2020-2021学年江苏省泰州市姜堰区高一上学期中考试数学试卷 答案和解析
2020-2021学年江苏省泰州市泰兴市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2020-2021学年江苏省泰州市泰兴市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1．已知集合M ＝{x |x 2﹣x ﹣2＝0}，N ＝{0，﹣1}，则M ∪N ＝（ ）A ．∅B ．{1}C ．{0}D ．{﹣1，0，2}2．命题“对任意的x ∈R ，x 2﹣x +1≤0”的否定是（ ）A ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1＞0B ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1≤0C ．对任意的x ∈R ，x 2﹣x +1＞0D ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1≥03．若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是（ ）A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ．a +b ＜0D ．|a |+|b |＞|a +b |4．已知函数f （x ）={−x 2+2x ，x ＞00，x =0x 2+mx ，x ＜0是奇函数，则实数m 的值是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．﹣25．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，则ln （36e 3）可以用a 和b 表示为（ ）A ．a +2b ﹣3B ．4a +2b +2C ．2a +2b +3D ．2a +3b +36．已知不等式ax 2﹣bx +2＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜2}，则不等式2x 2+bx +a ＜0的解集为（ ）A ．{x |−12＜x ＜1}B ．{x ＜﹣1或x ＞12}C ．{x |﹣1＜x ＜12}D ．{x |x ＜−12或x ＞1}7．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，则（ ）A ．f （2021）＜f （﹣2020）＜f （2019）B ．f （2019）＜f （﹣2020）＜f （2021）C ．f （﹣2020）＜f （2019）＜f （2021）D ．f （﹣2020）＜f （2021）＜f （﹣2019）8．设a ＞0，b ＞0，9a +b ＝2ab ，若不等式a +b ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，9]B ．（﹣∞，8]C ．（﹣∞，92]D ．[8，+∞）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）9．下列说法正确的是（ ）A ．已知集合M ＝{2，3，4}，则M 的子集个数是8B ．函数y =√x 2与y ＝（√x ）2是同一函数C ．不等式x−2x ＞0的解集是（﹣∞，0）∪（2，+∞）D ．函数y ＝f （x ）是奇函数的充要条件是y ＝f （x ）的定义域关于原点对称．10．已知函数f （x ）＝x 2的值域是[0，4]，则它的定义域是可能是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣3，2]C ．[﹣1，1]D ．[﹣2，1]11．若集合P ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，S ＝{x |ax ﹣1＝0}，且S ⊆P ，则实数a 的可能取值为（ ）A ．0B ．−13C ．4D ．1212．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数f （x ）＝x 2+a |x|（a ∈R ）的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．设函数f （x ）={12x −1，x ≥01x，x ＜0，则f （f （0））＝14．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M ＝{2，3，5}，N ＝{x |x 2﹣8x +12＝0}，则集合 ∁U （M ∪N ）＝ ．15．设m 为实数，若关于x 的不等式2x 2+mx ﹣m ＞0对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是 ．16．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＝6，b +c ＝10，则此三角形面积的最大值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）化简：lg20+lg5−lg80lg5−lg4； （2）化简：4−32+（94）12−（√3−1）0+√(−3)33．18．（12分）已知函数y =√2x +1+√3−4x 定义域为集合A ，不等式|x ﹣a |≥1（a ∈R ）的解集为集合B ．（1）求集合A 和集合B ；（2已知“x ∈A 是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝2x−mx，且f（12）＝﹣1．（1）求m的值；（2）判定f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．20．（12分）已知关于的不等式x2﹣（a+2）x+2a＜0．（1）当a＝3时，解关于x的不等式；（2）当a∈R时，解关于x的不等式．21．（12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足60台时，p（x）＝x2+20x（万元）；当月产量不小于60台时，p（x）＝101x+6400x−2060（万元）．若每台机器售价100万元，且当月生产的机器能全部卖完．（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．22．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为﹣1，f（0）＝f（2）＝0．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上不单调，求实数m的取值范围；（3）若x∈[t，t+2]，试求y＝f（x）的最小值．2020-2021学年江苏省泰州市泰兴市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1．已知集合M ＝{x |x 2﹣x ﹣2＝0}，N ＝{0，﹣1}，则M ∪N ＝（ ）A ．∅B ．{1}C ．{0}D ．{﹣1，0，2}解：∵M ＝{﹣1，2}，N ＝{0，﹣1}，∴M ∪N ＝{﹣1，0，2}．故选：D ．2．命题“对任意的x ∈R ，x 2﹣x +1≤0”的否定是（ ）A ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1＞0B ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1≤0C ．对任意的x ∈R ，x 2﹣x +1＞0D ．存在x ∈R ，x 2﹣x +1≥0 解：命题为全称命题，则命题“对任意的x ∈R ，x 2﹣x +1≤0”的否定为存在x ∈R ，x 2﹣x +1＞0， 故选：A ．3．若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是（ ）A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ．a +b ＜0D ．|a |+|b |＞|a +b | 解：∵1a ＜1b ＜0，∴a 和b 为负数且a ＞b ，∴a 2＜b 2，故A 正确；再由不等式的性质可得ab ＜b 2，B 正确；由a 和b 为负数可得a +b ＜0，故C 正确；再由a 和b 为负数可得|a |+|b |＝|a +b |，D 错误．故选：D ．4．已知函数f （x ）={−x 2+2x ，x ＞00，x =0x 2+mx ，x ＜0是奇函数，则实数m 的值是（ ） A ．0 B ．2 C ．4D ．﹣2 解：根据题意，函数f （x ）={−x 2+2x ，x ＞00，x =0x 2+mx ，x ＜0，若x ＞0，则﹣x ＜0，则f （x ）＝﹣x 2+2x ，f （﹣x ）＝（﹣x ）2+m （﹣x ）＝x 2﹣mx ，又由f （x ）为奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），即﹣x 2+2x ＝﹣（x 2﹣mx ），则m ＝2，故选：B ．5．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，则ln （36e 3）可以用a 和b 表示为（ ）A ．a +2b ﹣3B ．4a +2b +2C ．2a +2b +3D ．2a +3b +3解：ln （36e 3）＝ln 36+lne 3＝ln （22×32）+3lne＝ln 22+ln 32+3＝2ln 2+2ln 3+3＝2a +2b +3，故选：C ．6．已知不等式ax 2﹣bx +2＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜2}，则不等式2x 2+bx +a ＜0的解集为（ ）A ．{x |−12＜x ＜1}B ．{x ＜﹣1或x ＞12}C ．{x |﹣1＜x ＜12}D ．{x |x ＜−12或x ＞1}解：不等式ax 2﹣bx +2＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜2}，所以﹣1，2是方程ax 2+bx +2＝0的两个实数根，且a ＜0，由根与系数的关系知{−1+2=b a −1×2=2a，解得a ＝﹣1，b ＝﹣1；所以不等式2x 2+bx +a ＜0化为2x 2﹣x ﹣1＜0，解得−12＜x ＜1；所以不等式2x 2+bx +a ＜0的解集为{x |−12＜x ＜1}．故选：A ．7．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，则（）A ．f （2021）＜f （﹣2020）＜f （2019）B ．f （2019）＜f （﹣2020）＜f （2021）C ．f （﹣2020）＜f （2019）＜f （2021）D ．f （﹣2020）＜f （2021）＜f （﹣2019）解：由对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0， 可得函数f （x ）在[0，+∞）上单调递减，所以f （2021）＜f （2020）＜f （2019），因为f （x ）为偶函数，所以f （2020）＝f （﹣2020），所以f （2021）＜f （﹣2020）＜f （2019）．故选：A ．8．设a ＞0，b ＞0，9a +b ＝2ab ，若不等式a +b ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，9]B ．（﹣∞，8]C ．（﹣∞，92]D ．[8，+∞） 解：a ＞0，b ＞0，9a +b ＝2ab 即9b+1a =2， 则a +b =12（a +b ）（9b +1a）=12（9+1+9a b +b a ）≥12（10+2√9a b ⋅b a ）＝8， 当且仅当b ＝3a ＝6，上式取得等号，由不等式a +b ≥m 恒成立，可得m ≤（a +b ）min ＝8，故选：B ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）9．下列说法正确的是（ ）A ．已知集合M ＝{2，3，4}，则M 的子集个数是8B ．函数y =√x 2与y ＝（√x ）2是同一函数C ．不等式x−2x ＞0的解集是（﹣∞，0）∪（2，+∞）D ．函数y ＝f （x ）是奇函数的充要条件是y ＝f （x ）的定义域关于原点对称．解：对于A ：集合M ＝{2，3，4}，则M 的子集个数是23＝8，故正确；对于B ：函数y =√x 2的定义域为R ，y ＝（√x ）2的定义域为{x |x ≥0}，故不是同一函数，故错误； 对于C ：不等式x−2x ＞0，整理得：x （x ﹣2）＞0，所以不等式的解集是（﹣∞，0）∪（2，+∞），故正确；对于D ：函数y ＝f （x ）是奇函数的必要不充要条件是y ＝f （x ）的定义域关于原点对称，故错误． 故选：AC ．10．已知函数f （x ）＝x 2的值域是[0，4]，则它的定义域是可能是（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣3，2]C ．[﹣1，1]D ．[﹣2，1] 解：∵f （x ）的值域是[0，4]，∴0≤x 2≤4，∴﹣2≤x ≤2，∴f（x）的定义域可能是[﹣1，2]，[﹣2，1]，∵f（﹣3）＝9，f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1，∴[﹣3，2]和[﹣1，1]不可能是f（x）的定义域．故选：AD．11．若集合P＝{x|x2+x﹣6＝0}，S＝{x|ax﹣1＝0}，且S⊆P，则实数a的可能取值为（）A．0B．−13C．4D．12解：P＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{﹣3，2}，①S＝∅，a＝0；②S≠∅，S＝{x|x=−1 a}，−1a=−3，a=13，−1a=2，a=−12；综上可知：实数a的可能取值组成的集合为{−12，0，13}．故选：ABD．12．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数f（x）＝x2+a|x|（a∈R）的图象可能是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），易知函数f（x）为偶函数，当x＞0时，若a＝0时，f（x）＝x2，选项B符合，当a＞0时，f（x）＝x2+ax=x2+a2x+a2x≥3√x2⋅a2x⋅a2x3=3√a243，当且仅当x2=a2x，即x=√a23时取等号，选项D 符合，当a ＜0时，f （x ）＝x 2+a x 在（0，+∞）上单调递增，当f （x ）＝x 2+a x=0时，解得x =−√−a 3，有且只有一个零点，选项C 符合，故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．设函数f （x ）={12x −1，x ≥01x，x ＜0，则f （f （0））＝ ﹣1 解：∵函数f （x ）={12x −1，x ≥01x，x ＜0， ∴f （0）=12×0−1=−1， f （f （0））＝f （﹣1）＝﹣1．故答案为：﹣1．14．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M ＝{2，3，5}，N ＝{x |x 2﹣8x +12＝0}，则集合∁U （M ∪N ）＝ {1，4，7，8} ．解：∵U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M ＝{2，3，5}，N ＝{2，6}，∴M ∪N ＝{2，3，5，6}，∁U （M ∪N ）＝{1，4，7，8}．故答案为：{1，4，7，8}．15．设m 为实数，若关于x 的不等式2x 2+mx ﹣m ＞0对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是 （﹣8，0） ．解：关于x 的不等式2x 2+mx ﹣m ＞0对任意实数x 恒成立，可得Δ＜0，即m 2+8m ＜0，可得m （m +8）＜0，解得﹣8＜m ＜0，即m 的取值范围是（﹣8，0）．故答案为：（﹣8，0）．16．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a ＝6，b +c ＝10，则此三角形面积的最大值为 12 ． 解：由a ＝6，b +c ＝10，得p =12（a +b +c ）=12×（6+10）＝8；所以S 2＝8×（8﹣6）×（8﹣b ）（8﹣c ）＝16[bc ﹣8（b +c ）+64]＝16（bc ﹣16）≤16×[(b+c 2)2−16] ＝16×（25﹣16）＝144，当且仅当b ＝c ＝5时取等号．所以S ≤12．故答案为：12．四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）化简：lg20+lg5−lg80lg5−lg4； （2）化简：4−32+（94）12−（√3−1）0+√(−3)33．解：（1）原式=lg(20×5)−lg80lg 54=lg100−lg80lg 54=lg 10080lg 54=lg 54lg 54=1． （2）原式=(22)−32+[(32)2]12−1+(−3)=2﹣3+32−4=1+12−328=−198． 18．（12分）已知函数y =√2x +1+√3−4x 定义域为集合A ，不等式|x ﹣a |≥1（a ∈R ）的解集为集合B ．（1）求集合A 和集合B ；（2已知“x ∈A 是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解（1）由函数y =√2x +1+√3−4x 有意义则需{2x +1≥03−4x ≥0， 解得：−12≤x ≤34，所以集合A ＝{x |−12≤x ≤34}，由不等式|x ﹣a |≥1得：x ≤a ﹣1或x ≥a +1，所以集合B ＝{x |x ≤a ﹣1或x ≥a +1}．（2）因为“x ϵA ”是“x ϵB ”的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，所以a +1≤−12或a −1≥34，所以a ≤−32或a ≥74．19．（12分）已知函数f （x ）＝2x −m x ，且f （12）＝﹣1． （1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．解 （1）根据题意，函数f （x ）＝2x −m x ，因为f(12)=−1，所以2×12−m 12=−1，解可得m ＝1， （2）f(x)=2x −1x ，因为f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，又f(−x)=2(−x)−(−1x )=−2x +1x =−(2x −1x )=−f(x)， 所以f （x ）是奇函数．（3）f （x ）在（0，+∞）上为单调增函数证明如下：任取x 1＞x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）＝（2x 1−1x 1）﹣（2x 2−1x 2）＝（x 1﹣x 2）（2+1x 1x 2） 因为x 1＞x 2＞0，所以x 1﹣x 2＞0，2+1x 1x 2＞0，所以f （x 1）＞f （x 2）， 所以f （x ）在（0，+∞）上为单调增函数．20．（12分）已知关于的不等式x 2﹣（a +2）x +2a ＜0．（1）当a ＝3时，解关于x 的不等式；（2）当a ∈R 时，解关于x 的不等式．解：（1）a ＝3时，不等式为x 2﹣5x +6＜0，即（x ﹣2）（x ﹣3）＜0；解得2＜x ＜3，所以不等式的解集为{x |2＜x ＜3}；（2）当a ∈R 时，不等式x 2﹣（a +2）x +2a ＜0化为（x ﹣2）（x ﹣a ）＜0；当a ＜2时，不等式的解集为{x |a ＜x ＜2}；当a ＝2时，不等式化为（x ﹣2）2＜0，解集为∅；当a ＞2时，不等式的解集为{x |2＜x ＜a }．21．（12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x 台，另需投入成本p （x ）（万元），当月产量不足60台时，p （x ）＝x 2+20x （万元）；当月产量不小于60台时，p （x ）＝101x +6400x−2060（万元）．若每台机器售价100万元，且当月生产的机器能全部卖完．（1）求月利润y （万元）关于月产量x （台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．解（1）当0＜x ＜60时，y ＝100x ﹣（x 2+20x ）﹣400＝﹣x 2+80x ﹣400，当x ≥60时，y ＝100x ﹣（101x +6400x −2060）﹣400＝1660﹣（x +6400x ）， ∴y ={−x 2+80x −400，0＜x ＜60，x ∈N 1660−(x +6400x )，x ≥60，x ∈N． （2）①当0＜x ＜60时，y ＝﹣x 2+80x ﹣400＝﹣（x ﹣40）2+1200，所以当x＝40时，y取最大值1200万元，②当x≥60时，y＝1660﹣（x+6400x）≤1660−2√x⋅6400x=1500，当且仅当x=6400x即x＝80时取等号，又1200＜1500，所以当x＝80时，y取得最大值1500，故当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．答：当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．22．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为﹣1，f（0）＝f（2）＝0．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上不单调，求实数m的取值范围；（3）若x∈[t，t+2]，试求y＝f（x）的最小值．解：（1）由已知f（x）是二次函数，且f（0）＝f（2）＝0，可得对称轴为x＝1．又最小值为﹣1，设f（x）＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0），又f（0）＝0，∴a＝1．∴f（x）＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x．（2）要使f（x）在区间[2m，m+1]上不单调，则2m＜1＜m+1，所以0＜m＜1 2．（3）由（1）知，y＝f（x）的对称轴为x＝1，若t≥1，则y＝f（x）在[t，t+2]上是增函数，y min＝f（t）＝t2﹣2t．若t+2≤1，即t≤﹣1，则y＝f（x）在[t，t+2]上是减函数，y min＝f（t+2）＝t2+2t．若t＜1＜t+2，即﹣1＜t＜1，则y min＝f（1）＝﹣1．综上所述，当t≥1时，y min＝t2﹣2t；当﹣1＜t＜1，则y min＝﹣1；t≤﹣1，y min＝t2+2t．。
2020-2021学年江苏省泰州市姜堰区高一上学期期中考试数学试卷 答案和解析
【最新】江苏省泰州市姜堰区高一上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}=12A ，,{}=23B ，,则A B ⋂= ． 2．函数y =_______.3．已知幂函数()f x x α=的图象过(，则()f x = ．4．函数2()log (2)f x x =-在[0,1]x ∈上的最大值为 ． 5．满足不等式1327x<的实数x 的取值范围是 ． 6．著名的Dirichlet 函数⎩⎨⎧=取无理数时取有理数时x x x D ,0,1)(，则)2(D =_________．7．若()2122,f x x x +=++，则()2f =___________． 8．计算21()lg 2lg 52---=_______________． 9．若2()21xf x a =-+是奇函数，则a =_______. 10．若函数2()(1)3f x kx k x =+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 ． 11．若函数()()lg 13f x x x =++-的零点为0x ，满足()0,1x k k ∈+且k Z ∈，则k= ．12．已知函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，若点A 也在函数()3x f x b =+的图象上，则()3log 2f =____．13．已知定义在R 上的函数是满足()()0f x f x +-=，在(,0)-∞上()()12120f x f x x x -<-，且，则使()0f x <的取值范围是___________．14．已知函数()4log ,0413,42x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a b c <<且()()()f a f b f c ==，则()1cab +的取值范围是___________．二、解答题15．已知全集U =R ，集合{}|210,A x x =-≤{}2|2150B x x x =--=．（1）分别求A 、B ； （2）求U C A 和()U C A B ⋂．16．（本题满分14分）已知函数f(x)＝22 , 02(1) 1 , 0x x x x ⎧<⎪⎨--≥⎪⎩． （1）写出函数f(x)的单调减区间； （2）求解方程1()2f x =． 17．（本题满分14分）已知函数xmxx f +-=11)(． （1）当2m =时，用定义证明：)(x f 在(0,)x ∈+∞上的单调递减； （2）若不恒为0的函数)(lg )(x f x g =是奇函数，求实数m 的值．18．姜堰某化学试剂厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是351x x+-千元． （1）要使生产该产品2小时获得利润不低于30千元，求x 的取值范围；（2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．19．（本题满分16分）已知函数(3),03()(3)(),3x x x f x x a x x -<<⎧=⎨--≥⎩．（1）求(2)(4)f f +的值；（2）若()y f x =在[3,5]x ∈上单调增，在[6,8]x ∈上单调减，求实数a 的取值范围； （3）设函数()y f x =在区间[3,5]上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式．20．已知函数1()31,[,1),3xf x a =-∈若函数()()g x f x a =-有两个不同的零点1212,()x x x x <，函数()()21ah x f x a =-+有两个不同的零点3434,()x x x x <． （1）若23a =，求1x 的值； （2）求2143x x x x -+-的最小值．参考答案1．{}2 【解析】试题分析：两集合的交集即两集合的相同的元素构成的集合{}2A B ∴⋂= 考点：集合的交集运算 2．[1,)+∞ 【分析】根据被开方数是非负数，解不等式即可. 【详解】要使得函数有意义，则10x -≥，解得[)1,x ∈+∞.故答案为：[)1,+∞. 【点睛】本题考查具体函数的定义域，涉及被开方数是非负的求解，属基础题. 3．12x【解析】试题分析：由题()()12122,2f f x x αα==∴==考点：幂函数 4．1 【解析】试题分析：函数由()2log ,2f t t t x ==-复合而成，由复合函数单调性的判定可知函数()f x 在定义域上是减函数，因此函数最大值为()()20log 201f =-=考点：函数单调性与最值 5．3x <- 【解析】试题分析：等式1327x<转化为333x -<，结合指数函数3xy =是增函数可得3x <-考点：指数不等式解法 6．0 【解析】为无理数，当自变量x =0D =考点：分段函数求值 7．5 【解析】试题分析：令121x x +=∴=，代入函数式得()212125f =+⨯+= 考点：函数求值 8．3 【解析】试题分析：()221()lg 2lg52lg 2lg54lg104132---=-+=-=-= 考点：指数式对数式化简 9．1 【分析】根据奇函数在0x =处有意义时()00f =可构造方程，解方程求得结果. 【详解】()f x 为奇函数且在0x =处有意义 ()010f a ∴=-=，解得：1a =本题正确结果：1 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，常采用特殊值的方式来进行求解，属于基础题.10．(,0]-∞ 【解析】试题分析：函数为偶函数()()f x f x ∴-=恒成立()21013k k f x x ∴-=∴=∴=+，减区间为(,0]-∞考点：函数奇偶性与单调性11．2【解析】试题分析：首先函数()()lg 13f x x x =++-在定义域{}0x x 上是增函数，又()2lg323lg310f =+-=-<， ()3lg433lg40f =+-=>，所以()02,3x ∈，即2k =． 考点：函数的零点． 12．89【详解】试题分析：根据对数函数的性质知函数log (3)1a y x =+-（0,1a a >≠）的图象恒过定点(2,1)A --，因为点A 在函数()3x f x b =+的图象上，所以3log 223101010813,,()3,(log 2)3.9999x b b f x f --=+∴=-∴=-∴=-= 考点：本小题主要考查对数过定点和指数、对数的运算.点评：指数函数和对数函数都恒过顶点，解题时要首先考虑是否能用这条性质简化运算. 13．(5,0)(5,)-⋃+∞ 【解析】 试题分析： ∵定义在R 上的函数是满足()()0f x f x +-=，∴即()()f x f x -=-，所以函数是奇函数；又∵函数在(,0)-∞上()()12120f x f x x x -<-，∴函数在(,0)-∞上是减函数，则在()0,+∞上也是减函数； ∵，∴()()550f f -=-=，∴()()()055f x f f <==-，即505x x -<或， 则使()0f x <的取值范围是505x x -<或. 故答案为(5,0)(5,)-⋃+∞.考点：函数的奇偶性和单调性. 14．()16,64 【解析】作出函数()4log ,0413,42x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩的图象，如图所示．∵a b c <<时，()()()f a f b f c ==，∴44log log a b -=，即44log log =0a b +，则4log =0ab ，∴11464a b c <<<<<<，且1ab =，∴()4616212264c c ab =<+=<=，即()1cab +的取值范围是()16,64，故答案为()16,64.15．（1）1,2A ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦，{}3,5B =-（2）1,2U C A ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，(){}5U C A B ⋂=【解析】试题分析：解一元一次不等式得到的x 的取值范围即集合A ，解一元二次方程得到的x 的取值即集合B ，U C A 为在全集中但不在集合A 中的所有元素构成的集合，()U C A B ⋂为集合U C A 与集合B 的相同的元素构成的集合试题解析：（1）解不等式可得12x ≤，所以1(,]2A =-∞ 解方程得35x =-或，所以{}3,5B =-（2）1(,)2u C A =+∞{}()5u C A B ⋂=考点：1．一元一次不等式解法；2．一元二次方程解法；3．集合的交并补运算 16．（1）单调减区间(0,1)；（2）方程的解为1,1- 【解析】试题分析：（1）分段函数求减区间，需在两段内分别求对应的减区间，如若有多个减区间，之间用“，”分隔开；（2）方程的根即函数值为12时对应的自变量的值，求解时需令每一段函数式都为12来求解满足相应范围的自变量x 值 试题解析：（1）当0x <时，由解析式可知不存在减区间； 当0x ≥时，函数为二次函数，对称轴为1x =，因此减区间为(0,1)（2）由1()2f x =得1212x x =∴=-，或()2121112x x --=∴=±，所以方程的解为1,1-±考点：1．函数单调性；2．函数求值 17．（1）详见解析（2）1=m 【解析】试题分析：（1）证明函数单调性一般采用定义法，首先在定义域内任取12x x <，判断()()12f x f x -的正负，若()()12f x f x <则函数是增函数，若()()12f x f x >则函数为减函数；（2）由()g x 是奇函数，则有()()g x g x -=-，代入函数式整理得1=m ，求解时要注意验证()g x 是否恒为零试题解析：（1）12()1x f x x -=+，设120x x <<()()()()()211212311x x f x f x x x -∴-=++12211200,10,10x x x x x x <<∴->+>+>()()120f x f x ∴->，()()12f x f x ∴>，因此函数在(0,)x ∈+∞上的单调递减；（2）因为函数x mxx g +-=11lg)(是奇函数， mxxx mx x mx x g x g -+=+--=-+-=-∴11lg11lg 11lg ),()(， ,1111mxx x mx -+=-+∴即,11222x x m -=-∴ ,0)1(22=-∴x m .1±=∴m当1-=m 时，011lg)(=++=xxx g 与不恒为0矛盾，所以1=m 考点：1．函数单调性证明；2．函数奇偶性判断18．（1）310x ≤≤（2）该工厂应该选取6千克/小时生产速度，利润最大，且最大利润为610千元 【解析】试题分析：（1）借助于每小时的利润得到关于2小时的利润不等式32(51)30,x x+-≥在不等式两边同乘以x 将分式不等式转化为整式不等式，进而解一元二次不等式求x 的取值范围；（2）由题意建立利润和生产速度的函数关系式2120331(51)120(5),[1,10]y x x x x x x=+-=-++∈，将其转化为二次函数求最值问题 试题解析：（1）由题意可知：32(51)30,x x+-≥25143(51)(3)0,x x x x ∴--=+-≥13,5x x ∴≤-≥或又因为110x ≤≤，310x ∴≤≤…（2）2120331(51)120(5),[1,10]y x x x x x x =+-=-++∈ 令11[,1]10t x =∈，2120(35)y t t ∴=-++当16t =即6x =时，max 610y ∴=千元．答：该工厂应该选取6千克/小时生产速度，利润最大，且最大利润为610千元． 考点：1．函数的实际应用；2．二次函数求最值；3．分式不等式解法19．（1）(2)(4)2f f a +=-；（2）[7,9]；（3）20,3(3)(),3742(5),7a a g a a a a ≤⎧⎪-⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎩【解析】试题分析：（1）函数求值只需要将自变量值代入相应的函数解析式即可；（2）结合二次函数单调性可确定对称轴32a x +=与单调区间边界值的大小关系，解不等式得到实数a 的取值范围；（3）讨论对称轴与区间[3,5]的关系，从而得到函数单调性，求得不同的函数最值，因此()g a 的表达式为分段函数试题解析：（1）()()()(2)(4)2324342f f a a +=-+--=- （2）当3x ≥时()()()()()33f x x a x x x a =--=---，对称轴为32a x +=，结合单调性可知352362a a +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩，解不等式得实数a 的取值范围[7,9]考点：1．函数求值；2．函数单调性与最值；3．分情况讨论 20．（1）11x =-（2）1 【详解】试题分析：（1）将23a =代入得到关于x 的方程，解方程可求得x 的值，其中比较小的值为1x ；（2）首先由()0g x =解方程得到12,x x ，由()0h x =解方程得到34,x x ，将其值代入2143x x x x -+-中化简，转化为用a 表示的函数式，即转化为求以a 为自变量的函数的最值问题试题解析：（1）当23a =时，2()3103xg x =--=，即15333x =或，121,1x x x <∴=-（2）()310,31x x g x a a =--=∴=±121323log (1),log (1),x x x a x a <∴=-=+()310,312121x x a ah x a a =--=∴=±++ 343343log (1),log (1),2121a ax x x x a a <∴=-=+++2143333(1)(1)13421log log log (3)11(1)(1)21aa a a x x x x a a a a a ++++∴-+-===-----+34log (3)1y a =--在1[,1)3a ∈上单调递增，所以当13a =时，2143x x x x -+-的最小值为1．。
江苏省泰州中学2020至2021学年高一期中(数学)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分
１．____________________ ２．____________________
３．____________________ ４．____________________
５．____________________ ６．____________________
·
∵y=2x在(-∞,+∞)上为增函数且x1<x2，∴
且y=2x>0恒成立，∴
∴f(x1)-f(x1)>0
∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数………………………………………………………10分
(3)∵f(x)是奇函数f(x2-x)+f(2x2-t)<0等价于f(x2-x)<-f(2x2-t)=f(-2x2+t)……12分
17．已知 (a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围.
18．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)=80-2t(件)，价格近似满足f(t)=20- |t-10|
②f(x)表示 -2x+2与-2x2+4x+2中的较小者，则函数f(x)的最大值为1；
③如果 在[-1,∞ 上是减函数，则实数a的取值范围是(-8,-6 ；
④已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x,y∈R都满足
f(x·y)=x·f(y)+y·f(x)，则f(x)是奇函数.
其中正确说法的序号是____________________(注：把你认为是正确的序号都填上).
江苏省泰州市姜堰区2021届高三上学期期中考试 数学 Word版含答案
2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学试题（考试时间：120分钟 总分：160分） 命题人、审核：姜堰区高中数学工作室留意事项：全部试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．．） 1．设集合{1,2},{2,3}A B ==，则A B = ▲ .2．函数()1f x x =-的定义域是 ▲ .3．函数||()2x f x =的值域为 ▲ .4．已知函数()ln f x x =，则导函数值'1()2f =▲ . 5．若3sin 3α=，则cos2α= ▲ .6．在ABC ∆中，若1,2,30AB BC C ==∠=，则A ∠= ▲ . 7．设向量(,1),(1,2)a m b ==，且//a b ，则m = ▲ . 8．已知{}n a 为等差数列，nS 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=，则6S =▲ .9．关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a 的值为 ▲ . 10．函数1(),(1)1f x x x x =+>-的最小值为 ▲ .11．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，若'()2f x y =的图象如图，则函数()f x 的单调增区间为 ▲ .12．在矩形ABCD 中，21AB AD ==，，边DC 上（包含端点）的动点P与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足||||CP BQ =，则PA PQ ⋅的最小值是 ▲ .13．各项均为正数的等比数列{}n a 满足1231,100,1000a a a ≥≤≥，则4a 的取值范围是▲ .14．若实数,,x y z 满足242,424x y z x y z+=+=，则z 的最小值为 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本题满分14分）已知函数21()sin cos cos 2f x x x x =+-.（1）求()f x 最小正周期；（2）当[0,]4x π∈时，求函数()f x 的值域； （3）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的解析式.16．（本题满分14分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知11,2,cos 4a b C ===.（1）求ABC ∆的周长； （2）求cos()A C -的值.17．（本题满分14分）已知函数()42x x f x =-，实数,s t 满足()()0f s f t +=，设22,2s t s ta b +=+=.（1）当函数()f x 的定义域为[1,1]-时，求()f x 的值域； （2）求函数关系式()b g a =（无需求函数()g a 的定义域）.18．（本题满分16分）如图所示的铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角EFH ∆，其中FE FH ⊥．现将铁片裁剪成尽可能大的直角梯形铁片ABCD (不计损耗) ，////,//AD BC HF AB EF ，且点,A B 在弧EF 上．点,C D 在斜边EH 上,,AD BC 分别交EF 于,M N ．设AOE θ∠=.（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式，并写出其定义域； （2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为nS ，且23415,16a a S ⋅==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11111,n n n n b a b b a a ++=-=⋅．①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数,()m n m n ≠，使得2,,m nb b b 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）已知常数0a >，函数312()4(1),()ln(1)32x f x ax a x g x ax x =--=+-+. （1）当1a =时，求函数()g x 在点(0,(0))g 处的切线方程； （2）争辩()f x 在(0,)+∞上的单调性；（3）若f (x )在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在两个极值点12,x x ，且12()()0g x g x +>，求实数a 的取值范围．（参考公式：'(ln(1))1aax ax +=+）AD OFC HE BθMN2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学参考答案1.{2}2.[1,)+∞3.[1,)+∞4.25.136.907.12 8.6 9.52 10.3 11.(0,)+∞ 或[0,)+∞ 12.3413．46[10,10] 14.25log 33-15．解：2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-)24x π=+ ---4分（1）所以最小正周期22T ππ== ---6分（2）当[0,]4x π∈时，32[,]444x πππ+∈，sin(2)[42x π+∈，所以()f x的值域为2] ---10分（3）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位，得到())]22842g x x x ππ=-+= ---14分16．解：（1）由余弦定理可得，22212cos 1421244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以2c = ---4分 所以ABC ∆的周长为5. ---6分（2）在ABC ∆中，由于1cos 4C =，所以sin 4C =---7分 由正弦定理sin sin a cA C =，可得sin 8A =, ---10分 由余弦定理得2227cos 28b c a A bc +-==---12分 所以11cos()cos cos sin sin 16A C A C A C -=+=---14分17．（1）令2x t =，当[1,1]x ∈-时，1[,2]2t ∈， --3分 函数可化简为2()h t t t =-，可以推断()h t 在1[,2]2上单调递增，所以()h t 的值域为1[,2]4-， 即()f x 的值域在[1,1]-的值域为1[,2]4-. --7分（2）由()()0f s f t +=可得42420s s t t-+-=，化简得2(22)22(22)0s t s t s t ++-⋅-+=， --10分 由于22,2s t s t a b +=+=，所以220a b a --=，即22a a b -=，2()2a a g a -=. --14分 18．（1）由于,1AOE BOF OA OB θ∠==∠==，所以1cos sin ,1cos sin ,2cos AD BC AB θθθθθ=-+=++= --4分所以()2(1sin )cos ,(0,)22ABCD AD BC AB S πθθθ+⋅==+∈ --7分（2）'22()2[cos (1sin )sin ]2(2sin sin 1)S θθθθθθ=-+=-+- 2(2sin 1)(sin 1)θθ=--+，(0,)2πθ∈ --9分当06πθ<<，'()0,()S S θθ>单调递增,当62ππθ<<，'()0,()S S θθ<单调递减, --12分所以当且仅当6πθ=时，max S =. --16分答：当6πθ=时，梯形铁片ABCD 的面积S最大，最大值为19． 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >．由23415,16a a S ==，得111()(2)154616a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或172a d =⎧⎨=-⎩（舍去），所以21n a n =- --5分（2）①由于11111,n n n n b a b b a a ++=-=，所以1111111111,()(21)(21)22121n n n n b a b b a a n n n n ++==-===--+-+，所以1121321111(1)23111()235...111(),(2)22321n n b a b b b b b b n n n -==-=--=--=-≥--累加得1111(1)22121n n b b n n --=-=--，所以32,221n n b n n -=≥- --9分11b =也符合上式．故32,21n n b n N n *-=∈-． --10分②假设存在正整数,,()m n m n ≠，使得2,,m nb b b 成等差数列，则22n mb b b +=．又24323131,,321242242n m n b b b n n m -===-=----， 所以43131()2()3242242n m +-=---化简得7292711n m n n -==-++ --12分当13n +=，即2n =时，2m =（舍去）； 当19n +=，即8n =时，3m =，符合题意． 所以存在正整数3m =，8n =，使得2,,m nb b b 成等差数列． --16分20. 解：(1) 当1a =时，'214()=1(2)g x x x -++，当0(0)0x g ==时,所以，()g x 在点(0,0)处的切线方程为0y = --4分（2）由题意可知：'2()4(1)f x ax a =-- 当1a ≥时，'()0f x >，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． --6分当0＜a ＜1时，由f '(x )＝0得：x 1＝2a (1－a )a （x 2＝－2a (1－a )a＜0舍去）当x ∈(0, x 1)时，f '(x )＜0；当x ∈(x 1,＋∞)时，f '(x )＞0.故f (x )在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增； --8分当0＜a ＜1时，f (x )在区间(0, 2a (1－a )a )上单调递减，在区间(2a (1－a )a,＋∞)上单调递增．--10分 （3）由（2）知，当a ≥1时，f '(x )≥0，此时f (x )不存在极值点， 因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1.又∵f (x )的极值点只可能是x 1＝2a (1－a )a 和x 2＝－2a (1－a )a，由g (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，∴－2a (1－a )a ＞－1a 且2a (1－a )ax ≠2解得：0＜a ＜12或12＜a ＜1 --12分此时，由（*）式易知，x 1, x 2分别是f (x )的微小值点和极大值点．而g (x 1)＋g (x 2)＝ln(ax 1＋1)(ax 2＋1)－2x 1x 1＋2－2x 2x 2＋2＝ln[a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2－22a －1－2 --14分令x ＝2a －1，由0＜a ＜12且a ≠12知，当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x ＜1 ，记h (x )＝ln x 2＋2x－2．①当－1＜x ＜0时，h (x )＝2ln(－x )＋2x －2，设t ＝－x ∈(0,1)，(t )＝2ln t －2t －2单调递增 ∴(t )＜(1)＝－4＜0∴h (x )＜－4＜0，故当0＜a ＜12时，g (x 1)＋g (x 2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x ＜1时，h (x )＝2ln x ＋2x －2，∴h (x )＝2x －2x 2＝2x －2x2＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴h (x )＞h (1)＝0，故当12＜a ＜1时，g (x 1)＋g (x 2)＞0．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1． --16分姜堰区2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学试题（附加题）（考试时间：30分钟 总分：40分） 命题人、审核人：高中数学工作室留意事项：全部试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效. 1．（本题满分10分）已知集合2{|230},{|}A x x x B x x a =--≤=≥. （1）求集合A ； （2）若A B A =，求实数a 的取值范围.2.（本题满分10分）已知向量(4,5cos ),(3,4tan ),(0,)2a b πααα==-∈，若a b ⊥，求： （1）||a b +；（2）cos()4πα+的值.3.（本题满分10分）已知函数22()ln (2)g x m x mx m x =+++，试求()g x 的单调区间； 4．（本题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .2022-2021学年度其次学期期中考试高三数学（附加题）参考答案1.解：（1）解不等式2230x x --≤得13x -≤≤，即[1,3]A =-， ---5分（2）由于A B A =，所以A B ⊆，所以1a ≤- ---10分2．由于(4,5cos ),(3,4tan )a b αα==-，且a b ⊥，所以12-20cos tan 1220sin 0ααα=-=，所以3sin 5α=； ---2分 又由于(0,)2πα∈，所以43cos ,tan 54αα==; （1）(4,4),(3,3),|||(7,1)|a b a b ==-+===---4分（2）43cos()(cos sin )()4225510πααα+=-=-=---4分 3.解： 由已知条件可得222(2)(2)(1)()mx m x m x m mx g x x x +++++'==， ---2分（1）当0m ≥时，()0g x '≥，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增； ---4分 （2）当0m <时，由()0g x '=，得2m x=-或1x m =-，①若m =，则12m m -=-，此时()0g x '≤， 函数()g x 在(0,)+∞上单调递减； ---6分②若0m <<，则12m m -<-，由()0g x '>，解得1(,2m x m ∈--），由()0g x '<，解得10+2m x m ∈--∞（，）（，），所以函数()g x 在1(,2m m --）上单调递增，在02m -（，）与1+m-∞（，）上单调递减； ---8分③若m <12m m ->-，同理可得，函数()g x 在1(,2mm --）上单调递增，在10m -（，）与+2m-∞（，）上单调递减. ---10分综上所述①当0m≥时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增；②当m =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减；③当0m <<时，函数()g x 的增区间为1(,2m m --），减区间为02m -（，）与1+m -∞（，）；④当m <()g x 在1(,2m m --）上单调递增，在10m -（，）与+2m-∞（，）上单调递减.4. （1）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；所以56+=n a n ； ---2分设数列{}n b 的首项为1b ，公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b db 321721111，解得3,41==d b ，所以13+=n b n ---5分 （2）由（1）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，即]2)1(242322[31432+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，所以]2)1(242322[322543+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，以上两式两边相减得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯+++⋅⋅⋅+-+224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-=+-+=-⋅-.所以223+⋅=n n n T . ---10分。
2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜4}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |2＜x ＜4}C ．{x |0＜x ＜4}D ．{x |x ＜2或x ＞4}2．命题“∀x ∈R ，x 2+2x +2＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x +2≤0 B ．∃x ∈R ，x 2+2x +2≤0 C ．∀x ∈R ，x 2+2x +2＜0D ．∃x ∈R ，x 2+2x +2＞03．“﹣2＜x ＜4”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＝log 1.80.8，b ＝1.80.8，c ＝0.80.8，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a5．函数y =1−x +√1−2x 的值域为（ ） A ．(−∞，12]B ．[0，+∞）C ．[12，+∞)D ．(12，+∞)6．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x 0）＜3，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，9）C ．（﹣∞，﹣2）∪（9，+∞）D ．（﹣2，0）∪（9，+∞）7．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为t =192×(732)x 22，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于（ ）℃的环境中．（附：lg 2≈0.301，lg 7≈0.845，答案采取四舍五入精确到0.1） A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.78．若函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(x y)，则不等式f(x +3)−f(1x )＜2f(2)的解集为（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（0，1）D ．（0，4）二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若函数y ＝e x 的图象上存在不同的两点A ，B 到直线l 的距离均为e ，则l 的解析式可以是（ ）A ．y ＝﹣eB ．y ＝eC ．x ＝eD ．y ＝x10．下列说法正确的是（ ） A ．不等式2x+1≥1的解集是（﹣1，1]B ．若函数f （x ）的定义域为[1，4]，则函数f （x +1）的定义域为[0，3]C ．函数y =2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）D ．函数f(x)=√−x 2+2x 的单调递增区间为[0，1] 11．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则（ ） A ．ab ≤14B ．log 2a +log 2b ≥﹣2C ．1a +1b ≥4D ．(12)a−b ＜212．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，已知集合A ＝{x |x 2+x ＝0}，B ＝{x ∈R |（x 2+ax ）（x 2+ax +1）＝0}，则下面正确结论正确的是（ ） A ．∃a ∈R ，C （B ）＝3 B ．∀a ∈R ，C （B ）≥2C ．“a ＝0”是“A *B ＝1”的必要不充分条件D ．若S ＝{a ∈R |A *B ＝1}，则C （S ）＝3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 ．14．已知幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g （x ）＝b x +a ﹣1（b ＞1）的图象过定点 ．15．若函数f （x ）的值域为（0，1]，且满足f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）的解析式可以是f （x ）＝ ． 16．已知函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝a |x ﹣1|，a 为常数，若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数a 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算求值：（1）（√23×√3）6−3235−√23×(4−13)﹣1+（5+2√6）0（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √518．（12分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |（x +4）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |x ﹣5＜0}． （1）求M ∪N ，∁R N ；（2）设P＝{x||x|＝t}，若P⊆M，求t的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）={x+4，x≤1x+kx，x＞1，其中k＞0（1）若k＝1，f(m)=174，求实数m的值；（2）若函数f（x）的值域为R，求k的取值范围．20．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数．（1）求实数a的值．（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式f（4x）+f（8﹣9×2x）＞0．21．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1．（1）求f（x）的对称中心；（2）已知函数g（x）＝﹣x2+mx，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，+∞），使得g（x1）≤f（x2），求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝x（m|x|﹣1），m∈R．（1）若m＝1，写出函数f（x）在[﹣1，1]上的单调区间，并求f（x）在[﹣1，1]内的最小值；（2）设关于对x的不等式f（x+m）＞f（x）的解集为A，且[﹣1，1]⊆A，求实数m的取值范围．2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|2＜x＜4}C．{x|0＜x＜4}D．{x|x＜2或x＞4}解：集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝{x|0＜x＜4}．故选：C．2．命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+2≤0B．∃x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＜0D．∃x∈R，x2+2x+2＞0解：原命题为：∀x∈R，x2+2x+2＞0，∵原命题为全称命题，∴其否定为存在性命题，且不等号须改变，∴原命题的否定为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．故选：B．3．“﹣2＜x＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：不等式x2﹣x﹣6＜0，即（x+2）（x﹣3）＜0，可得﹣2＜x＜3，因为条件“﹣2＜x＜4”对应的集合包含“﹣2＜x＜3”对应的集合，所以“﹣2＜x＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的必要而不充分条件．故选：A．4．已知a＝log1.80.8，b＝1.80.8，c＝0.80.8，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a解：∵a＝log1.80.8＜log1.81＝0，b＝1.80.8＞1.80＝1，0＜c＝0.80.6＜0.80＝1，故b＞c＞a．故选：D．5．函数y =1−x +√1−2x 的值域为（ ） A ．(−∞，12]B ．[0，+∞）C ．[12，+∞)D ．(12，+∞)解：易知函数的定义域为(−∞，12]，由于y ＝1﹣x 在(−∞，12]上单调递减，y =√1−2x 在(−∞，12]上单调递减， 则函数y =1−x +√1−2x 在(−∞，12]上单调递减， 故y ≥1−12+√1−2×12=12， 即函数的值域为[12，+∞)． 故选：C ．6．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x 0）＜3，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，9）C ．（﹣∞，﹣2）∪（9，+∞）D ．（﹣2，0）∪（9，+∞）解：函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，由f （x 0）＜3，可得①{x 0≤02−x 0−1＜3，解得﹣2＜x 0≤0，②{x 0＞0x 012＜3，解得0＜x 0＜9；则x 0的取值范围是：（﹣2，9）． 故选：B ．7．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为t =192×(732)x22，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于（ ）℃的环境中．（附：lg 2≈0.301，lg 7≈0.845，答案采取四舍五入精确到0.1） A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.7解：由题意得t =192×(732)x 22＞96， ∴(732)x 22＞12，∴x 22＜log 73212=−log 7322，∴x 22＜−log 7322=−lg2lg7−5lg2≈0.456，解得x ＜10.032，∴应储藏在温度低于10.0℃的环境中．故选：A ．8．若函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(x y)，则不等式f(x +3)−f(1x)＜2f(2)的解集为（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（0，1）D ．（0，4）解：因为对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(xy )，所以令x ＝4，y ＝2，得f （4）﹣f （2）＝f （2），即f （4）＝2f （2）， 则不等式f （x +3）﹣f （1x ）＜2f （2）可化为f （（x +3）x ）＜f （4），又因为函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，所以{x +3＞0x ＞0(x +3)x ＜4，即{x ＞−3x ＞0x 2+3x −4＜0，解得0＜x ＜1．故选：C ．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若函数y ＝e x 的图象上存在不同的两点A ，B 到直线l 的距离均为e ，则l 的解析式可以是（ ） A ．y ＝﹣e B ．y ＝eC ．x ＝eD ．y ＝x解：如图所示：函数y ＝e x 的图象上的点到直线y ＝﹣e 的距离都大于e ，故A 错误； 当x ＜1时，函数y ＝e x 的图象上的点到直线y ＝e 的距离都小于e ，当x ＞1时，函数y ＝e x 的图象上存在一个点到直线y ＝e 的距离等于e ，故B 错误；当x＜e时，函数y＝e x的图象上存在一个点到直线x＝e的距离等于e，当x＞e时，函数y＝e x的图象上存在一个点到直线x＝e的距离等于e，故C正确；点A（0，1）到直线x﹣y＝0的距离|AB|=√22＜e，则点A（0，1）两边各存在一点到直线x﹣y＝0的距离等于e，故D正确．故选：CD．10．下列说法正确的是（）A．不等式2x+1≥1的解集是（﹣1，1]B．若函数f（x）的定义域为[1，4]，则函数f（x+1）的定义域为[0，3]C．函数y=2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）D．函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0，1]解：根据题意，依次分析选项：对于A，不等式2x+1≥1，变形可得1−xx+1≥0，解可得﹣1＜x≤1，即不等式的解集为（﹣1，1]，A正确；对于B，若函数f（x）的定义域为[1，4]，对于函数f（x+1），有1≤x+1≤4，解可得0≤x≤3，即函数f（x+1）的定义域为[0，3]，B正确；对于C，函数y=2x+1由函数y=2x向左平移1个单位得到，则函数y=2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞），C错误对于D，对于f(x)=√−x2+2x，有﹣x2+2x≥0，解可得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]，设t＝﹣x2+2x，则y=√t，t＝﹣x2+2x在区间[0，1]上为增函数，在区间[1，2]上为减函数，y=√t在[0，+∞）上为增函数，故函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0，1]，D正确．故选：ABD．11．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则（）A．ab≤14B．log2a+log2b≥﹣2C．1a +1b≥4D．(12)a−b＜2解：对选项A，因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以ab≤(a+b)24=14，当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确．对选项B，log2a+log2b=log2ab≤log214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故B 错误． 对选项C ，因为a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，1a+1b=(1a+1b )(a +b)=2+b a+a b≥2+2√b a ⋅ab=4，当且仅当ba=a b时，即a ＝b =12时等号成立，故C 正确．对选项D ，因为a ＞0，a +b ＝1，所以b ＝1﹣a ，2a ﹣1＞﹣1， 所以(12)a−b =(12)2a−1＜(12)−1=2，故D 正确． 故选：ACD ．12．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，已知集合A ＝{x |x 2+x ＝0}，B ＝{x ∈R |（x 2+ax ）（x 2+ax +1）＝0}，则下面正确结论正确的是（ ） A ．∃a ∈R ，C （B ）＝3 B ．∀a ∈R ，C （B ）≥2C ．“a ＝0”是“A *B ＝1”的必要不充分条件D ．若S ＝{a ∈R |A *B ＝1}，则C （S ）＝3解：对于A ，当a ＝2时，B ＝{0，﹣2，﹣1}，此时C （B ）＝3，故A 正确； 对于B ，当a ＝0时，B ＝{0}，此时C （B ）＝1，故B 错误；对于C ，当a ＝0时，B ＝{0}，所以C （B ）＝1，A ＝{0，﹣1}，所以C （A ）＝2，所以A *B ＝1； 当A *B ＝1时，因为C （A ）＝2，所以C （B ）＝1或3， 若C （B ）＝1，满足{a =0Δ=a 2−4=0，解得a ＝0；若C （B ）＝3，因为方程x 2+ax ＝0的两个根x 1＝0，x 2＝﹣a 都不是方程x 2+ax +1＝0的根，所以需满足{a ≠0Δ=a 2−4=0，解得a ＝±2， 所以“a ＝0“是“A *B ＝1”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，因为C （A ）＝2，要得A *B ＝1，所以C （B ）＝1或3，由C 可知：a ＝0或a ＝±2， 所以S ＝{0，2，﹣2}，所以C （S ）＝3，故D 正确； 故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 ． 解：要使函数有意义则{2−x ≥0x −1＞0，∴{x ≤2x ＞1，即1＜x ≤2， 即函数的定义域为{x |1＜x ≤2}． 故答案为：{x |1＜x ≤2}．14．已知幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g （x ）＝b x +a ﹣1（b ＞1）的图象过定点 ．解：∵幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减， ∴{a 2−a −1=1a ＜0，解得a ＝﹣1， ∴g （x ）过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．15．若函数f （x ）的值域为（0，1]，且满足f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）的解析式可以是f （x ）＝ ． 解：由题意可知，函数的值域为（0，1]，且函数为偶函数，满足条件的其中一个函数为f(x)=(12)|x|． 故答案为：(12)|x|（答案不唯一）．16．已知函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝a |x ﹣1|，a 为常数，若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数a 的取值范围为 ．解：对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），即f （x 1）﹣g （x 1）＜f （x 2）﹣g （x 2），令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣a |x ﹣1|，即F （x 1）＜F （x 2），只需F （x ）在[0，2]单调递增即可， 当x ＝1时，F （x ）＝0，图象恒过（1，0）点， 当x ＞1时，F （x ）＝x 2﹣ax +a ， 当x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a ， 要使F （x ）在[0，2]递增，则当1＜x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣ax +a 的对称轴x =a2≤1，即a ≤2， 当0≤x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a 的对称轴x =−a2≤0，即a ≥0， 故a ∈[0，2]， 故答案为：[0，2]四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算求值： （1）（√23×√3）6−3235−√23×(4−13)﹣1+（5+2√6）0（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √5 解：（1）(√23×√3)6−3235−√23×(4−13)−1+(5+2√6)0=108−8−2+1=99；（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √5 ＝9+32−2lg32lg2•3lg23lg3−2+lg √10 ＝9+32−1﹣2+12 ＝8．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |（x +4）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |x ﹣5＜0}． （1）求M ∪N ，∁R N ；（2）设P ＝{x ||x |＝t }，若P ⊆M ，求t 的取值范围．解：（1）因为M ＝{x |﹣4＜x ＜6}，N ＝{x |x ＜5}，所以M ∪N ＝{x |x ＜6}，∁R N ＝{x |x ≥5}． （2）当P ＝∅时，t ＜0；当P ≠∅时，{t ≥0−4＜t ＜6−4＜−t ＜6，解得0≤t ＜4．综上所述，t ＜4，即t 的取值范围为（﹣∞，4）． 19．（12分）已知函数f （x ）={x +4，x ≤1x +kx，x ＞1，其中k ＞0（1）若k ＝1，f(m)=174，求实数m 的值； （2）若函数f （x ）的值域为R ，求k 的取值范围． 解：（1）当k ＝1时，f(x)={x +4，x ≤1x +1x ，x ＞1， 由f(m)=174，得{m +4=174m ≤1或{m +1m =174m ＞1， 解得m =14或m ＝4， 所以实数m 的值为14或4．（2）当x ≤1时，f （x ）＝x +4，值域为（﹣∞，5]． 分以下两种情形来讨论：若0＜k ≤1，此时√k ≤1，则f(x)=x +kx 在区间（1，+∞）上单调递增，此时f （x ）的值域为（k +1，+∞），所以函数f （x ）的值域为（﹣∞，4]∪（k +1，+∞）＝R ，满足题意． 所以0＜k ≤1满足题意．若k＞1，此时√k＞1，则f(x)=x+kx在区间(1，√k]上单调递减，在区间(√k，+∞)上单调递增，此时f（x）的值域为[2√k，+∞)，所以f（x）的值域为(−∞，5]∪[2√k，+∞)，由题意可得2√k≤5，解得k≤254，所以1＜k≤254．综上：k的取值范围是{k|0＜k≤254 }．20．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数．（1）求实数a的值．（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式f（4x）+f（8﹣9×2x）＞0．解：（1）∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（﹣x）+f（x）＝0，即f(x)+f(−x)=1−a⋅2x2x+1+1−a⋅2−x2−x+1=(a−1)(2x+1)2x+1=0恒成立，∴a＝1．（2）f（x）在R上为减函数，证明如下：由于f(x)=1−2x2x+1=−1+22x+1，任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=(−1+22x1+1)−(−1+22x2+1)=22x1+1−22x2+1=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)．∵x1＜x2，∴2x2−2x1＞0，又(2x1+1)(2x2+1)＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在R上为减函数．（3）由（2）得，奇函数f（x）在R上为减函数，∴f（4x）＞f（9×2x﹣8），即22x＜9•2x﹣8，令2x＝t（t＞0），则t2﹣9t+8＜0，可得1＜t＜8，即20＝1＜2x＜23，可得不等式的解集为（0，3）．21．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1．（1）求f（x）的对称中心；（2）已知函数g（x）＝﹣x2+mx，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，+∞），使得g（x1）≤f（x2），求实数m的取值范围．解：（1）假设f （x ）的图像存在对称中心（a ，b ），则h （x ）＝f （x +a ）﹣b 的图像关于原点成中心对称，因为h （x ）的定义域为R ，所以ℎ(−x)+ℎ(x)=13a−x −b +13x+a −b =0恒成立， 即（1﹣2b ）（3a ﹣x +3a +x ）+2﹣2b ﹣2b •32a ＝0恒成立，所以{1−2b =02−2b −2b32a =0， 解得{a =0b =12， 所以 f （x ）的图像存在对称中心(0，12)；（2）因为 f （x ）在区间[1，+∞）上递减，可得f （x ）的最大值为f （1）=14，由题意可得﹣x 2+mx ≤14在x ∈[﹣1，1]上恒成立，当x ＝0时，不等式化为0≤14恒成立；当0＜x ≤1时，可得m ≤（x +14x ）min ， 由y ＝x +14x ≥2√14=1（当且仅当x =12∈（0，1]时，取得等号）， 则m ≤1；当﹣1≤x ＜0时，可得m ≥（x +14x ）max， 由y ＝x +14x ≤−2√14=−1（当且仅当x =−12∈[﹣1，0）时，取得等号），则m ≥﹣1；所以m 的取值范围是[﹣1，1]．22．（12分）已知函数f （x ）＝x （m |x |﹣1），m ∈R ．（1）若m ＝1，写出函数f （x ）在[﹣1，1]上的单调区间，并求f （x ）在[﹣1，1]内的最小值；（2）设关于对x 的不等式f （x +m ）＞f （x ）的解集为A ，且[﹣1，1]⊆A ，求实数m 的取值范围． 解：（1）若m ＝1，f （x ）＝x （|x |﹣1）={x 2−x ，x ≥0−x 2−x ，x ＜0， 所以f （x ）的单调增区间为[﹣1，−12]，[12，1]，递减区间为[−12，12]，又f （﹣1）＝0，f （12）=−14， 所以f （x ）在[﹣1，1]内的最小值为−14．（2）因为关于对x的不等式f（x+m）＞f（x）的解集为A，且[﹣1，1]⊆A，所以f（x+m）＞f（x）在[﹣1，1]上恒成立，当m＝0时，不符合题意，当m＜0时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减，符合题意，当m＞0时，令x＝0得f（m）＞f（0），所以m（m2﹣1）＞0，解得m＞1，当x∈[﹣1，0），x+m∈[m﹣1，m），则f（x+m）＝（x+m）（mx+m2﹣1），f（x）＝x（﹣mx﹣1），又f（x+m）＞f（x），所以2x2+2mx+m2﹣1＞0，令h（x）＝2x2+2mx+m2﹣1，x∈[﹣1，0），当−m2＜−1，即m＞2时，h（x）在[﹣1，0）上单调递增，所以h（x）min＝h（﹣1）＝m2﹣2m+1＞0，所以m＞2；当−m2≥−1，即1＜m≤2时，h（x）在[﹣1，−m2）上单调递减，（−m2，0）单调递增，所以h（x）min＝h（−m2）＞0，所以m＞√2，所以√2＜m≤2，所以m＞√2时恒成立，当x∈（0，1]，x+m∈（m，m+1]，则f（x+m）＝（x+m）（mx+m2﹣1），f（x）＝x（mx﹣1），又f（x+m）＞f（x），所以2mx+m2﹣1＞0恒成立，令h（x）＝2x2+2mx+m2﹣1，x∈[﹣1，0），综上：实数m的取值范围为（﹣∞，0）∪（√2，+∞）．。
2020-2021学年江苏省泰州市姜堰中学高一数学理联考试题含解析
2020-2021学年江苏省泰州市姜堰中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i（x）（i=1，2，3，4），关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）=2x﹣1，f2（x）=x3，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），有以下结论：①当x＞1时，甲走在最前面；②当x＞1时，乙走在最前面；③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确的序号为（）A．①②B．①②③④C．②③④⑤D．③④⑤参考答案：C【考点】函数的图象；函数与方程的综合运用．【分析】画出函数的图象，利用函数的图象与性质推出结果即可．【解答】解：甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i（x）（i=1，2，3，4），关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）=2x﹣1，f2（x）=x3，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），画出三个函数的图象如图，由图象可知：当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；当x＞1时，乙走在最前面；由指数函数的性质以及幂函数的性质可知，当x=10时，210﹣1=1023＞103=1000，如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．正确的命题是：②③④⑤．故选：C．2. 定义域为R的函数恰有5个不同的实数解等于( )A．0 B． C． D．1参考答案：C3. 已知数列{}的通项公式为，那么是它的A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项参考答案：A略4. （5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点参考答案：C考点：平面的基本性质及推论．专题：常规题型．分析：不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到A，B，C三个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定D选项是错误的，得到结果．解答：A．不共线的三点确定一个平面，故A不正确，B．四边形有时是指空间四边形，故B不正确，C．梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，D．两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选C．点评：本题考查平面的基本性质即推论，考查确定平面的条件，考查两个平面相交的性质，是一个基础题，越是简单的题目，越是不容易说明白，同学们要注意这个题目．5.A． B． C． D．参考答案：C6. 下列命题正确的是（）A．如果一条直线平行一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面B．如果一条直线平行一个平面，那么这条直线平行这个平面内的所有直线C．如果一条直线垂直一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直这个平面D．如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直这个平面内的所有直线参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．[来源:学科网]【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，这条直线有可能包含于这个平面；在B中，这条直线和这个平面内的所有直线平行或异面；在C中，当这无数条直线没有交点时，那么这条直线不一定垂直这个平面；在D中，由直线与平面垂直的性质定理得这条直线垂直这个平面内的所有直线．【解答】解：在A中，如果一条直线平行一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面或包含于这个平面，故A错误；在B中，如果一条直线平行一个平面，那么这条直线和这个平面内的所有直线平行或异面，故B错误；在C中，如果一条直线垂直一个平面内的无数条直线，当这无数条直线没有交点时，那么这条直线不一定垂直这个平面，故C错误；在D中，如果一条直线垂直一个平面，那么由直线与平面垂直的性质定理得这条直线垂直这个平面内的所有直线，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7. 在中，若三个角成等差数列，且也成等差数列，则一定是（）Ａ．有一个角为的任意三角形Ｂ．有一个角为的直角三角形Ｃ．正三角形Ｄ．以上都不正确参考答案：C略8. 已知点，，则直线AB的斜率是（）A. 1B. －1C. 5D. －5参考答案：A【分析】由,即可得出结果.【详解】直线的斜率.【点睛】本题主要考查直线的斜率，属于基础题型.9. 从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．至少有1个白球，都是白球B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是红球参考答案：C10. 已知直线，平面，且，给出下列四个命题：①若α//β，则；②若③若，则；④若其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2D．3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算：。
江苏省泰州市姜堰第三高级中学2020-2021学年高一数学理测试题含解析
江苏省泰州市姜堰第三高级中学2020-2021学年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知f（x）=log（x2﹣2x）的单调递增区间是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）参考答案：C【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x2﹣2x＞0，求得函数的定义域，且f（x）=g（t）=log t，根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间，利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间．【解答】解：令t=x2﹣2x＞0，求得x＜0，或x＞2，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），且f（x）=log（x2﹣2x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间为（﹣∞，0），故选：C．2. 设集合，则等于 ( )A．B．C． D．参考答案：D3. 函数的零点所在的区间是（）A、B、C、D、参考答案：C略4. 函数（，－<<）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）．A．2，－B．2，－C．4，－D．4，参考答案：A5. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则( )A. B.C. D .参考答案：B6. 在下列函数中，最小值为2的是( )A．B．C． D．参考答案：D7. 三个数，，之间的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：C8. 设，，，则（）A. B. C. D.参考答案：C9. 设x，y满足约束条件若z=mx+y取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值是（）A．B．C．﹣2 D．1参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z=mx+y取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由于目标函数取最大值时的最优解有无穷多个，所以目标函数z=mx+y的几何意义是直线mx+y﹣z=0与直线x﹣2y+2=0平行，即两直线的斜率相等即﹣m=，解得m=﹣．故选：A．10. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱参考答案：B设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若方程有两个不相等的实根，求出的求值范围为____________.参考答案：略12. 对于任意的实数表示中较小的那个数，若，，则的最大值是________．参考答案：1略13. 设、是平面外的两条直线，给出下列三个论断：①；②；③．以其中两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：．参考答案：①②③（或①③②）略14. 下列四个命题（1）有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射;（3）函数的图象是一直线；（4）函数的图象是抛物线，其中正确的命题个数是____________。
江苏省泰州市姜堰白米中学2020年高一数学理测试题含解析
江苏省泰州市姜堰白米中学2020年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象大致为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．【详解】解：，为偶函数，的图象关于y轴对称，故排除B，C，当时，，故排除D，或者根据，当时，为增函数，故排除D，故选：A．【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．2. 已知等比数列{a n}中，，，则的值是( )．A. 16B. 14C. 6D. 5参考答案：D【分析】由等比数列的性质可求得，进而求得；根据等比数列通项公式可知，代入求得结果. 【详解】由等比数列性质可知：由得：本题正确选项：D3. 集合A={，B={，则A、B之间关系为（）A．B．C．B A D．A B参考答案：C4. 等差数列中，若，，则…（）A． B． C． D．参考答案：Ｄ略5. 流程图中表示判断框的是（）Ａ．矩形框Ｂ．菱形框Ｃ．圆形框Ｄ．椭圆形框参考答案：6. 圆的圆心坐标是（）A、（2,3）B、（-2,3）C、（-2，-3）D、（2，-3）参考答案：D略7. 设集合，集合，则A∩B=（）.A. {4}B. {3,4}C. {2,3,4}D. {0,1,2,3,4}参考答案：B由集合的交集运算得解【详解】，由此，故选B。
【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。
8. 已知直线经过点A（-1，2）、B（1、3），则直线AB的斜率是（）A．2 B． C．-2 D．参考答案：B9. 函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.参考答案：B10. 已知等差数列的首项为，公差为，且方程的解为1和，则数列的前n项和为( )A. B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调增加区间是__________.参考答案：[1,+∞)设t=x2+3x﹣4，由t≥0，可得（﹣∞，﹣4]∪[1，+∞），则函数y=，由t=x2+3x﹣4在[1，+∞）递增，故答案为:（1,+∞）（或写成[1,+∞））12. 某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为参考答案：13. 轴截面是正三角形的圆锥的表面积与它的外接球的表面积的比是．参考答案：9：16【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】综合题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由题意，求出圆锥的底面面积，侧面面积，得到圆锥的表面积，求出外接球的表面积，即可求出比值．【解答】解：圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为r，则它的底面积为πr2；圆锥的侧面积为：2πr2；所以圆锥的表面积为3πr2；设外接球的半径为R，则4r2=r?2R，∴R=r，∴外接球的表面积为4πR2=πr2；∴轴截面是正三角形的圆锥的表面积与它的外接球的表面积的比是9：16．故答案为：9：16．【点评】本题是基础题，考查圆锥的特征，底面面积，侧面积的求法，考查计算能力，是送分题．14. 已知（），①如果，那么=4；②如果，那么=9，类比①、②，如果，那么 .16略15. 在一支长15cm粗细均匀的圆柱形蜡烛的下端固定一个薄金属片（体积不计），使蜡烛恰好能竖直地浮于水中，上端有1cm高的部分露在水面以上，已知蜡烛的比重为0.85 g / cm 3，现在点燃蜡烛，当蜡烛被水淹没时，它的剩余长度是。
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考点：函数的奇偶性与周期性
12． 或
【详解】
函数 满足 ，当 时， ， ，
= ， ， ，
当 时，， ， ， = ， ，
，则
13．
【分析】
先画出函数图像并判断 ，再根据范围和函数单调性判断 时取最大值，最后计算得到答案.
【详解】
如图所示：根据函数 的图象
6．若函数 为奇函数，则实数 的值为.
7．已知函数 在 上是增函数，则m范围是.
8．若不等式 对任意 恒成立，则a的取值范围是.
9．已知定义域为 的偶函数 在 上为增函数，且 ，
则不等式 的解集为.
10．若函数 的零点为 ，则满足 且k为整数，则k=．
11．设定义在 上的函数 同时满足以下三个条件：① ；② ；③当 时， ，则 ．
考点：1.幂函数定义；2.待定系数法；
5．3
【解析】
试题分析：集合含有两个元素，且 ，可用列举法依次列出： ，3个
考点：子集的定义
6．1
【解析】
试题分析：由函数定义域可以看出 ，函数在 处有定义，奇函数在 处有定义，则 ；因此
考点：1.奇函数定义和性质；
7．
【解析】
试题分析：二次函数 的图象是开口向上，对称轴为 的抛物线，若数 在 上是增函数，则只需
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ，用函数单调性的定义证明：函数 在区间 上单调递减；
（3）求不等式的解集： ．
20．二次函数 的图象顶点为 ，且图象在x轴上截得线段长为8
（1）求函数 的解析式；
（2）令
①若函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围；
②求函数 在 的最大值
参考答案
1．
【解析】
试题分析：根据并集定义，由题目给出的集合 ，求出 .
12．已知实数 ,函数 ，若 ，则实数 的
值为．
13．已知函数 ，正实数 ， 满足 ，且 ，若 在区间 上的最大值为2，则 ________.
14．已知 定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 的
零点的集合为.
二、解答题
15．（本小题满分14分）若函数 ， 的定义域都是集合 ，函数 和 的值域分别为 和 .
【最新】江苏省泰州市姜堰区高一上学期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 ．来自2．已知 ，则 ．3．函数 的定义域为.
4．已知幂函数 的图像过点 ，则 ．
5．已知集合 ，且M中含有两个元素，则符合条件的集合M有个.
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，且 ，求实数m的值.
16．（本小题满分14分）计算下列各式：
（1）
（2）
17．（本小题满分14分）函数 为常数， 且 的图象过点
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 ，试判断函数 的奇偶性并给出证明．
18．心理学家通过研究学生的学习行为发现；学生的接受能力与老师引入概念和描述问题所用的时间相关，教学开始时，学生的兴趣激增，学生的兴趣保持一段较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用 表示学生掌握和接受概念的能力, x表示讲授概念的时间(单位:min)，可有以下的关系:
考点：1.集合的交集、并集、补集运算；2.运算工具（韦恩图、数轴、平面直角坐标系）.
2．1
【解析】
试题分析：令 ，则
考点：赋值法球函数值
3．
【解析】
试题分析：首先考虑使函数解析式有意义的要求， ，用区间表示成
考点：1.函数的定义域；2.解不等式组，3.区间表示法
4．4
【解析】
试题分析：由于幂函数 的图象过 ，则 ， ，所以 ，
得 ，所以 ．结合函数图象，
易知当 时 在 上取得最大值，所以
又 ，所以 ，
再结合 ，可得 ，所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.
14．
【解析】
试题分析：当 时， ，由于 定义在 上的奇函数，则 ；
因为 时， ，则
若 时，令
若 时，令 ，因 ，则 ， 的零点集合为
考点：1.数形结合思想；2.模拟函数图象解不等式；
10．2
【解析】
试题分析：可采用图象法解题，先画出 的图象，再画出 的图象，图象交点的横坐标在 内，下面进行细致验证：
当 时， ， ；
当 时， ， ， ；则 ;
考点：1.对函数图象与性质；2.零点的概念及零点范围的求法；3.数形结合思想解题;
11．
【解析】
考点：1.二次函数的图象与性质；2.函数的单调性；
8．
【解析】
试题分析：设 ，由于 ，所以当 时， 取得最小值 ，不等式 对任意 恒成立，则a的取值范围为 .
考点：1.二次函数的最值；2.恒成立问题的解题方法；
9．
【解析】
试题分析：定义域为 的偶函数 在 上为增函数，且 ，根据偶函数图象关于 轴对称，所以 在 上为减函数，且 ，可模拟函数图象，从图中就可以看出不等式 的解集为
考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；
15．（1）
（2）
【解析】
试题分析：第一步函数 ， 的定义域 ，由函数 在 上是增函数，则函数 的值域为 ，同理函数 的值域为 ，根据交集定义求出 ，第二步由 的值域为 ，函数 的值域为 ，利用集合 ，求出 即可.
试题解析：（1）函数 ， 的定义域都是 ，则 ，函数 的值域为
，函数 的值域 ，同理函数 的值域为 ，根据交集定义求出 ，
（2）由 的值域为 ，函数 的值域为 ，因为 ，则实数 满足 ， ，则 .
考点：1.函数的定义域；2.函数的值域；3.集合相等；
16．（1）1（2）32
【解析】
试题分析：第一小题是对数计算，由于都是以10为底，涉计 的问题，注意 的应用，本题有 ，解题目标是化为 的运算，由于 ，计算即可，当然本题方解题方向化为 也可以.第二部为指数运算，涉及幂运算公式， ， ， ，然后利用幂的乘方，底数不变，指数相乘， ， ， ,计算后即可.
（1）开讲后第5min与开讲后第20min比较,学生的接受能力何时更强一些?
（2）开讲后多少min学生的接受能力最强?能维持多少时间?
（3）若一个新数学概念需要55以上（包括55）的接受能力以及13min时间,那么老师能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念?
19．（本小题满分16分）已知函数 且 的图象经过点 ．