固体物理-布洛赫定理
什么是电子的布洛赫定理和能带结构
什么是电子的布洛赫定理和能带结构？电子的布洛赫定理和能带结构是固体物理学中关于电子在周期性势场中行为的两个重要概念。
下面我将详细解释布洛赫定理和能带结构，并介绍它们的物理背景和应用。
1. 布洛赫定理：布洛赫定理是指在周期性势场中，电子的波函数可以表示为平面波和周期性函数的乘积。
这意味着电子的波函数在周期性势场中是周期性的，具有特定的周期性结构。
布洛赫定理是基于周期性势场的周期性性质而提出的。
在周期性势场中，电子受到周期性的势能影响，因此它们的波函数应该具有相应的周期性特征。
布洛赫定理的提出使得我们能够更好地理解和描述电子在晶体中的行为。
2. 能带结构：能带结构是指固体中电子能量的分布情况。
在固体中，电子的能量是量子化的，只能存在于特定的能级。
能带结构描述了这些能级在动量空间中的分布情况，即电子能量与动量之间的关系。
能带结构的形成是由于布洛赫定理的存在。
根据布洛赫定理，电子的波函数具有周期性，因此它们在动量空间中的分布也是周期性的。
这种周期性分布导致了能级的整体分布，形成了一系列相互重叠的能带。
能带结构可以分为导带和禁带两种。
导带是指电子能量较高的能带，其中存在大量的可移动电子。
禁带是指电子能量较低的能带，其中几乎没有电子存在。
在固体中，导带和禁带之间的能量差异被称为禁带宽度。
能带结构对固体的导电性和光学性质具有重要影响。
导带中存在大量可移动电子，因此固体具有较好的导电性。
禁带中几乎没有电子存在，因此固体具有绝缘性或半导体性质。
禁带宽度的大小决定了导电性和光学性质的特性。
总结起来，布洛赫定理和能带结构是固体物理学中关于电子在周期性势场中行为的重要概念。
布洛赫定理描述了电子波函数的周期性特征，能带结构描述了电子能量在动量空间中的分布情况。
能带结构对固体的导电性和光学性质具有重要影响，它们在材料科学和电子学等领域具有广泛的应用。
固体物理学：4-1 布洛赫定理
一. 布洛赫定理
一个在周期场中运动的电子的波函数应具 有哪些基本特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）和 布里渊（Brillouin）等人就致力于研究周期场 中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子 的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。
4 根据周期性边界条件求本征值 周期性边界条件
对于 对于 对于
—— 整数
—— 引入矢量 满足
—— 倒格子基矢
平移算符的本征值
5 Bloch 定理的证明 平移算符的本征值
将
作用于电子波函数
电子的波函数 满足布洛赫定理
—— 布洛赫定理 —— 布洛赫函数 —— 晶格周期性函数
三、 平移算符本征值的物理意义
注：由于德布洛意关系
P h
，即
P
k
，
所以 k 空间也称为动量空间。
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
上式告诉我们，沿 k 空间的每个坐标轴方向，
电子的相邻两个状态点之间的距离都是 因此，k 空间中每个状态点所占的体积为
2
L
2 L
图 3 表示二维 k 空间每个点所占的面积是
ky
2
。
3
1、一维情况的布洛赫定理
在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k)
和波函数 k ( x) 必须满足定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx 2
V ( x)
k(x) E(k)k(x)
(1)
k -------表示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足
V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数
固体物理 04-01布洛赫定理
大
学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
为一矢量 —— 当平移晶格矢量
—— 波函数只增加了位相因子 电子的波函数
—— 布洛赫函数
西
南 晶格周期性函数
科 技 大 学
—— 晶格周期性函数
Solid State Physics
固 体 物
理 布洛赫定理的证明
—— 引入平移算符 证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
二十年代初期，在用量子力学研究金属
的电导理论的过程中发展起来的。
西 南 科 技 大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
Felix Bloch，1905.10 – 1983.9
博士论文《金属的传导理论》
发展核磁精密测量的新方法及其有 关的发现，与爱德华·珀塞尔（ Edward Mills Purcell, 1912-1997） 分享 1952年诺贝尔物理学奖
Solid State Physics
固 体
物 平移算符本征值的物理意义
理
1)
—— 原胞之间电子波 函数相位的变化
2) 平移算符本征值量子数
西
南 —— 简约波矢，对应于平移动操作本征值的量子数
科
技 —— 不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同
大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
？
b）晶体中电子的平均自由程为什么会远大于
西
南 原子的间距？
科
技 大
……
学
Solid State Physics
布洛赫定理
这个单电子方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程，讨论其解的物理意义， 确定晶体中电子的运动规律是本章的主题。
从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的：
(1) Born-Oppenheimer 绝热近似： (2) Hatree-Fock 平均场近似（单电子近似） (3) 周期场近似 (Periodic potential approximation)： 每个电子都在完全相同的严格周期性势场中运动，因此每个电子的运动
3 2 3 2
布洛赫和布里渊阐明了在周期场中运动的电子的基本特征,为能带理论的建立
奠定了基础. 近自由电子模型: 自由电子 + 微扰→ 能带 , 根据禁带宽度的大小 (金属, 绝缘体, 半导体)
What determines if the crystal will be a metal, an insulator, or a semiconductor ?
Omar： 固体物理学基础 5章 方俊鑫、陆栋《固体物理学》5.6-10节和6章 Blakemor Solid State Physics 3章 Kittel 7章各节， 9.3节 李正中《固体理论》7章 冯端、金国钧《凝聚态物理学》12章
Ashcroft: Solid State Physics 8-11章
Nuclei disappear – empty background
Real crystal – potential variation with the periodicity of the crystal
Attractive potential around each nucleus.
假定在体积 V=L3 中有 N 个带正电荷 Ze 的离子实，相应地有 NZ 个价电子，
孙会元固体物理基础第三章能带论课件31布洛赫定理及能带
所以,线性叠加后的平面波是布洛赫波函数,可 以描述晶体电子.
说明： 在第一章描述的自由电子情形,由于波函数：
1 ik•r k (r) e i ( r ) k ( r ) k k V
所以,对自由电子情形,动量算符有确定的本 征值,代表电子的动量。 但是,对于布洛赫电子,由 于布洛赫波函数：
注：周期性边条件去掉了表面对平移对称性 的破坏，使有限大的晶体具有了完全的平移对称 性，也是数学处理上最简便的边条件
将布洛赫定理用于周期性边条件：
( r ) ( r N a ) e
k k i i
i k • r N a i i k
u ( r N a ) i i
mn m n
i ( R ) ( R R ) () R () R ( R ) e 将 代入 中得： mn m n nn e来自i( R R ) m n
ee
m
i( Ri ) () R m n
两边取对数得：
( R RRR ) ( )( )
i kr
i k r i ( r ) k ( r ) i e u ( r ) () r e ur () k k k k k
所以,布洛赫波函数不再是动量算符的本征函 数, k 不再代表布洛赫电子的动量。
一般把 k 称为晶体动量(crystal momentum),而把 k 理 解为标志电子在具有平移对称性的周期场中不同状态 的量子数,其取值由边界条件来确定.
h
则上式化为
1 iG R h(r n) u ( r R ) a ( k G ) e n h k V h 1 1 iG G hr i hR n a ( k G ) e e u (r) h k V h i k r () r e u () r k k
布洛赫定理
2 2 2m U r r E r
其中，U(r) = U(r +Rl)为周期性势场， Rl=l1a1+l2a2+l3a3为格矢， 方程的解应具有下列形式：
k r eikruk r
—— Bloch函数 （Bloch wave function）
2 2 2m U r r E r 其中： U (r Rn ) U (r )
这个方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程，讨论其解的物理意义， 确定晶体中电子的运动规律是本章的主题。
从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的：
当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键 是解释电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的所有 离子之间。……. 经过简明而直观的傅立叶分析， 令我高兴地发现，这种不同于自由电子平面波的波 仅仅借助于一种周期性调制就可以获得。
——F Bloch 一. Bloch定理 • 能带理论的基础 • 针对周期性结构
的解可以表示为： k (r) f (r)uk (r) 其中 uk (r Rn ) uk (r ) 势场的周期性也使与电子相关的所有可测量，包括电子几率
(r)
2
也必定是周期性的，这就给未知函数 f ( r ) 附加了下述
条件： 对于所有
f ( r Rn ) f ( r )
2
2
• 描写晶体（周期性势场）中的单电子运动 考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静 止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外 其他电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期 场近似，电子所感受到的势场具有周期性。这样的模型 称为周期场模型。
简述布洛赫定理的内容
简述布洛赫定理的内容
布洛赫定理是固体物理学中的一项重要定理，它描述了晶体中电子的行为。
该定理是由瑞士物理学家费米和德国物理学家布洛赫在1929年分别提出的。
一、晶体结构和周期性势场
晶体是由原子或分子按照一定规律排列而成的固体。
晶格是指构成晶体的原子或分子在空间中排列成的有序周期性结构。
周期性势场是指在空间中呈现出周期性变化的势场。
二、电子在周期性势场中的运动
当电子遇到一个周期性势场时，它会受到一个平稳而有规律的力，这个力会使电子做简谐振动。
在这种情况下，电子行为类似于弹簧振动器。
三、布洛赫定理和能带结构
布洛赫定理描述了晶格对电子运动的影响。
它指出，在一个周期性势场中，电子波函数可以表示为平面波与一个具有与晶格相同周期的函
数之积。
这个函数被称为布洛赫函数。
通过布洛赫函数，我们可以推导出能带结构。
能带结构描述了材料中
电子的能量和动量之间的关系。
在能带结构中，能量被分成了不同的
区域，每个区域被称为一个能带。
在一个能带内，电子具有相似的能
量和动量。
四、布洛赫定理的应用
布洛赫定理在固体物理学中有着广泛的应用。
它可以用来研究半导体、金属和绝缘体等材料中电子行为的特性。
在半导体领域，布洛赫定理
可以用来解释p-n结和场效应晶体管等器件的工作原理。
总之，布洛赫定理是固体物理学中非常重要的一项定理。
它描述了晶
格对电子运动的影响，并推导出了能带结构。
通过这个定理，我们可
以更好地理解材料中电子行为的特性，并将其应用于实际设备设计中。
布洛赫定理知识点
布洛赫定理知识点布洛赫定理是固体物理学中的一个重要概念，它描述了晶体中电子的行为和能量分布。
通过理解和掌握布洛赫定理，可以深入了解固体物理学的许多基本原理和现象。
本文将主要介绍布洛赫定理的概念、应用以及相关知识点。
一、布洛赫定理的概念布洛赫定理是由瑞士物理学家布洛赫（Bloch）于1928年提出的。
它是描述周期性势场中粒子（如电子）行为的一种数学模型。
根据布洛赫定理，晶体中的物理特性可以由一个周期函数和平面波函数的乘积来描述。
具体而言，布洛赫定理给出了如下形式的波函数表示：ψ(r) = u(r)* exp(ik•r)其中，ψ(r)表示晶体中的波函数，u(r)是一个周期函数，k是布拉格波矢，r是晶格中的位置矢量。
根据布洛赫定理，晶体中的波函数具有周期性，即在晶体中的任意位置矢量r上，波函数的模长和相位都具有相同的周期性。
这种周期性使得我们能够用一个有限大小的晶胞作为模型来描述整个晶体的物理特性。
二、布洛赫定理的应用布洛赫定理在固体物理学中有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 能带理论布洛赫定理为解释固体中能带结构提供了重要工具。
能带结构是指能量与波矢之间的关系。
根据布洛赫定理，电子的波函数可以表示为周期函数和平面波函数的乘积，从而可以得到电子的能量本征值和能带结构。
2. 色散关系布洛赫定理可以用来描述晶体中的电子色散关系。
色散关系是能量与波矢之间的关系，描述了晶体中电子的传输性质。
布洛赫定理给出了电子波函数的表示形式，可以通过对波函数进行求解，得到电子能量与波矢的关系。
3. 赝势方法布洛赫定理在赝势方法中也有重要应用。
赝势方法是一种计算固体物理性质的近似方法，通过引入赝势将全电子问题简化为少电子问题。
布洛赫定理提供了计算周期势场中电子行为的数学模型，使得赝势方法在实际计算中得到了广泛应用。
三、布洛赫定理的相关知识点除了上述介绍的应用外，布洛赫定理还涉及一些其他重要的知识点。
1. 布洛赫矢量布洛赫矢量是用来描述布洛赫定理中波函数的平移对称性的参数。
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—— 将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式的系数所 满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征值
电子波函数的计算
—— 根据每个本征值确定电子波函数展开式中的系数，得到 具体的波函数
§4.1 布洛赫定理
布洛赫定理 —— 势场 V (r ) 具有晶格周期性时，电子的
波函数满足薛定谔方程
b3 bj
2ij
平移算符的本征值 1 eika1 , 2 eika2 , 3 eika3
将
作用于电子波函数
e (r ) ik (m1a1m2a2 m3a3 )
(r
Rm
)
eik Rm
(r
)
—— 布洛赫定理
电子的波函数
(r )
eikr uk
(r )
—— 布洛赫函数
—— 晶格周期性函数
满足布洛赫定理
平移算符本征值的物理意义
Байду номын сангаас
1） 1 eika1 , 2 eika2 , 3 eika3
2）平移算符本征值量子数 k
—— 原胞之间电子波
函数位相的变化
—— 简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同
3）简约波矢改变一个倒格子矢量 Gn n1b1 n2b2 n3b3
平移算符的本征值
为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应， 将简约波矢的取值限制第一布里渊区
bj 2
kj
bj 2
简约波矢
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
简约波矢的取值
第一布里渊区体积
—— 在
简约波矢
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
空间中第一布里渊区均匀分布的点
每个代表点的体积
第二步简化 —— 利用哈特里一福克自治场方法，多电子 问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及 其它电子的平均场中运动
第三步简化 —— 所有离子势场和其它电子的平均场是 周期性势场
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
能量本征值的计算 —— 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体电子态
理想晶体 —— 晶格具有周期性，等效势场V(r)具有周期性
晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动
波动方程 [ 2 2 V (r)] E
2m
晶格周期性势场
V (r ) V (r Rn )
一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理
第一步简化 —— 绝热近似：离子实质量比电子大，离子 运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上
能带理论是单电子近似的理论 —— 把每个电子的运动看成是 独立的在一个等效势场中的运动
单电子近似 —— 最早用于研究多电子原子__ 哈特里－福克 自洽场方法
能带理论的出发点 —— 固体中的电子不再束缚于个别的原子， 而是在整个固体内运动 ___ 共有化电子
共有化电子的运动状态 —— 假定原子实处在其平衡位置， 把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰
布洛赫定理的证明
—— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易， 两者具有相同的本征函数
—— 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后 给出电子波函数的形式
—— 势场的周期性反映了晶格的平移对称性
晶格平移任意矢量
势场不变
—— 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
T1, T2 , T3
平移任意晶格矢量
H E T1 1 , T2 2 , T3 3
平移算符的本征值
引入周期性边界条件
三个方向
上的原胞数目 总的原胞数
对于 对于 对于
—— 整数
2 i l1
1 e N1
2 i l2
2 e N2
2 i l3
3 e N3
——
引入矢量
k
l1 N1
b1
—— 倒格子基矢
l2 N2
b2
满足
l3
N3 ai
第四章 能带理论
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础 能带理论 —— 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
—— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
—— 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体 技术的发展
—— 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍性 规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算
状态密度 Vc
(2 )3
简约布里渊区的波矢数目
(2 )3
N
(2 )3
N
[
2
2
V
(r)]
(r )
E
(r )
2m
—— 方程的解具有以下性质
(r
Rn
)
eik Rn
(r )
—— 布洛赫定理
为一矢量 —— 当平移晶格矢量
—— 波函数只增加了位相因子
根据布洛赫定理
电子的波函数 晶格周期性函数
(r )
eikr uk
(r )
—— 布洛赫函数
uk (r R) uk (r )
对应的平移算符
T
(
Rm
)
T m1 1
(a1
)T2m2
(a2
)T3m3
(a3
)
平移算符 的性质 作用于任意函数 平移算符作用于周期性势场
——
各平移算符之间对易
对于任意函数
TT T T
平移算符和哈密顿量对易 对于任意函数
和
微分结果一样
T H HT
—— T和H存在对易关系，选取H的本征函数，使它同时 成为各平移算符的本征函数