高一期末复习专题1：任意角的三角函数及诱导公式
高一数学诱导公式汇总
高一数学诱导公式汇总学习数学需要讲究方法和技巧，更要学会对知识点进行归纳整理。
下面是店铺为大家整理的高一数学诱导公式大全，希望对大家有所帮助!高一数学诱导公式总结诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα诱导公式公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα诱导公式公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα诱导公式公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα诱导公式公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα诱导公式公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)。
任意角的三角函数⑵
1.任意角的三角函数的(代数表示)-----定义 设 为任意角, p ( x , y )是 终边与单位圆的交点。
y
P (x, y) 正弦： sin
1 余割： csc y
o
x
1 余弦： cos x 正割： sec x 正切： tan y 余切： cot x
y o x
α在第二象限如何？其它象限如何？
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y T P(x,y)
sin y MP
o M A(1,0) x
cos x OM
MP AT tan AT OM OA
1.设的终边与单位圆交于点P(x,y),
2.过点P作x轴的垂线，垂足为M
0
k Z
转化为求00 到3600 角的三角函数值。 可把求任意角的三角函数值，
练习：1.求值 9 1) cos 4
2) sin1470
19 4) sin( 1050 ) 5) tan 3
11 3) tan( ) 6 31 6) tan( ) 4
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y x y tan cos sin x r r
2.若角
3.角
求
的终边上一点P的坐标为 4a, 3a a 0
2sin cos 的值；
3 8 的终边过点P a， cos 则 a ______ 5
，
4.角的终边在直线3 x 4 y 0上, 求2sin cos
y T P(x,y)
sin y MP
o M A(1,0) x
任意角的三角函数及基本关系与诱导公式
提 知 能 · 典 例 探 究 明 考 情 · 高 考 体 验 课 后 限 时 自 测
第三章
任意角的三角函数
及基本关系与诱导公式
1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角 和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角． (3)若 β 与 α 是终边相同的角，则 β 用 α 表示 为 β＝2kπ＋α(k∈Z) ．
2 2
[ 答案]
2 5 － 5
【典例 4】
π 0<θ< ，则 4
4 (2014· 镇海中学模拟)已知 sin θ＋cos θ＝ 3 )
sin θ－cos θ 的值为(
2 A. 3 1 C.3
2 B．－ 3 1 D．－3
[ 解析]
4 ∵sin θ＋cos θ＝ ， 3
2
16 ∴(sin θ＋cos θ) ＝1＋sin 2θ＝ ， 9 7 ∴sin 2θ＝ . 9 π 又 0<θ< ，∴sin θ<cos θ， 4 ∴sin θ－cos θ＝－ sin θ－cos θ2 2 ＝－ 1－sin 2θ＝－ . 3 [ 答案] B
为
4 αα＝2kπ＋ π， 3
， 故 所 求 角 的 集 合 为
4 α＝2kπ＋3π，
π α α＝2kπ＋ ， 3 π αα＝kπ＋ ， 3
k∈Z
∪ α
k ∈ Z ＝
k∈Z.
3 (2)∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋ π(k∈Z)， 2 π α 3 ∴kπ＋ ＜ ＜kπ＋ π(k∈Z)． 2 2 4 π α 3 α 当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋ ＜ ＜2nπ＋ π， 是第二象限 2 2 4 2 角， 3π α 7 α 当 k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋ ＜ ＜2nπ＋ π， 是第四 2 2 4 2 象限角， α 综上知，当 α 是第三象限角时， 是第二或第四象限角． 2
高一数学 知识点 三角函数 诱导公式 常考题 经典题 50道 含答案和解析
高一数学三角函数诱导公式50道常考题经典题一、单选题1.若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一【解析】【解答】由三角函数的定义知：，所以，因为角的终边在第三象限，所以<0,所以的值是。
【分析】三角函数是用终边上一点的坐标来定义的，和点的位置没有关系。
属于基础题型。
================================================================================2.若,则的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】即，所以，，=，故选C。
【分析】简单题，此类题解的思路是：先化简已知条件，再将所求用已知表示。
================================================================================3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，故选C.================================================================================4.函数图像的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】诱导公式一，余弦函数的图象，余弦函数的对称性【解析】【分析】，由y=cosx的对称轴可知，所求函数图像的对称轴满足即，当k=-1时，，故选A.================================================================================5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系，弦切互化【解析】【解答】因为，所以，可得，故C符合题意.故答案为：C .【分析】利用诱导公式将已知条件化简可求出tan，将中分子分母同时除以cos.================================================================================6.函数（）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 是非奇非偶函数【答案】A【考点】奇函数，诱导公式一【解析】【解答】∵，∴,∴是奇函数．故答案为：A【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。
高一数学三角函数的诱导公式
能否再把 0 ～360间的角的三角函数求值，化为 我们熟悉的 0 ～ 90 间的角的三角函数求值问题呢？
如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可 以化归为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到 最终解决，本课就来讨论这一问题．
设 0 90，对于任意一个0 到360 的角 ， 以下四种情形中有且仅有一种成立．
例题讲解
例1
求下列三角函数值：
（1） sin 225 ；
cos 1290 （2）
；
11 （3）cos 240 12 ；（4）sin ． 10
例2
cos 180 sin 360 化简： ． sin 180 cos 180
的三角函数值，等于 的同名函数值， 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号， 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数,一般按下面步骤进行: 任意负角的 三角函数
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式 二或四
的三角函数
锐角三 角函数
例4
填写下表
sin
3
2 3
4 3
3 2
3 2
cos
1 2
1 2
3 2
5 3
3 2
7 3
3 2
1 2
1 2
1 2
练习反馈
1 （1）已知 cos ，求 tan 9 的值． 2
3 5 （2）已知 cos ，求 cos 的值． 6 3 6
高一数学：三角函数的诱导公式经典课件
π +α、- α、 π-α的诱导
问题提出
1 5730 p 2
t
1.任意角α 的正弦、余弦、正切是怎样 定义的？
sin y
cos x
y α 的终边
P(x，y)
O
y tan ( x 0) x
x
2. 2kπ ＋α （k∈Z）与α 的三角函数 之间的关系是什么？
公式三：
思考：利用π －α ＝π ＋(－α )，结合公式二、 三，你能得到什么结论？
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2
cos( ) sin 2
的三角函数值，等于α 的同 2 名函数值，再放上将α 当作锐角时原函数
值的符号.
思考5：根据相关诱导公式推导，
3p sin( - a ), cos 2 3p cos( - a ), sin 2 3p sin( + a ), cos 2
sin(π ＋α )=-y cos(π ＋α )=-x
y tan(π ＋α )= x
o
Q(-x，-y) π+α 的终边
x
思考：对比sinα ，cosα ，tanα 的值， π ＋α 的三角函数与α 的三角函数有什 么关系？
sin( ) sin
公式二： cos( ) cos
tan( ) tan
知识探究（二）：-α ，π -α 的诱导公式：
思考：对于任意给定的一个角α ，－α 的终边与α 的终边有什么关系？
高中三角函数及解三角形知识点总结(高考复习)
= 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α .
变形如下：
1 + cos 2α = 2 cos 2 α 升幂公式： 2 1 − cos 2α = 2sin α cos 2 α = 1 (1 + cos 2α ) 2 降幂公式： sin 2 α = 1 (1 − cos 2α ) 2
y = sin x 在 x ∈ [0, 2π ] 上的五个关键点为：
π 3π （0， 0） （ ， ， 1 ） （ ， π， 0） （ ， ，） -1（ ， 2π ， 0） . 2 2
-1-
§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：
y
2、记住余切函数的图象：
y
y=tanx
y=cotx
y = A sin ω x
横坐标变为原来的 | 平 移
ϕ ω
2− 3
§ 3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1 ω
|倍
个 单 位
1、 sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β 2、 sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
r = x2 + y 2 ） sin α = x y x y ， cos α = ， tan α = ， cot α = y r r x
π sin + α = cos α , 2 π cos + α = − sin α . 2
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：
ymax + ymin . 2
ymax − ymin ， 2
1三角函数—基础及诱导公式
三角函数及诱导公式重要知识1、任意角的三角函数（在平面直角坐标系中）（1）x y rx ry===αααtan cos sin （2）终边相同的角（用于大化小、负化正）2、同角三角函数的基本关系式：①平方关系1cos sin 22=+αα； ②商式关系αααtan cos sin =； ③倒数关系1cot tan =αα；3、诱导公式（可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”）典型例题题型一、诱导公式基础运算1、（2008•陕西）sin330°等于（）A．B． C． D．2、（2013•梅州二模）sin660°的值为（）A． B． C．D．﹣•广东）已知•南昌模拟）已知，则．•新余二模）若等于（•浙江模拟）已知，则8、（1）计算=____________.（2）计算．9、的值等于（）．A．B．C．D．题型二、三角函数的定义10、角α的终边终过点P(-3,4)，那么sin α与cos α的值是 .11、已知角α的终边上一点P 与点A(-3，2)关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点对称，求2sin α+3sin β的值.12、已知角α的终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4，且cos α＜0，求sin α，tan α.13、如果角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴重合，终边在函数y ＝-5x(x ＜0)的图象上，那么cos α的值为( )A.±2626B. 2626C.- 2626D.- 51 题型三、三角函数两大基本关系14、已知tan α=2，求下列各式的值：(1)sin α+2cox α(2)ααααsin cos 3sin 5cos +-(3)1sin cos sin 5cos 3cos sin sin 222++--ααααααα (4)2sin 2α-sin αcos α+cos 2α15、已知sin α+cos α=51,α是第二象限角，那么tan α= .16、（2012•鹰潭模拟）设tan α=，则sin α﹣cos α的值（ ） A ． B ． C ． D ．高考真题，，则C，．﹣、已知，则，则﹣，且．±•潍坊模拟）已知，则C（﹣，）．•辽宁）已知。
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高一期末复习专题1：任意角的三角函数及诱导公式一．【课标要求】1．任意角、弧度：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切）。
二．【要点精讲】1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。
旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|6π≤α≤65π}=[6π，65π]。
3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。
角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。
角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=。
弧度与角度互换公式：1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝180π≈0.01745（rad ）。
弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==。
4．三角函数定义在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP b OP r α==；cos OM a OP r α==；tan MP bOM aα==。
利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； （3）yx叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠。
5．三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。
利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。
以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。
当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==。
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标这样,无论那种情况都有sin MP y α==。
像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。
如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan yAT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。
6．同角三角函数关系式使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法几个常用关系式：sin α+cos α，sin α-cos α，sin α·cos α；(三式之间可以互相表示)同理可以由sin α－cos α或sin α·cos α推出其余两式。
②21sin 1sin 2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭． ③当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有sin tan x x x <<。
7．诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin(180)α+=o sin α-； cos(180)α+=-ocos α诱导公式三：sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-=o； cos(180)cos αα-=-o诱导公式五：sin(360)sin αα-=-o； cos(360)cos αα-=o－α απ-απ+απ-2()Z k k ∈+απ2απ-2sin －sin α sin α －sin α －sin α sin α cos α coscos α－cos α－cos αcos αcos αsin α（1）要化的角的形式为180k α⋅±o（k 为常整数）； （2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）sin(k π+α)=(－1)k sin α；cos(k π+α)=(－1)k cos α(k ∈Z)； （4）sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
三．【典例解析】题型1：象限角例1．已知角︒=45α；（1）在区间]0,720[︒︒-内找出所有与角α有相同终边的角β； 例2．若sin θcos θ＞0，则θ在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限例3．()的形式是化成把Z k ∈︒<≤︒+︒⋅︒-,3600360k 1485αα例4．扇形AOB 的周长为8cm ，若这个扇形的面积为32cm ，其圆心角为 ； 题型2：三角函数定义例5．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。
题型3：诱导公式例7．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ）A.43-B.54C.34-D.45例8．化简：（1）sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o； （2）()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+----⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-απαπαπαπαπαπαπαπ29sin sin 3sin cos 211cos 2cos cos 2sin例9．课本28页第7题：例10．（1）证明：()ααααααααcos 1sin sin 1cos cos sin 1sin cos 2+-+=++-； （2）求证：cos 1sin 1sin cos x xx x+=-。
四．【综合题目练习】一、选择题1. sin585°的值为A. 2-B.2C.2-D.22．下列各角中，与角330°的终边相同的有是（ ）A ．510°B ．150°C ．-150°D ．-390° 3.函数)(),12cos()12sin()(x f x x x f 则ππ--=的最小正周期是（ ）A ．2πB ．2πC ．πD ．4π4.已知α、β都是锐角，ββααsin ,135)cos(,54sin 则=+=的值为 （ ）A ．6553 B ．6533 C ．6516 D ．6513-5.已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是 A. 函数)(x f 的最小正周期为2π B. 函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数 C .函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D . 函数)(x f 是奇函数 6.下列关系式中正确的是（ ）A ．000sin11cos10sin168<<B ．000sin168sin11cos10<< C ．0sin11sin168cos10<< D ．0sin168cos10sin11<< 二、填空题7.若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= .8.=-++)425tan(325cos 625sinπππ .9. 设31sin (), tan(),522πααππβ=<<-=则tan(2)αβ-的值等于__ .三．综合训练10．已知),0(,,55cos ,31tan πβαβα∈=-= （1）求βsin 的值；（2）求)tan(βα+的值.11．已知)43,2(,102)4cos(πππ∈=-x x （1）求x sin 的值；（2）求)32sin(π+x 的值.五．【思维总结】2．α、2、2α之间的关系。
若α终边在第一象限则2α终边在第一或第三象限；2α终边在第一或第二象限或y 轴正半轴。
若α终边在第二象限则2α终边在第一或第三象限；2α终边在第三或第四象限或y 轴负半轴。
若α终边在第三象限则2α终边在第二或第四象限；2α终边在第一或第二象限或y 轴正半轴。
若α终边在第四象限则2α终边在第二或第四象限；2α终边在第三或第四象限或y 轴负半轴。
3．任意角的概念的意义，任意角的三角函数的定义，同角间的三角函数基本关系、诱导公式由于本重点是任意角的三角函数角的基础，因而三学习本节内容时要注意如下几点：（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化只有这样才能在高考中夺得高分。