【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 专题能力提升练(六) Word版含解析
【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 高考大题标准练(六) Word版含解析
高考大题标准练(六)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为1.2．设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设可得，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2·cos x .对任意n ∈N *，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n . 3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)解：(1)值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.并求BDBC1的值．解：(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0. 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625. 由题意知二面角A 1－BC 1－B 1为锐二面角，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. (3)设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→.所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925. 因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925. 5．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积；(2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0. 解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127. 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449. (2)证明：设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k >0)，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0. 由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2， 故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题意，设直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋2)， 故同理可得|AN |＝12k 1＋k 23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |得23＋4k 2＝k 3k 2＋4， 即4k 3－6k 2＋3k －8＝0.设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点．f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)内单调递增．又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)内有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.6．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )。
【师说】2017届高考数学(人教版文科)二轮专项训练：专题能力提升练(五)
14．过抛物线x2＝4y上一点M(x0，y0)(x0>0)作抛物线的切线与抛物线的准线交于点N(x1，y1)，则x0－x1的最小值为__________．
解析：由x2＝4y，得y＝ x2，则y′＝ x，抛物线的准线方程为y＝－1.因为点M(x0，y0)是抛物线x2＝4y上一点，所以y0＝ x ，且过点M的抛物线的切线的斜率k＝ x0，切线方程为y－y0＝ x0(x－x0)，即y－ x ＝ x0(x－x0)，令y＝－1，得x1＝ x0－ ，所以x0－x1＝ x0＋ ≥2，所以x0－x1的最小值为2.
解析：依题意得不等式组 ，
解得m<－1或1<m< .
答案：D
7．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为 ，设椭圆与抛物线y2＝4x的交点P到点F(1,0)的距离为 ，则椭圆的标准方程为()
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
解析：设P(x0，y0)，根据题意知x0－(－1)＝ ，所以x0＝ ，代入y2＝4x，得y0＝± ，所以P .由椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，则 ，
答案：B
10．已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0，a≥4)的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点F重合，设抛物线的准线与椭圆 ＋ ＝1相交于A，B两点，则△ABF的面积的最小值为()
பைடு நூலகம்A．4 B．6
C．8 D．12
解析：由题意知，抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，准线为x＝－2，
所以c＝2，a2－b2＝4.
把x＝－2代入椭圆方程 ＋ ＝1，
得y2＝b2 ，
取A ，B .
因为△ABF的面积为
【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 专题能力提升练(四) Word版含解析
专题能力提升练(四) 立体几何一、选择题(每小题5分)1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83πB.163π C ．8π D ．16π 解析：该几何体是从一个圆柱里挖去一个圆锥所得，所以体积为V ＝π×22×2－13π×22×2＝163π.答案：B2．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是( )A.13 B ．13 C ．29 D.29解析：由题意可知四棱锥的底面是上、下底边长分别为2,4，高为3的直角梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直于底面，所以侧棱最长为22＋32＋42＝29.答案：D3．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，则该棱锥外接球的体积是( )A.4π3B.8π3C.82π3D.162π3解析：该几何体是一个底面是边长为2的正方形、高为2的四棱锥，其中一条侧棱垂直于底面，它是长方体的一部分，与长方体具有相同的外接球．则原四棱锥的外接球半径r ＝122＋2＋4＝2，故其体积为4π3×(2)3＝82π3. 答案：C4．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为( )A ．8πB ．16πC ．32πD ．64π解析：该几何体为一四棱锥，其直观图如图，它是三棱柱的一部分，四棱锥与三棱柱具有相同的外接球．三棱柱的底面为等腰直角三角形，所以其外接球的半径r ＝22＋22＝22，所以该几何体外接球的表面积为4πr 2＝32π.答案：C5．下列结论正确的是( )A ．过一点有且只有一个平面与已知平面垂直B ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直解析：过一点如果有两条直线与已知平面垂直，根据直线与平面垂直的性质定理可知，这两条直线平行，矛盾，所以选项D 中的结论正确；过一点有无数个平面与已知平面垂直，选项A 中的结论不正确；当直线与平面垂直时，过该直线的任意平面即与已知平面垂直，选项B 中的结论不正确；在空间，过一点与已知直线垂直的直线有无数条，选项C 中的结论不正确．答案：D6．正四面体ABCD 中，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 是线段AO 上一点，且∠BMC＝90°，则AMMO的值为( )A ．1B ．2 C.12 D.23解析：如图，连接OB ，设正四面体的棱长为a ，则OB ＝33a ，MB ＝22a ，故OM ＝66a ＝12AO ，则AM MO＝1.答案：A7．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m解析：选项A 中，一条直线与一个平面内的一条直线垂直，不能保证该直线与该平面垂直；两平行线中的一条与一个平面垂直，另一条也垂直于这个平面，选项B 中的说法正确；选项C 中，一条直线与一个平面平行，不能保证其平行于平面内的任意直线，选项C 中的说法不正确；平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，选项D 中的说法不正确．答案：B8．已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之比为，顶点都在一个球面上，若该球的表面积为16π3，则此三棱柱的侧面积为( )A. 3B.32C ．8D ．6解析：如图，根据球的表面积可得球的半径为r ＝43，设三棱柱的底面边长为x ，则⎝⎛⎭⎫432＝x 2＋⎝⎛⎭⎫33x 2，解得x ＝1，故该三棱柱的侧面积为3×1×2＝6. 答案：D9．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，连接AD ，DD 1，AD 1. 显然DD 1⊥B 1C 1，AD 1⊥B 1C 1， 故B 1C 1⊥平面ADD 1，故平面AB 1C 1⊥平面ADD 1，故DD 1在平面AB 1C 1内的射影在AD 1上，∠AD 1D 即为直线DD 1与平面AB 1C 1所成的角． 在Rt △AD 1D 中，AD ＝3，DD 1＝3，所以tan ∠AD 1D ＝33，所以∠AD 1D ＝π6.因为BB 1∥DD 1，所以直线BB 1与平面AB 1C 1所成角的大小为π6.答案：A10．正三角形ABC 的边长为23，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 的外接球的半径为( )A.13B.132C ．2 3 D. 3解析：球心O 一定在与平面BCD 垂直且过底面正三角形中心O ′的直线上，也在平面ADO 中AD 的垂直平分线上，如图．OE ＝O ′D ＝3×32×23＝1，DE ＝12AD ＝12×23×32＝32，故所求外接球的半径r ＝12＋⎝⎛⎭⎫322＝132.答案：B二、填空题(每小题5分)11．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．解析：由题可知该几何体由两个相同的半圆柱和一个长方体拼接而成，因此该几何体的体积V ＝1×2×4＋π×12×2＝8＋2π.答案：8＋2π12．如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为__________．解析：如图，取BC 的中点E ，连接AE ，ED ，BD ，PE . 设BD ∩AE ＝O ，连接PO .设AB ＝a ，则OA ＝OB ＝22a . 又PB ＝P A ＝PD ，O 为BD 的中点，所以BD ⊥PO ，所以PO ＝a 2－⎝⎛⎭⎫22a 2＝22a ，所以PO ⊥OA ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥AE .由已知可得四边形ABED 为正方形，所以BD ⊥AE ，所以AE ⊥平面PBD ，所以AE ⊥PB .又CD ∥AE ，所以CD ⊥PB ，即异面直线CD 与PB 所成角的大小为90°.答案：90° 13．(2016·池州二模)表面积为60π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S －ABC 体积的最大值为________．解析：∵表面积为60π的球，∴球的半径为15，设△ABC 的中点为D ，则OD ＝3，所以DA ＝23，则AB ＝6棱锥S －ABC 的底面积S ＝34×62＝93为定值，欲使其体积最大，应有S 到平面ABC 的距离取最大值， 又平面SAB ⊥平面ABC ，∴S 在平面ABC 上的射影落在直线AB 上，而SO ＝15，点D 到直线AB 的距离为3， 则S 到平面ABC 的距离的最大值为33，∴V ＝13×93×33＝27.答案：2714．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，将△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为__________．解析：易知四面体A ′EFD 的三条侧棱A ′E ，A ′F ，A ′D 两两垂直，且A ′E ＝1，A ′F ＝1，A ′D ＝2，我们把四面体A ′EFD 扩成棱长为1,1,2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A ′EFD 的外接球，所以球的半径为r ＝1212＋12＋22＝62.答案：6215.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．若平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，则四棱锥P －ABCD 与三棱锥P －QBM 的体积之比是__________．解析：过点M 作MH ∥BC 交PB 于点H .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PQ ⊥AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD .∵P A ＝PD ＝AD ＝AB ＝2，∠BAD ＝60°， ∴PQ ＝BQ ＝ 3.∴V P －ABCD ＝13PQ ·S 菱形ABCD ＝13×3×2×3＝2.又PQ ⊥BC ，BQ ⊥AD ，AD ∥BC ， ∴BQ ⊥BC ，又QB ∩QP ＝Q ，∴BC ⊥平面PQB ，又MH ∥BC ，PM ＝2MC ，∴MH ⊥平面PQB ，MH BC ＝PM PC ＝23，∵BC ＝2，∴MH ＝43，∴V P －QBM ＝V M －PQB ＝13×12×3×3×43＝23，∴V P －ABCD V P －QBM ＝答案：三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分)16．如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面AA ′C ′C ；(2)设AB ＝λAA ′，当λ为何值时，CN ⊥平面A ′MN ，试证明你的结论．解：(1)取A ′B ′的中点E ，连接ME ，NE ，因为M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点，所以NE ∥A ′C ′，ME ∥AA ′.又ME ∩NE ＝E ，A ′C ′∩AA ′＝A ′， 所以平面MNE ∥平面AA ′C ′C ， 因为MN ⊂平面MNE ， 所以MN ∥平面 AA ′C ′C .(2)连接BN ，设AA ′＝a ，则AB ＝λAA ′＝λa ，由题意知BC ＝2λa ，NC ＝BN ＝a 2＋12λ2a 2，因为三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面， 所以平面A ′B ′C ′⊥平面BB ′C ′C ，因为AB ＝AC ，点N 是B ′C ′的中点，所以A ′N ⊥平面BB ′C ′C ， 所以CN ⊥A ′N ，要使CN ⊥平面A ′MN ， 只需CN ⊥BN 即可， 所以CN 2＋BN 2＝BC 2，即2⎝⎛⎭⎫a 2＋12λ2a 2＝2λ2a 2，所以λ＝2， 则当λ＝2时，CN ⊥平面A ′MN .17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，侧面P AB ⊥底面ABCD ，P A ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)证明：平面PBC ⊥平面PDC ； (2)若∠P AB ＝120°，求点B 到直线PC 的距离． 解：(1)延长BA ，CD 交于M 点，连接MP ，则BM ＝2，A 是BM 的中点，因为P A ＝12BM ，所以MP ⊥PB ，又因为侧面P AB ⊥底面ABCD ，AB ⊥BC ， 所以BC ⊥平面PBM ，所以BC ⊥MP ，故MP ⊥平面PBC ，因为MP ⊂平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD .(2)过B 点作BN ⊥PC 于N ，则BN 为点B 到直线PC 的距离． 因为∠P AB ＝120°，P A ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝2， 所以MP ＝1，PB ＝3，PC ＝7，因为BN ×PC ＝BC ×PB ，所以BN ＝237＝2217.18．(2016·山东烟台期末)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，点D 是棱B 1C 1的中点．(1)求证：A 1D ⊥平面BB 1C 1C ；(2)求证：AB 1∥平面A 1DC ； (3)求三棱锥C 1－A 1CD 的体积．解：(1)∵面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形， AA 1⊥A 1C 1，AA 1⊥A 1B 1，A 1C 1∩A 1B 1＝A 1，A 1C 1，A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∵AA 1∥CC 1，∴CC 1⊥平面A 1B 1C 1. ∵A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴CC 1⊥A 1D ， ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1，AB ＝AC ＝1， ∴A 1B 1＝A 1C 1，∵D 是B 1C 1的中点，∴A 1D ⊥B 1C 1.∵CC 1∩B 1C 1＝C 1，又CC 1，B 1C 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1D ⊥平面BB 1C 1C .(2)连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OD ， ∵四边形ACC 1A 1为正方形，点O 为AC 1的中点，D 为B 1C 1的中点， ∴OD 为△AB 1C 1的中位线，∴AB 1∥OD ， ∵OD ⊂平面A 1DC ，AB 1⊄平面A 1DC ， ∴AB 1∥平面A 1DC .(3)由(1)CC 1⊥平面A 1B 1C 1，∴CC 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高， ∵A 1B 1＝A 1C 1＝1，∠B 1A 1C 1＝90°， D 是B 1C 1的中点，S △A 1C 1D ＝12S △A 1B 1C 1＝12×12×12＝14，VC 1－A 1CD ＝VC －A 1C 1D ＝13S △A 1C 1D ·CC 1＝13×14×1＝112，即三棱锥C 1－A 1CD 的体积V ＝112.19．(2016·河北衡水二中期中)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，O 为AD 中点．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；(3)线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由．解：(1)在△P AD 中，P A ＝PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD .又侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .(2)连接BO ，在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ，有OD ∥BC 且OD ＝BC ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OB ∥DC .由(1)知PO ⊥OB ，∠PBO 为锐角，所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角． 因为AD ＝2AB ＝2BC ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝1，AO ＝1，所以OB ＝2，在Rt △POA 中，因为AP ＝2，AO ＝1，所以OP ＝1，在Rt △PBO 中，PB ＝3，所以cos ∠PBO ＝63，所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为63.(3)假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32.设QD ＝x ，则S △DQC ＝12x ，由(2)得CD ＝OB ＝2， 在Rt △POC 中，PC ＝2，所以PC ＝CD ＝DP ，S △PCD ＝34×(2)2＝32，由V P －DQC ＝V Q －PCD ，得x ＝32，所以存在点Q 满足题意，此时AQ QD ＝13.20．(2016·天津五区期末)已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1⊥底面ABCD ，ABCD 是等腰梯形，AB ∥DC ，AB ＝2，AD ＝1，∠ABC ＝60°，E ，F 分别为A 1C ，A 1B 1的中点．(1)求证：D 1E ∥平面BB 1C 1C ；(2)求证：BC ⊥A 1C ；(3)若A 1A ＝AB ，求直线DF 与平面A 1ADD 1所成角的正弦值．解：(1)连接D 1F ，EF ，B 1C ，因为EF 是△A 1CB 1的中位线，所以EF ∥CB 1. 因为AB ∥DC ，所以A 1B 1∥D 1C 1， 又AB ＝2AD ＝2，∠ABC ＝60°，可求D 1C 1＝1，故D 1C 1＝FB 1，所以四边形C 1D 1FB 1为平行四边形，所以D 1F ∥C 1B 1，又EF ∩D 1F ＝F ，CB 1∩C 1B 1＝B 1， 所以平面D 1EF ∥平面BB 1C 1C ，又D 1E ⊂平面D 1EF ， 所以D 1E ∥平面BB 1C 1C .(2)连接AC ，在等腰三角形ADC 中可求AC ＝3，又因为BC ＝1，AB ＝2，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以BC ⊥AC . 又四棱柱是直四棱柱，故A 1A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以A 1A ⊥BC .因为A 1A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面A 1AC ，A 1C ⊂平面A 1AC ， 所以BC ⊥A 1C .(3)取A 1D 1的中点G ，连结FG ，由已知可知△A 1D 1F 为正三角形，故FG ⊥A 1D 1，又因为四棱柱是直四棱柱，所以平面A 1D 1F ⊥平面A 1ADD 1， 所以FG ⊥平面A 1ADD 1.连结DG ，则∠FDG 为直线DF 与平面A 1ADD 1所成的角．在Rt △FDG 中，FG ＝32，DG ＝172，故DF ＝5，所以sin ∠FDG ＝FG DF ＝325＝1510.21．(2016·江西赣州期中)如图①，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图②所示．(1)求四面体PBFC 的体积； (2)证明：AE ∥平面PFC ；(3)证明：平面PFC ⊥平面PCD .解：(1)由左视图可得F 为AB 的中点，∴△BFC 的面积为S ＝12×1×2＝1.∵P A ⊥平面ABCD ，∴四面体PBFC 的体积为V P －BFC ＝13S △BFC ·P A ＝13×1×2＝23.(2)取PC 中点Q ，连接EQ ，FQ . 由正(主)视图可得E 为PD 的中点，∴EQ ∥CD ，EQ ＝12CD .又AF ∥CD ，AF ＝12CD ，∴AF ∥EQ ，AF ＝EQ .∴四边形AFQE 为平行四边形， ∴AE ∥FQ .∵AE ⊄平面PFC ，FQ ⊂平面PFC ， ∴直线AE ∥平面PFC .(3)∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD.∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD.∴CD⊥平面P AD.∵AE⊂平面P AD，∴CD⊥AE.∵P A＝AD，E为PD中点，∴AE⊥PD.∴AE⊥平面PCD.∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD.∵FQ⊂平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD.。
【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(六) Word版含解析
课时巩固过关练(六) 导数的简单应用一、选择题1．(2016·广东六校联考)曲线y ＝ln x －2x 在点(1，－2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是( ) A.12 B.34 C ．1 D ．2解析：由题意得y ′＝1x－2，则在点M (1，－2)处的切线斜率k ＝－1，故切线方程为y ＋2＝－(x －1)，即y ＝－x －1.令x ＝0，得y ＝－1；令y ＝0，得x ＝－1，∴切线与坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×1＝12，故选A. 答案：A2．(2016·安徽安庆期中)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝2x 3＋x 2f ′(1)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－72 B.72C ．－7D ．7解析：由题意，f ′(x )＝6x 2＋2xf ′(1)＋1x，则f ′(1)＝6＋2f ′(1)＋1， ∴f ′(1)＝－7，故f ′(2)＝24＋2×2×(－7)＋12＝－72，故选A. 答案：A3．(2016·河北期中)函数f (x )＝2x log 2e －2ln x －ax ＋3的一个极值点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：因为f ′(x )＝2x －2x－a ，若函数的一个极值点在区间(1,2)内，则f ′(1)f ′(2)<0，即(－a )(3－a )<0，解得0<a <3，所以选C.答案：C4．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增 ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减 ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值． 则上述判断中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④⑤D ．③ 解析：当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f (x )无极值，⑤错．故选D. 答案：D5．(2016·山东东营一中期中)设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)解析：由y ＝x ·f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0；x ∈(－2,2)时，f ′(x )≤0；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)；当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)，故选C.答案：C二、填空题6．(2015·湖北枣阳一中月考)函数y ＝1x在x ＝4处的导数是__________． 解析：∵y ′＝－12x 3，∴y ′|x ＝4＝－1243＝－116，故答案为－116. 答案：－1167．(2016·四川眉山中学期中改编)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是__________．解析：∵y ′＝3x 2－3≥－3，∴tan α≥－ 3. 又0≤α<π，∴0≤α<π2或2π3≤α<π. 则角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 8．设方程x 3－3x ＝k 有3个不等的实根，则实数k 的取值范围是__________．解析：设f (x )＝x 3－3x ，对函数求导，f ′(x )＝3x 2－3＝0，x ＝－1或x ＝1.当x <－1时，f (x )单调递增；当－1<x <1时，f (x )单调递减；当x >1时，f (x )单调递增，f (－1)＝2，f (1)＝－2.方程x 3－2x －k 要有三个不等实根，则直线y ＝k 与f (x )的图象有三个交点，∴－2<k <2，故答案为(－2,2)．答案：(－2,2)三、解答题9．(2016·北京海淀期中)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1. (1)若曲线y ＝f (x )在点(0,1)处切线的斜率为－3，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间[－2，a ]上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )经过点(0,1)，又f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ，曲线y ＝f (x )在点(0,1)处切线的斜率为－3，所以f ′(0)＝a ＝－3，所以f ′(x )＝x 2＋2x －3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋单调递减区间为(－3,1)．(2)因为函数f (x )在区间[－2，a ]上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈[－2，a ]成立，只要f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 在[－2，a ]上的最小值大于等于0即可．因为函数f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 的对称轴为直线x ＝－1，当－2≤a ≤－1时，f ′(x )在[－2，a ]上的最小值为f ′(a )，解f ′(a )＝a 2＋3a ≥0，得a ≥0或a ≤－3，所以此种情形不成立；当a >－1时，f ′(x )在[－2，a ]上的最小值为f ′(－1)，解f ′(－1)＝1－2＋a ≥0，得a ≥1，所以a ≥1.综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}．10．(2016·湖南株洲统测)设函数f (x )＝a ln x ＋b (x 2－3x ＋2)，其中a ，b ∈R .(1)若a ＝b ，讨论f (x )极值(用a 表示)；(2)当a ＝1，b ＝－12，函数g (x )＝2f (x )－(λ＋3)x ＋2，若x 1，x 2(x 1≠x 2)满足g (x 1)＝g (x 2)且x 1＋x 2＝2x 0，证明：g ′(x 0)≠0.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∵a ＝b ，∴f (x )＝a ln x ＋a (x 2－3x ＋2)，∴f ′(x )＝a x ＋a (2x －3)＝a (x －1)(2x －1)x. ①a ＝0时，f (x )＝0，所以函数f (x )无极值；②当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减， ∴f (x )的极大值为f ⎝⎛⎭⎫12＝－a ln2＋34a ，f (x )的极小值为f (1)＝0； ③当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增， ∴f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝－a ln2＋34a ，f (x )的极大值为f (1)＝0. 综上所述：当a ＝0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )的极大值为－a ln2＋34a ，函数f (x )的极小值为0； 当a <0时，函数f (x )的极小值为－a ln 2＋34a ，函数f (x )的极大值为0. (2)g (x )＝2ln x －x 2－λx ，g ′(x )＝2x －2x －λ.假设结论不成立，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2ln x 1－x 21－λx 1＝2ln x 2－x 22－λx 2，①x 1＋x 2＝2x 0，②2x 0－2x 0－λ＝0，③由①，得2ln x 1x 2－(x 21－x 22)－λ(x 1－x 2)＝0，∴λ＝2lnx 1x 2x 1－x 2－2x 0， 由③，得λ＝2x 0－2x 0，∴ln x 1x 2x 1－x 2＝1x 0，即ln x 1x 2x 1－x 2＝2x 1＋x 2，即ln x 1x 2＝2x 1x 2－2x 1x 2＋1④. 令t ＝x 1x 2，不妨设x 1<x 2，u (t )＝ln t －2t －2t ＋1(0<t <1)，则u ′(t )＝(t －1)2t (t ＋1)2>0， ∴u (t )在0<t <1上是增函数，u (t )<u (1)＝0，则ln x 1x 2<x 1x 2－2x 1x 2＋1， ∴④式不成立，与假设矛盾．∴g ′(x 0)≠0.11．(2016·北京朝阳期末)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a ∈R .(1)若f (x )在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范围；(2)当a ＝－e 时．①证明：f (x )＋2≤0；②试判断方程|f (x )|＝ln x x ＋32是否有实数解，并说明理由． 解：函数f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x. (1)因为f (x )在区间[1,2]上为增函数，所以f ′(x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立，即f ′(x )＝a＋1x ≥0，a ≥－1x 在x ∈[1,2]上恒成立，则a ≥－12.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (2)当a ＝－e 时，f (x )＝－e x ＋ln x ，f ′(x )＝－e x ＋1x. ①令f ′(x )＝0，得x ＝1e.令f ′(x )>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增； 令f ′(x )<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递减． 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－e·1e ＋ln 1e＝－2.所以f (x )＋2≤0成立． ②由①知，f (x )max ＝－2，所以|f (x )|≥2.设g (x )＝ln x x ＋32，x ∈(0，＋∞)，所以g ′(x )＝1－ln x x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝e.令g ′(x )>0，得x ∈(0，e)，所以函数g (x )在(0，e)上单调递增；令g ′(x )<0，得x ∈(e ，＋∞)，所以函数g (x )在(e ，＋∞)上单调递减．所以g (x )max ＝g (e)＝lne e ＋32＝1e ＋32<2，即g (x )<2. 所以|f (x )|>g (x )，即|f (x )|>ln x x ＋32. 所以方程|f (x )|＝ln x x ＋32没有实数解．。
【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 专题能力提升练练二 Word版含解析
二、函数与导数小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________ 一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝ln x ，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫sin 12<f ⎝⎛⎭⎫cos 12B ．f ⎝⎛⎭⎫sin π3>f (cos π3)C ．f (sin1)<f (cos1)D ．f ⎝⎛⎭⎫sin 32>f ⎝⎛⎭⎫cos 32 解析：由题意得f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，∵f (x )在[3,4]上是增函数，∴函数f (x )在[－1,0]上是增函数，在[0,1]上是减函数，∵0<cos1<sin1<1，∴选C.答案：C2．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象大致是( )解析：要使函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 有意义，需满足x －1x>0，解得－1<x <0或x >1，所以排除A ，D ，当x >2时，x －1x一定大于1，所以ln ⎝⎛⎭⎫x －1x >0，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤(a ＋b )x －π3的最小正周期是( ) A ．6π B ．5π C ．4π D ．2π解析：∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，解得a ＝13，由f (x )＝f (－x )得，b ＝0，∴y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤(a ＋b )x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫13x －π3， ∴最小正周期T ＝2πω＝6π.答案：A4．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图1所示，得到函数h (x )的图象如图2所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．答案：C5．对于偶函数F (x )，当x ∈[0,2)时，F (x )＝e x ＋x ，当x ∈[2，＋∞)时，F (x )的图象与函数y ＝e x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则F (－1)＋F (e ＋1)＝( )A ．eB ．2eC ．e ＋ln(e ＋1)D ．e ＋2解析：∵F (x )为偶函数，∴F (－1)＝F (1)＝e ＋1，∵e ＋1>2且当x ∈[2，＋∞)时，F (x )的图象与函数y ＝e x ＋1的图象关于y ＝x 对称，∴e ＋1＝e x ＋1，∴x ＝1，∴F (e ＋1)＝1，∴F (－1)＋F (e ＋1)＝e ＋2.答案：D 6.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：由图象得，f (3)＝1，k ＝f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 答案：B7．设a ＝e 636，b ＝e 749，c ＝e 864，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：设f (x )＝e xx 2，则a ＝f (6)，b ＝f (7)，c ＝f (8)，因为f ′(x )＝(x －2)e x x 3，所以当x >2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )＝e xx2在(2，＋∞)上单调递增，所以c >b >a .答案：C8．已知函数f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则y ＝f ′(x )的图象大致是( )解析：∵f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x ，f ′(x )是奇函数，故选项B ，D 不正确，当x ＝π6时，f ′(x )＝π12－12<0，故选A.答案：A9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1(x ≤0)e ax (x >0)在[－2,2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12ln2，＋∞B.⎣⎡⎭⎫0，12ln2 C ．(－∞，0) D.⎝⎛⎦⎤－∞，12ln2 解析：设y ＝2x 3＋3x 2＋1(－2≤x ≤0)， 则y ′＝6x (x ＋1)(－2≤x ≤0)， 所以－2≤x <－1时y ′>0， －1<x <0时y ′<0，所以y ＝2x 3＋3x 2＋1在[－2,0]上的最大值为2，所以函数y ＝e ax 在(0,2]上的最大值不超过2，当a >0时，y ＝e ax 以(0,2]上的最大值e 2a ≤2，所以0<a ≤12ln2，当a ＝0时，y ＝1≤2，当a <0时，y ＝e ax 在(0,2]上的最大值小于1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12ln2. 答案：D10．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (3－x )＝f (x )，⎝⎛⎭⎫x －32f ′(x )<0，若x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，则有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)<f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小关系不确定解析：通解：∵⎝⎛⎭⎫x －32f ′(x )<0，∴当x >32时，f ′(x )<0， 当x <32时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数， ∵f (3－x )＝f (x )，∴f (x 1)＝f (3－x 1)， 又x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，∴x 2>3－x 1.若x 1>32，则f (x 1)>f (x 2)，若x 1<32，则x 2>3－x 1>32，又f (x 1)＝f (3－x 1)>f (x 2)，所以f (x 1)>f (x 2)．优解：∵⎝⎛⎭⎫x －32f ′(x )<0， ∴当x >32时，f ′(x )<0，当x <32时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数， ∵f (3－x )＝f (x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝32对称，不妨取f (x )＝－x 2＋3x ，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(3－x 1－x 2)， ∵x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知函数f (x )＝4x ＋1，g (x )＝4－x .若偶函数h (x )满足h (x )＝mf (x )＋ng (x )(其中m ，n 为常数)，且最小值为1，则m ＋n ＝__________.解析：由题意，h (x )＝mf (x )＋ng (x )＝m ·4x ＋m ＋n ·4－x ，h (－x )＝m ·4－x ＋m ＋n ·4x ，∵h (x )为偶函数，∴h (x )＝h (－x )，∴m ＝n ，∴h (x )＝m (4x ＋4－x )＋m ，∵4x ＋4－x ≥2，∴h (x )min ＝3m＝1，∴m ＝13，∴m ＋n ＝23.答案：2312．函数f (x )＝2sin(πx )＋11－x(x ∈[－2,4])的所有零点之和为______．解析：函数y ＝2sin(πx )和函数y ＝1x －1的图象均关于点(1,0)对称，作出两个函数的图象如图所示，得函数f (x )＝2sin(πx )＋11－x在[－2,4]上共有四个不同的零点，由对称性得所有零点之和为4.答案：4 13.已知f ′(x )为定义在R 上的函数f (x )的导函数，而y ＝3f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的单调递增区间是__________．解析：由y ＝3f ′(x )≥1，得f ′(x )≥0，由y ＝3f ′(x )的图象得y ＝3f ′(x )≥1的解集为(－∞，3]，即f ′(x )≥0的解集为(－∞，3]，所以y ＝f (x )的单调递增区间是(－∞，3]．答案：(－∞，3]14．曲线f (x )＝x －3x上任一点P 处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为__________．解析：通解：设点P (m ，n )，∵f ′(x )＝1＋3x2，∴曲线f (x )＝x －3x在点P 处的切线方程为y ＝⎝⎛⎭⎫1＋3m 2x －6m ， 切线与直线y ＝x 的交点为(2m,2m )，与直线x ＝0的交点为⎝⎛⎭⎫0，－6m ， ∴切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12×6|m |×2|m |＝6.优解：取点P (3,2)，因为f ′(x )＝1＋3x2，所以曲线f (x )＝x －3x 在点P 处的切线方程为y ＝43x －2，切线与直线y ＝x 的交点为(6,6)，与直线x ＝0的交点为(0，－2)，所以切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝6.答案：615．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是__________．解析：因为f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，即f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，3上有一个解或者两个不相同的解．当有一解时，f ′⎝⎛⎭⎫12f ′(3)≤0，解得52≤a ≤103，经检验a ＝103时不成立，所以52≤a <103. 当有两解时，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧12<a 2<3f ′⎝⎛⎭⎫12>0f ′(3)>0f ′⎝⎛⎭⎫a 2<0，解得2<a <52.综上可得a ∈⎝⎛⎭⎫2，103. 答案：⎝⎛⎭⎫2，103。
【师说】2017高考数学(理)二轮专题复习 专题能力提升练(三) Word版含解析
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由题意，得，
解得，
答案：2n＋1－3
14．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝__________.
解析：因为f(n)＝n2cos(nπ)，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]，
答案：D
6．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列．则a5＝()
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：由题意知2an＝Sn＋，an>0，当n＝1时，2a1＝a1＋，∴a1＝.当n≥2时，Sn＝2an－，Sn－1＝2an－1－，
两式相减得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，整理得＝2，∴数列{an}是以为首项，2为公比的等比数列，an＝×2n－1＝2n－2，∴a5＝8.
所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]＝－5 150＋5 050＝－100.
答案：－100
15．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若an＝f，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则S3n＝__________.
答案：C
5．已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n≥2)，则a6等于()
A．16 B．8
C．2D．4
解析：由2a＝a＋a(n≥2)可知数列{a}是等差数列，且以a为首项，以d＝a－a＝4－1＝3为公差，所以数列{a}的通项公式为a＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以a＝3×6－2＝16，即a6＝4，故选D.
【师说】2017高考数学(理)二轮专题复习 专题能力提升练(一) Word版含解析
⎛ωx)＝sin⎝答案：C8．函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间是()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)解析：由题意知，f′(x)＝e x－e，令f′(x)＞0，解得x＞1，故选D.答案：D9．已知函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x ∈R，t＞0)，若f(x)的最小值为g(t)，且g(t)＜－2t＋m对任意的t∈(0,2)恒成立，则实数m的取值范围是()A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(1，＋∞) D．(－∞，1)解析：∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x ∈R，t＞0)，∴f(x)min＝f(－t)＝－t3＋t－1(t＞0)，即g(t)＝－t3＋t－1.由g(t)＜－2t＋m对任意的t∈(0,2)恒成立，知g(t)＋2t＜m对任意的t∈(0,2)恒成立，令h(t)13．若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则该函数的最大值为________．解析：由函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，可得b＝0，且－1－a＋2a＝0，解得a＝1，所以函数f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，故该函数的最大值为5.答案：514．若函数y＝log a(x2－ax＋1)(a＞0，a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________．解析：当a>1时，若函数y＝log a(x2－ax＋1)(a＞0，a≠1)有最小值，则(－a)2－4＜0，得1＜a＜2；当0＜a＜1时，函数y＝x2－ax＋1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a(x2－ax＋1)有最小值，不符合题意．综上可知，实数a的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)15．在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：y＝x3－x上，且在y轴左侧，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：由y ′＝3x 2－1＝2，得x ＝±1，又点M 在第二象限内，故x ＝－1，此时y ＝0，故点M 的坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分)16．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1＜f (1)＜1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴当x ＜0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a (x ＋1)，x ≥0log a (－x ＋1)，x ＜0.。
【师说】2017届高考数学(人教版文科)二轮专项训练：小题专项滚动练六
小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！姓名：________班级：________
一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若直线l1：(a－2)x＋y－1＝0和l2：3x＋ay－3＝0平行，则实数a的值为()
A．3或－1B．3C．－1D.
解析：由已知得，a(a－2)＝3，∴a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1.当a＝3时，两条直线重合，舍去；当a＝－1时，符合题意，故选C.
答案：C
2．已知点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P可以作两条直线与圆C相切，则k的取值范围是()
A．0<k< B．k<
C．－ <k<0 D．－ <k<
又MP为∠F1PF2的平分线，
∴|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点．
∵O为F1F2的中点，∴OM∥F2G，且|OM|＝ |F2G|.
∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF2|－|PF1||，
∴|OM|＝ |2a－2|PF2||＝|4－|PF2||，
∵4－2 <|PF2|<4或4<|PF2|<4＋2 ，
解析：若x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0表示一个圆，则k2＋4－4k2＝4－3k2>0，解得－ <k< .若过点P可以作两条直线与圆相切，则点P在圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0外，得k2＋k＋9>0，而k2＋k＋9＝ 2＋ >0恒成立，故k的取值范围是 .
答案：D
3．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()
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专题能力提升练(六) 概率与统计一、选择题(每小题5分)1．已知样本M 的数据如下：80,82,82,84,84,84,86,86,86,86，若将样本M 的数据分别加上4后得到样本N 的数据，那么样本M ，N 的数字特征对应相同的是( )A ．平均数B ．众数C ．标准差D ．中位数解析：依题意，M 的平均数为84，众数为86，标准差为2，中位数为84.样本N 的平均数为88，众数为90，标准差为2，中位数为88，所以样本M ，N 的数字特征对应相同的是标准差，选C.答案：C2．某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，现有500名学生参加测试，参加测试的学生成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示．则根据频率分布直方图，估算这500名学生的平均分为( )A ．78.48B ．78.4C ．78D ．79解析：平均分x ＝(40×0.006 5＋60×0.014 0＋80×0.017 0＋100×0.005 0＋120×0.004 3＋140×0.003 2)×20＝(0.26＋0.84＋1.36＋0.5＋0.516＋0.448)×20＝78.48. 答案：A3．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.8 B ．84,1.6 C ．85,4 D ．85,1.6解析：去掉最高分和最低分后，所剩数据的平均数为x ＝80＋15(4×3＋6＋7)＝85，方差为s 2＝15[(85－84)2×3＋(85－86)2＋(85－87)2]＝1.6答案：D 4．某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝－5x ＋150，则下列结论正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示y 与x 之间的线性相关系数，则r ＝－5C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量为100件左右 解析：由回归直线方程知，y 与x 具有负的线性相关关系，A 错；若r 表示y 与x 之间的线性相关系数，则|r |≤1，B 错；当销售价格为10元时，y ^＝－5×10＋150＝100，即销售量为100件左右，C 错，选D.答案：D5．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归直线方程为y ^＝0.8x －155.x 197 198 201 204 205 y 1 3 6 7 m则实数m 的值为(A ．12 B ．12.2 C ．12.4 D ．12.5解析：依题意得，x ＝15×(197＋198＋201＋204＋205)＝201，y ＝15(1＋3＋6＋7＋m )＝17＋m 5.因为回归直线必经过样本点的中心， 所以17＋m 5＝0.8×201－155，解得m ＝12，选A. 答案：A6．如图所示，在半径为R 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在图中阴影部分所示的正三角形上的概率是( )A.34 B.32 C.34π D.334π 解析：∵S 圆＝πR 2，S 正三角形＝34(3R )2， ∴所求的概率P ＝33R 24πR 2＝334π.故选D.答案：D7．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1135.则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是( )A.17B.1935C.1735D ．1 解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1135＝1635.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1635，故从中任意取出2粒恰好是不同色的概率是1－1635＝1935，选B.答案：B8．在区间[0,2π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ≥12”发生的概率为( )A.14B.13C.12D.23解析：由sin x ≥12，x ∈[0,2π]，得π6≤x ≤5π6，∴所求概率P ＝5π6－π62π－0＝13.故选B. 答案：B9．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字1与2，另一张的正反面分别写着数字3与4，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数的数字和为4或5的概率是( )A.38B.12C.34D.58解析：能组成的两位数有13,14,23,24,31,32,41,42，共8个．其中，所组成的两位数的数字和为4或5的有13,14,23,31,32,41，共6个，因此所组成的两位数的数字和为4或5的概率是68＝34，故选C.答案：C10．某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e >32的概率是( )A.118B.536C.16D.13解析：e ＝1－b 2a 2>32⇒b a <12⇒a >2b ，当b ＝1时，有a ＝3,4,5,6，共4种情况；当b ＝2时，有a ＝5,6，共2种情况，共计有6种情况，又a ，b 总的情况有36种，故所求概率为P ＝636＝16.答案：C二、填空题(每小题5分)11．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：__________．解析：由题知，x 甲＝x 乙＝9，s 2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定，故填甲． 答案：甲12100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市该月空气质量达到良或优的概率为__________．解析：由题意可知该城市该月空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋12＝35.答案：3513．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离不小于a 的概率为__________．解析：满足条件的概率为P ＝1－18×43πa 3a 3＝1－π6. 答案：1－π614现从这6)．设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M 发生的概率为__________．解析：从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.答案：2515．身处深圳的弟弟和身处哈尔滨的姐姐在春节前约定分别乘A 、B 两列火车在某火车站会面，并约定先到者等待时间不超过15分钟．当天A 、B 两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±20分钟，不考虑其他因素，那么姐弟俩在该火车站会面的概率为________．解析：设姐姐到的时间为x ，263≤x ≤283，弟弟到的时间为y ，263≤y ≤283，建立坐标系如图所示，由题意可知，当|x －y |≤14时，姐弟俩会面．又正方形ABCD 的面积为49，阴影部分的面积为49－2×12×512×512＝1348，所求概率P ＝134849＝3964.答案：3964三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分) 16．某市的一位同学进行社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月13日至1月17日的白天平均气温x (℃)与该奶茶店的这种饮料销量y (杯)，得到如下数据：日期 1月13日 1月14日 1月15日 1月16日 1月17日 平均气温x (℃) 9 10 12 11 8 销量y (杯) 23 25 30 26 21(1)请根据所给数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ； (2)若1月18日平均气温为13 ℃，试预测1月18日该奶茶店的这种饮料销量(结果保留整数)．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫参考公式：b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2，a ^＝y －b ^ x解：(1)x ＝9＋10＋12＋11＋85＝10，y ＝23＋25＋30＋26＋215＝25，b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝(9－10)(23－25)＋(10－10)(25－25)＋(12－10)(30－25)＋(11－10)(26－25)＋(8－10)(21－25)(9－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(11－10)2＋(8－10)2＝2.1， a ^＝y －b ^x ＝4.故y 关于x 的线性回归方程为 y ^＝2.1x ＋4.(2)当x ＝13时，y ^＝2.1×13＋4＝31.3≈31，所以预测1月18日该奶茶店的这种饮料销量为31杯．17．某高级中学实行“分层教学”，为了了解A ，B 两种层次班级学生数学学习情况，对A 层甲、B 层乙两个班级进行数学考试，按照大于等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表：已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为27.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，能否有95%的把握认为“成绩是否优秀与班级有关系”？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d解：(1)2×2列联表如下：(2)根据列联表中的数据，得到 K 2＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩是否优秀与班级有关系”． 18．由经验知，y 与1x 之间具有线性相关关系，令u i ＝1x i，经计算得∑i ＝15u i y i ＝974，∑i ＝15u i ＝43，∑i ＝15yi ＝90，∑i ＝15u 2i ＝461.(1)试求y 与x 之间的回归方程；(b ^，a ^的值保留两位小数) (2)当x ＝2.19时，预报y 的值．附：b ^＝∑i ＝1nu i y i －n u y∑i ＝1nu 2i －n u2，a ^＝y －b ^u解：(1)∵∑i ＝15u i y i ＝974，∑i ＝15u i ＝43，∑i ＝15y i ＝90，∑i ＝15u 2i ＝461，u ＝8.6，y ＝18，∴b ^＝∑i ＝15u i y i －5u y∑i ＝15u 2i －5u2≈2.19，a ^＝18－2.19×8.6≈－0.83.∴y ^＝－0.83＋2.19u .所求回归方程为y ^＝－0.83＋2.19x .(2)当x ＝2.19时，y ^＝－0.83＋2.192.19＝0.17.19．某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者．要从这九名记者中随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x ，y ，且x <y ”．(1)共有多少个基本事件？请列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．解：(1)共有36个基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)．(2)记事件“所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A ，由(1)可知事件A 包含(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，共15个基本事件．记“所抽取的记者都是男记者”为事件B ，则事件B 包含(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个基本事件．故所求概率P ＝P (A )＋P (B )＝1536＋1036＝2536.20．投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标．(1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10上的概率；(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．解：(1)点P 的坐标有(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)，共9种，其中落在区域C ：x 2＋y 2≤10上的点P 的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4种，故点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10上的概率为49.(2)区域M 为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为25π.21．已知某单位有50名职工，将全体职工随机按1～50编号，并且按编号顺序平均分成10组进行系统抽样．(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计抽出的10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的平均数；(3)在(2)的条件下，从体重不轻于73公斤的职工中随机抽取2名职工，求被抽到的2名职工的体重之和大于等于154公斤的概率．解：(1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码为2，故抽出的10名职工的号码依次分别为：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)该样本的平均数x＝110×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71.(3)从这10名职工中随机抽取2名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法，分别为(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．其中体重之和大于等于154公斤的有7种．故所求概率P＝710.。