-新定义运算计算技巧

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新定义运算解题技巧

我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算

律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。

一、定义

1 、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。

注意：(1)解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。

(2 )我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、

△、

♦、■等来表示的一种运算。

( 3)新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。

2 、一般的解题步骤是:

一是认真审题，深刻理解新定义的内容；

二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号

三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。

、初步例题诠释

例1、对于任意数a, b，定义运算"*”：a*b=a xb-a-b。求12*4的值。

分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=12 X4-12-4=48-12-4=32

例2、假设a ★ b = ( a + b ) 十b。求8 ★ 5 。

分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b 等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。

这里a 代表数字8，b 代表数字5。

例5、如果规定2=1 X2 X3 , 3=2 X3 X4 , 4=3 X4 X5 ,

计算(

1 2

)x

3 3

X= (X-1 )X X X(X+1 )。由于把数

8 ★ 5 = ( 8 + 5 )- 5 = 2.6

例3、如果aG)=a x b-(a+b)。求6 0(9 C2 )。

分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号就是一种新的运算符号。

6 ◎>)=6 q9 X2- ( 9+2 ) ]=6 07=6 X7- (6+

7 ) =42-13=29

例4、如果1 A3=1 + 11 + 111 ; 2 45=2+22+222+2222+22222 ; 8 A2=8+88。求6 A5。

分析与解：仔细观察发现“A”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“A 后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。

6 A5=6+66+666+6666+66666=74070

分析与解：该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为

代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。

1 1

2 1 2 1 2 1 1 2 1/

- )X = X - X' = - X =( 12 3 3 2 3

3 3 3 3 3 3

1 1

2

3 1 1 1 3 1

= X(1- ) = X(1- ) = X =—

2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 2 3 4 4 32

1

例6、规定a^ b=5a+ ab-3b。求(8 ▲ 5)▲ X=264 中的未知数。

2

分析与解：根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可。

(8 ▲ 5 )▲ X=264

(5 X8 + 1 X8 X5-3 X5 )▲ X=264

2

45 ▲ X=264

1

5 X45+ X45 X X-3X=264

2

45 6X

225+ X- =264

2 2

39

225+ X=264

2

.如:3 Z 17=(3+17)

=[20 -2] Z29

=10 Z 29

=(10+29)

-2

=39 -2

=19.5

【试一试】

三、边学边试

【例1】A , B 表示两个数，定义 A ZB 表示(A+B) *2 ,

求(1)(3 Z 17) Z29 ; (2)[(1 Z9) △)] △)。

【分析与解】定义新运算符号“△”表示A AB=(A+B) +2，即两个数做“△”运算就是求这两个数的平均值

-2=10，再用 10 与 29 做运算，10 Z 29=(10+29) -2=19.5

(1)

原式=[(3+17)

-2] Z 29

⑵原式={[(1+9) -2] Z 9} Z5

=[5 Z 9] △) =[(5+9) -2] △

=7 △ =(7+6) -2 =6.5

X=39 2

X=2

1、A , B 表示两个数，定义 A*B=2 X A-B.试求:

(1)(8.5 X6.9)*5 (2) (119.8-29.8)*(13.65+12.35)

2、设aVb=a xb+a-2b ，按此规定计算: (1) 8W.25

(2)(4 0.5) ▽

例2】已知2*3=2+22+222=246 ，3*4=3+33+333+3333=3702.

求:(1)3*3 ；(2)4*5 ；(3) 若1*x=123 ，求x.

分析与解】观察两个已知等式可以发现，“ *”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数。

1) 3*3=3+33+333=369

2) 4*5=4+44+444+4444+44444=49380

(3)提示：因为1* x=1 + 11 + 111+ …=123

所以倒着算：123-1=122 122-11=111 111-111=0

即：1+11+111=1*3=123

从而可知x=3

试一试】

已知5 0=5 X6 X7 , 3出=3 X4 X5 X6X7 X8，按此规定计算：

(1 ) (4 △) + (6 △)(2) (3 △ )X( 4 △)

【例3】设A ®B=2 X(A+B ) -2 X(A -B),

计算：(1 ) ( 12 ®4)® 13 ; (2) 70 ®(18 ®4 )。

【分析与解】观察已知等式可知：“®”定义表示的是两个数和的2倍与商的2倍的差。如：12 ®4=2 X(12+4 ) -2 X (12-4) =26