八年级数学上册培优讲义(人教版)
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5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.
6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.
经典·考题·赏析
【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________.
01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是()
A．24cmB．30cmC．24cm或30cmD．18cm
02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()A．13cmB．6cmC．5cmD．4cm
03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.
01．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.
02．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.
03．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.
【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC＝______________.
【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22.当18cm为底边时，腰为 ＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.
【变式题组】
02.点P、O分别是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点，则∠OPC＝______________.
03．如图，∠O＝140°，∠P＝100°，BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO，则∠A＝______________.
【例６】如图，已知∠B＝35°，∠C＝47°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，则∠EAD＝______________.
【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12，
【变式题组】
01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.
【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.
【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC＝16.
02．如图，在△ABC中，∠ACB＝40°，AD平分∠BAC，∠ACB的外角平分线交AD的延长线于点P，点F是BC上一动点(F、D不重合)，过点F作EF⊥BC交于点E，下列结论:①∠P+∠DEF为定值，②∠P－∠DEF为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.
【例７】如图，在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，使CC′∥AB，若∠BAC＝70°，则旋转角α＝______________.
【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC＝ ∠A+90°.证法如下:∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－ ∠ABC－ ∠ACB＝180°－ (180°－∠A)＝90°+ ∠A．所以∠BOC＝125°.
【变式题组】
01．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝______________.
02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c为边的三角形，共有______________个.
03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是()
A．1B．2C．3D．4
【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.
【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC′∥AB，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，又AC＝AC′，∴∠C′AC＝180°－2×70°＝40°
【解法指导】∵∠EAD＝90°－∠AED＝90°－(∠B+∠BAE)＝90°－∠B－ (180°－∠B－∠C)＝90°－∠B－90°+ ∠B+ ∠C＝ (∠C－∠B)，故∠EAD＝6°.
【变式题组】
01.如图，已知∠B＝39°，∠C＝61°，BD⊥AC，AE平分∠BAC，则∠BFE＝__________.
【变式题组】
01．如图，已知点D、E、F分别是BC、ABaidu Nhomakorabea、BE的中点，S△ABC＝4，则S△EFC＝______________.
02．如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若一腰上的高为4cm，则DE+DF＝______________.
03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB)，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于F，则DF与AB的数量关系是______________.
【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.
【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系即 ，∠A+∠B＝∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°
【变式题组】
2016年最新人教版八年级上册数学培优讲义
第一讲 认识三角形
考点·方法·破译
1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.
2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.
3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .
4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.
经典·考题·赏析
【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________.
01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是()
A．24cmB．30cmC．24cm或30cmD．18cm
02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()A．13cmB．6cmC．5cmD．4cm
03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.
01．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.
02．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.
03．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.
【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC＝______________.
【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22.当18cm为底边时，腰为 ＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.
【变式题组】
02.点P、O分别是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点，则∠OPC＝______________.
03．如图，∠O＝140°，∠P＝100°，BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO，则∠A＝______________.
【例６】如图，已知∠B＝35°，∠C＝47°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，则∠EAD＝______________.
【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12，
【变式题组】
01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.
【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.
【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC＝16.
02．如图，在△ABC中，∠ACB＝40°，AD平分∠BAC，∠ACB的外角平分线交AD的延长线于点P，点F是BC上一动点(F、D不重合)，过点F作EF⊥BC交于点E，下列结论:①∠P+∠DEF为定值，②∠P－∠DEF为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.
【例７】如图，在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，使CC′∥AB，若∠BAC＝70°，则旋转角α＝______________.
【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC＝ ∠A+90°.证法如下:∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－ ∠ABC－ ∠ACB＝180°－ (180°－∠A)＝90°+ ∠A．所以∠BOC＝125°.
【变式题组】
01．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝______________.
02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c为边的三角形，共有______________个.
03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是()
A．1B．2C．3D．4
【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.
【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC′∥AB，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，又AC＝AC′，∴∠C′AC＝180°－2×70°＝40°
【解法指导】∵∠EAD＝90°－∠AED＝90°－(∠B+∠BAE)＝90°－∠B－ (180°－∠B－∠C)＝90°－∠B－90°+ ∠B+ ∠C＝ (∠C－∠B)，故∠EAD＝6°.
【变式题组】
01.如图，已知∠B＝39°，∠C＝61°，BD⊥AC，AE平分∠BAC，则∠BFE＝__________.
【变式题组】
01．如图，已知点D、E、F分别是BC、ABaidu Nhomakorabea、BE的中点，S△ABC＝4，则S△EFC＝______________.
02．如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若一腰上的高为4cm，则DE+DF＝______________.
03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB)，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于F，则DF与AB的数量关系是______________.
【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.
【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系即 ，∠A+∠B＝∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°
【变式题组】
2016年最新人教版八年级上册数学培优讲义
第一讲 认识三角形
考点·方法·破译
1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.
2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.
3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .
4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.