《等腰三角形的性质》优秀课件
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等腰三角形的性质(八下优质课件)
等边对等角 三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底 边上的高和中线才有这一性 质.而腰上高和中线与底角 的平分线不具有这一性质.
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
12
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. B D C
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
典例精析
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
总结归纳
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角).
A
B
C
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及 底边上的高线互相重合(三线合一）.
证明后的结论,以后可以直接运用.
A 综上可得：如图,在△ABC中,
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：
AF⊥BC.
A
A
B
D GE
B C
DF E
C
图①
图②
解析：(1)过A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质
得出BG＝CG，DG＝EG即可证明；(2)先证BF＝CF，
再根据等腰三角形的性质证明．
A
A
B
D GE
B C
1.两点确定一条直线；
2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
《等腰三角形的性质》ppt课件
C ∵ ∠A= ∠ B= ∠ C ∴△ABC是等边三角形
3 . 有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形.
∵ ∠B=600 ， AB=BC ∴△ABC是等边三角 形
怎样判断三角形ABC是等边三角形？
1.三边都相等的三角形是等边三角形.（定义）
A ∵AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形 一般三角形 B
B
D
C
底
A
归纳：等腰三角形的性质
从边看：等腰三角形的两腰相等 AB=AC
B
从角看： 等腰三角形的两底角相等 ∠B=∠C
D
C
从重要线段看： 等腰三角形顶角的平分线、底边上 的中线和底边上的高线互相重合
从对称性看：
等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形性质： （简写成“等边对等角”）； 性质1 等腰三角形的两个底角相等。
与底边上的高互相重合）. ∴∠BAD=∠CAD=50°
A
三边都相等的三角形叫等边三角形。
AB=BC=CA
等边三角形是特殊的等腰三 角形也叫正三角形。
B
C
提出问题：等边三角形有哪些性质呢？
根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质：
①从边看 ③从对称性看
②从角看
④从重要线段看
等边三角形的性质
1 .三条边相等。 2.等边三角形的内角都相等，且等于60 °
等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边叫做腰 另一条边叫做底边
两腰所夹的角叫做顶角
腰与底边的夹角叫底角
注：等腰三角形中顶角可以是锐角、 直角、钝角；但底角只能是锐角
等腰三角形是轴对称图形，顶角平 分线（底边上的高、底边上的中线） 所在的直线是它的对称轴
《等腰三角形的性质》ppt课件
若只知道一个角为60°，但无法确定该角是顶角还是底角，则不能判定为等边三角形 。
在处理与等腰三角形有关的问题时，常常需要分类讨论，并考虑各种特殊情况。
04
等腰三角形面积计算与应用
面积计算公式推导
1 2
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。
通过已知两边和夹角求面积
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平 分线；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的垂直 平分线、底边上的中线、顶角平分线和底边上的高互相重合 ，简称“三线合一”。
与等边三角形关系
区别
等边三角形的三边都相等，而等腰三 角形只有两边相等；等边三角形的三 个内角都是60度，而等腰三角形的 两个底角相等，但不一定都是60度 。
应用举例
利用两边相等定理解决与等腰 三角形相关的问题，如角度计
算、边长求解等。
两角相等定理
两角相等定理内容
等腰三角形的两个底角相 等。
定理证明方法
通过构造高线或利用相似 三角形进行证明。
应用举例
利用两角相等定理解决与 等腰三角形相关的问题， 如角度计算、相似三角形 判定等。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
若已知等腰三角形的两边a和夹角θ，则面积S = 1/2 × a^2 × sinθ。
3
通过已知三边求面积
应用海伦公式，先求出半周长p = (a + b + c) / 2，再代入公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
典型例题解析
例题1
例题3
已知等腰三角形的底边长为10cm， 腰长为8cm，求其面积。
在处理与等腰三角形有关的问题时，常常需要分类讨论，并考虑各种特殊情况。
04
等腰三角形面积计算与应用
面积计算公式推导
1 2
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。
通过已知两边和夹角求面积
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平 分线；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的垂直 平分线、底边上的中线、顶角平分线和底边上的高互相重合 ，简称“三线合一”。
与等边三角形关系
区别
等边三角形的三边都相等，而等腰三 角形只有两边相等；等边三角形的三 个内角都是60度，而等腰三角形的 两个底角相等，但不一定都是60度 。
应用举例
利用两边相等定理解决与等腰 三角形相关的问题，如角度计
算、边长求解等。
两角相等定理
两角相等定理内容
等腰三角形的两个底角相 等。
定理证明方法
通过构造高线或利用相似 三角形进行证明。
应用举例
利用两角相等定理解决与 等腰三角形相关的问题， 如角度计算、相似三角形 判定等。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
若已知等腰三角形的两边a和夹角θ，则面积S = 1/2 × a^2 × sinθ。
3
通过已知三边求面积
应用海伦公式，先求出半周长p = (a + b + c) / 2，再代入公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
典型例题解析
例题1
例题3
已知等腰三角形的底边长为10cm， 腰长为8cm，求其面积。
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全等识别
若两个三角形三边及三角分别相等，则这两个三角形全等。在等腰三角形中， 若两个等腰三角形的底边和腰长分别相等，则这两个等腰三角形全等。
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对后续知识点（如圆、三角函数）的铺垫作用
对圆的知识点铺垫
等腰三角形的性质与圆的性质有密切联系。例如，在等腰三角形中，底边上的中垂线同时也是底边所 在圆的直径；此外，在等腰三角形中引入外接圆和内切圆的概念，可以进一步探讨三角形的性质。
SAS全等判定
若两个三角形两边和夹角分别相等，则这两个三 角形全等。
3
HL全等判定（直角三角形）
在直角三角形中，若斜边和一条直角边分别相等 ，则这两个三角形全等。
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5
与其他特殊三角形关系
与等边三角形的关系
等边三角形是特殊的等腰三角形，三 边都相等。
与相似三角形的关系
若两个等腰三角形的顶角和底角分别 相等，则这两个三角形相似。
8
边角关系
等腰三角形中，两个等腰边所 对的两个底角相等，即等边对 等角。
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等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高相互 重合，即“三线合一”。
等腰三角形中，若有一个角是 60度，则这个三角形是等边三 角形。
9
面积计算公式
等腰三角形的面积可以通过以下公式计算
面积 = (底边长度 × 高) / 2。其中，底边长度是两个等腰边所夹的底边的长度， 高是从顶点到底边的垂直距离。
《等腰三角形的性质》 优秀课件
2024/1/26
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目录
2024/1/26
• 等腰三角形基本概念 • 等腰三角形性质探究 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理证明 • 等腰三角形在几何变换中的地位和作用 • 典型例题解析与课堂互动环节
等腰三角形性质公开课课件
等腰三角形性质公开课课件一、等腰三角形的定义•等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
•等腰三角形的两个底角（底边的两个对角）也是相等的。
二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合。
2.等腰三角形的高也是中线、角平分线和垂直平分线。
3.等腰三角形的高也是底边的中线。
4.等腰三角形的对角也是顶角的平分线。
三、等腰三角形的性质证明1. 等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合证明：设等腰三角形 ABC 的底边为 AC，顶点为 B，底边中点为 M，顶点到底边的垂直平分线为 BM。
因为 AM = CM（等腰三角形的性质），且 BM 也是 AM 的垂直平分线，所以BM = AM = CM。
又因为 BM 的定义是顶点到底边的垂直平分线，所以 BM 也是 AC 的垂直平分线。
所以，等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合。
2. 等腰三角形的高也是中线、角平分线和垂直平分线证明：设等腰三角形 ABC 的底边为 AC，顶点为 B，高为 BH，中点为 M，角平分线为BK。
由于等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合（性质1），所以BH 是 AC 的垂直平分线。
又因为 BM 是 AC 的中线（三角形中线的性质），所以 BH 也是 BM 的垂直平分线。
又因为 BK 是角 B 的平分线，所以 BH 也是 BK 的垂直平分线。
综上所述，等腰三角形的高 BH 同时是 AC 的中线、角平分线和垂直平分线。
3. 等腰三角形的高也是底边的中线证明：设等腰三角形 ABC 的底边为 AC，顶点为 B，高为 BH，底边的中点为 M。
由等腰三角形的性质可知，等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合。
所以，BH 是 AC 的垂直平分线，而 M 是 AC 的中点，所以 BH 也是 AM 的垂直平分线。
所以，BH 也是所有从顶点到底边的线段的垂直平分线。
又因为 BH 与 AC 重合（等腰三角形的性质），所以 BH 也是 AC 的中线。
等腰三角形的判定课件(共21张PPT)
复习回顾
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
等腰三角形的性质定理公开课获奖课件省赛课一等奖课件
做一做
目前请同学们把手中旳等腰三角形对折，使两腰 AB、AC重叠在一起，折痕为AD，你还能能找出那些线段相等？哪些角相等？
等腰三角形旳性质定理2 等腰三角形旳顶角平分线、底边上旳中线和高线相互重叠,简称等腰三角形三线合一
（1）假如AD是等腰三角形顶角旳平分线，那么AD也是 、 。
G
已知：如图，在D，E在BC上，AB=AC，AD=AE，则BD与CE相等吗？
E
A
B
C
D
H
练习5：
已知：在△ABC中，AB=AC, AD是BC边上旳中线， ∠ABC旳平分线BG交AD于点E,EF⊥AB，垂足为F.求证：EF=ED
A
E
F
G
D
C
B
练习6：
（2）假如AD是等腰三角形底边上旳中线，那么AD也是 、 。
（3）假如AD是等腰三角形底边上旳高线，那么AD也是 、 。
底边上旳高线
底边上旳中线
顶角旳平分线
底边上旳高线
底边上旳中线
顶角旳平分线
例1已知：如图，AD平分∠BAC,∠ADB=∠ADC 求证：AD⊥BC
等腰三角形旳性质
文字论述
几何语言
等腰三角形旳两底角相等(同一种三角形中，等边对等角)
∵AB=AC∴∠B=∠C
等腰三角形顶角旳平分线、底边上旳中线、高线相互重叠（简称等腰三角形三线合一）
∵AB=AC，∠1=∠2 ∴AD⊥BC，BD=CD
对称轴顶角平分线底边高线底边中线所在直线
轴对称
练习4：已知：在△ABC中，AB=AC,D为CA延长线上一点，DF⊥BC,交AB于点E，求证：∠D=∠AED
E
1、已知：在 △ ABC中AB=AC,OB=OC， AO旳延长线交BC于点D，求证：AD⊥BC.
目前请同学们把手中旳等腰三角形对折，使两腰 AB、AC重叠在一起，折痕为AD，你还能能找出那些线段相等？哪些角相等？
等腰三角形旳性质定理2 等腰三角形旳顶角平分线、底边上旳中线和高线相互重叠,简称等腰三角形三线合一
（1）假如AD是等腰三角形顶角旳平分线，那么AD也是 、 。
G
已知：如图，在D，E在BC上，AB=AC，AD=AE，则BD与CE相等吗？
E
A
B
C
D
H
练习5：
已知：在△ABC中，AB=AC, AD是BC边上旳中线， ∠ABC旳平分线BG交AD于点E,EF⊥AB，垂足为F.求证：EF=ED
A
E
F
G
D
C
B
练习6：
（2）假如AD是等腰三角形底边上旳中线，那么AD也是 、 。
（3）假如AD是等腰三角形底边上旳高线，那么AD也是 、 。
底边上旳高线
底边上旳中线
顶角旳平分线
底边上旳高线
底边上旳中线
顶角旳平分线
例1已知：如图，AD平分∠BAC,∠ADB=∠ADC 求证：AD⊥BC
等腰三角形旳性质
文字论述
几何语言
等腰三角形旳两底角相等(同一种三角形中，等边对等角)
∵AB=AC∴∠B=∠C
等腰三角形顶角旳平分线、底边上旳中线、高线相互重叠（简称等腰三角形三线合一）
∵AB=AC，∠1=∠2 ∴AD⊥BC，BD=CD
对称轴顶角平分线底边高线底边中线所在直线
轴对称
练习4：已知：在△ABC中，AB=AC,D为CA延长线上一点，DF⊥BC,交AB于点E，求证：∠D=∠AED
E
1、已知：在 △ ABC中AB=AC,OB=OC， AO旳延长线交BC于点D，求证：AD⊥BC.
等腰三角形的性质课件
A 12
B
D
C
证法2） 作△ ABC底边BC上的高AD ∠ ADB= ∠ ADC=90 ° AB=AC AD=AD △ ABD≌Rt△ ACD Rt ∠B=∠C 证法3） 作△ ABC的中线AD BD=CD AB=AC AD=AD ABD≌ △ ACD △ ∠B=∠C
A 12
1
B
D
C
课堂练习：
3 口答：
（1） 已知等腰三角形的一 个底角为70 °,那么此 等 腰三角形各内角的度数分 别是 （ ）. （2） 已知等腰三角 形的顶角为70° ，那么 此 等腰三角形各内角的 度数分别是( ）。
A
70 °
B
A 70 ° B
C
C
（3） 已知等腰三角形的一个内角为70°，那 么此 等腰三角形各内角的度数分别是（ ）。
剪一剪 想一想
• （1）、上面剪出的等腰三角形是轴对称 图形吗？ • （2）、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕 对折，找出其中重合的线段和角. • （3）由这些重合的线段和角，你能发现 等腰三角形的哪些性质呢
证法一：
作△ABC顶角的平分线AD
∠1= ∠ 2 AB=AC AD=AD △ ABD≌△ ACD ∠B= ∠C
有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
三角形的三边有什么关系？
A
顶角 腰 腰
底角
底角
B
底边
C
试一试
• （1）等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则 它的周长是 ； • （2）等腰三角形的一边长为3cm,另一 边长为4cm,则它的周长是 ； • （3）等腰三角形的一边长为3cm,另一 边长为8cm,则它的周长是 。
（4） 已知等腰三角形的一个内角为120 °， 那么此 等腰三角形各内角的度数分别是（ ）。
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提出一个猜想
△ABC是等腰三角形
AB=AC
轴对称图形
折痕AD所在直线 A
重合的边，重合的角
找一找
12
相等的边，相等的角
∠B=∠C
B
D
C
猜想：等腰三角形的两个底角相等。
验证猜想
命题：等腰三角形的两个底角相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
已知：△ABC 中，AB=AC。
求证：∠B=∠C .
A
∠B=∠C
两个三角形全等 构造两个三角形
作辅助线
B
D
C
折痕AD
折痕AD是等腰△ABC的什么线?
A
A
A
12
┌
B
D
CB
D
CB
D
C
如图，作△ABC 底边的中线AD
如图，作△ABC 底边的高AD
如图，作△ABC 顶角的平分线AD.
验证猜想
命题：等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC 中，AB=AC,
求证：∠B=∠C .
A
B
D
C
证法一
证明：过A点作底边BC边上的中线AD.
A
⌒
x
2x B
D
2x 2x
C
谢谢观赏
AD＝AD（公共边），
B
D
C
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ ∠B＝∠C.
证法三
证明：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ，
A
∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中，
12
AB＝AC（已知），
∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边），
B
D
C
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS），
∠B=∠C = 30°
2.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 _7_5_°_, 30°__；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 _7_2_°__,7_2_°_或__3_6_°__,1_0_8_°___；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_ _3_0_°，3_0_°.
等腰三角形性质
八年级上册（人教版）
温故知新
A
1.什么是等腰三角形？
顶 角
腰
腰
2.什么是它的腰和底？
3.什么是它的顶角？ 4.什么是它的底角？
底 B角
底 角 底边
C
第一课时
目标呈现
壹 经历等腰三角形性质一的探究过程 难点
贰 理解掌握等腰三角形的性质一 ， 并能初步运用性质解决有关问题 重点
实验探究
∴ ∠B＝∠C.
性质总结
性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
A
已知：△ABC 中，AB=AC, 求证：∠B=∠C .
几何语言： ∵ AB=AC（已知） ∴ ∠B=∠C（等边对等角）
B
D
C
牛刀小试
1.如图，分别求出下列两个等腰三角形底角的度数.
A
A
36°
120°
B
C
B
C
∠B=∠C = 72°
在△ABD与△ACD中：
A
AB=AC（已知），
BD=DC（作图），
AD=AD（公共边），
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）， ∴ ∠B＝∠C.
B
D
C
证法二
证明：作底边BC的高AD，交BC于点D.
∵AD⊥BC，
A
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
AB＝AC（已知），
剪一剪 把一张长方形的纸按图中的 红线对折，并剪去阴影部分（一个直角 三角形），再把得到的直角三角形展开， 得到的△ABC有什么特点？
B
A
D
C
得出一个结论
A
A
展开
B
D
C
翻折
B
D
C
剪△出A的BC等是腰等三腰角三形角是形轴吗对？称为图什形么吗？？
它对称轴是什么？ 折痕AD所在的直线
结论：等腰三角形是轴对称图形.
课堂小结
等腰三角形是 轴对称图形
等腰三角 形的性质
等边对等角
注意是指同一个三角形中
发散思维
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且
BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 解得x=36 ° ，在△ABC中， ∠A=36°， ∠ABC=∠C=72°.