九年级数学下册 24_6 第2课时 正多边形的性质习题 沪科版
上海沪科版初中数学九年级下册24.6 第2课时 正多边形的性质
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重点知识精选
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24.6 正多边形与圆
第2课时正多边形的性质A．16 B．12
8.如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：∠G=2∠F．
9.如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，
（1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数；
（2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律．
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沪科版九年级下数学《24.6.2正多边形的性质》课件
F A O 4m
E D
亭子地基的面积
r 1 1 S l r 24 2 3 41.6(m 2 ). B M C 2 2
例2 求边长为a的正六边形的周长和面积. 解：如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足为 G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别 为 l和 S . ∵ 多边形ABCDEF为正六边形，
第24章
圆
第2课时 正多边形的性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1. 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概 念.（重点） 2. 掌握正多边形的性质并能加以应用.（难点）
导入新课
复习引入
问题1 什么是正多边形？
各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形. 问题2 如何作出正多边形？ 将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或
A M
O .
N
图①
M C B
O
M N C B
O N C
图③
D
B
图②
课堂小结
中心 正多边形 的对称性
正多边形的 有 关 概 念
半径 边心距 中心角
正多边形 的性质
正多边形的 有 关 计 算
添加辅助线的方法： 连半径，作边心距
于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G. ∵六边形ABCDEF是正六边形 ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
K
E
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和，均为 HK的长.
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.
∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.
沪科版九年级下册数学第24章 圆 正多边形的性质 (2)
综上所述，当 t＝0 或 6 时，四边形 PBQE 是矩形，且 矩形 PBQE 的面积＝36 3 cm2. ∵正六边形 ABCDEF 的面积＝6×△AOB 的面积＝ 6×(14×矩形 ABDE 的面积)＝6×(14×36 3)＝54 3(cm2)． ∴矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比 为 2∶3.
则圆的面积约为正方形面积的( )
A．27倍
B
B．14倍
C．9倍
D．3倍
7 【2021·上海】六个带30度角的直角三角板拼成一个正 六边形，直角三角板的最短边为1，则中间正六边形的
面积为___3___3__． 2
8 一个边长为 2 的正多边形的内角和是其外角和的 2 倍，
则这个正多边形的半径是( A )
正解：A
9 【教材 P49 练习 T2 改编】如图，正三角形 ABC 的边长 是 2 3，求此正三角形的半径、边心距和面积．
解：如图，设点 O 是正三角形 ABC 的中心，连接 OB，OC，
过点 O 作 OD⊥BC 于点 D， 则∠ODB＝90°，BD＝CD＝12BC＝ 3. ∵∠BOC＝3630°＝120°，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝180°－2 120°＝30°.
B．b<a<c
C．a<c<b
D．c<b<a
【点拨】 圆的半径为 R，则正三角形的边心距为 a＝12R， 正方形的边心距为 b＝ 22R， 正六边形的边心距为 c＝ 23R. ∵12R< 22R< 23R，∴a<b<c.故选 A.
6 【2021·徐州】如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正
方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，
24-6-2 正多边形的性质-2022-2023学年九年级数学下册同步教学课件(沪科版)
3 BC 2
3 a. 2
∴S=6 1 BC OG 3 3 a2.
2
2
24.6.2 正多边形的性质
例2 一个上、下底面为全等正六边形的礼盒，高为10 cm， 上、下底面正六边形的边长为12 cm，如果用彩色胶 带按如图所示方式包扎礼盒，所需胶带长度至少为
__(7_2___3___6_0_)_c_m___．
6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方 形的面积等于4，求⊙O的面积． 解：∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB=2. 则半径为 AB sin 45 2. ∴⊙O的面积为 π( 2)2 2π.
24.6.2 正多边形的性质
7.如图，正六边形ABCDEF的边长为 2 3，点P为六边形内任
24.6.2 正多边形的性质
例1 求边长为a的正六边形的周长和面积.
解： 如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足是G，连
接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为C 和S.
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC = 60°， △BOC是等边三角形.
∴C = 6BC = 6a.
在△BOC中，有 OG
出所需胶带的长度．
24.6.2 正多边形的性质
例3 如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线． （1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连 接的线段与AG平行，并说明理由； （2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、 M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
n
24.6.2 正多边形的性质
画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？
24.6.2 正多边形的性质
要点精析： (1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共有n条 对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心. (2)当边数为偶数时，正多边形具有：轴对称性、中心
2021春沪科版九年级数学下册 第24章 24.6.2 正多边形的性质
边心距 中心角
半径
基础巩固练 C
基础巩固练 A
基础巩固练 B
基础巩固练 A
基础巩固练 A
基础巩固练 C
基础巩固练 A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基础巩固练 8 cm
基础巩固练
基础巩固练
基础巩固练
基础巩固练 【答案】 48°
能力提升练 B
能力提升练
能力提升练
能力提升练
能力提升练
能力提升练
素养核心练
沪科版 九年级下
第24章ꢀ圆
24.6ꢀ正多边形与圆 第2课时ꢀ正多边形的性质
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答案显示
核心必知 1 n；中心 2 中心；半径；边心距；中心角
1C
2A
3B
4A
5A
6C
7A
8 8 cm 9
10 48°
11 B
12 见习题 13 见习题 14 见习题ꢀ
核心必知 n
中心
核心必知 中心
素养核心练
素养核心练
素养核心练
沪科版九年级下册数学第24章 圆 正多边形的性质
【类比探究】如图②，∠BOC为正方形ABCD的中心角， 将∠BOC绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，与正方形 ABCD的边BC，CD分别交于点M，N.若正方形ABCD的 面积为S，请用含S的式子表示四边形OMCN的面积(写出 具体探究过程)．
解：∵∠BOC为正方形ABCD的中心角， ∴易得OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°， ∵∠BOC绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，与正方形ABCD 的边BC，CD分别交于点M，N， ∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON，
∴S 四边形 OMCN＝S△OMC＋S△OCN＝S△OMC＋S△OBM＝S△OBC＝14S.
【拓展应用】如图③，∠BOC 为正六边形 ABCDEF 的中心角， 将∠BOC 绕点 O 逆时针旋转 α(0°＜α＜60°)，与正六边形 ABCDEF 的边 BC，CD 分别交于点 M，N.若四边形 OMCN 的面 积为 6，请直接写出正六边形 ABCDEF 的面积．
5．【中考·滨州】若正方形的外接圆半径为2，则其内切 圆半径为( ) A
A． 2
C．
2 2
B．2 2 D．1
6．【合肥蜀山区西苑中学期中】已知正六边形的边心距
为，则这个正六边形的周长为( )
C
A．4
B．6
C．12 D．8
7．【安徽霍邱期末】如图，⊙O是正五边形ABCDE的外
接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距
2．任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这 两个圆是同心圆．正多边形的外接圆和内切圆的公共 圆心叫做正多边形的________；外接圆的半径叫做正 多 边 形 的 ________ ； 内中切心圆 的 半 径 叫 做 正 多 边 形 的 ________；正半多径边形每一边所对的圆心角叫做正多边 形边的心__距______．
2020年春沪科版九年级数学下册24.6 第2课时 正多边形的性质
2020 年春九年级数学下册ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
24.6 正多边形与圆
第 2 课时 正多边形的性质
1.如果正 n 边形的中心角是 40°，那么 n=_______.
2.圆内接正六边形的边心距为 2 3 cm，则这个正六边形的面积为_________cm2．
3.正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ） A．互余 B．互补 C．互余或互补 D．不能确定 4.正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A.1: 2
B. 2 : 2 C. 3：1 D. 3：2
5.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 S3、S4、S6 间的大小关系是（ ） A．S3＞S4＞S6 B．S6＞S4＞S3 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3 6.如图，在正六边形 ABCDEF 中，△BCD 的面积为 4，则△BCF 的面积为（ ） A．16 B．12 C．8 D．6
7.如图，点 G，H 分别是正六边形 ABCDEF 的边 BC，CD 上的点，且 BG=CH，AG 交 BH 于点 P．（1）求证：△ABG≌△BCH； （2）求∠APH 的度数．
2020 年春九年级数学下册
8.如图，已知正五边形 ABCDE，AF∥CD 交 DB 的延长线于点 F，交 DE 的延长线于点 G． （1）写出图中所有的等腰三角形； （2）求证：∠G=2∠F．
上海市金山区山阳镇九年级数学下册24.6正多边形与圆24.6.2正多边形与圆检测(新版)沪科版
24.6.2 正多边形与圆同步检测一、选择题：1.若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是（ ）.A.4B.6 C 2.一个圆内接正六边形与内接正方形面积之差为4，则此圆的面积为( ). A.π1132324+πC.π1132324-D.π1132432- 图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ).4.若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于（ ）.A.1:2:3B.3:2:1C.1:2:3D.3:2:1二、填空题：度才能和原来的图形重合.24-6-6，有一个边长为2cm 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个图形纸片的最小半径是 cm.°，则这个正多边形是正 边形. R ，内切圆的半径为r ，则r R的值等于 . 三、解答题： 9.写出下列各正多边形的每个内角的度数、中心角的度数、每个外角的度数.（1）正三边形；（2）正四边形；（3）正五边形；（4）正六边形；24-6-7,已知⊙O 的半径为R ，求它的内接正三角形ABC 的内切圆的内接正方形DEFG 的面积.参考答案:1.C.提示:设多边形的边数为n,由题意,有(2)1803603n n n -=⨯ ,解得n=8.2.A.提示:设圆的半径为R,则有4243622=-⨯R R ,解得R 2=π1132324+. 3.B.提示:正多边形都是轴对称图形,边数为偶数的正多边形还是中心对称图形.4.A.提示:设圆的半径为R,则3cos 602o R r R ==,同理,422R r =,623R r =,所以r 3：r 4：r 6=1:2:3.°.提示:正五边形的中心角为72°.6.2.提示:正六边形的外接圆的半径等于其边长. 图24-6-6图24-6-77.15.提示:设该正多边形的边数为n,则有24360 n ,解得n=15. 8.设正四边形的边长为a,则其外接圆的半径R=22a ,内切圆的半径r=2a ,则r R =22. 9.(1)正三角形内角的度数为60°,中心角的度数为120°,外角的度数为120°;(2)正四边形内角的度数为90°,中心角的度数为90°,外角的度数为90°;(3)正五边形内角的度数为108°,中心角的度数为72°,外角的度数为72°;(4)正六边形内角的度数为120°,中心角的度数为60°,外角的度数为60°.10.连结OB 、OC ，设小圆与BC 的切点为M ，连结OM ，则OM ⊥BC 、∠BOC=120°、∠MOC=60°，因为OC=R,所以OM=2R，则小圆的直径为DF=R ，由勾股定理得DE=22R, 所以S 正方形DEFG =(22R)2=22R.。