应用回归分析第三章课后习题整理

=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛yn y y 21
⎝
⎛111 12111xn x x 22212xn x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫xnp p x p x
21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p βββ 10 +⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛n εεε 21即y=x β+ε
基本假定
（1）解释变量x1,x2...,xp 是确定性变量，不是随机变量，且要求rank(X)=p+1<n,表明设计矩阵X 中自变量列之间不相关，样本量的个数应大于解释变量的个数
（2)随机误差项具有零均值和等方差，即高斯马尔柯夫条件
n
E ,2,1,0)(==τετ
⎩
⎨⎧=0)cov(2,σεεγτγτγ
τ≠=n 2,1,=γτ
（3）对于多元线性回归的正态分布假定条件的矩阵模型为 ε~N （0，n I 2σ） 随即向量y~N(X n I 2,σβ)
当(1
)-X X T
存在时，回归参数的最小二乘估计为Y X X X T T 1)(-∧
=β，
要求出回归参数∧
β，即要求X X T 是一个非奇异矩阵，0≠X X T ，所以可逆矩阵X X T 为p+1阶的满秩矩阵，又根据两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩rank(X)≥p+1,而X 为n ⨯(p+1)阶矩阵，于是应有n ≥p+1 结论说明，要想用最小二乘法估计多元线性回归模型的未知参数，样本量n 必须大于模型自变量p 的个数。

1
)())1((11)1(11)1(11)(11]))(()([11)(11)(11)11()(21)(1
2221112112
1
12
1
2
22222
+===⨯+-⨯--=---=---=--=+--=--=--=--=++=-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑========∧=∧
p h H tr p n p n h p n h p n e D p n e E e D p n e E p n e E p n SSE p n E E en e e y y SSE n
n
n n
n n n
n n
τττττττττττττττττττττσσσσσ注 不能断定这个方程一定很理想，因为样本决定系数与回归方程中自
变量的数目以及样本量n 有关，当样本量个数n 太小，而自变量又较多，使样本量与自变量的个数接近时，2R 易接近1，其中隐藏一些虚假成分。

当接受H 0时，认定在给定的显著性水平α下，自变量x1,x2, xp 对因变量y 无显著影响，于是通过x1,x2, xp 去推断y 也就无多大意义，在这种情况下，一方面可能这个问题本来应该用非线性模型去描述，而误用了线性模型，使得自变量对因变量无显著影响；另一方面可能是在考虑自变量时，把影响因变量y 的自变量漏掉了，可以重新考虑建模问题。

当拒绝H 0时，我们也不能过于相信这个检验，认为这个回归模型已经完美了，当拒绝H 0时，我们只能认为这个模型在一定程度上说明了自变量x1,x2, xp 与自变量y 的线性关系，这时仍不能排除排除我们漏掉了一些重要的自变量。

中心化经验回归方程的常数项为0，回归方程只包含p 个参数估计值
p ∧
∧
∧
βββ ,,21比一般的经验回归方程减少了一个未知参数，在变量较多
时，减少一个未知参数，计算的工作量会减少许多，对手工计算尤为重要。

在用多元线性回归方程描述某种经济现象时，由于自变量所用的单位大都不同，数据的大小差异也往往很大，这就不利于在同一标准上进行比较，为了消除量纲不同和数量级的差异带来的影响，就需要将样本数据标准化处理，然后用最小二乘法估计未知参数，求得标准化回归系数。

对p p x x x y ττττββββ∧
∧
∧
∧
∧
++++= 22110进行中心化处理得
)()()(222111p p p x x x x x x y y -++-+-=-∧
∧
∧
∧
ττττβββ 再将等式除以因变量的样
本标准差yy L 则有
*τ∧
y =
=-++-+-=-∧
∧∧∧)()()(222111p p yy
p
yy yy yy x x L x x L x x L L y y ττττβββ pp
p p yy
pp p yy
yy
L x x L L L x x L L L x x L L )
()
()
(22
2222211
11111-+
+-+
-∧
∧
∧τττβββ =
*
*
*
*
*
*
2211p p x x x τττβββ∧
∧
∧
+++
所以=
∧
*
j βp j L L yy
jj
j ,2,1,=∧
β
（ij ∆为相关阵（ij r )p p ⨯第i 行，第j 列的代数余子式）
22
1112
3;12∆•∆∆-=
r =1
1)1(1
1)1(1
)1(13312
223321
12331212
1r r r r r r r +++-⨯---)
1)(1(2
2132331
2321r r r r r ---=
F j =
)1()1()11()1()()1()
()1()1()1()
1(12
222
)()()()()()()()()()()
(yj
yj yj yj j j j j j j j j j j j r r p n r r p n SSE SSE SSE SSE SSE p n SSE SSE SSE SSE p n SSE SSE p n SSE SSR p n p n SSE SSR -⨯--=-⨯⨯--=∆-⨯∆⨯--=⨯∆⨯--=∆⨯--=∆⨯--=--∆2yj
r 小于1，F j 与2yj r 一一对应，所以F j 与2
yj r 等价
=--+--⨯--⨯
=--+p
p n SSE p n p SSR SSE
p n p SSR p p n F F 111
)1(2)1(11R SST
SSR SST SSE SSE SSR SSE
SSE SSR SSE SSR SSE SSR p p n SSE SSR p p n ==⨯=+=+⨯--⨯
--
证得p
p n F F
R )1(2--+=
(1)
N10101010 *. 在水平（双侧）上显著相关。

(2)（3）（4）（5）（6）
模型汇总
模型R R 方调整 R 方标准估计的误
差
1.898a.806.708
a. 预测变量: (常量), x3, x1, x2。

Anova b
模型平方和df均方F Sig.
1回归3.015a 残差6
总计9
a. 预测变量: (常量), x3, x1, x2。

b. 因变量: y
系数a
模型非标准化系数标准系数
t Sig. B标准误差试用版
1(常量).096 x1.385.100
x2.535.049
x3.277.284 a. 因变量: y
1回归方程为 y= +++
2复相关系数R=，决定系数为，拟合度较高。

3方差分析表，F=，P值=<，表明回归方程高度显著，说明x1,x2,x3,整体上对y有高度显著的线性影响
4回归系数的显著性检验x1工业总产值的P值=
X2农业总产值的P值=
X3居民非产品支出的P值=
在的显著性水平上，x3未通过检验，应将其剔除掉
1回归方程为y= ++
2复相关系数R=，决定系数为，由决定系数看回归方程接近高度相关
3方差分析表，F=，P值=，表明回归方程高度显著说明x1,x2,整体上对y有高度显著的线性影响
4回归系数的显著性检验x1工业总产值的P值=
X2农业总产值的P值=
在的显著性水平上,自变量x1,x2对y均有显著影响
( 8 ) 标准化回归方程y=+
（9）把x01=75,x02=42带入y= ++得y=
y置信水平95%的区间估计为（ , ）
y置信水平95%的近似区间估计为（ , ）
E（y)置信水平95%的区间估计为 ,
(10)由于X3的回归系数显著性检验未通过，所以居民非商品支出对货运总量影响不大，但是回归方程整体对数据拟合较好。

VIF的值都大于10，所以变量之间存在多重共线性
表中第三行x0(常数项），x1,x2的系数分别为,,，说明x0(常数项），x1,x2之间存在多重共线性。

回归方程为y=++,
第一产业的增加值x1的P值=
第二产业的增加值x2的P值= 在的显著性水平上x1对y无显著影响。