七年级下全等三角形经典[1]
全等三角形综合练习题
知识点睛
1、三角形全等的条件
（1）边边边公理：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS （2）边角边公理：如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS
（3）角边角公理：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA
（4）角角边公理：有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为AAS
2、直角三角形全等的特殊条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”
3、选择证明三角形全等的方法（“题目中找，图形中看”）
（1）已知两边对应相等
①证第三边相等，再用SSS证全等
②证已知边的夹角相等，再用SAS证全等
③找直角，再用HL证全等
（2）已知一角及其邻边相等
①证已知角的另一邻边相等，再用SAS证全等
②证已知边的另一邻角相等，再用ASA证全等
③证已知边的对角相等，再用AAS证全等
（3）已知一角及其对边相等
证另一角相等，再用AAS证全等
(4)已知两角对应相等
①证其夹边相等，再用ASA证全等
②证一已知角的对边相等，再用AAS证全等
4、全等三角形中的基本图形的构造与运用
（1）出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
（2）出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形（常用加倍延长中线） （3）利用加长（或截取）的方法解决线段的和、倍问题（转移线段）
1. 已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF.
求证:AC ∥DF ．
2. 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．
3. 如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求
证：AC=EF ．
4. 如图，在ΔABC 中，AC=AB ，AD 是BC 边上的中线，则AD ⊥BC ，请说明理由。
5. 如图，已知AB=DE ，BC=EF ，AF=DC ，则∠EFD=∠BCA ，请说明理由。
6. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，
经典例题
F
G
E
D
C
B
A
A B C D E F
A B C D
F E
D
C
B
A BD=3cm ，求线段BC 的长。
7. 如图，ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H ，且AD=BD ，试说明下列结论成立的理由。
（1）∠DBH=∠DAC ； （2）ΔBDH ≌ΔADC 。
8. 如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边
三角形．
（1） 除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的； （2） 你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．
9. 已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。
10. 如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上的一点，AF 的延长线交DC 的延长线
于G ，DE ⊥AG 于E ，且DE ＝DC ，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。
A B C D
E A
B
C
D
E H
11. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM
⊥AD 于M ，•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．
12. 如图所示，P 为∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于C ，•∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm ，求AO+BO
的值．
13. 如图，∠ABC=90°，AB=BC ，BP 为一条射线，AD ⊥BP ，CE ⊥PB ，若AD=4，EC=2.求DE 的长。
i.
14. 如图所示，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE=CF ，过E ，F 分别作DE•⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB=CD ，
可以得到BD 平分EF ，为什么？若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动，变为如图所示时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．
15. 如图，OE=OF ，OC=OD ，CF 与DE 交于点A ，求证： AC=AD 。
P D A C B
M N P D A
C B O G
D F
A C
B E G D
F A C
B
E F
E
D C A
O
16. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。
(1) 求证：∠ABE=∠C ；
(2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。
17. 如图∠ACB=90°,AC=BC,BE ⊥CE,AD ⊥CE 于D ，AD=2、5cm ，DE=1.7cm,
求BE 的长
18. 如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ；
(2) OB ＝OE .
19. 如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中
的一组全等三角形，并说明理由．
20. 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ．
求证：OA ＝OD ．
E D C B A
21. 如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直
线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．
22. 如图，,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点，，平分交于点，请你写出图中三对．．
全等三角形，并选取其中一对加以证明．
23. 如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，
BD 交AC 于点M ．
（1） 求证：MB =MD ，ME =MF
（2） 当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请
给予证明；若不成立请说明理由．
24. 如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．
（1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=1
2
BD ；
（2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它
的度数，并说明理由。
B D
C F
A
E
F E D C B A
E
D
C。
七年级数学下册三角形全等的判定
∠C＝∠C′ ∴△ABC ≌ △A′B′C′（ASA）
归纳
定理： 如果两个三角形中有两个角和其中一
个角的对边分别对应相等，那么这两个三
角形全等．简记为AAS（或角角边）．
三角形全等的判定
(角边角)
(角角边)
如图，已知∠ABC＝∠D，∠ACB＝∠CBD，判
断图中的两个三角形是否全等，并说明理由．
2.当两个三角形的两条边及其中一边的
对角分别对应相等时，两个三角形未必
一定全等.
M
D
C
A
B
已知：如图，要得到△ABC ≌ △ABD，已经隐 含有条件是__A_B_=__A_B__根据所给的判定方法，在 下列横线上写出还需要的两个条件：
（1） AC=AD ∠CAB=∠DAB (SAS)
( 2 ) BC=BD ∠CBA=∠DBA (SAS)
三角形全等的判定
探究
先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB， B′C′=BC，C′A′=CA．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？
画一个△A′B′C′，使A′B′=AB， A′C′=AC，B′C′=BC： （1）画B′C′=BC； （2）分别以点B′，C′为圆心，线 段AB，AC长为半径画弧，两弧相 交于点A'； （3）连接线段A′B′，A′C′．
如图：如果两个三角形有两个角及其中一个角的对 边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？
已知：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′
求证：△ABC≌△A′B′C′
证明：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ 且∠A＋∠B＋∠C＝180° 同理∠A′＋∠B′＋∠C′＝180° ∴∠C＝∠C′．
全等三角形判定经典
11.2三角形全等的判定ABC DEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DEAC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）。
例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。
求证：△ABC ≌△DCB 。
A BCD分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。
证明：在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CD AC ＝DB BC ＝CB，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。
“ASA ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EF C F∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）。
例2. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。
ABEFCD分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。
事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。
证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） 又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，()()()B C BF CE AFB CED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已证已证已证∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）角边”或“AAS ”。
七年级下全等三角形经典
全等三角形综合练习题知识点睛1、三角形全等的条件〔1〕边边边公理：如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为SSS 〔2〕边角边公理：如果两个三角形的两边与其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为SAS〔3〕角边角公理：如果两个三角形的两个角与其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为ASA〔4〕角角边公理：有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简记为AAS2、直角三角形全等的特殊条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成"斜边、直角边"或"HL"3、选择证明三角形全等的方法〔"题目中找,图形中看"〕〔1〕已知两边对应相等①证第三边相等,再用SSS证全等②证已知边的夹角相等,再用SAS证全等③找直角,再用HL证全等〔2〕已知一角与其邻边相等①证已知角的另一邻边相等,再用SAS证全等②证已知边的另一邻角相等,再用ASA证全等③证已知边的对角相等,再用AAS证全等〔3〕已知一角与其对边相等证另一角相等,再用AAS证全等<4>已知两角对应相等①证其夹边相等,再用ASA证全等②证一已知角的对边相等,再用AAS证全等4、全等三角形中的基本图形的构造与运用〔1〕出现角平分线时,常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形〔2〕出现线段的中点〔或三角形的中线〕时,可利用中点构造全等三角形〔常用加倍延长中线〕 〔3〕利用加长〔或截取〕的方法解决线段的和、倍问题〔转移线段〕1. 已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC ∥DF ．2. 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．3. 如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求证：AC=EF ．4. 如图,在ΔABC 中,AC=AB,AD 是BC 边上的中线,则AD ⊥BC,请说明理由.5. 如图,已知AB=DE,BC=EF,AF=DC,则∠EFD=∠BCA,请说明理由.6. 如图,在ΔABC 中,D 是边BC 上一点,AD 平分∠BAC,在AB 上截取AE=AC,连结DE,已知DE=2cm,BD=3cm,求线段BC 的长.经典例题FGEDCBAA BC D E F A B C DF EDCBA7. 如图,ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H,且AD=BD,试说明下列结论成立的理由. 〔1〕∠DBH=∠DAC ； 〔2〕ΔBDH ≌ΔADC.8. 如图,已知ABC ∆为等边三角形,D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上,且DEF ∆也是等边三角形．（1） 除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的猜想是正确的； （2） 你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．9. 已知等边三角形ＡＢＣ中,ＢＤ＝ＣＥ,ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ,求∠ＡＰＥ的大小.10. 如图,在矩形ABCD 中,F 是BC 边上的一点,AF 的延长线交DC 的延长线于G,DE ⊥AG 于E,且DE ＝DC,根据上述条件,请你在图中找出一对全等三角形,并证明你的结论.A B C DE A BCDE H11. 已知：如图所示,BD 为∠ABC 的平分线,AB=BC,点P 在BD 上,PM ⊥AD于M,•PN ⊥CD 于N,判断PM 与PN 的关系．12. 如图所示,P 为∠AOB 的平分线上一点,PC ⊥OA 于C,•∠OAP+∠OBP=180°,若OC=4cm,求AO+BO的值．13. 如图,∠ABC=90°,AB=BC,BP 为一条射线,AD ⊥BP,CE ⊥PB,若AD=4,EC=2.求DE 的长.i.14. 如图所示,A,E,F,C 在一条直线上,AE=CF,过E,F 分别作DE•⊥AC,BF ⊥AC,若AB=CD,可以得到BD平分EF,为什么？若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动,变为如图所示时,其余条件不变,上述结论是否成立？请说明理由．15. 如图,OE=OF,OC=OD,CF 与DE 交于点A,求证： AC=AD.16. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上,且∠AEB=∠ABC.P D A C BM N P D AC B O GD FA CB E G DF A CBE F ED C AO(1)求证：∠ABE=∠C；(2)若∠BAE的平分线AF交BE于F,FD∥BC交AC于D,设AB=5,AC=8,求DC的长.17.如图∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2、5cm,DE=1.7cm,求BE的长18.如图,在△ABE中,AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.求证：<1> △ABC≌△AED；<2> OB＝OE .19.如图,D是等边△ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边△EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由．20.已知：如图,B、E、F、C四点在同一条直线上,AB＝DC,BE＝CF,∠B＝∠C．求证：OA＝OD．EDC BA21. 如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．22. 如图,,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点，，平分交于点,请你写出图中三对．．全等三角形,并选取其中一对加以证明．23. 如图①,E 、F 分别为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E,BF ⊥AC 于F ,若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M ．（1） 求证：MB =MD ,ME =MF （2） 当E 、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．24. 如图,已知在△ABC 中,∠BAC 为直角,AB=AC,D 为AC 上一点,CE ⊥BD 于E ．（1） 若BD 平分∠ABC,求证CE=错误!BD ；（2） 若D 为AC 上一动点,∠AED 如何变化,若变化,求它的变化范围；若不变,求出它的度数,并说明理由.25、〔7分〕在△ABC 中,,AB=AC, 在AB 边上取点D,在AC 延长线上了取点E ,使CE=BD , 连接DE 交BC 于点F,求证DF=EF .B DC FAEF E D C B AE DCBADA F26、〔8分〕如图,△ABC 中,D 是BC 的中点,过D 点的直线GF 交AC 于F,交AC 的平行线BG 于G 点, DE ⊥DF,交AB 于点E,连结EG 、EF.(1) 求证：EG=EF;(2) 请你判断BE+CF 与EF 的大小关系,并说明理由.27、 如图△ABC ≌△A ｀Ｂ｀Ｃ,∠ACB=90°,∠A=25°,点B 在A ｀Ｂ｀上,求∠ACA ｀的度数.28、 如图：四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=AD+BC ,E 是CD 的中点,求证：AE ⊥BE .29、 如图所示,△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,AE 是BC 边上的中线,过C 作CF ⊥AE, 垂足为F,过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D.BA`B B C E F E DC B A Gi.求证:<1>AE=CD;<2>若AC=12cm,求BD 的长.30、 在正方形ABCD 中,E 是AB 上一点,F 是AD 延长线上一点,且DF=BE.i. 求证：CE=CF.ii. 在图中,若G 点在AD 上,且∠GCE=45° ,则GE=BE+GD 成立吗？为什么？31、 如图<1>, 已知△ABC 中, ∠BAC=900, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且B 、C在A 、E 的异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E 试说明: BD=DE+CE.若直线AE 绕A 点旋转到图<2>位置时<BD<CE>, 其余条件不变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何? 为什么？若直线AE 绕A 点旋转到图<3>位置时<BD>CE>, 其余条件不变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何? 请直接写出结果, 不需说明.归纳前二个问得出BD 、DE 、CE 关系.用简洁的语言加以说明.DCEGE D C B A M F32、 如图所示,已知D 是等腰△ABC 底边BC 上的一点,它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE 、DF 、CM 三者之间的数量关系, 并给予证明.33、 在Rt △ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,O 为BC 的中点.写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系,并说明理由.若点M 、N 分别是AB 、AC 上的点,且BM=AN,试判断△OMN 形状,并证明你的结论. 34、 如图,ABCD 是正方形,点G 是BC 上的任意一点,DE AG ⊥于E ,BF DE ∥,交AG 于F ．求证：AF=BF+EF ．35、如图10,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,E 为CD 的中点,连结AE 、BE ,BE ⊥AE ,延长AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：〔1〕FC ＝AD ；〔2〕AB ＝BC ＋AD ．36、如图①,将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠<点E 、F 分别在边AB 、CD 上>,使点B 落在DC BA EFGAD边上的点 M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P, 连接EP．<1>如图②,若M为AD边的中点,①,△AEM的周长=_____cm；②求证：EP=AE+DP；<2>随着落点M在AD边上取遍所有的位置<点M不与A、D重合>,△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．。
七年级下数学全等知识点
七年级下数学全等知识点在中学数学课程中，全等是一个非常重要的概念，它涉及到了平面几何和三角形等多个方面的知识点。
作为七年级下学期的学生，你需要掌握并理解一些关于全等的知识点，这对于以后的学习和应用都非常有帮助。
下面我们来一起学习这些知识点。
一、全等三角形的定义与判定全等三角形是指所有对应的角度和边长都相等的三角形，这种情况下我们可以使用三条边是否相等或者两边一个角是否相等来进行判断。
下面是全等三角形的判定方法：1. SSS判定法：当两个三角形的三边分别相等时，这两个三角形是全等的。
2. SAS判定法：当两个三角形的两个角分别相等，并且这两个角之间的夹着一个边长相等的边时，这两个三角形是全等的。
3. ASA判定法：当两个三角形的两个角分别相等，并且这两个角的一条边相等时，这两个三角形是全等的。
4. RHS判定法：当两个三角形的一条直角边和另外一条直角边与斜边分别相等时，这两个三角形是全等的。
二、全等三角形的性质全等三角形的性质非常重要，在实际问题中被广泛应用。
下面我们来介绍一些常用的全等三角形性质：1. 对应角相等性质：全等三角形中，对应角度相等。
2. 对应边相等性质：全等三角形中，对应边相等。
3. 对角线平分性质：全等三角形中，连接两个相对角的线段会平分第三个角。
4. 重心性质：全等三角形的所有重心都在连接其对应角的中垂线的交点处。
三、全等三角形的证明在实际问题中，我们需要根据给定条件，通过证明得出所需的结论。
这时候，全等三角形的证明是非常常见的一种证明方法。
下面我们来介绍一些全等三角形的证明方法：1. 侧角侧（SAS）证明法：通过已知两个角和一个边相等，从而证明两个三角形全等。
2. 角角边（AA）证明法：通过已知两个角相等，并且这两个角所夹边分别相等，从而证明两个三角形全等。
3. 三边（SSS）证明法：通过已知两个三角形的三边分别相等，从而证明两个三角形全等。
四、全等的应用全等概念是与很多相关的数学知识点息息相关的，在实际问题中必须要灵活应用这种知识。
七年级数学下册 第4章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件课件 (新版)北师大版
例2 (2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线 上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.
图4-3-2 分析 由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS 得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减 去EC即可得BE=CF.
AD BC,
因为DAB CBA,所以△ABD≌△BAC(SAS).
AB AB,
知识点一 判定三角形全等的条件——边边边 1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判 定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE= BE;④BF=BE,可利用的是 ( )
AB=DE,BC=EF (2)已知两角
思路一(找第三边)
思路二(找角)
首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等
①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用 “SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定 全等(后面会学到)
思路一(找夹边)
思路二(找角的对边)
首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全 等
A.①或②
B.②或③
图4-3-1 C.①或③ D.①或④
答案 A 由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定, 只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可 以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④ 不可以,故选A.
架不变形,他至少要再钉上
根木条.
()
图4-3-5
A.0 解析 答案
B.1 C.2 D.3 连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性. B
全等三角形证明经典30题
全等三角形证明经典30题1. 两角和相等定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：通过顶角顶点 C 、 F、和共边 CF 作直线段 CF，延长直线段 CF 至点 X，使得 CX = CE。
步骤二：连接线段 AX。
步骤三：证明∠AXB = ∠EXF：由于∠A = ∠D，所以∠AXB = ∠DXE（共同的角度）。
又由于∠B = ∠E，所以∠DXE = ∠EXF。
因此，∠AXB = ∠EXF。
步骤四：证明∠ABX = ∠EFX：由于∠B = ∠E，所以∠ABX = ∠EXF（共同的角度）。
因此，∠ABX = ∠EFX。
步骤五：证明 AB = EF：由于 CX = CE，且∠ABX = ∠EFX，根据 SSS（边-边-边）全等三角形定理，则可得∆ABX ≌ ∆EFX。
因此，AB = EF。
综上所述，根据两角和相等定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。
2. SAS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，∠A = ∠D，且 AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 BC 和 EF。
步骤二：证明∠ABC = ∠DEF：由于 AB = DE，且∠A = ∠D，根据线段角度定理，可得∠ABC = ∠DEF。
步骤三：证明 BC = EF：由于 AC = DF，且∠ABC = ∠DEF，根据 SAS（边-角-边）全等三角形定理，可得△ABC ≌△DEF。
综上所述，根据SAS全等三角形定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。
3. SSS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，BC = EF，且AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 AC 和 DF。
步骤二：连接线段 BC 和 EF。
七年级下全等三角形知识点
七年级下全等三角形知识点全等三角形是初中数学中重要的一个概念，涉及到的知识点需要我们认真学习和掌握。
本文将从三角形的定义和性质、全等三角形的概念及判定方法、全等三角形的应用三个方面来讲述七年级下全等三角形的知识点。
一、三角形的定义和性质三角形是由三条线段所围成的图形，其中两条线段之和大于第三条，也就是说，三角形的内角和等于180度。
同时，三角形还有三个顶点和三条边。
根据三角形的边长和内角，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三边长度相等，等腰三角形有两条边的长度相等，普通三角形没有边长相等的情况。
二、全等三角形的概念及判定方法全等三角形指的是两个三角形形状完全相同、大小也完全相等的三角形，任意两个全等三角形的对应边长和对应内角都相等。
全等三角形的判定方法主要有以下几种：1、SAS判定法：即已知两边和它们之间夹角的大小，再知道它们对应的边相等，则这两个三角形全等。
2、ASA判定法：即已知两角和它们夹住的边相等，再知道它们端点所对应的边相等，则这两个三角形全等。
3、SSS判定法：即已知每个三角形的三边相等，则这两个三角形全等。
三、全等三角形的应用全等三角形有很多应用，比如在解决几何问题时，我们经常会使用到全等三角形的性质，通过给定的条件求出未知量。
此外，在日常生活中，全等三角形的性质也有很多实用的应用，比如测量物体长度时，可以通过仪器测量出物体两端到地面的距离，再使用三角形的相似性质计算出物体的真实长度。
总之，全等三角形是初中数学中必须掌握的一个知识点，不仅具有重要的理论意义，也有很多实际应用。
因此，在学习数学过程中，我们应该认真学习全等三角形的概念、性质和判定方法，并努力将这些知识应用到实际生活中。
北师大版七年级下册数学《全等三角形》全等三角形的判定(1)讲义
12.2全等三角形的判定（1）知识点一：全等三角形的判定1、全等三角形的判定一：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”． 用数学语言表述：在△ABC 和'''A B C ∆中,∵''AB A B AC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌'''A B C ∆（SSS ） 2、这个判定方法告诉我们：当三角形的三边都确定后，其形状、大小都随之确定，这就是三角形的稳定性． 3、全等三角形的判定二：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”． 用数学语言表述：在△ABC 和'''A B C ∆中,∵''AB A B B BC =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌'''A B C ∆（SAS ） 知识点二：全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等，全等三角形的周长、面积相等. 例题一：1、已知：如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF .求证：∠A ＝∠D ．2、如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D ．3、如图，AD=CB ，E 、F 是AC 上两动点，且有DE=BF.（1）若E 、F 运动至如图①所示的位置，且有AF=CE ，求证：△ADE ≌△CBF.（2）若E 、F 运动至如图②所示的位置，仍有AF=CE ，那么△ADE ≌△CBF 还成立吗？为什么？ （3）若E 、F 不重合，AD 和CB 平行吗？说明理由.A ’C ’B ’C ’ B ’C ’ ∠B ’D FCBAEDFCBA EC 'B 'A 'C BA C 'B 'A 'C B A练习一：1、如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．2、如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．证明△ABC≌△FDE.3、如图，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB，求证：△ABC≌△BAD．例题二：4、已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．5、如图所示，AD为△ABC的高，且AD＝BD，F为AD上一点，连结BF并延长AC于E，CD＝FD，求证：BE⊥AC.6、(1)小明做了一个如图所示的风筝，测得DE=DF，EH=FH，你能发现哪些结论？并说明理由. FDCBEAABCED(2)如图，∠1=∠2，AB=AD ，AE=AC ，求证BC=DE. 练习二：4、已知：如图，AB ＝AC ，BE ＝CD ．求证：∠B ＝∠C ．5、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．6、已知：如图，AC ⊥BD ，BC=CE ，AC=DC ，求证：∠B+∠D=90°.第二部分：能力拓展例题：7、如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，点E 在AD 上，找出图中全等的三角形，并说明理由.8、如图，已知CA=CB ，AD=BD ，M 、N 分别是CA、CB 的中点，求证：DM=DN.跟进练习：7、已知，如图A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF= CD ，AB ∥DE ，且AB= DE ，求证：（1）△ABC ≌△DEF ；（2）CBF=FEC.8、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。
七年级下册数学全等三角形模型
七年级下册数学全等三角形模型一、全等三角形的概念。
1. 定义。
- 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
- 重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
- 例如，在△ABC和△DEF中，如果△ABC与△DEF能够完全重合，那么A与D、B 与E、C与F是对应顶点，AB与DE、BC与EF、AC与DF是对应边，∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F是对应角。
2. 表示方法。
- 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
- 例如，△ABC≌△DEF，表示△ABC和△DEF全等。
书写时要注意对应顶点的字母写在对应的位置上。
二、全等三角形的性质。
1. 对应边相等。
- 如果△ABC≌△DEF，那么AB = DE，BC = EF，AC = DF。
- 例如，已知两个全等三角形的其中一条对应边的长度为5cm，那么另一个三角形中与之对应的边的长度也为5cm。
2. 对应角相等。
- 如果△ABC≌△DEF，那么∠A=∠D，∠B = ∠E，∠C=∠F。
- 在解决角度问题时，若两个三角形全等，已知一个三角形中的某个角的度数，就可以得出另一个三角形中对应角的度数。
三、全等三角形的判定模型（人教版七年级下册）1. SSS（边边边）模型。
- 判定条件：三边对应相等的两个三角形全等。
- 图形示例：- 如在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF，则△ABC≌△DEF。
- 应用举例：- 已知一个三角形的三边长度分别为3cm、4cm、5cm，另一个三角形三边长度也分别为3cm、4cm、5cm，根据SSS判定，这两个三角形全等。
2. SAS（边角边）模型。
- 判定条件：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 图形示例：- 在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF，则△ABC≌△DEF。
- 应用举例：- 若在△ABC中，AB = 5cm，∠A = 60°，AC = 4cm，在△DEF中，DE = 5cm，∠D = 60°，DF = 4cm，根据SAS判定，△ABC≌△DEF。
七年级(下)数学 第11讲 全等三角形的概念和性质及判定(解析版)
本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由．本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单．全等形、全等三角形及其相关的概念（1）全等形：能够重合的两个图形叫做全等形.（2）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边．如下图所示：内容分析知识结构全等三角形的概念性质和判定模块一：全等三角形的概念和性质知识精讲AB CDE F步同级年七2 / 41已知：△ABC ≌DFE ，A 与D ，B 与F 是对应顶点，则：(C 与E 是对应顶点)对应边有：AB 与DF ，AC 与DE ，BC 与FE ．对应角有：A D B F C E ∠∠∠∠∠∠与，与，与．全等三角形的数学语言：三角形ABC 与三角形A ′B ′C ′全等，记作△ABC ≌△A ′B ′C ′，读作“三角形ABC 全等于三角形A ′B ′C ′”．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等． 全等三角形中应注意的问题：（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义； （2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等； （3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； 画三角形：确定三角形形状、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素：两角及其夹边；两边及其夹角；三边.【例1】 下列说法正确的是（）A ．全等三角形是指形状相同的三角形B ．全等三角形是指面积相等的三角形C ．全等三角形的周长和面积都相等D ．所有的等边三角形都全等例题解析【难度】★【答案】C【解析】A错，形状相同，大小也要相同；B错，面积相等不一定全等，反例同底等高的三角形；D错，大小不一定相等．【总结】本题主要考查全等三角形的概念．【例2】直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等【难度】★【答案】C【解析】等底同高，所以面积相等．【总结】本题主要考查同底等高的两个三角形的面积相等的运用．【例3】如图所示，△ABC≌△CDA，且AB＝CD，则下列结论错误的是（）A．∠1＝∠2 B．AC＝CA C．∠B＝∠D D．AC＝BC【难度】★【答案】D【解析】全等三角形对应角相等，对应边相等．【总结】考察学生对全等三角形性质的理解及运用．【例4】下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（）A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边【难度】★【答案】C【解析】C选项是边边角，不能作为全等的判定条件．【总结】考查全等三角形的判定定理的运用．21AB CD【例5】 练习画出下列条件的三角形：（1） 画,ABC ∆使40,45,4A B AB cm ∠=︒∠=︒=； （2） 画,ABC ∆使6,8,10AB cm BC cm AC cm ===； （3） 画,ABC ∆使4,3,45AB cm AC cm A ==∠=︒； （4） 画,ABC ∆使8,5,50AB cm AC cm B ==∠=︒． 【难度】★【答案】略【解析】略．【例6】 下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC 和△DEF 中，若∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ，AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ，则两个三角形的关系，可记作△ABC ≌△DEF ，其中说法正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】（1）错，大小不一定相等；（2）面积相等不一定全等，反例同底等高；（3）对； （4）对，故选B ．【总结】考察学生对全等三角形的概念及性质的理解．【例7】 下列说法中错误的是（ ）A ．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角B ．全等三角形的公共边也是对应边C ．全等三角形的公共顶点是对应顶点D ．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边 【答案】C【解析】全等三角形的公共顶点不一定是对应顶点，两个全等三角形任意放置，使得三 角形的一个顶点与另一个三角形的不对应的顶点重合．【总结】考察学生对全等三角形的概念的辨析能力，以及正确的举反例．【例8】 如图所示，ABE ADC ABC ∆∆∆和是分别沿着AB AC 、边翻折形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ） A ．80°B ．100°C ．60°D ．45°【答案】A【解析】设1=28x ∠，25x ∠=，33x ∠=，则36180x =，解得：5x =． 1140∴∠=︒，225∠=︒，315∠=︒， 22ABC ACB ∴∠∂=∠+∠212280=∠+∠=︒．【总结】考察学生对全等三角形的应用以及翻折知识的理解及运用．【例9】 如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠DAB 交DC 于点E ，连接BE ，过E 作EF⊥BEα321ABCDEP步同级年七6 / 41交AD 于F .（1）∠DEF 和∠CBE 相等吗?请说明理由；（2）请找出图中与ED 相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由. 【答案】（1）相等；（2）ED BC AD ==．【解析】（1）90DEF CEB ∠+∠=︒，90CBE CEB ∠+∠=︒， DEF CBE ∴∠=∠（同角的余角相等） （2）AE 平分DAB ∠， 45DAE ∴∠=︒，DE AD ∴=．AD BC =， DE AD BC ∴==．【总结】考察学生对图形的理解和掌握，能够迅速的根据图形发现同角的余角相等，再 利用特殊的角度45得出等腰直角三角形，从而解题．【例10】 如图所示，30255ADF BCE B F BC cm ∆≅∆∠=︒∠=︒=，，，，14CD cm DF cm ==，．求：（1）1∠的度数；（2）AC 的长． 【答案】（1）1=55∠°；（2）4AC cm =． 【解析】（1）ADF BCE ≅，30A B ∴∠=∠=︒，AD BC =，155A F ∴∠=∠+∠=︒； （2）ADF BCE ≅，AD BC ∴=， 514AC AD CD cm ∴=-=-=．【总结】考察学生对全等三角形对应边相等，对应角相等的掌握，并且学会正确运用．【例11】 如图，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠ACB =2:5:11，若将△ABC 绕点C 逆时针旋转，试旋转前后的△A ’B ’C ’中的顶点B ’在原三角形的边AC 的延长线上，求∠BCA ’的度数．【答案】40︒．【解析】设2A x ∠=，5B x ∠=，11ACB x ∠=， 则18180x =， 解得：10x =， ∴110BCA ∠=，70BCB '∠=．110A CB ''∠=， 40BCA '∴∠=．【总结】考察学生对旋转的理解，注意利用全等三角形的性质进行解题．【例12】 如图，已知△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交AD 于点F ，交AE 的延长线于G ，∠ACB =1050，∠CAD =100，∠ADE =250，求∠DFB 和∠AGB 的度数．1ABEFABCA ’B ’【答案】∠DFB =85︒，∠AGB =45︒． 【解析】证明：ABC ADE ≅，25ADE ABC ∴∠=∠=︒，50CAB EAD ∠=∠=︒， 10502585DFB ∴∠=︒+︒+︒=︒， 1801102545AGB ∠=︒-︒-︒=︒．【总结】本题主要考察学生对全等三角形的性质及三角形外角性质和内角和定理的综合 运用．ABC DEF G【例13】 如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时.（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED 的度数为x ， ∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少?（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．【答案】（1）AED A ED '≅，A A '∠=∠， AED A ED '∠=∠，ADE A DE '∠=∠； （2）11802x ∠=-，21802y ∠=-； （3）()1122A ∠=∠+∠． 【解析】（3）证明：∵()180A x y ∠=-+，1+2=3602()x y ∠∠-+， ∴()1122A ∠=∠+∠． 【总结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查全等三角形的性质及三角形内角和 定理的运用．【例14】 如图（1）所示，把△ABC 沿直线BC 移动线段BC 那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图（3）所示，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换，问题：如图（4），△ABC ≌△DEF ，B 和E 、C 和F 是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．21AB CDE A ’ABC DE（1）ABCD （2）A BCDE（3）ABC（4）DEF【答案】翻折变换，平移变换或旋转变换，平移变换． 【解析】AB ED =，BC EF =，AC DF =．【总结】考察学生对图形的运动的理解和掌握，需要学生进行一定的空间想象．本模块复习了全等三角形的4个判定定理，主要是已知条件为“两边及夹角对应相等（SAS ）”，“两角及夹边对应相等（ASA ）”，“两角及其中一角的对边对应相等（AAS ）”“三边对应相等（SSS ）”的两个三角形全等．【例15】 如图，已知∠B =∠D ，∠1=∠2，AC =AE ，说明△ABC ≌△ADE 的理由．【解析】证明：12∠=∠，12DAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠． 在ABC 和DAE 中，B DBAC DAE AC AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△ADE （A.A.S ）．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．模块二：全等三角形的判定知识精讲例题解析 21AB CDE【例16】 如图，已知∠C =∠E ，BE =CD ，说明△ABE 与△ADC 全等的理由，AB 与AD相等吗?为什么?【解析】证明：在ABE 和ADC 中，A A C E BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE ADC ∴≅（A.A.S ）， AB AD ∴=．【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．ABCDEF【例17】 如图，已知AD =BC ，AE =BE ．说明AC =BD ，∠C =∠D 的理由．【解析】证明：AD BC =，AE BE =，DE CE ∴=．在ACE 和BDE 中，AE BE = AEC BED ∠=∠， CE DE =ACE BDE ∴≅（S.A.S ）AC BD ∴=，C D ∠=∠（全等三角形的对应边相等，对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．【例18】 如图，已知AB =CD ，AD =BC ，说明∠A =∠C 的理由．【解析】证明：连接BD 在ABD 和CDB 中，AB CD AD BC BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， (..)ABD CDB S S S ∴≅ A C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．【例19】 如图，已知BD 是△ABC 的中线，B 、D 、E 、F 在一条直线上，且AE ∥CF ，说明△ADE 与△CDF 全等的理由．A BCDEABCDEFAB CD【解析】//AE CF ， E EFC ∴∠=∠．∵BD 是△ABC 的中线， ∴AD CD =．在ADE 和CDF 中，E EFC ADE FDC AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ADE CDF ∴≅（A.A.S ）． 【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．【例20】 如图，已知AC ∥BD ，AC =BD ，（1）说明△AOC 与△BOD 全等的理由；（2）说明EO =FO 的理由．【解析】证明：（1）//AC BD ，C D ∴∠=∠．在AOC 和BOD 中，C DAOC BOD AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AOC BOD ∴≅（A.A.S ）； （2）AOC BOD ≅， CO DO ∴=．在CEO 和DFO 中，C D CO DOCOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()CEO DFO ASA ∴≅， EO FO ∴=．【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．【例21】 如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，OD =OE ，说明AB =AC 的理由．ABCDEFOADEO【解析】CD AB BE AC ⊥⊥，， 90BDC DEC ∴∠=∠=︒． 在BDO 和CEO 中，BDC BEC DO EODOB COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)BDO CEO A S A ∴≅． DO EO ∴=，B C ∠=∠，BO CO =， BE CD ∴=．在ABE 和ACD 中，A A BE CDBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABE ≌ACD （A.S.A ）， AB AC ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意利用多次全等．【例22】 如图，已知AD ∥BC ，BF ∥DE ，AE =CF ．（1） △ADE 与△CBF 全等吗，为什么? （2） 说明AB =CD 的理由； （3） 图中有哪几对全等三角形?【解析】证明：（1）全等， //AD BC ， DAC ACB ∴∠=∠．//BF DE ，DEF BFE ∴∠=∠， AED BFC ∴∠=∠．在AED 和BFC 中，DAC ACB AE CF AED BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)ADE CBF A S A ∴≅； （2）ADE CBF ≅， AD BC ∴=．在ABC 和ADC 中AD BC DAC ACB AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ABC ADC S A S ∴≅， AB CD ∴=（全等三角形的对应边相等）；（3）AED CFB ≅；DEC BFA ≅；ABC CDA ≅． 【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用．【例23】 如图，已知AB =CD ，BM =CM ，AC =BD ，说明AM =DM 的理由．ABCDMABCDEF【解析】在ABC 和BCD 中，AB CD AC BD BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， (..)ABC DCB S S S ∴≅， ABC BCD ∴∠=∠， 在ABM 和DCM 中，AB CD ABC BCD BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ABM DCM S A S ∴≅， AM DM ∴=． 【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用，利用多次全等进行证明． 【例24】 如图，∠1=∠2，AC =BD ，E 、A 、B 、F 在同一条直线上，说明：∠CAD =∠DBC 的理由．【解析】12∠=∠， CAB DBA ∴∠=∠．在CAB 和DBA 中，AC BDCAB DBA AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)CAB DBA S A S ∴≅， CBA DAB ∴∠=∠，又CAB DBA ∠=∠，CAD DBC ∴∠=∠．【总结】本题主要考察全等三角形的判定与角的和差的综合运用．【例25】 如图所示，AB =AC ，CE =BE ，连结AE 并延长交BC 于D ，说明AD ⊥BC 的理21ABC DEF由． 【答案】见解析【解析】证明：在ABE 和ACE 中，AB AC BE CE AE AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(..)ABE ACE S S S ∴≅， BAD CAD ∴∠=∠．在ABD 和ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ABD ACD S A S ∴≅， 90ADB ADC ∴∠=∠=， AD BC ∴⊥．【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，通过多次全等得到垂直．ABCDE【例26】 如图所示，BE 、CD 相交于O ，AB =AC ，AD =AE ，说明OD =OE 的理由．【解析】证明：在ADC 和AEB 中， AD AE A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴(..)ADC AEB S A S ≅ B C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等） AB CA =，AD AE =，BD CE ∴=．在BDO 和CEO 中， DOB COE ∠=∠ B C ∠=∠ BD CE =(..)BDO CEO A A S ∴≅， OD OE ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，注意对全等的多次运用．【例27】 如图，已知AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ．试说明：AC ⊥CE ，若将CD 沿CB 方向平移得到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余的条件不变，结论AC 1⊥C 2E 还成立吗?请说明理由． ABCD EMAB C 2D EC 1AB C 1D EM AB C 2 DEM C 1MAB C 1D EC 2ABCDEO【解析】证明：（1）AB BD ⊥，DE BD ⊥， 90B D ∴∠=∠=︒在ABC 和CDE 中，AB CDB D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ABC CDE S A S ∴≅， A ECD ∴∠=∠．90A ACB ∠+∠=，90ACB ECB ∴∠+∠=， 即AC CE ⊥．（2）12ABC C ED ≅， 2A E CD ∴∠=∠．190A AC B ∠+∠=，2190EC D AC B ∴∠+∠=， 1290C MC ∴∠=， 12AC C E ∴⊥．【总结】本题主要考察全等三角形的判定及垂直的综合运用，说理时注意分析．【例28】 如图，线段BE 上有一点C ,以BC 、CE 为边分别在BE 的同侧作等边三角形ABC 、DCE ，连结AE 、BD ，分别交CD 、CA 于Q 、P ．（1）找出图中的一组相等的线段(等边三角形的边长相等除外)，并说明你的理由； （2）取AE 的中点M 、BD 的中点N ，连结MN ，试判断△CMN 的形状． 【答案】（1）BD AE =，（2）等边三角形． 【解析】（1）∵等边三角形ABC 和 等边三角形DCE ， ∴BC AC =，CD CE =， BCA DCE ∠=∠=60°．BCA ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠．在BCD 和ACE 中，BC ACBCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， BCD ACE ∴≅（S.A.S ），BD AE ∴=（全等三角形的对应边相等）； （2）BCD ACE ≅， DBE EAC ∴∠=∠．M 、N 分别为BD 、AE 的中点， BN ND ∴=，AM ME =， BD AE =， BN AM ∴=．2121A BD Q PABCDEMNPQ在BCN 和ACM 中，BC AC CBN CAM BN AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， BCN ACM ∴≅（S.A.S ），CM CN ∴=，BCN ACM ∠=∠，60NCM BCA ∴∠==︒， CM CN =， ∴△CMN 是等边三角形．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意在复杂的图形中准确的找出全 等三角形及其对应条件．【例29】 如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中CA =CB ，四边形CDEF 是正方形，连接AF 、BD ．（1）观察图形，猜想AF 与BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF 绕点C 按顺时针方向旋转，使正方形CDEF 的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）AF BD =，AF BD ⊥；（2）成立．【解析】证明：（1）△ABC 是等腰直角三角形，四边形CDEF 是正方形，CF CD ∴=，AC BC =，90DCF ACB ∠=∠=， FCA DCB ∴∠=∠．在FCA 和DCB 中，CF CDFCA DCB AC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FCA DCB SAS ∴≅．AF DB ∴=，DBC FAC ∠=∠．90DBC ABD BAC ∠+∠+∠=， 90FAC ABD BAC ∴∠+∠+∠=，AF BD ∴⊥．（2）成立，证明过程同（1）．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意根据旋转图形的不变性进行解 题．随堂检测ABC DE F【习题1】下列命题中正确的是（）A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等【答案】D【解析】A错，全等三角形对应边上的高相等；B错，全等三角形对应边上的中线相等；C错，全等三角形对应角的平分线相等；D对．【总结】考察学生对全等三角形的相关概念的理解．【习题2】 如图，△ABD ≌△CDB ，且AB 、CD 是对应边；下面四个结论中不正确的是（ ）A ．△ABD 和△CDB 的面积相等 B ．△ABD 和△CDB 的周长相等C ．∠A +∠ABD =∠C +∠CBD D ．AD ∥BC ，且AD =BC 【答案】C【解析】C 错，正确答案是∠A +∠ABD =∠C +∠CDB ，A ，B ，D 均对． 【总结】主要考察学生对全等三角形的概念的理解．【习题3】 如图，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD =7厘米，DM =5厘米，∠DAM =390，则AN =______厘米，NM =___________厘米，∠NAB =_______． 【答案】7；5；12°．【解析】由翻折的性质，可得：ADM ANM ≅，则7AN AD ==厘米，5MN DM ==厘米，39MAN MAD ∠=∠=， 故9023912NAB ∠=-⨯=． 【总结】本题主要考查翻折性质与全等三角形性质的综合运用．ABCDA BCDMN【习题4】 尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS【答案】D【解析】∵AC AD =，PC PD =，OP OP =，(..)DCP ODP S S S ∴≅【总结】根据画图考察学生对画图过程中不变性的理解和掌握．ABCDPO【习题5】 如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，（1）若AC //DB ，且AC =DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据_________； （2）若AC //DB ，且AE =BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据_________； （3）若AE =BF ，且CE =DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据_________； （4）若AC =BD ，AE =BF ，CE =DF ．则△ACE ≌△BDF ，根据_________． 【答案】（1）A.A.S ；（2）A.S.A ；（3）S.A.S ；（4）S.S.S ． 【解析】//AC BD ，A B ∴∠=∠，C D ∠=∠，则（1）、（2）、（3）、（4）分别得证．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的熟练掌握．【习题6】 如图，已知△ABC ≌△ADE , ∠CAD =150，∠DFB =900，∠B =250．求∠E 和∠DGB 的度数． 【答案】105E ∠=︒，65DEG ∠=︒． 【解析】AD BG ⊥，90AFB ∴∠=︒（垂直的意义）15DAC ∠=︒，75FCA ∴∠=︒（互余的意义） 105ACB ∴∠=︒（邻补角的意义）ACB AED ≅，105E ACB ∴∠=∠=︒，25B D ∠=∠=︒ 902565DGB ∴∠=︒-︒=︒（互余的意义）【总结】考察学生对全等三角形的性质的理解，并且对邻补角和互余等知识点要熟练掌 握并应用．【习题7】 如图：A 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AE =CF ，过E 、F 分别作BE ⊥AC 、ABCEDF ABCDE F G ABCEFGDF ⊥AC ，且AB ∥CD ，AB =CD ．试说明：BD 平分EF ．【解析】//AB CD ，A C ∴∠=∠，ABD CDB ∠=∠在ABG 和CDG 中，ABD CDB AB CD A C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABG CGD ASA ∴≅，AG CG ∴=，AE CF =， EG GF ∴=，BD ∴平分EF ．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用．【习题8】 如图所示，△ABC 绕顶点A 顺时针旋转，若∠B ＝40°，∠C ＝30°，（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB 'C '的顶点C '与原三角形的顶点B 和A 在同一直线上?（原△ABC 是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C 、A 、C '在同一直线上? 【答案】（1）110︒；（2）70︒．【解析】（1）1803040110CAB ∠=︒-︒-︒=︒； （2）18011070︒-︒=︒．【总结】考察学生对旋转的理解，注意旋转过程中的不变性．【习题9】 已知：如图，△ABC 是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG ∥BC ，交AC于点G ，•在GD 的延长线上取点E ，使DE =DB ，连结AE 、CD ．试说明：△AGE ≌△DAC ． 【解析】ABC 是等边三角形．AB AC BC ∴==，60BAC ACB B ∠=∠=∠=（等边三角形的性质） //DG BC ，60ADG B ∴∠=∠=°，60AGD ACB ∠=∠=°， ADG AGD ∴∠=∠．ED DB =，又DG AD =， DE DG DB AD ∴+=+，ABCDE FG即AB EG =．AB AC =，AC EG ∴=．在ADG 和ADC 中，AG AD AGE DAC EG AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)AGE DAC S A S ∴≅∠．【总结】考察学生对全等三角形的判定的掌握和应用以及等边三角形的性质综合运用．【习题10】 在∠O 的两边上分别取点A 、D 和B 、C ，连接AC 、BD 相交于P ．（1）若∠A ＝∠B ，PA ＝PB ，试说明OA ＝OB 的理由； （2）若OA ＝OB ，PA ＝PB ，试说明PC ＝PD 的理由．【解析】（1）在ADP 和BCP 中，A BPA PBDPA CPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)ADP BCP A S A ∴≅，DP CP ∴=（全等三角形对应边相等）． AP BP =， AC BD ∴=（等式性质）． 在OAC 和ODB 中，O OA B AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)AOC BOD A A S ∴≅，AO BO ∴=（全等三角形的对应边相等）； （2）连接OP在AOP 和BOP 中，OA OBPA PB OP OP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(..)AOP BOP S S S ∴≅，A B ∴∠=∠，AP = BP （全等三角形的对应角相等、对应边相等）． 在ADP 和PCB 中，A BAP PB APD CPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(..)ADP PCB A S A ∴≅，A BCDP OABCDPOPC PD ∴=（全等三角形的对应边相等）． 【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和掌握，注意多次全等的综合运用．【习题11】 如图，△ABC 、△ADE 都是等腰直角三角形，绕着顶点A 旋转后位置如下：（1） 当C 、A 、D 在同一直线上，说明CE 与BD 有何关系?为什么?（2） 当△ADE 再继续旋转到（2）、（3）、（4）的位置后，CE 与BD 又有何关系． 【答案】（1）CE BD =，CE BD ⊥；（2）CE BD =，CE BD ⊥．【解析】（1）证明：△ABC 、△ADE 都是等腰直角三角形，AD AE ∴=，AC AB =，90BAD CAB ∠=∠=︒（等边三角形的性质）在ADB 和AEC 中，AD AE DAE CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ADB AEC S A S ∴≅，CE BD ∴=，ACE ABD ∠=∠（全等三角形的对应边相等，对应角相等）90ACE BCE CBE ∠+∠+∠=， 90ABD BCE CBE ∴∠+∠+∠=，CE BD ∴⊥．（2）CE BD =，CE BD ⊥，证明过程同上．【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定和性质的综合运用， 注意认真分析题目中的条件．ABCD E （1）（2）ABDCE（3） （4）AB CE DABCDE步同级年七34 / 41【作业1】 如图，△ABC ≌△ABD ，C 和D 是对应顶点，若AB =6cm ，AC =5cm ，BC =4cm ，则AD 的长为_________cm ． 【答案】5【解析】全等三角形的对应边相等，5AD AC ==． 【总结】本题主要考查全等三角形的性质．课后作业ABCD【作业2】 如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF ===∠∠，，； ③B E BC EF C F ===∠∠∠∠，，； ④AB DE AC DF B E ===∠∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有 （ ） A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组 【答案】C【解析】（1）S.S.S ；（2）S.A.S ；（3）A.S.A ；（4）S.S.A 不符合，所以正确答案 是（1）、（2）、（3），故选C ．【总结】考察学生对全等三角形的判定定理的掌握．【作业3】 下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ ）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边 【答案】C【解析】边边角不能作为全等三角形的判定条件．AB C DEF【作业4】 已知△ABC ≌△DEF ，若△ABC 的周长为32，AB =8，BC =12，DE =_______，DF =_______，EF = _______．【答案】8；12；12． 【解析】△ABC ≌△DEF ，8DE AB ∴==，3212812DF AC ==--=，12EF BC ==． 【总结】本题主要考察全等三角形的性质的运用．【作业5】 如图△ACE ≌△DBF ，AE =DF ，CE =BF ，AD =8，BC =2．（1）求AC 的长度；（2）说明CE ∥BF 的理由． 【答案】（1）5；（2）见解析． 【解析】（1）△ACE ≌△DBF ，AC BD ∴=（全等三角形对应边相等）AB BC CD BC ∴+=+（等式性质），即AB CD =． 8AD =，2BC =，3AB CD ∴==， 5AC ∴=；（2）△ACE ≌△DBFECA DBF ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等） //CE BF ∴（内错角相等，两直线平行）【总结】考察学生对全等三角形的性质的掌握及运用．【作业6】 如图，已知△ABC ≌△AED ，AE =AB ，AD =AC ，∠D -∠E =200，∠BAC =600，求∠C 的度数． 【答案】70︒．【解析】设E x ∠=，20D x ∠=+，△ABC ≌△AED ， 60BAC EAD ∴∠=∠=︒，C D ∠=∠2060180x x ∴+++=︒，50x ∴=，70D ∴∠=︒， 70C ∴∠=︒．【总结】考察学生对全等三角形的性质的理解和运用，注意利用设未知数解题．ABCDEABCDEF【作业7】 如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，点C 在线段AB 上，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论①△ACE ≌△DCB ；②CM =CN ；③AC =DN ．其中正确的结论是_______________，证明正确的结论．【答案】①和②正确．【解析】①△DAC 和△EBC 均是等边三角形， ∴AC DC =，BC EC =，60ACD BCE ∠=∠=︒， ACE DCB ∴∠=∠．在ACE 和DCB 中，AC CD ACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ACE DCB S A S ∴≅；（2）ACE DCB ≅， CAE CDB ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）60ACD BCE ∠=∠=︒， 60DCE ACD ∴∠=∠=︒．在ACM 和DCN 中，AC DC ACD DCE CAE BDC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，ACM DCN ∴≅（A.A.S ）CM CN ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和运用．【作业8】 如图，AD ⊥AB ，AC ⊥AE ，且AD ＝AB ，AC ＝AE ．试说明：DC ＝BE ，DC ⊥BE ．ABCD E M NA BCDEF G【解析】 AD ⊥AB ，AC ⊥AE ，90DAB EAC ∴∠=∠=︒（垂直的意义） DAC BAE ∴∠=∠（等式性质）在DAC 和BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)DAC ABE S A S ∴≅DC BE ∴=，B D ∠=∠（全等三角形的对应角相等，对应边相等）设BE 与DC 交于点F ，DGA BGC ∠=∠，90D DGA ∠+∠=，90B BGC ∴∠+∠=，90BFG ∴∠=︒，DC BE ∴⊥（垂直的意义）． 【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定及三角形内角和定理的综合运用，注意归 纳总结证明垂直的方法．E【作业9】如图，已知AE=CF，∠DAF=∠BCE，AD=CB．（1）问△ADF与△CBE全等吗?请说明理由；（2）如果将△BEC沿CA边方向平行移动，可有图中3幅图，如上面的条件不变，结论仍成立吗?请选择一幅图说明理由．【答案】（1）全等；（2）成立，全等．【解析】（1）AE CF=，AE EF CF EF∴-=-，即AF CE=（等式性质）．在ADF和BCE中，AF CEA CAD BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ADF BCE S A S∴≅；（2）成立，证明过如（1）．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和运用．【作业10】如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，BE 与CD相交于点F．（1）请说明△ABE≌△ADC的理由；（2）求∠1的度数．【答案】（1）见解析；（2）1120∠=︒．【解析】（1）证明：在等边△ABD和等边△ACE中，AD AB=，AC AE=，60DAB CAE∠=∠=︒，AB CDEFAB CDEFAB CDEFC（A）B DDAB BAC CAE BAC∴∠+∠=∠+∠，DAC BAE∠=∠即．在ABE和DAC中，AD ABDAC BAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(..)ABE ADC S A S≅；（2）ABE ADC≅，DCA BEA∴∠=∠（全等三角形对应角相等）1DCE BEC∠=∠+∠，又DCA BEA∠=∠1ACE AEB BEC∴∠=∠+∠+∠6060120=︒+︒=︒．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和掌握，综合性较强，注意利用外角进行适当的转化，把未知的角度转化为和题目有关的已知角，从而进行解题．。