无穷小与无穷大的关系
【高等数学】无穷小与无穷大
第一章函数与极限授课教师郑琴§1.5无穷小与无穷大内容提要一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系四、无穷小的比较预习提纲1.什么是无穷小?一个很小的正数能不能称为无穷小?2.无穷小与函数极限有什么关系？3.什么是无穷大?一个很大的正数能不能称为无穷大?4.无穷大与无界函数是什么关系？5.无穷小与无穷大有什么关系？6.两个无穷小之比的极限是什么情况呢？1.定义00()))0(1,(f x x x x f x x x →→∞→如果函数当或时的极限为那么称为定义：().x →∞或时无穷小的{.,}0n x n →∞特别地以为极限的数列称为时的无穷小,.在某个过程中极限为零变量称为无穷小的,例如0limsin 0x x →=sin 0.x x →是时的无穷小1lim 0x x→∞=1.x x→∞是时的无穷小21lim 10x x +→−=211.x x +−→是时的无穷小,在某个过程中函数的绝对值无无穷小：限变小.,简言之思考：0一个很小的正数是不是无穷小？是否为无穷小？1..不要把无穷小与一个很小的正数混淆注：2.零是可以作为无穷小的唯一常数.2.性质(1).有限个无穷小的代数和是无穷小.无穷个无穷小的代数和不一定是注无穷小：10,lim n n →∞=例如111lim +++1n n n n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭n 个3.,指明变量为无穷小必须突出极限过程.(2).有界函数与无穷小的乘积是无穷小.①常数与无穷小的乘积是注无穷小：.②有限个无穷小的乘积是无穷小sin (i)lim x x x →∞01(ii)lim sin x x x →,例如1lim sin x x x →∞=⋅0=无穷小有界函数无穷小有界函数0=201(iii)lim arctan x x x→0=01limarctan x x→无穷小有界函数注：01limsin ,x x →均不存在.lim sin ,x x →∞(),.f x A αα=+充分必要条件是其中是无穷小0(1),()x x x f x A →→∞在自变量的同一变化过程中函数具有定：极限理的3.无穷小与函数极限的关系分析：0lim (),x x f x A →=已知=(),f x A α−令00lim lim (())0,x x x xf x A α→→=−=0x x α→所以是时的无穷小.(),,f x A αα=+若其中是无穷小00lim ()=lim .x x x x f x A A α→→+=则1将一般的极限问题转化为特殊极限意义：的问题.02(),(),.f x x A f x α给出了在处的近似表达式若用作为近似值误差为0x x α→是时的无穷小量.0((),()2)f x x x x f x →→∞对应的函数值定义：如果函数当或时的绝对值xy o 0((.,,))f x x x x →→∞或无穷大无限增大就称函数为简量的称无穷大时,例如1y x =时0,x →10.x x →为时的无穷大x y o tan y x =2π2π−xy o xy e =时2,x π+→−时2,x π−→时,x →+∞x e x +∞→是时的无穷大.1x →+∞tan x →−∞tan x →+∞x e →+∞0()(),f x x x x →∞→无穷大，函数是当时的习惯上或也可称说明：,“函数的极限是无穷大”并记作.,.1无穷大不是数不要把无穷大与一个很大的数混淆注：02.lim ()x x f x →=∞是属于极限不存在的类型3.,指明变量为无穷大必须突出极限过程.()lim ()x f x →∞=∞或0lim ()x x f x →=∞极限不存在的情形思考：1（）无穷大与无界的关系？2（）有限个无穷大的和、差一定是无穷大吗？无穷大 无界不一定！三、无穷小与无穷大的关系1,(2),.()f x f x 在自变量的同一变化过程中如果为无穷大那么为理：无穷小定1,(),()0,.()f x f x f x 反之如果为无穷小且那么为无穷大.关于无穷大的问题可以转化为无意：穷小的问题义.同一过程中的两个无穷小之和、差、积仍为该过程中的无穷小同一过程中的两个无穷小之商是否仍为该过程中思考：的无穷小？2,,,30x x x x →都是时的例如无穷小.200lim lim 0,x x x x x →→==01lim ,33x x x →=203lim x x x→=∞lim 0,(3)c βαβα=≠如果那么就同阶说与是无穷小；lim 0,0(5),k c k k αββα=≠>如果那么就阶说是关于的无穷小；lim 1,,(4)βαβαβα=如果那么就说记作等价无穷小与是.,,,lim 0ββααα≠设是自变量的同一过程中的两个无穷小且也是在这个过(lim 0()),1,3o βαββαα==如果那么就说高阶的是比无穷作小记定义：；m (2)li ,ββαα=∞如果那么低阶的就说是比无穷小；程中的极限.0sin lim 1x x x→=20lim 0x x x→=220,.().x x x x o x →=时是比高阶的无穷小即01lim 33x x x →=0,3.x x x →时与是同阶的无穷小0,si ,s (n in 0).x x x x x x ~→→是等价无穷小记作时时与22222200002sin sin sin 1cos 11222lim lim lim lim 22222x x x x x x x x x x x x →→→→⎛⎫ ⎪−==== ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,1cos .2x x x →−时是于的阶无穷小关21.cos x x −与是阶无穷小同021cos lim 112x xx →−=210,1co 2.s x x x →−时与等价无穷小是,,li 3,:m βααββα设在自变量的同一变化过程中且定存在理则lim lim .ββαα=等价无穷小替换定理证:,:求商的极限时分子分母中的无穷小乘积因子可以用其等价无穷注小替换.如果用来替换的无穷小选的合适的话,就可以使计算简化.等价无穷小替换法该定理提供了一种重要的求极限的方法：lim βαlim ααβββα⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭lim lim lim ββαααβ=⋅⋅limβα=0,x →当时常用的等价无穷小：sin xx~①tan x x ~②arctan x x~④1xex −~⑥211cos 2x x−~⑦arcsin x x~③ln(1)x x+~⑤(1)1()x x R μμμ+−∈⑧1ln xa x a−~.4例求下列极限0tan 5(1)limsin 4x x x →22201cos (2)lim sin x x x x →−20tan sin (3)lim ln(1)x x x x x →−+32sin tan (4)lim(11)(1sin 1)x x xx x →−+−+−21(5)lim1cos 1cos x x e x→−−−解：0tan 5(1)lim sin 4x x x →05lim 4x x x →=54=22201cos (2)lim sin x x x x →−222201()2lim x x x x →=⋅12=20tan sin (3)lim ln(1)x x x x x →−+320sin tan (4)lim (11)(1sin 1)x x x x x →−+−+−30tan sin lim x x x x →−=30tan (1cos )lim x x x x →−=23012lim x x x x →⋅=12=20tan sin lim ln(1)x x x x x →−+30lim x x xx→−=0=⨯.和、差形式一般不能用等价无穷注小替换：11sin 31sin 13x x x +−31tan sin (0)2x x x x −~→时3221113,x x +−30211sin 312li 2mx x x x→−=⋅3=−201(5)lim 1cos 1cos x x e x →−−−1cos 1cos x −−221,x e x −4=202lim 1(1cos )2x xx →=−202lim 1122x xx →=⋅21co 1()2s x −~22121x~⋅分析：αβlim 1βα=+o()o()lim lim lim(1)1βαααααα==+=()o βαα=+()o βαα=+lim()lim(1)0βαβαα−=−=αβ210,sin ,tan ,arcsin ,1cos ,2,x x x x x x x x x →~~~−~时例如所以sin (),x x o x +=tan (),x x o x +=2211cos ()2x x o x +=−0,x →当时arcsin (),x x o x =+().:o βαβαα=+与是等价无穷小的充分必要条件是：定理4内容小结3.,无穷大：在某个过程中函数的绝对值无限变大.4.,无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中无穷大的倒数为1.,无穷小：在某个过程中函数的绝对值无限变小.5.无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价0无穷小；不恒为的无穷小的倒数为无穷大.6.一种重要的求极限的等价无方法：穷小替换2.无穷小的运算性质.课后思考已思考题：知满足则3001()sin 21()lim 2,lim ()1x x x f x x f x f x e →→+−==−课后思考题答案解：又30lim 10,xx e →−=所以0lim ()sin 20.x f x x →=301()sin 21lim 1x x f x x e →+−−0lim ()6x f x →=则0lim 1()sin 210.x f x x →+−=301()sin 21lim 0,1x x f x x e →+−−由于存在且不为301()sin 22lim 1x x f x x e →=−012()2lim 3x xf x x→⋅=2,=课后练习时下列函数是几阶无穷小？1.0,x →(1)1cos x −(2)11x x +−−tan (3)x xe e −用等价无穷小替换计算极限：2.设求200()ln 1()sin 23.lim 5,lim .31x x xf x f x x x→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭=−0lncos (1)lim lncos x ax bx →ln(13)(2)lim ln(12)x x x →−∞++ln(13)(3)lim ln(12)x x x →+∞++1.201cos 1(1)lim ,2x x x →−=为阶无穷小1cos 2.x −0011(11)(11)(2)lim lim (11)k k x x x x x x x x x x x x →→+−−+−−++−=++−02lim (11)k x x x x x →=++−为阶无穷小111.x x +−−当时极限为1 1.k =tan sin sin tan sin 00(1)(3)lim lim x x x x x k k x x e e e e x x −→→−−=0tan sin lim k x x xx →−=0tan (1cos )lim k x x x x →−=时极限为13,2k =时为阶无穷小tan sin 0,3.x x x e e →−2.0lncos (1)lim lncos x ax bx →2021()2lim 1()2x ax bx →−=−ln(13)(2)lim ln(12)x x x →−∞++0cos 1lim cos 1x ax bx →−=−0ln(1cos 1)lim ln(1cos 1)x ax bx →+−=+−22a b =3lim ()2x x →−∞=3lim 2xx x →−∞=3lim 2x x x →−∞=0=ln(13)(3)lim ln(12)x x x →+∞++ln 3ln(13))lim ln 2ln(12))x x x x x −−→+∞++=++0()ln 1sin 23.lim 31x x f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭−ln(3(13))=lim ln(2(12))x xx x x −−→+∞++ln 3ln(13))lim ln 2ln(12))x x x x x −−→+∞++=++ln 3ln 2=5,=20()lim 2ln 3x f x x →=0()sin 2lim ln 3x f x x x →=则20()lim 10ln 3.x f x x→=。
四节无穷大与无穷小
例３ 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
若未定式旳分子或分母为若干个因子旳乘积，则 可对其中旳任意一种或几种无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会变化原式旳极限．
二、根据定义证明 : 当 x 0 时,函数 y 1 2x x
是无穷大,问 x 应满足什么条件 ,能使 y 104 .
三、证明函数 y 1 sin 1 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 , 但当 xx
x 0 时 ,这个函数不是无穷大 .
练习题答案
一、1、0；
3、 ；
二、0
x
1. 104 2
例1 证明 : 当x 0时,tan x sin x为x的三阶无穷小.
解
lim
x0
tan
x x3
sin
x
1 sin x 1 cos x
lim( x0 cos x x
x2
)
1 lim x0 cos x
sin x lim
x0 x
1 cos x
lim x0
x2
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
k
C
0, k
0,就说 是
的k
阶的
无穷小.
例如，
x2 lim
0，
x0 3x
即 x 2 o(3x) ( x 0).
当 x 0 时，x2 是比 3x 高阶的无穷小;
lim sin x 1， x0 x
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时，sin x 与 x 是等价无穷小．
无穷大与无穷小
§1.4 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是高等数学中两个重要概念，而无穷小与无穷大又有密切的联系。
一 无穷小定义1如果函数)(x f 当()∞→→x x x 或0时的极限为零，那么称函数)(x f 当()∞→→x x x 或0时为无穷小。
例如，由于0limsin 0x x →=，所以函数sin x 当0x →时为无穷小；又如，由于1lim 0x x →∞=，所以函数1x当x →∞时为无穷小。
我们也可以用极限的""εδ-（或N ε-）来描述：对于0,0()εδ∀>∃>或X>0，使得适合不等式00()x x x X δ<-<>或的一切x 所对应的函数值都满足不等式()f x ε<。
则称当0x x →（或x →∞）时，()f x 是无穷小量。
记为0lim ()0x x f x →=（或lim ()0x f x →∞=）。
关于无穷小，我们做以下注释：1 不要把无穷小与很小的数混为一谈，因为无穷小量不是很小的数,它是极限为零的函数任意非零常数（无论多小）极限都不是零。
2 数零是唯一可作为无穷小的常数。
3 无穷小指相对自变量的某一变化过程，而不是量的大小。
例如 当2x →时，函数()2f x x =-是无穷小；而当1x →时，函数()2f x x =-就不是无穷小。
由于无穷小是极限为零的函数，因此无穷小与函数极限之间有着密切关系，下面的定理给出了这种关系。
定理1 若0lim ()()(),x x f x A f x A x α→=⇔=+其中0lim ()0x x x α→=。
二 无穷大在自变量的变化趋势下，函数)(x f 的极限可能存在，也可能不存在，在极限不存在的情形下，我们着重讨论()f x 无限变大的情形。
如果当()∞→→x x x 或0时，对应的函数的绝对值()f x 的极限无限增大，则称函数)(x f 当()∞→→x x x 或0时为无穷大。
高数 无穷小无穷大
β 若 lim k = C ≠ 0, 则称 β 是关于 α 的 k 阶无穷小; α β 若 lim = 1, 则称 β 是 α 的等价 等价无穷小, 记作 α ~ β 等价 α 或 β ~α
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例如 , 当 x → 0 时
x3 = o( 6x2 ) ; sin x～ x ; tan x ～ x arcsin x～x
x → 0 时,
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定理2 定理 . 设
且
存在 , 则
β lim α
证:
β β ′ α′ β lim = lim α β ′ α′ α β β′ β′ α′ = lim lim lim = lim β′ α′ α′ α
例如, 例如
2x 2 tan 2x = lim = lim x→0 5x 5 x→0 sin 5x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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定义. 定义 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小,
β 若 lim = 0, 则称 β 是比 α 高阶 高阶的无穷小, 记作 α β = o(α) β 若 lim = ∞, 则称 β 是比 α 低阶 低阶的无穷小; α β 若 lim = C ≠ 0, 则称 β 是 α 的同阶 同阶无穷小; 同阶 α
n n
～
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定理1. 定理 证:
～ ～
β = α + o(α)
β lim = 1 α β β −α lim( −1) = 0, 即 lim =0 α α
β −α = o(α) , 即 β = α + o(α)
高等数学第一章第四节无穷小与无穷大课件.ppt
则直线 x x0
的铅直渐近线 .
渐近线
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
若
为无穷大, 则 1 为无穷小 ;
f (x)
若
为无穷小, 且
f (x) 0, 则
1 为无穷大. f (x)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2
C 显然 C 只能是 0 !
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中 为 x x0
时的无穷小量 .
证: lim f (x) A
x x0
0, 0, 当 0 x x0 时,有
f (x) A
f (x) A lim 0
( lim f (x) )
x x0 ( x )
注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数 当
但
所以
时,
不是无穷大 !
例 . 证明
证: 任给正数 M , 要使
只要取 1 , 则对满足
M
即 的一切 x , 有
所以 说明: 若
x x0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
二、 无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在
(正数 X ) , 使对
一切满足不等式
( x X ) 的 x , 总有
①
则称函数
当
( x ) 时为无穷大, 记作
无穷大与无穷小的关系定理
无穷大与无穷小的关系定理
无穷大与无穷小是数学中极为重要的概念，它们在分析学、微积分、数论等领域中被广泛运用。
无穷大和无穷小是相对的，它们之间存在一定的关系，本文将介绍无穷大与无穷小的关系定理。
首先，我们来定义无穷大和无穷小。
无穷大是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于正无穷或负无穷的函数。
无穷小是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于0的函数。
这里需要注意的是，无穷大和无穷小并不是一种具体的数，而是一种趋近的状态。
1.乘积关系定理
如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty$，$\lim\limits_{x\to
x_0}g(x)=a(a\neq 0)$，那么$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=+\infty$；
这个定理的含义是，无穷大和有限数相乘的结果还是无穷大。
而无穷大和无穷小相乘的结果趋近于0。
无穷小和有限数相乘的结果还是无穷小。
这个定理的含义是，当一个函数的极限趋近于0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于0。
当一个函数的极限存在且不为0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于被除数的极限乘以无穷大。
这个情况也可以理解为当一个函数在无穷远处变化非常缓慢并趋近于某个有限数时，它就相当于是某个数乘以无穷大的大小。
通过上述三个定理，我们可以看出无穷大和无穷小之间存在一定的关系。
在实际问题中，我们可以通过这些定理帮助我们求解复杂的极限问题。
1-4无穷小无穷大
y
1 1 sin x x
y( x k ) 2k , 2 1 ( 2) 取 x k 2k
当k充分大时, y( xk ) M .
( k 0,1,2,3,)
无界，
当 k 充分大时, xk ,
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A, x x
0
则有 lim ( x ) 0,
x x0
f ( x ) A ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
式 f ( x ) A, 误差为 ( x ).
3、无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 证 设及是当x 时的两个无穷小 ,
0, N 1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
其中 ( x )是当x x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.
x x0 x x0
x x0
意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小); （2）给出了函数 f ( x ) 在 x0 附近的近似表达
(2)或证明左极限和右极限均存在, 但不相等
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小
一、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大的运算关系
无穷小与无穷大的运算关系无穷小和无穷大是数学中的两个特殊概念，它们在数学分析中起着重要的作用。
无穷小代表着趋近于零的数，而无穷大则代表着趋近于无穷大的数。
它们之间的运算关系是数学中的一个重要内容，本文将就无穷小与无穷大的运算关系进行探讨。
我们来看无穷小的运算。
无穷小与有限数的运算规则类似，但需要注意的是，无穷小与无穷小之间的运算结果可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
根据无穷小与有限数的运算规则，我们可以得出以下结论：1. 无穷小与有限数的和、差、积仍然是无穷小。
例如，设a是无穷小，b是有限数，则a+b、a-b、ab都是无穷小。
2. 无穷小与无穷小的和、差、积的结果可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
具体结果取决于无穷小之间的比较大小关系。
例如，设a和b都是无穷小，若a的阶数高于b的阶数，则a+b是a 的同阶无穷小，a-b是b的同阶无穷小，ab是比a和b阶数低的无穷小。
3. 无穷小与有限数的商可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
具体结果取决于无穷小的阶数和有限数的大小关系。
例如，设a是无穷小，b是有限数，若a的阶数高于b，则a/b是a的同阶无穷小；若a的阶数低于b，则a/b是b的同阶无穷大；若a的阶数等于b，则a/b可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
接下来，我们来看无穷大的运算。
与无穷小类似，无穷大与有限数的运算规则也需要注意。
根据无穷大与有限数的运算规则，我们可以得出以下结论：1. 无穷大与有限数的和、差、积仍然是无穷大。
例如，设a是无穷大，b是有限数，则a+b、a-b、ab都是无穷大。
2. 无穷大与无穷大的和、差、积的结果可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
具体结果取决于无穷大之间的比较大小关系。
例如，设a和b都是无穷大，若a的阶数高于b的阶数，则a+b是a 的同阶无穷大，a-b是b的同阶无穷大，ab是比a和b阶数低的无穷大。
3. 无穷大与有限数的商可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
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例如,当x ? 0时, x sin 1 , x 2 arctan 1 都是无穷小
x
x
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大 .
定义 2 设函数 f ( x )在 x0某一去心邻域内有定义（或 x 大
于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M (不
论它多么大),总存在正数? (或正数 X ),使得对于适合不
例如, 当x ? 0时, y ? 1 sin 1 xx
是一个无界变量 , 但不是无穷大.
y ? 1 sin 1 xx
(1) 取 x k ?
1 ?
2k? ?
2
?
y( xk )
பைடு நூலகம்
?
2k?
?
, 2
(2)
取
x k?
?
1 2k ??
(k ? 0,1,2,3,? )
当k充分大时 , y( x k ) ? M . (k ?? 0,1,2,3,? )
M
M
当0 ? x ? 1 ? ? ? 1 时, 就有 1 ? M . ? lim 1 ? ? .
M
x?1
x? 1 x ? 1
定义 : 如果 lim x? x0
f ( x ) ? ? ,则直线 x ?
x 0是函数y ?
f (x)
的图形的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中 ,无穷大的倒数为无穷小 ; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 .
式 f ( x ) ? A, 误差为 ? ( x ).
3、无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中 ,有限个无穷小的代数和仍是 无穷小 .
证 设? 及? 是当x ? ? 时的两个无穷小 ,
? ? ? 0, ? N 1 ? 0, N 2 ? 0, 使得
当
x
?
N 1时恒有
?
?
?; 2
当
x
?
N 2时恒有
?
第六节
无穷小与无穷大的关系
一、无穷小
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小 .
定义 1 如果对于任意给定的正数 ? (不论它多么小 ),
总 存 在 正 数 ? ( 或 正 数X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 ? x ? x 0 ? ? ( 或 x ? X ) 的一切 x , 对应的函数 值
无界，
当 k ?充分大时 , x k? ? ?,
但 y( x k?) ? 2k ?? sin 2k ?? ? 0 ? M .
不是无穷大．
例 证明 lim 1 ? ? . x? 1 x ? 1
证 ? M ? 0. 要使 1 ? M ,
x?1
y? 1 x?1
只要 x ? 1 ? 1 , 取 ? ? 1 ,
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证 设函数u在U 0 ( x 0 , ? 1 )内有界， 则? M ? 0, ? 1 ? 0,使得当0 ? x ? x0 ? ?1时 恒有 u ? M . 又设? 是当x ? x0时的无穷小,
? ? ? ? 0, ? ? 2 ? 0,使得当0 ? x ? x0 ? ? 2时 恒有 ? ? ? .
等式0 ? x ? x 0 ? ? (或 x ? X )的一切 x ,对应的函数值
f ( x )总满足不等式 f ( x ) ? M ,
则称函数 f ( x )当 x ? x 0 (或 x ? ? )时为无穷大,记作
lim f ( x ) ? ? (或 lim f ( x ) ? ? ).
x? x0
x? ?
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
lim f ( x ) ? ?? (或 lim f ( x ) ? ?? )
x? x0
x? x0
(x? ? )
(x? ? )
注意 （1）无穷大是变量 ,不能与很大的数混淆 ;
（2）切勿将 lim f ( x ) ? ? 认为极限存在 . x? x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量 ,但是无 界变量未必是无穷大 .
定理 1 lim f ( x ) ? A ? f ( x ) ? A ? ? ( x ), x? x0
其中? ( x )是当 x ? x 0 时的无穷小 .
证 必要性 设 lim f ( x ) ? A, 令 ? ( x ) ? f ( x ) ? A, x? x0 则有 lim ? ( x ) ? 0, ? f ( x ) ? A ? ? ( x ). x? x0 充分性 设 f ( x ) ? A ? ? ( x ),
f ( x )都满足不等式 f ( x ) ? ? ,
那末 称函数 f ( x )当 x ? x 0(或 x ? ? )时为无穷小 ,
记作 lim f ( x ) ? 0 (或 lim f ( x ) ? 0).
x? x0
x? ?
例如,
? lim sin x ? 0, ? 函数 sin x是当x ? 0时的无穷小. x? 0
?
?; 2
取 N ? max{ N 1 , N 2 },当 x ? N时, 恒有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,
22
? ? ? ? ? 0(x ? ? )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 .
例如, n ? ? 时, 1 是无穷小， n
但n个 1 之和为1不是无穷小. n
证 设 lim f ( x ) ? ? . x? x0 ? ? ? ? 0, ? ? ? 0, 使得当0 ? x ? x0 ? ?时
? lim 1 ? 0, x? ? x
? 函数 1 是当x ? ? 时的无穷小. x
? lim (? 1)n n? ? n
?
0,
?
数列{(? 1)n }是当n ? n
? 时的无穷小.
注意 （1）无穷小是变量 ,不能与很小的数混淆 ;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数 .
2、无穷小与函数极限的关系:
M
取 ? ? min{? 1 , ? 2 }, 则当 0 ? x ? x0 ? ?时, 恒有 u ?? ? u ?? ? M ? ? ? ?,
M ? 当x ? x0时, u ?? 为无穷小.
推论1 在同一过程中 ,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小 .
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小 .
其中 ? ( x )是当x ? x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) ? lim ( A ? ? ( x )) ? A ? lim ? ( x ) ? A.
x? x0
x? x0
x? x0
意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小 );
（2）给出了函数 f ( x ) 在 x 0 附近的近似表达