竞赛辅导

一．选择题（共31小题）1．在1，2，3，…，99，100这100个自然数中，不是2的倍数，不是3的倍数，且不是5的倍数的数共有k个，则k＝（）A．25 B．26 C．27 D．282．若非零自然数a，b的最大公约数与最小公倍数之和恰等于a，b的乘积，则（）10＝（）A．1 B．1024 C．2104 D．20163．从1，2，3，…，1000中找n个数，使其中任两个数的和是36的倍数，则n的最大值为（）A．25 B．26 C．27 D．284．将2，6，10，14，…中3或5的倍数删去后，剩下的数列（串）中，第90个是（）A．354 B．674 C．866 D．9345．13个不同的正整数的和为1615，则它们的公约数的最大值是（）A．25 B．21 C．17 D．136．2012的所有正约数的和是（）A．3528 B．2607 C．2521 D．20127．1998的不同约数的个数是（）A．20 B．16 C．14 D．128．已知自然数a，b，c的最小公倍数为48，而a和b的最大公约数为4，b和的c最大公约数为3，则a+b+c的最小值是（）A．55 B．35 C．31 D．309．已知自然数a、b、c满足：①a和b的最小公倍数为24；②a和b的最大公约数为6；③c 和a的最小公倍数为36，则满足上述条件的（a，b，c）共有（）组．A．4 B．3 C．2 D．110．在正整数范围内，方程组（x，y）＝60，（y，z）＝90，[z，x]＝360，y≤1000有多少组解其中（）、[]分别表示最大公约数和最小公倍数．A．3 B．6 C．12 D．2411．把1，2，3，…，19分成几个组，每组至少1个数，使得有2个数以上的各组中任意2个数的最小公倍数不在同一组，则至少要分多少组（）A．9 B．7 C．6 D．512．已知两个自然数a＜b，a+b＝78，a、b的最小公倍数是[a、b]＝252，则b﹣a＝（）A．50 B．22 C．14 D．613．已知x和y都是自然数，x和y的最大公约数是2，最小公倍数是100，则x2+y2＝（）A．2516 B．10004C．2516或10004 D．无法计算14．两个失准的时钟上，一昼夜第一个钟快8分钟，第二个钟慢4分钟，当两个时钟都指向标准时间中午12点时，经过T个昼夜之后，它们又同时指向中午12点钟，则T的最小值为（）个昼夜．A．120 B．180 C．240 D．36015．某班学生不足50人，在一次数学测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则不及格的学生有（）A．0人B．1人C．3人D．8人16．古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（）A．是2019年B．是2031年C．是2043年D．没有对应的年号17．用（a，b）表示a，b两数的最大公约数，[a，b]表示a，b两数的最小公倍数，例如（4，6）＝2，（4，4）＝4．[4，6]＝12，[4，4]＝4，设a，b，c，d是不相等的自然数，（a，b）＝P，（c，d）＝Q，[P，Q]＝X；[2，6]＝M，[c，d]＝N，（M，N）＝Y．则（）A．X是Y的倍数，但X不是Y的约数B．X是Y的倍数或约数都有可能，但X≠YC．X是Y的倍数、约数或X＝Y三者必居其一D．以上结论都不对18．2003和3002的最大公约数是（）A．1 B．7 C．11 D．1319．360×473和172×361这两个积的最大公约数是（）A．43 B．86 C．172 D．420．在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（）A．33 B．34 C．35 D．3721．用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（）块．A．6 B．8 C．12 D．1622．2001的正约数的个数是（）A．3 B．4 C．6 D．823．所有形如的六位数（a，b，c分别是0～9这十个数之一，可以相同，但a≠0）的最大公约数是（）A．1001 B．101 C．13 D．1124．设a与b是正整数，且a+b＝33，最小公倍数[a，b]＝90，则最大公约数（a，b）＝（）A．1 B．3 C．11 D．925．三角形三边长a，b，c都是整数，且[a，b，c]＝60，（a，b）＝4，（b，c）＝3（注：[a，b，c]表示a，b，c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数），则a+b+c的最小值（）A．30 B．31 C．32 D．3326．若三个连续自然数的最小公倍数为660，则这三个数分别是（）A．9，10，11 B．10，11，12 C．11，12，13 D．12，13，14 27．105的负约数的和等于（）A．﹣105 B．﹣87 C．﹣86 D．﹣19228．设a、b为正整数（a＞b），p是a、b的最大公约数，q是a、b的最小公倍数，则p，q，a，b的大小关系是（）A．p≥q≥a＞b B．q≥a＞b≥p C．q≥p≥a＞b D．p≥a＞b≥q 29．两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（）A．273 B．819 C．1199 D．191130．下面的四句话中正确的是（）A．正整数a和b的最大公约数大于等于aB．正整数a和b的最小公倍数大于等于abC．正整数a和b的最大公约数小于等于aD．正整数a和b的公倍数大于等于ab31．祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610，那么祖孙两人今年的年龄分别是（）A．70岁、23岁B．69岁、22岁C．115岁、14岁D．114岁、13岁二．填空题（共10小题）32．记20162的所有正约数为d1，d2，…，d m，则++…+＝．33．清溪汽车站开设三条线路的公共汽车，①路车每4分钟开出一趟，③路车每6分钟开出一趟，⑦路车每9分钟开出一趟，如果他们是上午7点在汽车站同时开出，则他们下次同时开出的时间是．34．锐角三角形ABC的三边长BC＝a，CA＝b，AB＝c．a、b、c均为整数，且满足如下条件：a、b的最大公约数为2，a+b+c＝，则△ABC的周长为．35．记者向五羊初级中学校长询问学生人数，校长回答说不足5000人，其中初一、初二、初三分别占，，，余下的是特别设立的“奥林匹克班”的学生，学校在学生中成立了数学爱好者协会，会员包含了初一学生的，初二学生的，初三学生的，而会员的是“奥林匹克班”的学生，则数学爱好者协会总人数为．36．以（）、[]分别表示最大公约数和最小公倍数，则（[[（24，60，84），1，20]，7，5，3]，19）＝．37．（+，1994×1995）＝．38．设m和n为大于0的整数，且3m+2n＝225，如果m和n的最大公约数为15，m+n＝．39．用若干条长为1的线段围成一个长方形，长方形的长和宽的最大公约数是7，最小公倍数是7×20．则围成这个长方形最少需要条长为1的线段，它的面积是．40．已知a、b和9的最大公约数为1，最小公倍数为72，则a+b的最大值是41．已知m，n，l都是两位正整数，且它们不全相等，它们的最小公倍数是385，则m+n+l 的最大值是，最小值是．参考答案与试题解析一．选择题（共31小题）1．在1，2，3，…，99，100这100个自然数中，不是2的倍数，不是3的倍数，且不是5的倍数的数共有k个，则k＝（）A．25 B．26 C．27 D．28【分析】首先求出在1～100的自然数中，2、3、5的倍数分别有多少个，然后求出2和3的公倍数、2和5的公倍数、3和5的公倍数、2、3和5的公倍数分别有多少个，再求出1～100中既不是2的倍数又不是3的倍数也不是5的倍数共有多少个即可．【解答】解：在1～100的自然数中，2的倍数有：100÷2＝50（个），3的倍数有：100÷3＝33（个）…1，5的倍数有：100÷5＝20（个），2和3的公倍数有：100÷6＝16（个）…4，2和5的公倍数有：100÷10＝10（个），3和5的公倍数有：100÷15＝6（个）…10，2、3和5的公倍数有：100÷30＝3（个）…10，所以1～100中既不是2的倍数又不是3的倍数也不是5的倍数共有：100﹣（50+33+20）+（16+10+6）﹣3＝100﹣103+32﹣3＝26（个），即k＝26．故选：B．【点评】此题主要考查了约数与倍数，数的整除的特征问题的应用，解答此题的关键是熟练掌握是2、3、5的倍数的特征．2．若非零自然数a，b的最大公约数与最小公倍数之和恰等于a，b的乘积，则（）10＝（）A．1 B．1024 C．2104 D．2016【分析】此题设这两个非零自然数a，b为mx，nx（其中m，n，x都是正整数，且m，n 互质），然后根据题意可得mx•nx＝mnx+x，再变形为x＝1+，再根据x是正整数进行分析论证得出答案．【解答】解：设这两个非零自然数a，b为mx，nx（其中m，n，x都是正整数，且m，n 互质），所以mx•nx＝mnx+x，所以x＝1+，∵m，n，x都是正整数，且m，n互质，∴m＝n＝1，∴x＝1+1＝2，∴a＝b＝2，∴（）10＝（）10＝210＝1024．故选：B．【点评】此题主要考查了学生对最大公约数与最小公倍数之和的理解和掌握．要求学生能正确运用其解答问题．此题较难，是好题．3．从1，2，3，…，1000中找n个数，使其中任两个数的和是36的倍数，则n的最大值为（）A．25 B．26 C．27 D．28【分析】不妨设找出的任意三个数为a、b、c，根据条件可推出a、b、c都是18的倍数，进而可得到找出的n个数都是18的倍数．由于找出的任意两个数的和是36的倍数，因此找出的n个数都是18的奇数倍或都是18的偶数倍．然后分别讨论就可解决问题．【解答】解：不妨设找出的任意三个数为a、b、c，由题可得：a+b＝36n1①，a+c＝36n2②，b+c＝36n3③，其中n1、n2、n3是正整数．由①+②﹣③得：2a＝36（n1+n2﹣n3），即a＝18（n1+n2﹣n3）．则a是18的倍数．同理可得：b、c都是18的倍数．由于a、b、c表示任意的三个数，因此找出的n个数都是18的倍数．由于找出的任意两个数的和是36的倍数，因此找出的n个数都是18的奇数倍或都是18的偶数倍．①若找出的n个数都是18的奇数倍，则找出的最大的数可表示为18（2n﹣1）．解18（2n﹣1）≤1000得：n≤．所以n取到最大值，为28．②若找出的n个数都是18的偶数倍，则找出的最大的数可表示为18×2n即36n．解36n≤1000得：n≤．所以n取到最大值，为27．综上所述：n的最大值为28．故选：D．【点评】本题注重对推理能力的考查，而证到找出的n个数都是18的倍数是解决本题的关键．4．将2，6，10，14，…中3或5的倍数删去后，剩下的数列（串）中，第90个是（）A．354 B．674 C．866 D．934【分析】在数列2，6，10，14，…中3的倍数是3个一循环，5的倍数是5个一循环，3和5的倍数是15个一循环，依此可知15个一循环中3或5的倍数删去后，剩下8个，由于90÷8＝11…2，可知是第11个循环的第4个，依此即可求解．【解答】解：观察数列2，6，10，14，…中3的倍数是3个一循环，5的倍数是5个一循环，3和5的倍数是15个一循环，依此可知15个一循环中3或5的倍数删去后，剩下8个，由于90÷8＝11…2，是第11个循环的第4个，15×11+4＝165+4＝169，则第90个是169×4﹣2＝676﹣2＝674．故选：B．【点评】考查了约数与倍数，本题关键是熟悉3或5的倍数的特点，难点是得到第90个是第11个循环的第4个．5．13个不同的正整数的和为1615，则它们的公约数的最大值是（）A．25 B．21 C．17 D．13【分析】应先把1615分解，找到约数可能的数．再设出最大公约数，找出13个数最小值，进而求得最大公约数．【解答】解：设13个不同的正整数的最大公约数为d，则，13个不同的正整数为：da1、da2、…、da13为互不相同正整数，1615＝da1+da2+…+da13＝d（a1+a2+…+a13）a1+a2+…+a13最小为1+2+…+13＝（13+1）×13÷2＝91，1615＝5×17×19，1615的约数中，大于91的最小约数是5×19＝95，即：a1+a2+…+a23最小为95，故最大公约数d可能达到的最大值＝1615÷95＝17．故选：C．【点评】解决本题的关键是先得到1615可能的约数，再求得13个数除去约数外最小的和．6．2012的所有正约数的和是（）A．3528 B．2607 C．2521 D．2012【分析】将2012表示成几个数相乘的形式，然后得出2012的所有约数，继而求和即可得出答案．【解答】解：2012＝1×2012＝2×1006＝4×503，因为503是质数，∴2012的约数有：1、2012、2、1006、4、503，∴2012的所有正约数的和是1+2+4+503+1006+2012＝3528．故选：A．【点评】此题考查了最大公约数和最小公倍数的知识，解答本题的关键是将2012表示成几个因数相乘的形式，得出2012的约数，难度一般．7．1998的不同约数的个数是（）A．20 B．16 C．14 D．12【分析】由于1998＝2×33×37，于是可以分别求出单个质因数组成的约数、有两个质因数的约数、有三个质因数组成的约数个数，然后求和即可．【解答】解：1998＝2×33×37，单个质因数组成的约数有：2、3、9、27、37，有两个质因数的约数有：6、18、54、74、111、333、999，有三个质因数组成的约数有：222、666、1998，再加上约数1，共有16个约数，故选：B．【点评】本题主要考查最大公约数与最小公倍数的知识点，解答本题的关键是熟练掌握质因数的知识，此题难度不大．8．已知自然数a，b，c的最小公倍数为48，而a和b的最大公约数为4，b和的c最大公约数为3，则a+b+c的最小值是（）A．55 B．35 C．31 D．30【分析】根据a，b，c的最小公倍数为48确定a，b，c的取值范围，然后根据3和4分别是b的约数得出b的最小值，继而可分别得出c及a的最小值，代入计算即可得出答案．【解答】解：a，b，c最小公倍数是48，所以它们都是48的约数，则a，b，c只能在1，2，3，4，6，8，12，16，24，48中取值，又∵a，b最大公约数是4；b，c最大公约数是3；∴b的最小值是12，c最小值为3，a的最小值是16，则a+b+c的最小值＝12+3+16＝31．故选：C．【点评】本题考查了最大公约数及最小公倍数的知识，关键是先求出a，b，c的取值范围，根据3和4分别是b的约数得出b的最小值，难度一般．9．已知自然数a、b、c满足：①a和b的最小公倍数为24；②a和b的最大公约数为6；③c 和a的最小公倍数为36，则满足上述条件的（a，b，c）共有（）组．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据a和b的最小公倍数为24，a和b的最大公约数为6可得出a、b只能在6，12，24中取值，再由c和a的最小公倍数为36，可确定符合题意的a，b，c的组合，进而得出答案．【解答】解：∵a和b的最小公倍数为24，∴a、b可取1，2，3，4，6，8，12，24，又∵a和b的最大公约数为6，∴a、b只在6，12，24中取值，若要满足c和a的最小公倍数为36，则只有a＝6，c＝36，b＝24时成立．故（a，b，c）＝（6，24，36），共一组．故选：D．【点评】本题考查了最大公约数及最小公倍数的知识，难度一般，解答本题的关键是根据①②的条件得出a、b的取值范围．10．在正整数范围内，方程组（x，y）＝60，（y，z）＝90，[z，x]＝360，y≤1000有多少组解其中（）、[]分别表示最大公约数和最小公倍数．A．3 B．6 C．12 D．24【分析】根据60、90分别是y的约数可得出y＝180k（k取正整数），结合y≤1000讨论k的值，然后每一个y值可得出符合题意的x、z的组合，继而可得出答案．【解答】解：由题意得，60、90都是y的约数，∴y＝180k（k取正整数），又∵y≤1000，则k≤5；①当k＝1时，y＝180，∵（x，y）＝60，（y，z）＝90，[z，x]＝360，∴可得x＝120，z＝90，则（x，z）＝（120，90），此时有1组解．②当k＝2时，y＝360，∵（x，y）＝60，（y，z）＝90，[z，x]＝360，没有符合题意的x和z，此时没有解．③当k＝3时，y＝540，∵（x，y）＝60，（y，z）＝90，[z，x]＝360，则（x，z）＝（120，90），此时有1组解．④当k＝4时，y＝720，∵（x，y）＝60，（y，z）＝90，∴可得x＝60，z＝90，又∵[z，x]＝360，∴没有符合题意的x和z，此时没有解．⑤当k＝5时，y＝900，∵（x，y）＝60，（y，z）＝90，∴可得x＝60或120或360，z＝90或360，又∵[z，x]＝360，则（x，z）＝（120，90），此时有1组解．综上可得共有3组解．故选：A．【点评】本题考查了最大公约数及最小公倍数，根据题意得出y＝180k是解答本题的关键，难点在于分类讨论k的值时，判断符合题意的x、z的组合，难度较大，要求细心解答．11．把1，2，3，…，19分成几个组，每组至少1个数，使得有2个数以上的各组中任意2个数的最小公倍数不在同一组，则至少要分多少组（）A．9 B．7 C．6 D．5【分析】首先1不能和任何一个数一组，然后根据2、4、8、16不能在一组，故以这四个数自立一组，先尽量往2所在的组填数，依次填写4、8、16，如果有不兼容的就再另行分组，由此可得出答案．【解答】解：①1不能和任何一个数一组，故1自立一组；②第二组可为：2，3，5，7，11，13，17，19；③第三组为：4，6，9，10，14，15，④第四组为：8，12，18，19；⑤第五组为：16；以上分组中的数在符合题意的基础上可以不固定，但是1、2、4、8、16需要各自一组，即至少分5组．故选：D．【点评】本题考查了最大公约数及最小公倍数的知识，解答本题的关键是得出2、4、8、16不能在一组，难点在于往这四个数所在的组瑱数．12．已知两个自然数a＜b，a+b＝78，a、b的最小公倍数是[a、b]＝252，则b﹣a＝（）A．50 B．22 C．14 D．6【分析】此题为选择题，可利用排除法进行求解．【解答】解：A、若b﹣a＝50，b＝64，a＝14，a，b的最小公倍数是[a、b]＝448，故本B、若b﹣a＝22，b＝50，a＝28，a，b的最小公倍数是[a、b]＝700，故本选项错误；C、若b﹣a＝14，b＝46，a＝32，a，b的最小公倍数是[a、b]＝736，故本选项错误；D、若b﹣a＝6，b＝42，a＝36，a，b的最小公倍数是[a、b]＝252，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查最小公倍数的知识，注意对这一概念的熟练掌握，同时要注意排除法在选择题中的灵活运用．13．已知x和y都是自然数，x和y的最大公约数是2，最小公倍数是100，则x2+y2＝（）A．2516 B．10004C．2516或10004 D．无法计算【分析】根据题意可得x和y的乘积是200，又因为x和y的最大公约数是2，可知200＝2×100＝4×50，所以分情况讨论即可．【解答】解：∵最小公倍数是100，∴x和y的乘积是200，∵200＝2×100＝4×50（因有最大公约数2，两者均为偶数），∴①x＝4，y＝50，或②x＝2，y＝100，∴①x2+y2＝2516；②x2+y2＝10004．故选：C．【点评】此题主要考查了最大公约数和最小公倍数的知识，解题的关键是认真审题，弄清题意．14．两个失准的时钟上，一昼夜第一个钟快8分钟，第二个钟慢4分钟，当两个时钟都指向标准时间中午12点时，经过T个昼夜之后，它们又同时指向中午12点钟，则T的最小值为（）个昼夜．A．120 B．180 C．240 D．360【分析】分别得到快钟和慢钟在标准时间里回到12点的时间，求出其最小公倍数即可．【解答】解：24×60÷8＝180（个）；﹣﹣﹣﹣快钟每隔180个昼夜在标准时间里回到12点；24×60÷4＝360（个）；﹣﹣﹣﹣慢钟每隔360个昼夜在标准时间里回到12点；180和360的最小公倍数为360．【点评】本题通过实际问题考查了最小公倍数，得到两个失准的时钟再次回到标准时间的时间是解题的关键．15．某班学生不足50人，在一次数学测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则不及格的学生有（）A．0人B．1人C．3人D．8人【分析】在一次数学测验中有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则总人数一定能被2、3、7整除，求出2、3、7的最小公倍数，再找出小于50的即可解答．【解答】解：2、3、7的最小公倍数为42，42的倍数中小于50的只有42，故全班有42人，42×（1﹣）＝1人．故选：B．【点评】本题主要考查3个数的最小公倍数的求法，熟练掌握求最小公倍数的方法是解题的关键．16．古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（）A．是2019年B．是2031年C．是2043年D．没有对应的年号【分析】首先求得10与12的最小公倍数60．因而从丁亥年开始算，即可判定是否有甲亥年，具体是哪年．【解答】解：∵10与12的最小公倍数为60，∴按照天干与地支组合循环60次后又开始循环．故只要检测这60年即可．可知没有甲亥年．故选：D．【点评】本题考查最小公倍数．解决本题的关键是理解题意，天干地支循环是60年（天干10年与地支的最小公倍数），再重新循环．17．用（a，b）表示a，b两数的最大公约数，[a，b]表示a，b两数的最小公倍数，例如（4，6）＝2，（4，4）＝4．[4，6]＝12，[4，4]＝4，设a，b，c，d是不相等的自然数，（a，b）＝P，（c，d）＝Q，[P，Q]＝X；[2，6]＝M，[c，d]＝N，（M，N）＝Y．则（）A．X是Y的倍数，但X不是Y的约数B．X是Y的倍数或约数都有可能，但X≠YC．X是Y的倍数、约数或X＝Y三者必居其一D．以上结论都不对【分析】根据题意和最大公约数和最小公倍数的相关知识依次判断即可．【解答】解：A、取a，b，c，d为4，3，2，1，则X＝1，y＝2，X是y的约数，取a，b，c，d为4，2，3，1，则X＝2，y＝1，X是y的倍数，故本选项错误；B、再取a，b，c，d为5，3，2，1，则X＝y＝1，故本选项错误；C、再取a，b，c，d为6，3，2，1，则X＝3，y＝2，X既不是y的倍数也不是y的约数，故本选项错误；故选：D．【点评】本题考查了最大公约数和最小公倍数，牢记概念是关键．18．2003和3002的最大公约数是（）A．1 B．7 C．11 D．13【分析】先把两数的公约数找出来，再找出最大公约数即可．【解答】解：∵2003和3002的公约数是1，∴2003和3002的最大公约数是1．故选：A．【点评】本题考查了最大公约数的概念以及两个数最大公约数的求法，牢记概念是解题的关键．19．360×473和172×361这两个积的最大公约数是（）A．43 B．86 C．172 D．4【分析】解决此类问题一般需要将这两个式子分解质因数，但由于361是一个质数，我们只要将172分解，再看一看前面的式子中有没有这几个质因数就不难得出答案．【解答】解：∵361是质数且不能被473整除，172＝2×2×43，473＝43×11，360＝4×90，∴360×473和172×361这两个积的最大公约数是4×43＝172．故选：C．【点评】此题主要考查最大公约数的求法，熟练掌握特殊的最大公约数的求法是解题的关键．20．在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（）A．33 B．34 C．35 D．37【分析】在1﹣n之间，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，同时能被2和3整除的数有个．【解答】解：在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除的数有100÷2＝50（个）；能被2整除又能被3整除，即能被6整除的数有100÷6≈16（个），所以，能被2整除但不能被3整除的数的个数是50﹣16＝34（个）．故选：B．【点评】本题主要考查了有关于最大公约数与最小倍数的一道题．最小公倍数：①6及6的倍数能同时被2和3整除；②10及10的倍数能同时被2和5整除；③15及15的倍数能同时被3和5整除；④30及30的倍数能同时被2、3和5整除．21．用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（）块．A．6 B．8 C．12 D．16【分析】45与30的最小公倍数90就是所求正方形的边长，然后用该正方形的面积除以每一块砖的面积即为所求．【解答】解：∵[45，30]＝90（cm），∴所求正方形的面积是：90×90＝8100（cm）2，∴铺成该正方形所需的砖的块数为：8100÷（45×30）＝6（块）；故选：A．【点评】本题主要考查了最小公倍数在实际生活中的应用．22．2001的正约数的个数是（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】先分解质因数2001＝3×23×29，然后根据约数个数定理来解答．【解答】解：∵2001＝3×23×29，∴2001的约数应为8个：1，3，23，29，3×23，3×29，23×29，2001．故选：D．【点评】本题考查了最大公约数与最小公倍数的知识点，在解答此题时，用到了约数个数定理：对于一个数a可以分解质因数：a＝a1•a22a33…则a的约数的个数就是（r1+1）（r2+1）（r3+1）…需要指出来的是，a1，a2，a3…都是a的质因数．r1，r2，r3…是a1，a2，a3…的指数．比如，360＝23×32×5，所以360约数的个数是（3+1）×（2+1）×（1+1）＝24个．23．所有形如的六位数（a，b，c分别是0～9这十个数之一，可以相同，但a≠0）的最大公约数是（）A．1001 B．101 C．13 D．11【分析】首先表示出这个六位数，100000a+10000b+1000c+100a+10b+c，再进行分解因数，得出它们的最大公约数．【解答】解：∵100000a+10000b+1000c+100a+10b+c＝100100a+10010b+1001c＝1001（100a+10b+c）1001是四位数，比100a+10b+c大，∴最大公约数一定是1001．故选：A．【点评】此题主要考查了最大公约数，以及正确表示一个六位数，将这个六位数正确分解成两个因数是解决问题的关键．24．设a与b是正整数，且a+b＝33，最小公倍数[a，b]＝90，则最大公约数（a，b）＝（）A．1 B．3 C．11 D．9【分析】假设出（a，b）＝x，得出x是a，b，a+b及[a，b]的公约数，得出x的值是x ＝1或x＝3，进一步利用数的整除性知识进行分析，得出符合要求的答案．【解答】解：令（a，b）＝x，则x是a，b，a+b及[a，b]的公约数，故x是33和90的公约数，知x＝1或x＝3．当x＝1时，a与b互质，而a+b＝33，当a不能被3整除，则b不能被3整除，而[a，b]＝90，说明a、b至少有一个能被3整除．当a能被3整除，由a+b＝33，则b也能被3整除，故（a，b）≠1，即x≠1．当x＝3时，即有（a，b）＝3，∴ab＝x[a，b]，ab＝3×90＝32×5×6，而a+b＝33，∴a＝15，b＝18，（a，b）＝3．故选：B．【点评】此题主要考查了数的整除性以及最大公约数和互质等知识，利用整除性得出a，b的关系是解决问题的关键．25．三角形三边长a，b，c都是整数，且[a，b，c]＝60，（a，b）＝4，（b，c）＝3（注：[a，b，c]表示a，b，c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数），则a+b+c的最小值（）A．30 B．31 C．32 D．33【分析】首先分解60＝3×4×5，得出a，b，c中含的因数有4，3，5，由（a，b）＝4，（b，c）＝3得出a的最小值是4，b的最小值是3×4，进而得出c的最小值是3×5，从得出a+b+c的最小值．【解答】解：∵60＝2×2×3×5，∵（a，b）＝4，（b，c）＝3，∴a与b是4的倍数，b，c是3的倍数，∵[a，b，c]＝60，即a，b，c的最小公倍数是60，∴a，b，c中含的因数有4，3，5，∴当a＝4，b＝4×3＝12，c＝3×5＝15时，a+b+c的最小值是：4+4×3+3×5＝31．故选：B．【点评】此题主要考查了最大公约数与最小公倍数，得出a，b，c的最小值，是解决问题的关键．26．若三个连续自然数的最小公倍数为660，则这三个数分别是（）A．9，10，11 B．10，11，12 C．11，12，13 D．12，13，14【分析】设这三个数为x，x+1，x+2，根据三个连续自然数的最小公倍数为660，可得x|660，（x+1）|660，（x+2）|660，又由660＝2×2×3×5×11，即可得出答案．【解答】解：设这三个数为x，x+1，x+2，∵三个连续自然数的最小公倍数为660，∴x|660，（x+1）|660，（x+2）|660，又∵660＝2×2×3×5×11，∴这三个数分别10，11，12，故选：B．【点评】本题考查了最小公倍数，难度一般，关键是把660分解成几个质数的乘积，然后根据题意求解．27．105的负约数的和等于（）A．﹣105 B．﹣87 C．﹣86 D．﹣192【分析】只要考虑105的负约数肯定有﹣1和﹣105，两个加起来就﹣106，所以A、B、C 肯定不符合答案．【解答】解：∵105＝（﹣1）×（﹣105），＝（﹣3）×（﹣35），＝（﹣5）×（﹣21），＝（﹣7）×（﹣15），∴105的负约数有﹣1、﹣105、﹣3、﹣35、﹣5、﹣21、﹣7、﹣15，∴﹣1﹣105﹣3﹣35﹣5﹣21﹣7﹣15＝﹣192．故选：D．【点评】本题考查了一个数的公约数，即将这个数写成几个数的积的形式，这几个数为它的因数．28．设a、b为正整数（a＞b），p是a、b的最大公约数，q是a、b的最小公倍数，则p，q，a，b的大小关系是（）A．p≥q≥a＞b B．q≥a＞b≥p C．q≥p≥a＞b D．p≥a＞b≥q【分析】根据两个数的最大公约数与最小公倍数的关系判定即可．【解答】解：∵（a，b）＝p且[a，b]＝q，∴p|a且p|b，即a|q且b|q．∴q≥a＞b≥p．故选B．【点评】本题主要考查最大公约数与最小公倍数，两个数的最大公约数最小是一，最大是其中较小的数，两个数的最小公倍数最大是他们的积，最小是其中较大的数．29．两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（）A．273 B．819 C．1199 D．1911【分析】先对273分解质因数273＝3×7×13，所以，两个数为3，7，13中的任意两数的乘积．【解答】解：∵273＝3×7×13，∴这两个数为3，7，13中的任意两个数的乘积，∴有3，7，13，21，39，91，273这七个数，又∵两数和为60，∴这两个数为21，39，所以乘积为21×39＝819．故选：B．【点评】本题主要考查了有关于最大公约数与最小公倍数的题目，解答此题时，先用273分解质因数，然后利用“凑项法”解答．30．下面的四句话中正确的是（）A．正整数a和b的最大公约数大于等于aB．正整数a和b的最小公倍数大于等于abC．正整数a和b的最大公约数小于等于aD．正整数a和b的公倍数大于等于ab【分析】运用特殊值法进行排除，例如3是6和9的公约数，小于6，所以正整数a和b 的最大公约数大于等于a，同理可得出符合要求的答案．【解答】解：A、3是6和9的公约数，小于6，所以排除A；B、6和9的最小公倍数是18，小于54，所以排除B；C、正整数a与b的最大公约数小于等于a是成立的；故C正确；D、6和9的最小公倍数是18，小于54，所以排除D；故选：C．【点评】此题主要考查了最大公约数与最小公倍数，利用特殊值法进行排除，是解决问题的最简捷办法．31．祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610，那么祖孙两人今年的年龄分别是（）A．70岁、23岁B．69岁、22岁C．115岁、14岁D．114岁、13岁【分析】首先先了解下合数质数的概念质数：除了1和它本身外，没有别的因数的数是质数．合数：除了1和它本身外，还有别的因数的数是合数．再据题意把1610写成几个质数的及的形式，然后确定其答案．【解答】解：1610/2＝805，805/5＝161，161/7＝23，所以由明年他们的岁数相乘是1610，可得1610＝2×5×7×23．这里可以确定孙子的年龄和爷爷的年龄不能分别是（1）2和805，（2）5和322，（3）7和230，（4）35和46．假设孙子明年的年龄是2×7＝14，那么今年孙子明年的年龄是14﹣1＝13（质数）与已知矛盾，不成立．如果由1610＝2×5×7×23，设孙子明年的年龄是23，那么爷爷明年的年龄是2×5×7＝70．又23﹣1＝22，70﹣1＝69，22、69都是合数符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了学生对质数、合数意义的理解和掌握．此题关键是把1610写成几个质数的积的形式．二．填空题（共10小题）32．记20162的所有正约数为d1，d2，…，d m，则++…+＝．【分析】先针对于22的3个正约数，对于32的3个正约数，对于42的5个正约数，对于52的3个正约数，对于62的9个正约数分别计算，找出n2的正约数的个数的规律（如果n2分解质因数为a e×b f×c h，那么正约数的个数为（e+1）（f+1）（h+1），和所求结论的规律则+++…+＝，规律，即可得出结论．【解答】解：对于22的（2+1）＝3个正约数1，2，22，有++＝；对于32的（2+1）＝3个正约数1，3，32，有++＝＝；对于42＝24的（4+1）﹣5个正约数1，2，22，23，24，有++++＝．对于52的（2+1）＝3个正约数1，5，52，有++＝，对于62＝22×32的（2+1）（2+1）＝9个正约数1，2，22，3，32，2×3，22×3，2×32，22×32，有++++++++＝，……即：若n2的所有正约数为d1，d2，d3，d4，…，d m，则+++…+＝∵20162＝210×34×72∴m＝（10+1）（4+1）（2+1）＝m＝165，∴当n＝2016时，++…+＝＝，故答案为．【点评】此题是约数与倍数，主要考查了一个正整数的平方的正约数的确定，以及正约数的个数的确定，找出规律是解本题的关键，也是难点．是一道比较难度比较大的规律题．33．清溪汽车站开设三条线路的公共汽车，①路车每4分钟开出一趟，③路车每6分钟开出一趟，⑦路车每9分钟开出一趟，如果他们是上午7点在汽车站同时开出，则他们下次。

第十七届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答

第十七届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答注意：本考卷共九题。

甲组九题全做，乙组只做前七题一、填空题（每题2分，共20分）.___)1(,3)1(,2)1(,1)1(),(,)(.1=''=''='===ϕϕ则且其反函数为有二阶连续导数设严格单调函数f f f y x x f y .83)1(,)(1)()(.8332-='''''-='⋅'''-=''-ϕϕ知由应填解y y y y y y._______|]||||[|1lim,,),π0(.22=+-+<<→→→→→→→βαβαθθθβαθb a b a b a 则为正常数的夹角为与设单位向量.)(2cos 22sin limcos 2lim|]||||[|1limcos 2)()(||.)(22202220222b a abab b a ab ab b a b a b a b a ab b a b a b a b a b a ab+=++=++-+=+-+++=+⋅+=++→→→→→→→→→→→→→θθθθθβαβαθθβαβαβαθθθ得由应填解._______)0(,4211)(.3)100(2=++=f xx x f 则设 )!.100(2)0(,)2()2()2(1214211)(,21||.)!100(2100)100(0130332100-=-=--=++=<-∑∑∞=+∞=f x x x x x x x f x n n n n所以时因为当应填解._______d |sin |.4π20060=⎰x x x.π2006π20062d |sin |π2006d |sin |)π2006(d |sin |)π2006(π2006.π200622π20060π200600π20062）（故）（）（应填解=⨯+-=+-=---=⎰⎰⎰I I t t t t t t t t x t I .__,])27[(lim )4(.54=-++>+∞→αα则存在且不为零使极限已知有整数x x x n n n x.51,14,1],)271([lim ])27[(lim .5144=-=-=-++=-++--+∞→+∞→ααααα因此由极限不为零得所以由极限存在可得因为应填解n n x x x x x x x n n n x n x ._____,.1)1(lim ,1,0.611的取值范围为则收敛若且设p a a e n p a n n n npn n ∑∞=∞→=->>).,2(,11,,.1lim )1(lim ),(1~1).,2(1111+∞>-==-∞→-+∞∑∞=-∞→∞→的取值范围应为即则收敛若法知由正项级数的比较判别所以因为应填解p p a a n a e n n ne n n n p n n np n n._____.7222===+A xOy y z a y x 面之间的侧面积与夹在平面圆柱面.4d sin 2d 2.42π02222a t t a s y A a x a y ===⎰⎰-=对称性知曲线积分的几何意义及由应填解.____)(,1)(,0)1(,)(0.8==∂∂+∂∂-==>u f yzx z e e f z f u f u y x 则满足又二元函数且有一阶连续导数时当 .ln )(,0)1(0.||ln )(,1)()()(,.ln u u f f u C u u f u f u u f e u f e yzx z e e u u y x y x ==>+=='='-'=∂∂+∂∂-=所以且由于解出则记应填解._____________1.9==''-'''y x y xy 的通解为 .12,.11),(.1232314232314C x C x C x y x C x p x p x p x y x y x p y C x C x C x +++=+==-'=''-'''=''+++因此通解为的求解公式得根据一阶线性微分方程可化为则令应填解.____),(lim lim ),(lim lim ),0(1tan 1),(.1000=-≠+=→∞→∞→→y x f y x f y x yx y x y x y x f x y y x 则设函数.1),(lim lim ),(lim lim ,1),(lim lim ,0),(lim lim .10000-=-==-→∞→∞→→→∞→∞→→y x f y x f y x f y x f x y y x x y y x 所以因为应填解.)(,1)0(,2π2πtan cos )(sin )10(.x f f x x x x x f 求且，已知分二=<<-++=' .1arcsin arcsin 121)(,1)0(.arcsin arcsin 121)(,arcsin d )arcsin 1(,arcsin 121d 1.d )arcsin 11()(arcsin 11)()2π2π(sin 22221222222+++-==+++-=+=+-++-=-+-+-=+-+-='<<-=⎰⎰⎰x x x x x x f f C x x x x x x f C x x x x x xC x x x x x x x x xx x f t t t t t f x x t ）（故又）（所以）（而即，，则令解.)(,1)0(,)()()(,,),()()10(.x f f a f e b f e b a f b a x f b a 求又成立都有等式且对于任意的实数上有定义在设分三='+=++∞-∞ .)(,0)0(),()().())(()]0()([lim )()()(lim)()(lim )(.0)0()0()0()00(0000x x x x x x x x x x xe x f f x C e x f x f e xe e xf f x f e xx f x f e x f e x x f x x f x f f f f f ==+=+=∆-+-∆=∆-+∆=∆-∆+='=+=+∆→∆∆→∆→∆所以又解此微分方程可得得由解.),(1)10(.2200022立体的体积所围成处的切平面与抛物面上任意一点求抛物面分四y x z y x P y x z +=++=.2π])()(1[d d )122(,1)()(,122,,122),(12020222020002020202000222020*******=----=--++-+=≤-+-⎩⎨⎧++-+=+=++-+=++=⎰⎰⎰⎰y y x x yx y x y x y y x x V y y x x D y x y y x x z y x z y x y y x x z y x P y x z DD所围成的立体的体积：求得投影区域处的切平面为在点抛物面解.)0(202,)728(15π2d )1()10(.2222之间的部分和夹在平面为抛物面其中证明分五>==+=∑-≤--⎰⎰∑t tz z y x z S y x .15)728(2)(,15)728(2d 1)1(2)1(),1()(,1,01)1()().,0(,d 1)1(2d d 1)1(d )1()(221022*********π-≤π-=+-π===+-π='+∞∈+-π=++--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑t I r r r r I I t I t t t t I t r r r r y x y x y x S y x t I ty x t所以而的最大值为则解得唯一驻点令证.,2.1112,,,)10(.时达到最大问两针尖相离的速度何与设时针和分针分别长后再次重合小时经过再由大变小由小变大两针针尖间的距离逐渐后分针和时针在零点重合分六a a 两针尖分离的速度为之间的距离为故尖的位置分别为此时，时针和分针两针和度为时针分针分别转动了角时刻，小时，所以在分针的角速度为小时，为由题意知时针的角速度解],116,0[,611cos 45)6cos 2cos 2()6sin 2sin 2(,),2cos 2,2sin 2(),6cos ,6sin (,26]116,0[/2/62221∈π-=π-π+π-π=πππππ=βπ=α∈π=ωπ=ωt t a t a t a t a t a S B A t a t a B t a t a A t tt.54.5410112,1120],116,0[,)611cos 45(2611cos 5)611(cos 218121],116,0[,611cos 456sin311322两针尖分离速度最大秒分经过度最大，即从重合开始小时后两针尖分离的速即在解得驻点令=='∈π-+π-ππ-='∈π-ππ='=t v t t t t v t t t a S v .1),0,1()1,0(,),()10(.22yfx x f y y x f f y x f ∂∂=∂∂=+=点满足方程上至少存在两个不同的证明在单位圆周且有一阶连续偏导数设二元函数分七证令),sin ,(cos )(θθθf F =则在区间),π2()2π()0(,)(]2,0[F F F F ==且可导上θπ由罗尔定理知至少存在两个不同的点),π2,0(,∈ηξ使得,0)()(='='ηξF F而),sin ,(cos cos )sin ,(cos sin )(θθθθθθθy x f f F +-=' 将ηξ,代入上式即得结论.以下两题乙组考生不做.1111211)10(.nen e ne n n<⎪⎭⎫ ⎝⎛--<>，求证：设整数分八证先证不等式 .01)11ln()11(1)11(1>+--⇔<--nnnnenen设],1,0[,)1ln()1()(∈+--=x x x x x f ),1,0(,0)1ln()(∈>--='x x x f所以上在]1,0[)(x f 单增, 0)0(=f ,当)1,0(∈x 时, ,0)1ln()1()(>+--=x x x x f 故 .01)11ln()11()1(>+--=nnnnf再证不等式 .01)11ln()211ln(1)11(121>----⇔--<nn n n n e ne n设 ),1,0[,)1ln()21ln()(∈----=x x x x x x f),1,0(,1112)21ln()(∈--+---='x xx x x x f),1,0(,0)1()2()55()1(1)2(221)(22222∈>--++=-+----=''x x x x x x x x x x f所以上在)1,0[)(x f '单增, 0)0(='f ,当)1,0(∈x 时01112)21ln()(>--+---='xx x x x f ,所以上在]1,0[)(x f 单增, 0)0(=f ,当)1,0(∈x 时0)1ln()21ln()(>----=x x xx x f ,故 .01)11ln()211ln(1)1(>----=nn n n n f.21d )(]1,0[,,0d )(,1|)(|,]1,0[)()10(.10成立都有证明对于任意的且上连续在闭区间设函数分九≤∈=<⎰⎰ba x x fb a x x f x f x f证不妨假设.b a < 若,21≤-a b 则;21)(d )(≤-=⎰a b f x x f baξ若,21>-a b 则)1()()(d )(d )(d )(10b f a f x x f x x f x x f b aba -+=+≤⎰⎰⎰ηξ.21)(1<--≤a b。

数学数与代数试题

数学数与代数试题1.（1）男生人数：女生人数：男生人数比女生少，女生人数是男生人数的．（2）图中，用去了米，剩下的米数是用去的%．【答案】，；20，300【解析】（1）从图中可以看出男生有3份，女生有5份，①男生比女生少几分之几，用男女生的差除以女生的人数即可；②女生人数是男生人数的几分之几，用女生人数除以男生人数即可．（2）从图中可以看出全长是单位“1”，其中用去了，剩下了60米，剩下的对应的分数应是1﹣，用除法就可以求取全长，再乘就是用去的长度；用剩下的米数除以用去的米数乘100%，就是剩下的米数是用去米数的百分比．解：（1）（5﹣3）÷5=，5÷3=；（2）60÷（1）×，=60×，=20（米）；20÷60×100%=300%．故答案为：，；20，300．点评：解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式或方程解答．2.设a@b=[a，b]+（a，b），其中[a，b]表示a与b的最小公倍数，（a，b）表示a与b的最大公约数，已知12@x=42，求x．【答案】18【解析】根据定义的新的运算方法，把12@x=42，写成：[12，x]+（12，x）=42，再把42裂项即可．解：因为[12，x]+（12，x）=42，把42分成两个数的和的形式，只有36+6=42满足条件，即12和18的最小公倍数是36，12和18的最大公约数是6，所以x=18．点评：关键是根据新的运算方法把给出的式子写成两个数的和的形式，再把和裂项，最后运用逆推的思想求出答案．3.求36，108，126的最大公约数和最小公倍数．【答案】18；756【解析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于三个数来说：三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．解：36=2×2×3×3，108=2×2×3×3×3，126=2×3×3×7，所以36、108、126的最大公因数是：2×3×3=18；36、108、126的最小公倍数是：2×2×3×3×3×7=756．点评：此题主要考查求三个数的最大公约数与最小公倍数的方法：三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．4. 8和10最大公因数：最小公倍数：【答案】2，40【解析】先把8和10进行分解质因数，这两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．解：8=2×2×2，10=2×5，所以8和10的最大公因数为：2，8和10的最小公倍数为：2×2×2×5=40；答：8和10的最大公因数为2，最小公倍数为40．点评：此题主要考查求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答5.求最大公因数和最小公倍数.16和40 45和15 9和8．【答案】8，80；15，45；1，72【解析】（1）对于一般的16和40两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解答；（2）因为45÷15=3，即45和15成倍数关系，当两个数成倍数关系时，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，较小的那个数是这两个数的最大公因数；（3）9和8是互质数，是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积．解：（1）16=2×2×2×2，40=2×2×2×5，所以16和40的最大公因数是2×2×2=8，最小公倍数是2×2×2×2×5=80；（2）因为45÷15=3，即45和15成倍数关系，所以45和15的最大公因数是15，最小公倍数是45；（3）9和8是互质数，9和8的最大公因数是1，最小公倍数是9×8=72．点评：此题主要考查了求两个数的最大公因数：对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；对于两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积．6.“六一”儿童节时，老师准备了七十多粒奶糖，如果每人分3粒，正好分完；如果每人分5粒，也正好分完．你知道有多少粒奶糖吗？【答案】75粒【解析】根据题意，可知奶糖的粒数应该是3和5的公倍数，据此先求出3和5的最小公倍数，进而求得最小公倍数的倍数（此数必须是比70多的数）．解：因为3和5是互质数，所以3和5的最小公倍数为3×5=15；因为15×5=75，75符合题意，所以有75粒奶糖．答：有75粒奶糖．点评：先求出3和5的最小公倍数，再求得最小公倍数的倍数，进而找出符合条件的数即可．7.五年一班学生做游戏，无论是9人编成一组，还是12人编成一组，都正好无剩余，五年一班至少有多少人？【答案】36人【解析】9人编成一组，还是12人编成一组，都正好无剩余，那么五一班的人数是9和12的公倍数，要求至少有多少人，就是求9和12的最小公倍数，据此解答．解：9=3×3，12=2×2×3，9和12的最小公倍数是：3×3×2×2=36．答：五年一班至少有36人．点评：解答本题关键是把问题变成求最小公倍数，再根据求最小公倍数的方法求解．8. a、b是相邻的非零自然数，ab和b的最小公倍数是ab．．【答案】正确【解析】由a、b是相邻的非零自然数，可知：ab和b是倍数关系，它们的最小公倍数是较大数ab，据此分析判断，解：a、b是相邻的非零自然数，ab和b是倍数关系，它们的最小公倍数是较大数ab，所以a、b是相邻的非零自然数，ab和b的最小公倍数是ab的说法是正确的；故答案为：正确．点评：本题主要考查倍数关系的两个数的最小公倍数的求法，注意掌握倍数关系的两个数的最小公倍数是较大数．9.育才小学四年级学生可以分为9人一组或8人一组，四年级至少有个学生．【答案】72【解析】因为育才小学四年级学生可以分为9人一组或8人一组，要求四年级至少有多少个学生，只须求出9和8的最小公倍数，即可得解．解：因为8和9互质，所以8和9的最小公倍数是：8×9=72；答：育才小学四年级学生可以分为9人一组或8人一组，四年级至少有72个学生；故答案为：72．点评：本题灵活运用最小公倍数的求解来解决实际问题．10. a÷b=c（a、b、c均为非零自然数）则a与b的最大公因数是b，最小公倍数是a．．【答案】正确【解析】a÷b=c（a、b、c均为非零自然数）说明a与b有倍数关系，a大b小，所以a与b的最大公因数是b，最小公倍数是a．解：a÷b=c（a、b、c均为非零自然数），说明a是b的c倍，a与b的最大公因数是b，最小公倍数是a，故答案为：正确．点评：此题主要考查两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．11. 15、20、和60的最大公约数是，最小公倍数．【答案】5，120【解析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于三个数来说：三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．解：因为15=3×5，20=2×2×5，60=2×2×3×5，所以15、20、和60的最大公约数是：5，最小公倍数是：3×5×2×2=120，故答案为：5，120．点评：此题主要考查求三个数的最大公约数与最小公倍数的方法：三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．12.小明、小王、小李三人经常到图书馆去，小明每4天去一次，小王每5天去一次，小李每2天去一次．他们8月5日在图书馆相遇时，那么他们再在月日图书馆相遇．【答案】8，25【解析】小明每4天去一次，小王每5天去一次，小李每2天去一次，他们三人共同去的间隔时间应是4、5、2的最小公倍数，先求出这个间隔的时间，然后再从8月5日推算即可．解：4=2×2，4、5、2的最小公倍数是：2×2×5=20，他们20天后再相遇；8月5日再过20天是8月25日．答：他们再在8月25日图书馆相遇；故答案为：8，25．点评：本题先理解他们两次相遇之间的间隔时间是他们每个人间隔时间的最小公倍数，然后再由此进行推算时间即可．13.（2013•华亭县模拟）一个整数分别除以16和18都余5，这个整数最小是．【答案】159【解析】只要求出16和18的最小公倍数再加上5即可．解：16=2×2×2×2，18=2×3×3，所以16和18的最小公倍数是2×2×2×2×3×3×=154，所以要求的数是154+5=159，故答案为：159．点评：本题主要是利用求最小公倍数的方法解决实际的问题．14.（2013•邛崃市模拟）如果a=5b（a、b均为非0自然数），那么，a与b的最小公倍数是a．．【答案】正确【解析】根据求最小公倍数的方法，可知当两个数为倍数关系时，这两个数的最小公倍数是较大的数；根据a=5b，可知a和b是倍数关系，b是较小数，a是较大数，据此求出它们的最小公倍数是a；据此判断为正确．解：因为a=5b，所以a和b有倍数关系，b是较小数，a是较大数，那么a与b的最小公倍数是较大数a；故判断为：正确．点评：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是它们的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与每个数独有质因数的连乘积．15.如果A=70，B=42，那么A、B的最大公因数是，最小公倍数是．【答案】14，210【解析】根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．解：70=2×5×7，42=2×3×7，所以A、B的最大公因数是2×7=14，最小公倍数是2×5×7×3=210；故答案为：14，210．点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．16.两个数都是合数，又是互质数，它们的最小公倍数是630，这样的数有对．【答案】4【解析】根据题干，这两个数都是630的因数，首先把630分解质因数：630=2×3×3×5×7，这两个数都是合数，又是互质数，说明这两个数最大公因数是1，那么这两个数可以写成：2×5和3×3×7；2×7和3×3×5；3×3和2×5×7；2×3×3和5×7；共有4对．解：根据题干分析可得：630=2×3×3×5×7，符合题意的两个合数为：2×5和3×3×7，即10和63；2×7和3×3×5，即14和45；3×3和2×5×7，即9和70；2×3×3和5×7，即18和35；答：这样的数有4对．故答案为：4．点评：此题考查了最小公倍数，合数，互质数以及合数分解质因数的方法的综合应用．17.已知甲乙两数的最小公倍数=23×3×7，其中甲数=22×7，那么乙数最小是．【答案】24【解析】两个数的最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，根据“甲乙两数的最小公倍数=23×3×7，其中甲数=22×7”，可知甲乙两个数的公有质因数是2和2，甲数独有的质因数是7，乙数独有的质因数是2和3，由此可知乙数是22×2×3=24；据此解答．解：甲乙两数的最小公倍数=23×3×7，其中甲数=22×7，可知：甲乙两个数的公有质因数是2和2，甲数独有的质因数是7，则乙数独有的质因数是2和3，由此可知乙数是22×2×3=24；故答案为：24．点评：此题考查根据两个数的最小公倍数和其中的一个数，求另一个数的方法，注意找准公有的质因数和独有的质因数即可．18.能同时被3、5、7除余数为1的最小数是．【答案】106【解析】即比3、5和7的最小公倍数多1的数，先求出3，5，7的最小公倍数是105，然后加1即可．解：3×5×7+1，=105+1，=106；故答案为：106．点评：此题考查了求两两互质的三个数的最小公倍数的方法：两两互质的三个数的最小公倍数，即这三个数的连乘积；进而解答即可．19.把甲乙两数分解质因数：甲数=2×3×A；乙数=2×5×A．已知甲乙两数的最小公倍数是210，A=．【答案】7【解析】根据求最小公倍数的方法：两个数公有的质因数与每个数独有的质因数的连乘积就是它们的最小公倍数；据此找出甲乙两个数公有的质因数和各自独有的质因数，把它们相乘，再根据乘积是210，进而求出A的数值即可．解：甲数=2×3×A；乙数=2×5×A，甲乙两个数公有的质因数为：2和A，甲独有的质因数为：3，乙独有的质因数为：5，所以甲乙两数的最小公倍数是：，2×A×3×5=210，30×A=210，30×A÷30=210÷30，A=7；故答案为：7．点评：此题考查根据两个数的最小公倍数和部分公有质因数和各自独有质因数，求其中的一个公有质因数的方法．20.下面是小明在日常生活中遇到的一些事例，请认真读读、想想、填填．（1）爸爸有一摞书，分别平均分给5人、6人、7人后，都剩下3本，这摞书至少有本．（2）爷爷家的果园中梨树的棵数比苹果树多，那么苹果树的棵数比梨树少%．【答案】213，20【解析】（1）由平均分给5人、6人、7人后，都剩下3本可知：这摞书减去3本，就可以正好平均分给5人、6人、7人没有剩余，即减去3本书就是5、6、7的公倍数，求至少就是5、6、7的最小公倍数加上3，据此解答；（2）由爷爷家的果园中梨树的棵数比苹果树多，可知：把苹果树的棵数看做单位“1”，梨树的棵数是苹果树的1+，求苹果树的棵数比梨树少百分之几，用÷（1+）计算解答，然后化成百分数即可．解：（1）5、6、7两两互质，它们最小公倍数等于它们的乘积，5、6、7的最小公倍数：5×6×7=210；210+3=213（本）；答：这摞书至少有 213本．（2）÷（1+）=0.2=20%，所以苹果树的棵数比梨树少20%；故答案为：213，20．点评：解答（1）关键是由平均分给5人、6人、7人后，都剩下3本可知：这摞书减去3本就是5、6、7的公倍数，求至少就是5、6、7的最小公倍数加上3；解答（2）关键是先求出找准单位“1”，先求出梨树的棵数是苹果树的几分之几．21.的分子、分母的最大公因数是，约分成最简分数的是．【答案】7，【解析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积；分子分母同时除以它们的最大公因数，就把把这个分数化成最简分数，这个过程叫做约分．由此得解．解：35=5×7，42=2×3×7，所以的分子、分母的最大公因数是7；约分成最简分数的是==；故答案为：7，．点评：此题考查了分数化简约分的过程．22.有两根圆木，一根长12米，另一根20米．要把它们截成同样长的小段，而且没有剩余，每小段圆木最长是多少米？共截成几段？【答案】4米，8段【解析】根据题意，可计算出12与20的最大公约数，即是每小段圆木的最长，然后再用12除以最大公约数加上20除以最大公约数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案．解：12=2×2×3，20=2×2×5，所以12与20最大公约数是2×2=4，即每小段最长是4米，12÷4+20÷4，=3+5，=8（段）；答：每小段最长是4米，一共可以截成8段．点评：解答此题的关键是利用求最大公约数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根铁丝可以截成的段数，再相加即可．23.求下面各组数的最大公因数．6和930和45．【答案】3；15【解析】求两个数最大公因数也就是求这两个数的公有质因数的连乘积．解：（1）6=2×3，9=3×3，所以6和9的最大公因数为：3；（2）30=2×3×5，45=3×3×5，所以30和45的最大公因数为：3×5=15．点评：此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数．24.求最大公约数和最小公倍数：①24和36 ②120和50 ③15、40和8（只求最小公倍数）【答案】24和36的最大公约数是12，最小公倍数是72；120和50的最大公约数是10，最小公倍数是600；15、40和8的最小公倍是120【解析】根据求最大公约数和最小公倍数的方法，首先把每组中的数分解质因数，最大公约数是公有质因数的乘积；最小公倍数是公有质因数和各自质因数的连乘积；由此解答．解：①24和36，24=2×2×2×3，36=2×2×3×3；24和36的最大公约数是：2×2×3=12；24和36的最小公倍数是：2×2×3×2×3=72；②120和50，120=2×2×2×3×5，50=2×5×5；120和50的最大公约数是：2×5=10；120和50的最小公倍数是：2×5×2×2×3×5=600；③15、40和8，15=3×5；40=2×2×2×5，8=2×2×2；15、40和8的最小公倍是：2×2×2×5×3=120；点评：此题主要考查求两个或3个数的最大公约数和最小公倍数的方法．25.把32个文具盒和40支铅笔全部平均分给尽可能多的小朋友，最多能分给几个小朋友？每人分得几个文具盒、几支铅笔？【答案】最多能分给8个小朋友，每人分得4个文具盒、5支铅笔【解析】求最多能分给几个小朋友，即求32和40的最大公因数，先把32和40进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数；继而根据题意，求出结论．解：32=2×2×2×2×2，40=2×2×2×5，32和40的最大公约数是2×2×2=8；最多分给8个小朋友，32÷8=4（个），40÷8=5（支）；答：最多能分给8个小朋友，每人分得4个文具盒、5支铅笔．点评：解答此题的关键是：先求出32和40的最大公因数，进而根据题意，得出结论．26.有两根铁丝，第一根长15厘米，第二根长18厘米，要把他们截成同样长的小段，而且不能有剩余，每小段最长是多少厘米？一共能截成多少段？【答案】3厘米，11段【解析】根据题意，可计算出15与18的最大公约数，即是每根小段的最长，然后再用15除以最大公约数加上18除以最大公约数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案．解：15=3×5，18=2×3×3，所以15与18公有的约数是3，也是最大公约数，即每小段最长是3厘米，15÷3+18÷3，=5+6，=11（段）；答：每小段最长是3厘米，一共可以截成11段．点评：解答此题的关键是利用求最大公约数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根铁丝可以截成的段数，再相加即可．27.在四位数36□0中的方框里填一数字，使它能同时被2、3、5整除，最多共有（）中填法．A．2B．3C．4D．10【答案】C【解析】根据2、3、5倍数的特征可知；个位上必需是0，才能满足既是2的倍数又是5的倍数，现在四位数36□0的个位是0；然后再判断是不是3的倍数即可，3的倍数的特征是；各个数位上的和是3的倍数这个数就是3的倍数，把36□0中3、6、0加起来，即3+6+0=9，分析9再加上几是3的倍数，□里就填几，然后数出填法有几种即可．解：36□0中3、6、0加起来，即3+6+0=9，9+0=9，9+3=12，9+6=15，9+9=18，所以在□里可以填0、3、6、9，共有4种填法；故选：C．点评：本题主要考查2、3、5倍数的特征，重点考查3的倍数特征：各个数位上的和是3的倍数这个数就是3的倍数．28. 1﹣﹣50内，不是2的倍数的数有多少个？【答案】25个【解析】根据偶数与奇数的意义：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；从1﹣﹣50内找出奇数的个数即可，据此解答．解：不是2的倍数的数是奇数；1﹣﹣50内找出奇数有：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43，45，47，49；共有25个．答：不是2的倍数的数有25个．点评：此题主要考查偶数和奇数的意义．29.从0、2、3、9、5 这5个数中①选出三个数组成三位数，是3的倍数有；②选出四个数组成是2、5倍数中最大是．③组成最大的奇数是．【答案】309，390，903，930，9530，95203【解析】（1）根据能被3整除的数的特征，得出只能选3、9、0三个数数字，进行依次写出即可；（2）根据能被2、5整除的数的特征，得出该数个位数是0，然后把千位上是9，百位上是5，十位上是3，写出即可；（3）组成最大的奇数，个位是奇数，选最小的3，另外几个数，把大数从高位排起，写出即可．解：（1）选出三个数组成三位数，组成3的倍数有：309，390，903，930；（2）选出四个数组成是2、5倍数的四位数中最大是9530；（3）组成最大的奇数是：95203；故答案依次为：309，390，903，930，9530，95203．点评：解答此题应结合题意，根据能被3整除的数的特征、能被2、5整除的数的特征进行解答即可．30. 50以内4的倍数有．【答案】4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48【解析】根据找一个数的倍数的方法，进行列举即可．解：50以内4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48；故答案为：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48．点评：此题考查了找一个数的倍数的方法，应注意基础知识的积累．31.在横线里填上一个数字，使这个数成为3的倍数．（横线里写出所有填法）8 4 623 1．【答案】0或3或6或9，1或4或7，2或5或8【解析】根据能被3整除的数的特征：即各个数位上的和能被3整除，进行解答即可．解：（1）8+4+0=12，8+4+3=15，8+4+6=18，8+4+9=21；12，15，18和21都能被3整除，即该三位数为804或834或864或894；（2）6+2+3+1=12，6+2+3+4=15，6+2+3+7=18；12，15，18都能被3整除，即该四位数为6123或6423或6723；（3）1+2=3，1+5=6，1+8=9；3，6和9都能被3整除，即该两位数为12或15或18．故答案为：0或3或6或9，1或4或7，2或5或8．点评：解答此题应根据能被3整除的数的特征进行解答即可．32.如果一个数是15的倍数，它一定有因数3和5．．【答案】√【解析】因为15是3和5的倍数，所以一个数是15的倍数，一定是3和5的倍数，即这个数就一定有因数3和5；据此判断即可．解：由分析知：一个数是15的倍数，那这个数就一定有因数3和5；故答案为：√．点评：解答此题应明确：是15的倍数的数，一定是3和5的倍数．33.既是5的倍数又是3的倍数的最小三位数是．【答案】105【解析】能被5整除的数的特征是个位数字是0或5，能被3整除的数的特征是各个数位上的数字之和是3的倍数，所以这个三位数最小是105，据此即可解答．解：根据能被3和5整除的数的特征可得：这个三位数最小是105．故答案为：105．点评：此题主要考查能被3和5整除的数的特征的灵活应用．34. 12的因数有，50以内12的倍数有．【答案】1、2、3、4、6、12，12、24、36、48【解析】根据求一个数的因数、倍数的方法，进行依次列举即可解：12的因数有：1、2、3、4、6、12，50以内12的倍数有：12、24、36、48，故答案为：1、2、3、4、6、12，12、24、36、48．点评：此题考查的是求一个数因数倍数的方法，应有顺序的写，做到不重复，不遗漏．35.一个两位数既是3的倍数，也是5的倍数，而且是偶数，这个数最小是，最大是．【答案】30，90【解析】先根据能被5整除的数的特征，又因为是偶数，能判断出个位数是0，进而根据能被3整除的数的特征，推断出这个数十位上的数最小是3，最大是9，继而得出结论．解：由分析知：这个数最小是30，最大是90；故答案为：30，90．点评：解答此题的关键是灵活掌握能被3和5整除的数的特征，进行解答即可．36.它是一个三位数，同时是2、3和5的倍数，它最小是．【答案】120【解析】根据能被2、5整除的数的特征，可以得出：该三位数的最高位（百位）最小是1，个位是0；进而根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除，得出：十位上的数是2；继而得出结论．解：由分析知：该三位数的最高位（百位）1，个位是0，1+2+0=3，3能被3整除；所以该三位数是120；故答案为：120．点评：解答此题的关键是先根据能同时被2、5整除的数的特征，判断出个位数，进而根据题意判断出百位数字，进而根据能被3整除的数的特征，推断出十位上的数，继而得出结论．37.有一组连续的三个正整数，从小到大依次排列，第一个数是5的倍数；第二个数是7的倍数；第三个数是9的倍数；则这组数中最小的正整数为．【答案】160【解析】分别找到5的倍数，7的倍数中个位为1或6的，9的倍数中个位为2或7的；并且是连续的三个正整数的数，从而求解．解：5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，…，160，…；7的倍数中个位为1或6的有：21，56，91，126，161…；9的倍数中个位为2或7的有：27，72，117，162…；则这组数中最小的正整数为160．故答案为：160．点评：考查了找一个数的倍数的方法，本题根据三个数是连续的三个正整数，以及是5的倍数的特征，得到满足是7的倍数，是9的倍数的个位数字是解题的难点．38.在20～25这六个自然数中，既是奇数又是合数的有，既有因数2，又是3的倍数的是．【答案】21、25，24【解析】（1）在20～25这六个自然数中，奇数是：21、23、25，合数是：20、21、22、24、25，既是奇数又是合数的是它们的公共部分：21、25；（2）既有因数2，又是3的倍数，说明这个是2×3=6的倍数，在20～25这六个自然数中，6的倍数是：24．解：根据分析可得，在20～25这六个自然数中，既是奇数又是合数的有21、25，既有因数2，又是3的倍数的是24．故答案为：21、25，24．点评：本题考查了有关整除的知识：奇数与合数的意义，找一个数的倍数的方法．39. 100的最大约数和最小倍数之和是200．．【答案】正确【解析】根据约数与倍数的意义，一个数的约数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，不可能找到它的最大倍数；所以100的最大约数是100，最小倍数也是100，由此解答即可．解：因为100的最大约数是100，100的最小倍数也是100，所以，100的最大约数和最小倍数之和是：100+100=200；故答案为：正确．点评：此题主要考查一个数最大约数和最小倍数的特点，据此解决有关的问题．40.（2010•深圳模拟）能被3整除的最小三位数是．有约数2，又是5的倍数的最大三位数是．【答案】102，990【解析】（1）根据题意可以得出：该三位数的最高位（百位）最小是1，十位是0；进而根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除，得出：个位上的数是2；继而得出结论（2）根据能被2、5整除的数的特征，可以得出：该三位数的最高位（百位）最大是9，个位是0；进而根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除，得出：十位上的数是9；继而得出结论．解：（1）由分析知：该三位数的最高位（百位）最小是1，十位是0，又因为1+0+2=3，3能被3整除，所以该三位数为102；（2）由分析知：该三位数的最高位（百位）最大是9，个位是0，因为9+0+9=18能被3整除，所以十位上数是9，该数为990；故答案为：102，990．。

初一数学竞赛试题

初一数学竞赛试题得分__________ 一、选择题（6×5=30） 1、若x 、y 、z 、满足x ＋y=6且z 2＝xy －9、则z 的值是：（） A 、±1 B 、0 C 、1 D 、－1 2 、当代数式x 2＋3x ＋5的值等于7时，代数式3x 2＋9x －2的值等于（） A 、4 B 、0 C 、－2 D 、－4 3、缸内红茶菌的面积每天长大一倍，若19天长满整个缸面，那么经过（）天长满缸面的一半 A 、5 B 、7 C 、16 D 、18 4、时钟在每个整点敲该钟点数，每半点敲一下，一昼夜共敲（）下 A 、 180 B 、156 C 、178 D 、150 5 已知ab<0,那么a 2|b|－b 2 |a|＋ab( |a| － |b |)＝（） A 、0 B 、2a 2b C 、 2ab 2 D 、 2a 2b+ 2ab 2 6 如果△+△= ★，○= □+□，△= ○+○+○+○，那么★÷□=（）A 、2B 、4C 、8D 、16二填空题（6×5=30）7 、由1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，猜想1+3+5+7+……+（2n+1）=______.密封线内不得答题8 、三个质数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＋abc ＝99 ，那么|a －b | +| b －c | +|c －a |=____.9、某施工队第一组有96人，现调16人到第二组，使第一组的人数是第二组人数的K 倍多6人。

第二组原有______人。

10、一件工作，甲乙合做8小时完成，甲丙合做6小时完成，乙丙合做4.8小时完成，若甲乙丙三人合做，________小时完成.11、今天是星期一，再过19993天是星期_______________。

12、小明买某种铅笔x 支，用了y （y 为整数）元，后来他发现这种铅笔降价20%，于是他比上次多买了10支铅笔，用了4元钱，小明两次共买了铅笔_____________支.三.计算题（10×4=40）13、2003减去它的21，减去它的31，再减去它的41……依次类推，一直减去它的20031，最后剩下的数是几？14、甲、乙、两车从A 、B 两地同时出发,某时刻将相遇,如果甲车提前一段时间出发,两车将提前30分钟相遇.已知甲车每小时行60千米,乙车每小时行40千米,那么甲车需提前多少分钟出发?15、某商店对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠。

2017北京卷数学试卷(理)及答案

1．若集合A ={x |–2x 1}，B={x |x –1或x 3}，则A B =（A ）{x |–2x –1} （B ）{x |–2x 3}（C ）{x |–1x 1} （D ）{x |1x 3}2．若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）（–∞，1）（B ）（–∞，–1）（C ）（1，+∞）（D ）（–1，+∞）3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32 （C ）53 （D ）85 4．若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3（C ）5 （D ）95．已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数6．设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）（B ）（C ）（D ）28．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053（C ）1073 （D ）10939．若双曲线221y x m -=m =_________. 10．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则22a b =_______.11．在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP |的最小值为___________.1sin 3α=cos()αβ-=___________.13．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________．14．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________.②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.15．在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a .（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD，AB=4．（I ）求证：M 为PB 的中点；（II ）求二面角B -PD -A 的大小；（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．17．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者. （Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机学科网.选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）18．已知抛物线C ：y 2=2px 过点P （1，1）.过点（0，12）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.19．已知函数f （x ）=e x cosx −x.（Ⅰ）求曲线y= f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值. 20．设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，n c M n >；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．参考答案1．A 【解析】试题分析：{}21A B x x =-<<-，故选A. 2．B【解析】试题分析：()()()()111z i a i a a i =-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩ ，解得：1a <-，故选B.3．C【解析】试题分析：0k =时，03<成立，第一次进入循环111,21k s +===，13<成立，第二次进入循环，2132,22k s +===，23<成立，第三次进入循环31523,332k s +===，33< 否，输出53s =，故选C. 4．D【解析】试题分析：如图，画出可行域， 2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值m a x 3239z =+⨯=，故选D. 5．A【解析】试题分析：()()113333x x xx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.6．A【解析】试题分析：若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos 1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A.7．B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，l =故选B.8．D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.9．2【解析】试题分析：221,a b m ==，所以1c a ==，解得2m = . 10．1【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为d 和q ，3138d q -+=-= ，求得2,3q d =-= ，那么221312a b -+==11．1【解析】2222:2440(1)(2)1C x y x y x y +--+=⇒-+-=，所以m i n ||||211A P A C r =-=-= 12．79-【解析】因为α与β关于y 轴对称，所以2k αβππ+=+ ，那么sin sin βα=,cos cos βα=-13．-1，-2，-3（答案不唯一）【解析】123,1(2)3->->--+-=-14．1Q ；2.p【解析】作图可得11A B 中点纵坐标比2233,A B A B 中点纵坐标大，所以第一位选1Q分别作123,,B B B 关于原点的对称点123,,B B B '''，比较直线112233,,A B A B A B ''' 斜率，可得22A B '最大，所以选2.p 15．（Ⅰ）sin C （Ⅱ）△ABC的面积S =.【解析】解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （Ⅱ）因为7a =，所以3737c =⨯=. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以△ABC的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=16．（I ）详见解析（II ）二面角B PD A --为锐角的大小为3π.；（III ）直线MC 与平面BDP所成角的正弦值为9. 【解析】解：（I ）设,AC BD 交点为E ，连接ME .因为PD ∥平面MAC ，平面MAC 平面PBD ME =，所以PD ME ∥.因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点.（II ）取AD 的中点O ，连接OP ，OE .因为PA PD =，所以OP AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD . 因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP OE ⊥.因为ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，(4,4,0)BD =-，(2,0,PD =.设平面BDP 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即44020x y x -=⎧⎪⎨=⎪⎩. 令1x =，则1y =，z =于是=n .平面PAD 的法向量为(0,1,0)=p ，所以1cos ,||||2⋅==<>n p n p n p .由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为3π. （III）由题意知(1,2,2M -，(2,4,0)D，(3,2,2MC =-. 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则||2sin |cos ,|9||||MC MC MC α⋅===<>n n n . 所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为9. 17．（I ）0.3（II ）详见解析（III ）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差.【解析】解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为150.350=. （Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.21122222222444C C C C 121(0),(1),(2)C 6C 3C 6P P P ξξξ=========. 所以ξ的分布列为故ξ的期望121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差. 18．（Ⅰ）抛物线C 的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x =-. （Ⅱ）详见解析【解析】解：（Ⅰ）由抛物线C ：22y px =过点P （1，1），得12p =. 所以抛物线C 的方程为2y x =.抛物线C 的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x =-. （Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为12y kx =+（0k ≠），l 与抛物线C 的交点为11(,)M x y ，22(,)N x y . 由212y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得224(44)10k x k x +-+=. 则1221k x x k -+=，12214x x k=. 因为点P 的坐标为（1，1），所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为11(,)x y .直线ON 的方程为22y y x x =，点B 的坐标为2112(,)y y x x . 因为0=，所以211122y y y x x +=. 故A 为线段BM 的中点.19．（Ⅰ）切线方程为1y =（Ⅱ）()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 【解析】解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-. 当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减. 所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减. 因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-.20．（Ⅰ）10,c =21c =-32c =-,证明见解析；（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<，所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-. 所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-，所以{}n c 是等差数列.（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--. 所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时，当时，①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++是等差数列.②当10d =时，对任意1n ≥，此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列. ③当10d <时，当21d n d >时，有12nd d <. 所以1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n-+---==-+-++ 对任意正数M ，取正整数12112211||max{,}M b d a d d d m d d +-+-->-，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

第15届北京市大学生(非数学专业)数学竞赛本科甲.乙组试题及解析

第十五届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛本科甲、乙组试题及解析(本试题共九道、甲组九题全做，乙组只做前七题）（2004年10月10日上午9：00~11：00）一、填空题1.在0=x 的附近与函数x x f sec )(=的差为2x 的高阶无穷小的二次多项式为．解应填.2112x +因为,1)0(,0)0(,1)0(=''='=f f f 有泰勒公式知 ).(211)(22x x x f ++= 2.设曲线)(x f y =与x y sin =在原点相切，则极限=∞→)2(lim nnf n ．解应填.2因为,1|)(sin )0(,00sin )0(0='='===x x f f 由导数的定义知.2)0(22)0()2(lim2)2(lim ='=-=∞→∞→f nf n f nnf n n 3.设,)1sin(sin 1cos )1(2cos ),(-++--+==y x x y y sianxy y x f z 则=∂∂)1,0(|y z．解应填.1-1)1sin(1)(1()1(lim 1)1,0(),0(lim)1,0(11-=-+---=--='→→y y y y f y f f y y y 4.设)(x f 有连续导数且,0)(lim≠=→a xx f x 又⎰-=x dt t f t x x F 02,)()()(当0→x 时)(x F '与nx 是同阶无穷小，则=n ．解应填2. 因为⎰⎰-=xxdt t tf dt t f xx F 02)()()(，)(x f 与ax 是等价无穷小),0(→x.00)0()0(2)()(2lim)()(2lim)()(2lim00=='='==→→→⎰⎰af f x f x f x f dtt f x xf dtt f x x xx xx)()()(2)(20x xf x f x dt t f x x F x --=⎰与)(x xf -等价，因而与2ax -等价。

第十六届(2021年)北京市数学竞赛丙组试题与解答

第十六届北京市大学生数学竞赛丙组试题解答（2005年10月16日上午9：00 ~ 11：30）一．填空题（每小题3分，共30分）._______,)(lim .1)0(,)1()(.1202==-='=+'-+''=→a a x xx y y e y x y x y x y y x x 则若且满足设函数 .1)0(2121)(lim )(lim .2)0(,1)0()0(.1020=''=-'=-==''='-''→→y x x y x x x y a y y y x x 所以于是由题设应填解.________,1,))(()(.2===---=b x e x b x a x be xf x 则为可去间断点处在处为无穷间断点在已知.,)(lim )(lim ,1,;,)(lim ,1)(lim ,,1.1,,1.11与题意不符时当符合题意时当或由题意知必有应填解∞====∞=-=======→→→→x f x f b e a x f e ex f e b a b e a e b a e ex x ex x.______________),(,),0(,)0,(,),(.322===+=∂∂∂=y x f y y f x x f y x yx zy x f z 则且满足设.0)0(,)(),0(,)0()()0,(),()(2121)(2.)(2122220122012212222==⇒==+⇒=+++=⇒++=∂∂+++⎰⎰C y y C y y f x C dx x C x x f y C dx x C xy y x z x C y xy x z y x y x y x xx由题设有应填解 .___________)(,d )(13)(.41022=--=⎰x f x x f x x x f 则已知函数.233.3223),1(169)(,13)(,d )(.1233133222222210222==⇒+-=-+--=--==----⎰A A A A A x A x Ax x x f x A x x f x x f A x x x x 或方程两端积分得于是则令或应填解._______d d )cos(1lim ,:.5222222=+≤+⎰⎰-→+rD y x r r y x y x e r r y x D 则设.π应填解使存在由积分中值定理,),(,r D ∈ηξπ.π)cos(lim ,π)cos(d d )cos(22222202=⋅+=⋅+=+-→--+⎰⎰ηξηξηξηξe r e y x y x er D y x r原式_________.)(lim ,4cos 1)(1ln 121lim6.300==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-→→x x f x x f x x x 则已知 .2ln 2)(lim 4)(lim 2ln 222ln )(lim )cos 1)(12()(lim ]cos 1)(1[ln 121lim 2ln2.3030200=⇒==⋅=--=-+-→→→→→xx f x x f x x x f x x f x x f x x x x x x x 应填解._______)1(,)1()(.7)10(5=-=-fe x xf x 则设.678910!5!10)1(!5)1(!10)1()1(!)1()1(.67891011)10(15)10(05151---∞=+---⨯⨯⨯⨯-=-=-=⇒--=-⨯⨯⨯⨯-∑e e f ef x n e e x e n n n x所以应填解.__________________________d d 1d d 8.0sin 0422=+⎰⎰x tt u u x.sin 1cos d 1d d d d 1d d .sin 1cos 4sin 040sin 04224x x u u x t u u x x x xx t +=+=++⎰⎰⎰应填解.___________)2(,)1(,)()(.9==='f a f xx f x f 则且若 .2)2(,)1(,)(ln ln )(ln 1)()()()(.2a f a C a f x C x f C x x f xx f x f x x f x f a ====⇒+=⇒='⇒='所以得由应填解.__________])1(21)[1()21]()1(1[,10.101nl 的和为则级数或设x n nx nx x n x x n -+++-+-<>∑∞=.2ln 211211)1(21)1(1])1(21)[1()21]()1(1[.2ln ln lim }ln {ln n 11l =++++--+-+=-+++-+∞→∞=∞=-=∑∑nx nxnx nx x n x n x n nx nx x n n n n 应填解).(,cos 6sin 4cos d )(,)()10.(23x f C x x x x x x x f x x f 求且可导设分二+--='⎰ Cx x xx dxx xdx xx x x dx x x dx x x dx x x x f x xx x x x x f x x x x x x f x ++-=---=--=--='--='⎰⎰⎰⎰⎰cos sin sin cos sin sin cos 2sin 2)(,sin cos 2sin 2)(,sin cos 2sin 2)(222232323解：作函数图形并填写下表设函数分三,|2|11||11)()10.(-+++==x x x f y解.]π,0[)(,sin d )()(,),()()10.(40上的平均值在区间求且上的连续非负函数是设分四x f x t t x f x f x f x=-⋅+∞-∞⎰.π23π)(π1π],0[)(23π)π(π43)π(π,83sin |)(21,sin )()(,d )()(du,)(d )(π02π04π0240======⋅'==-=-⎰⎰⎰⎰⎰dx x f x f F F dx x x F x x F x F u u f x F u f t t x f u t x xxx 上的平均值为在区间从而，，即故两端积分得则记，则令解.12)10.(2有且仅有三个实根证明方程分五+=x x.12)(.)(2ln 2)()(.)()5,2()()(,06)5(,01)2(.0)1()0(,12)(232有且仅有三个实根即方程有且仅有三个零点，综上可知至多有三个零点故零点，这是不可能的，至少有一个点，则由罗尔定理知有四个或四个以上的零若至少有三个零点而至少存在一个零点，从内在点定理知连续，由连续函数的零且又显然令证明+=='''>=<-===--=x x f x f x f x f x f x f x f f f f f x x f x x x .d )(2d )( ,]1,0[)()10.(110⎰⎰≤x x f x x x f x f 证明不等式上连续且单调增加在区间设函数分六 .d )(2d )( .d )(d )(2)]()()()([ )]()()[(.0)]()()[(,1,0:.0)]()()[(]1,0[10101010⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-=--+=--≥--≤≤≥--x x f x x x f x x f x x f x dxdy x yf y xf y yf x xf dxdyy f x f y x dxdy y f x f y x y x D y f x f y x DDD所以而则记上有在证明.,:.,,,.1,,,,.,,,,)10.(321并求出此常量之比为常数与产量最小投入总费用证明最小费用总三要素的适当投入可使当产量一定时和若三要素的价格分别为且为正数其中已知生产函数为为产量分别为三要素的投入量入三种要素设生产某种产品必须投分七Q P P P P P z y x Q Q z y x =++=γβαγβαγβα.,,,,..,,0)(,000,,),(.321321321131211321321得证）（）（）（则中得代入将是常数，并求下面证明即解得且，即的偏导数为零，令其对记拉格朗日函数为下的最小值在条件求由题意知解γβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαλγβλαλγλβλαλλλλγβαλλγλβλαλP P P Q P P P Q Q z y x Q z P Q y P Q x P QPQ P Q P Q z y x z y x P z y x P z y x P z y x Q z y x z P y P x P L Q z y x z P y P x P P -==-=-=-=-=-=-==+++=⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+-+++==++=---.,,1||.)]1(21[,2,21,1)10.(1110并求其和函数收敛幂级数时证明当有且当已知分八n n n n n x a x a n a n n a a ∑∞=-<-+=≥==.11.11)(1)0(,)1(21)()().()(21][2121)1(2121)]1([21)(,)(.1||,1)(lim lim 110111121121121211211211x x a x x S S x x S x S x S x x S x na a x a x a n x a x a n xa n a x S x a x S x na a n a an n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n --==-=''+=+-+=-++=-++=+='=<=+=∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=-∞=--∞=--∞=--∞=--∞=∞=∞→+∞→的和函数为故幂级数得解微分方程则记时幂级数收敛所以当由于解。

第十七届()本科甲、乙组试题

第十七届（年）北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题（有改动）班级：学号：姓名：一、填空题（每题4分，共40分）1、设严格单调函数()y f x =有二阶连续导数，其反函数为(),x y φ=且(1)1,(1)2,(1)3,f f f '''===则(1)φ''=____________________.2、设单位向量α→与β→的夹角为(0π),,a b θθ<<为正常数，则201lim [||||||]a b a b θαβαβθ→→→→→+-+=___________________.3、设21()123f x x x =+-，则(100)(0)f =__________________ 4、积分2012π0|sin |d x x x =⎰______________________5、已知有正数(4)n n >使极限4lim[(72)]n x x x x α→+∞++-存在且不为零，则a =_________ 6、当0u >时()f u 有一阶连续导数，且(1)0,f =又二元函数()x y z f e e =-满足1z z x y∂∂+=∂∂，则()f u =___________________.7、已知(,)z z x y =是由方程1sin()1xyz z xy -=--所确定的隐函数，则(0,1)x z =__________ 8、积分121220122cos cos y y y dy x dx dy x dx +⎰⎰⎰⎰的值为__________________9、已知0)1(sin lim2cos 100≠=-⎰-→c e dt t k x x x ，则=k ___ ，=c _____ 10、积分11[arcsin cos ]x x dx -+⋅=⎰______________________.二、（6分）已知(sin )cos tan ,22f x x x x x ππ'=++-<<，且(0)1f =，求()f x 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第十七届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答（2006年10月14日下午2：30 - 5：00）注意：本考卷共九题。

甲组九题全做，乙组只做前七题一、填空题（每题2分，共20分）.___)1(,3)1(,2)1(,1)1(),(,)(.1=''=''='===ϕϕ则且其反函数为有二阶连续导数设严格单调函数f f f y x x f y .83)1(,)(1)()(.8332-='''''-='⋅'''-=''-ϕϕ知由应填解y y y y y y._______|]||||[|1lim,,),π0(.22=+-+<<→→→→→→→βαβαθθθβαθb a b a b a 则为正常数的夹角为与设单位向量.)(2cos 22sin limcos 2lim|]||||[|1limcos 2)()(||.)(22202220222b a abab b a ab ab b a b a b a b a ab b a b a b a b a b a ab+=++=++-+=+-+++=+⋅+=++→→→→→→→→→→→→→θθθθθβαβαθθβαβαβαθθθ得由应填解._______)0(,4211)(.3)100(2=++=f xx x f 则设 )!.100(2)0(,)2()2()2(1214211)(,21||.)!100(2100)100(0130332100-=-=--=++=<-∑∑∞=+∞=f x x x x x x x f x n n n n所以时因为当应填解._______d |sin |.4π20060=⎰x x x.π2006π20062d |sin |π2006d |sin |)π2006(d |sin |)π2006(π2006.π200622π20060π200600π20062）（故）（）（应填解=⨯+-=+-=---=⎰⎰⎰I I t t t t t t t t x t I .__,])27[(lim )4(.54=-++>+∞→αα则存在且不为零使极限已知有整数x x x n n n x.51,14,1],)271([lim ])27[(lim .5144=-=-=-++=-++--+∞→+∞→ααααα因此由极限不为零得所以由极限存在可得因为应填解n n x x x x x x x n n n x n x ._____,.1)1(lim ,1,0.611的取值范围为则收敛若且设p a a e n p a n n n npn n ∑∞=∞→=->>).,2(,11,,.1lim )1(lim ),(1~1).,2(1111+∞>-==-∞→-+∞∑∞=-∞→∞→的取值范围应为即则收敛若法知由正项级数的比较判别所以因为应填解p p a a n a e n n ne n n n p n n np n n._____.7222===+A xOy y z a y x 面之间的侧面积与夹在平面圆柱面 .4d sin 2d 2.42π02222a t t a s y A a x a y ===⎰⎰-=对称性知曲线积分的几何意义及由应填解.____)(,1)(,0)1(,)(0.8==∂∂+∂∂-==>u f yzx z e e f z f u f u y x 则满足又二元函数且有一阶连续导数时当 .ln )(,0)1(0.||ln )(,1)()()(,.ln u u f f u C u u f u f u u f e u f e yz x z e e u u yx yx==>+=='='-'=∂∂+∂∂-=所以且由于解出则记应填解._____________1.9==''-'''y x y xy 的通解为 .12,.11),(.1232314232314C x C x C x y x C x p x p xp x y x y x p y C x C x C x +++=+==-'=''-'''=''+++因此通解为的求解公式得根据一阶线性微分方程可化为则令应填解.____),(lim lim ),(lim lim ),0(1tan 1),(.1000=-≠+=→∞→∞→→y x f y x f y x yx y x y x y x f x y y x 则设函数.1),(lim lim ),(lim lim ,1),(lim lim ,0),(lim lim .10000-=-==-→∞→∞→→→∞→∞→→y x f y x f y x f y x f x y y x x y y x 所以因为应填解.)(,1)0(,2π2πtan cos )(sin )10(.x f f x x x x x f 求且，已知分二=<<-++='.1arcsin arcsin 121)(,1)0(.arcsin arcsin 121)(,arcsin d )arcsin 1(,arcsin 121d 1.d )arcsin 11()(arcsin 11)()2π2π(sin 22221222222+++-==+++-=+=+-++-=-+-+-=+-+-='<<-=⎰⎰⎰x x x x x x f f C x x x x x x f C x x x x x xC x x x x x x x xxx x f t t t t t f x x t ）（故又）（所以）（而即，，则令解.)(,1)0(,)()()(,,),()()10(.x f f a f e b f e b a f b a x f b a 求又成立都有等式且对于任意的实数上有定义在设分三='+=++∞-∞ .)(,0)0(),()().())(()]0()([lim )()()(lim)()(lim )(.0)0()0()0()00(0000x x x x x x x x x x xe x f f x C e x f x f e xe e xf f x f e xx f x f e x f e x x f x x f x f f f f f ==+=+=∆-+-∆=∆-+∆=∆-∆+='=+=+∆→∆∆→∆→∆所以又解此微分方程可得得由解.),(1)10(.2200022立体的体积所围成处的切平面与抛物面上任意一点求抛物面分四y x z y x P y x z +=++= .2π])()(1[d d )122(,1)()(,122,,122),(12020222020002020202000222020*******=----=--++-+=≤-+-⎩⎨⎧++-+=+=++-+=++=⎰⎰⎰⎰y y x x yx y x y x y y x x V y y x x D y x y y x x z y x z y x y y x x z y x P y x z DD所围成的立体的体积：求得投影区域处的切平面为在点抛物面解.)0(202,)728(15π2d )1()10(.2222之间的部分和夹在平面为抛物面其中证明分五>==+=∑-≤--⎰⎰∑t tz z y x z S y x .15)728(2)(,15)728(2d 1)1(2)1(),1()(,1,01)1()().,0(,d 1)1(2d d 1)1(d )1()(221022*********π-≤π-=+-π===+-π='+∞∈+-π=++--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑t I r r r r I I t I t t t t I t r r r r y x y x y x S y x t I ty x t所以而的最大值为则解得唯一驻点令证.,2.1112,,,)10(.时达到最大问两针尖相离的速度何与设时针和分针分别长后再次重合小时经过再由大变小由小变大两针针尖间的距离逐渐后分针和时针在零点重合分六a a 两针尖分离的速度为之间的距离为故尖的位置分别为此时，时针和分针两针和度为时针分针分别转动了角时刻，小时，所以在分针的角速度为小时，为由题意知时针的角速度解],116,0[,611cos 45)6cos 2cos 2()6sin 2sin 2(,),2cos 2,2sin 2(),6cos ,6sin (,26]116,0[/2/62221∈π-=π-π+π-π=πππππ=βπ=α∈π=ωπ=ωt t a t a t a t a t a S B A t a t a B t a t a A t tt.54.5410112,1120],116,0[,)611cos 45(2611cos 5)611(cos 218121],116,0[,611cos 45611sin311322两针尖分离速度最大秒分经过度最大，即从重合开始小时后两针尖分离的速即在解得驻点令=='∈-+--='∈-='=t v t t t t v t t t a S v πππππππ .1),0,1()1,0(,),()10(.22yf x x f y y x f f y x f ∂∂=∂∂=+=点满足方程上至少存在两个不同的证明在单位圆周且有一阶连续偏导数设二元函数分七证令),sin ,(cos )(θθθf F =则在区间),π2()2π()0(,)(]2,0[F F F F ==且可导上θπ由罗尔定理知至少存在两个不同的点),π2,0(,∈ηξ使得,0)()(='='ηξF F而),sin ,(cos cos )sin ,(cos sin )(θθθθθθθy x f f F +-=' 将ηξ,代入上式即得结论.以下两题乙组考生不做.1111211)10(.nen e ne n n<⎪⎭⎫ ⎝⎛--<>，求证：设整数分八证先证不等式 .01)11ln()11(1)11(1>+--⇔<--nnnnenen设],1,0[,)1ln()1()(∈+--=x x x x x f ),1,0(,0)1ln()(∈>--='x x x f所以上在]1,0[)(x f 单增, 0)0(=f ,当)1,0(∈x 时, ,0)1ln()1()(>+--=x x x x f故 .01)11l n ()11()1(>+--=nnnnf再证不等式 .01)11ln()211ln(1)11(121>----⇔--<nn n n n e ne n设 ),1,0[,)1ln()21ln()(∈----=x x x x x x f),1,0(,1112)21ln()(∈--+---='x xx x x x f),1,0(,0)1()2()55()1(1)2(221)(22222∈>--++=-+----=''x x x x x x x x x x f所以上在)1,0[)(x f '单增, 0)0(='f ,当)1,0(∈x 时01112)21ln()(>--+---='xxx x x f ,所以上在]1,0[)(x f 单增, 0)0(=f ,当)1,0(∈x 时0)1ln()21ln()(>----=x x xx x f ,故 .01)11l n ()211l n (1)1(>----=nn n n n f .21d )(]1,0[,,0d )(,1|)(|,]1,0[)()10(.10成立都有证明对于任意的且上连续在闭区间设函数分九≤∈=<⎰⎰bax x f b a x x f x f x f证不妨假设.b a < 若,21≤-a b 则;21)(d )(≤-=⎰a b f x x f baξ若,21>-a b 则)1()()(d )(d )(d )(10b f a f x x f x x f x x f b aba -+=+≤⎰⎰⎰ηξ.21)(1<--≤a b。