三角形的等积变形(一)

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四年级 学 科 奥数 版 本 通用版 课程标题

三角形的等积变形（一） 编稿老师

允 一校 林卉 二校 琦锋 审核 舒

这节课，我们一起来学习三角形的等积变形，它是几何问题中在求直线型面积时，很重要的一个部分，下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。

三角形面积的计算公式：

S ＝底×高÷2

三角形面积、底和高之间的关系：

从公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；

如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；

①当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。

②当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。一个三角形的面积变化与否取决于它的底和高的乘积，而不仅仅取决于底或高的变化。

③一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。

重要结论：

①等底等高的两个三角形面积相等。

②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

③若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

例1 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，BD ＝12厘米，DC ＝4厘米。

（1）求△ABC 的面积是△ABD 面积的多少倍；

（2）求△ABD 的面积是△ADC 面积的多少倍。

分析与解：因为△ABD 、△ABC 和△ADC 分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是过A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。因为，12＋4＝16，16÷12＝34，所以△ABC 的底是△ABD 的底的34倍，所以，△ABC 的面积是△ABD 面积的3

4倍；同理，因为12÷4＝3，所以△ABD 的面积是△ADC 面积的3倍。

巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数＝底边长的倍数。

例2 如图，E 在AD 上，AD 垂直于BC ， AD ＝12厘米，DE ＝3厘米。求△ABC 的面积是△EBC 面积的几倍。

分析与解：因为AD 垂直于BC ，所以当BC 为△ABC 和△EBC 的底时，AD 是△ABC 的高，ED 是△EBC 的高。于是：

△ABC 的面积＝BC ×12÷2 ＝ BC ×6；

△EBC 的面积＝BC ×3÷2 ＝ BC ×1.5。

所以△ABC 的面积是△EBC 的面积的4倍。

巩固理解结论：两个三角形等底时， 面积的倍数＝高的倍数。

例3 如图，在梯形ABCD 中，AC 与BD 是对角线，其交点为O ，求证：△AOB 与△COD 面积相等。

分析与解：∵△ABC 与△DBC 等底等高，

∴ABC S △＝DBC S △。

又∵ AOB S △＝ABC S △－BOC S △，

DOC S △＝DBC S △—BOC S △，

∴AOB S △＝COD S △。

例4 如图，△ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点。求△DEF 的面积。

分析与解：∵D 是BC 的中点，

∴△ADC 的面积是△ABC 面积的一半，即24÷2＝12。

∵E 是AC 的中点，

∴△ADE 的面积是△ADC 面积的一半，即12÷2＝6。

∵F 是AD 的中点，

∴△DEF 的面积是△ADE 面积的一半，即△DEF 的面积＝6÷2＝3。

例5 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ＝2CF ，△AFE （图中阴影部分）的面积为8平方厘米。则平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？

分析与解：连结FB 。

因为AF ＝2CF ，所以△AFB 的面积是△CFB 的面积的2倍。

又因为E 为AB 的中点，所以△AFB 的面积是△AEF 的面积的2倍。

所以△ABC 的面积是△AEF 的面积的3倍。

又因为平行四边形ABCD 的面积是△ABC 的面积的2倍，

所以平行四边形ABCD 的面积是△AFE 的面积的3×2＝6倍。

因此，平行四边形ABCD 的面积为8×6＝48（平方厘米）。

（答题时间：30分钟）

1. 用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。

2. 如图，在长方形ABCD 中，AD 为8厘米，AB 为3厘米。请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？

3. 如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的三等分点，已知ABC S ∆＝27平方厘米，求DEF S ∆。

4. 如图所示，梯形ABCD 的上底AD 长为5厘米，下底BC 长为12厘米，腰CD 的长为8厘米，过B 点作CD 的垂线BE ，BE 的长为9厘米。那么梯形ABCD 的面积是多少？

5. 如图所示，正方形ABCD 的边长为10，三角形BEF 的面积为30。那么BF 的长度为多少？

1. 解：解法一：如图（1），将BC 边四等分，连接A 与各等分点，则△ABD 、△ADE 、△AEF 、△AFC 的面积相等。

解法二：如图（2），D 是BC 的二等分点，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，从而得到四个等积三角形△ADF 、△BDF 、△DCE 、△ADE 。

解法三：如图（3），D 是BC 的四等分点，E 、F 是AD 的三等分点，从而得到△ABD 、△AEC 、△ECF 、△FCD 的面积相等。

2. 解：可以通过等积变形把三个阴影三角形变成长方形的一半，所以阴影部分的面积为8×3÷2＝12（平方厘米）。

3. 解：因为D 为BC 边的三等分点，所以 ADC S △3

1ABC S △＝9平方厘米。同理ABE S △＝31ABD S △ ＝6平方厘米，BDF S △＝3

1BDE S △＝4平方厘米，所以DEF S △＝27－9－6－4＝8平方厘米。

4. 解：连接BD ，作出梯形的一条高DF 。三角形BCD 以CD 为底、BE 为高，面积为8×9÷2＝36（平方厘米）；也可以看做以BC 为底、DF 为高，由BC ＝12厘米可知DF 为36×2÷12＝6（厘米）。在梯形ABCD 中，上底为5厘米，下底为12厘米，高为6厘米，面积为（5＋

12）×6÷2＝51（平方厘米）。

5. 解：三角形ABE 中以AB 为底，相应的高与正方形的边长相等，即为10，所以三角形ABE 的面积为10×10÷2＝50。三角形ABF 的面积为50－30＝20。在三角形ABF 中以AB 为底，由面积反求出高BF 为20×2÷10＝4。