方差分析和协方差分析,协变量和控制变量
统计学中的方差分析与协方差分析的比较
统计学中的方差分析与协方差分析的比较统计学是研究数据收集、分析和解释的一门学科，方差分析和协方差分析是其中两个重要的统计方法。
在本文中，我们将比较这两个方法的基本原理、适用范围和使用方法。
一、基本原理1. 方差分析方差分析（ANOVA）是一种用于比较两个或更多组之间的差异的统计方法。
它通过将总体方差分解为组内差异和组间差异，并通过检验组间差异是否显著来判断组间是否存在统计学上的差异。
2. 协方差分析协方差分析（ANCOVA）是一种结合方差分析和线性回归分析的统计方法。
它通过在方差分析中添加一个或多个协变量来控制实验组间潜在的混杂因素，并进一步检验组间差异的统计学意义。
二、适用范围1. 方差分析方差分析广泛应用于实验设计和观察研究中，特别适用于比较多个组的均值是否有显著差异。
例如，一个研究人员想要比较不同教育水平的人在某项测试中的平均得分是否有差异，方差分析可以被用来解决这个问题。
2. 协方差分析协方差分析主要针对一些协变量对实验结果的影响进行调整。
它适用于那些存在其他可能影响结果的潜在因素的研究，如年龄、性别、教育水平等。
通过添加这些协变量作为回归分析的自变量，可以更准确地评估组间差异的统计学显著性。
三、使用方法1. 方差分析方差分析通常包括以下几个步骤：a. 界定研究对象和问题；b. 选择合适的方差分析模型；c. 收集所需的数据；d. 进行方差分析，计算组间和组内的方差；e. 利用统计方法检验组间差异的显著性；f. 根据结果进行结论和解释。
2. 协方差分析协方差分析的步骤包括：a. 选择适当的协方差模型，并确定潜在的影响因素；b. 收集数据，并测量协变量和实验结果；c. 进行协方差分析，控制协变量的影响；d. 利用统计方法检验组间差异的显著性；e. 根据结果进行解释并得出结论。
四、总结方差分析和协方差分析是统计学中常用的两种方法，其应用范围和使用方法存在差异。
方差分析适用于比较多个组之间的差异，而协方差分析则主要用于控制潜在的混杂因素。
方差分析和协方差分析的比较研究
方差分析和协方差分析的比较研究一、引言方差分析和协方差分析是统计分析中常用的两种方法，但它们在应用前需要进行一定的选择和比较，以便得出更为准确的结果。
本文旨在比较方差分析和协方差分析的特点和用途，并探究它们之间的异同，为合理应用提供指导。
二、方差分析方差分析是一种多元统计方法，通常用于检验两个或两个以上总体均值是否相等，应用范围很广，包括医学、工业、农业等多个领域。
方差分析的主要目的是比较各总体的平均数是否相等。
例如，研究一批根据不同方法制备的药品的药效，可采用方差分析来检验各总体的平均数是否相等。
（一）方差分析的优点1. 方差分析适用于多种不同方法和不同总体的比较。
2. 方差分析可以检验多个总体的均值是否存在显著的差异。
3. 方差分析可以分析多种影响因素对种群的影响。
（二）方差分析的缺点1. 方差分析对数据的正态性和方差齐性要求比较高。
2. 方差分析需要样本数量足够大才能具有较高的准确度。
3. 方差分析对数据的标准差值较为敏感，不适用于某些非正态分布的数据。
三、协方差分析协方差分析是一种多元统计方法，通常用于探究一个或多个自变量与因变量之间的关系。
协方差分析适合于多个决策变量之间相互影响，以及影响因素存在交互作用的情况。
（一）协方差分析的优点1. 协方差分析能够查明决策变量之间的相互作用关系。
2. 协方差分析能够比较这些变量之间的各种组合。
3. 协方差分析能够有效减少决策变量之间的复杂性。
（二）协方差分析的缺点1. 协方差分析对数据的要求比较高，需要具有一定的正态分布性和方差齐性。
2. 协方差分析需要较多的样本数，才能保证分析结果的准确性。
3. 协方差分析结果对自变量选取的灵敏度很高，需要仔细选择自变量。
四、方差分析和协方差分析的不同之处1. 方差分析的主要目的是检验不同总体均值是否相等，而协方差分析则是比较各种影响因素的影响大小。
2. 方差分析只能比较一个因素的影响，而协方差分析可以比较多个因素的影响。
方差分析和协方差分析,协变量和控制变量
方差分析和协方差分析，协变量和控制变量方差分析方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析"或“F 检验”，是R.A。
Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。
造成波动的原因可分成两类,一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量.假定条件和假设检验？1。
方差分析的假定条件为:（1）各处理条件下的样本是随机的。
（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。
（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体,否则使用非参数分析。
(4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。
2. 方差分析的假设检验假设有K个样本,如果原假设H0样本均数都相同,K个样本有共同的方差σ，则K个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。
如果经过计算，组间均方远远大于组内均方,则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。
否则承认原假设，样本来自相同总体,处理间无差异.作用一个复杂的事物,其中往往有许多因素互相制约又互相依存.方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用,以及显著影响因素的最佳水平等.方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术.对变差的度量，采用离差平方和.方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。
经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均值不相等或不全相等。
若要得到各组均值间更详细的信息，应在方差分析的基础上进行多个样本均值的两两比较.多个样本均值间两两比较多个样本均值间两两比较常用q检验的方法，即Newman-kueuls法,其基本步骤为：建立检验假设-—>样本均值排序——〉计算q值-—〉查q界值表判断结果。
第11讲 方差和协方差分析
随机将30家分店分为三组，然后开展三 种不同强度（高、中、低）的促销活动，同 时对每家店的销售额进行1个月的追踪。。
2013/11/8 河北工业大学经管学院 李嫄博士 15 2013/11/8
河北工业大学经管学院 李嫄博士
16
表3
方差分解 SSX SSerror SSY
店内促销对销售额的方差分析 店内促销对销售额的方差分析
因子水平均值
促销 高 中 低 是 否 总均值 赠券 计数 10 10 10 15 15 30
河北工业大学经管学院 李嫄博士
均值 8.300 6.200 3.700 7.400 4.733 6.067
28
2013/11/8
河北工业大学经管学院 李嫄博士
27
2013/11/8
解读结果
♦ 促销和赠券可以显著增加销售额（主 效应显著）； ♦ 促销和赠券的作用是相互独立的（交 互效应不显著）； ♦ 促销和赠券对销售额的影响都很大（ >0.15),但促销相对更重要。 >0.15), 但促销相对更重要。
为了验证上述理论，Hui （2004）进 行了一项实验研究。
Low
2013/11/8 河北工业大学经管学院 李嫄博士 3 2013/11/8
Outcome Quality High
4
方差和协方差分析
考察两组或两组以上均值或中位数差异 的方法统称为方差和协方差分析。 方差分析(analysis of variance, ANOVA) 中必须有一个定量的因变量，以及一个或多 个定类的自变量（因子）。 如果自变量中也包含定量变量，就称为 协方差分析(analysis of covariance, ANCOVA)。
河北工业大学经管学院 李嫄博士
统计学中的方差分析与协方差分析的应用场景
统计学中的方差分析与协方差分析的应用场景方差分析和协方差分析是统计学中常用的两种分析方法，它们在不同领域中有着广泛的应用场景。
本文将重点介绍方差分析和协方差分析的定义、基本原理以及各自的应用场景，帮助读者更好地理解这两种重要的统计分析方法。
一、方差分析的应用场景方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是一种用于比较两个或多个样本均值差异是否显著的统计方法。
它通过分析总平方和、组内平方和和组间平方和的比值来判断不同样本间的差异是否由随机因素引起。
方差分析广泛应用于以下几个领域：1.实验设计领域：方差分析可以用于评估和比较不同处理组之间的差异是否显著。
例如，在药物研发过程中，可以使用方差分析来比较不同剂量组的治疗效果是否有显著差异。
2.教育研究领域：方差分析也常用于教育研究中，例如比较不同教学方法对学生成绩的影响是否显著。
3.社会科学研究领域：方差分析可以分析和比较不同社会群体或不同治疗方法对人们行为和心理状态的影响。
4.工程领域：方差分析可以用于评估不同工艺参数对产品性能的影响是否显著。
例如在制造业中，可以使用方差分析来确定不同生产线上产品的质量差异是否显著。
二、协方差分析的应用场景协方差分析（Analysis of Covariance，ANCOVA）是一种结合了方差分析和线性回归分析的方法，用于比较不同样本间对其他自变量的反应是否存在显著差异。
协方差分析常见的应用场景包括：1.医学研究领域：协方差分析可以用于控制和调整影响变量对响应变量的影响。
例如，在研究两种药物疗效时，协方差分析可以用于从各自的基线水平（协变量）出发，调整患者的其他因素，对疗效进行比较。
2.心理学研究领域：协方差分析可以用于研究心理因素对人类行为的影响。
例如，调查某种新的心理干预措施是否对抑郁症患者的恢复有帮助。
3.教育评估领域：协方差分析可以用于评估不同教育干预措施对学生成绩的影响是否显著。
例如，在一所学校中，可以使用协方差分析来比较不同教学方法对学生成绩发展的影响。
简述心理学实验中常用的五种控制额外变量的方法
简述心理学实验中常用的五种控制额外变量的方法心理学实验中常用的五种控制额外变量的方法是：随机分组、匹配分组、协方差分析、回归分析和双盲实验。
1. 随机分组：研究者将参与实验的被试随机分配到不同的实验组或对照组中。
这样做可以确保被试之间的个体差异被均匀地分布在不同组中，减小了额外变量的影响。
例如，对于一个药物实验，研究者将被试随机分配到接受药物或接受安慰剂的组中，以控制个体差异对结果的影响。
2. 匹配分组：研究者根据某些特定的标准，如年龄、性别、智力水平等，将被试分配到不同组中，以确保组间的个体差异最小化。
例如，在研究学习成绩与家庭背景之间的关系时，研究者可以将具有相似家庭背景的被试匹配到不同组中。
3. 协方差分析：这是一种统计方法，用于控制一个或多个可能影响因变量的额外变量。
通过在分析中将额外变量作为协变量加入，可以减少其对因变量的影响。
例如，在研究焦虑水平对工作表现的影响时，研究者可以使用协方差分析来控制个体智力水平对结果的影响。
4. 回归分析：这是一种统计方法，用于探索因变量与一个或多个预测变量之间的关系。
通过控制其他可能的预测变量，研究者可以确定某一特定预测变量对因变量的影响。
例如，在研究睡眠时间对注意力的影响时，研究者可以使用回归分析来控制其他可能影响注意力的因素，如年龄、性别等。
5. 双盲实验：在双盲实验中，既对实验组被试又对对照组被试隐藏实验条件。
这样可以减少实验者和被试之间的期望效应和偏见。
例如，在药物实验中，既对被试又对实验者不告知他们所接受的是药物还是安慰剂，这样可以减少被试的期望效应对实验结果的影响。
通过使用这些控制额外变量的方法，心理学实验可以提高内部有效性，即提高实验结果的可信度和解释力。
这些方法可以帮助研究者控制潜在的干扰因素，以便更准确地评估自变量对因变量的影响。
《方差和协方差分析》课件
应用优势
方差分析可以帮助我们解释和预 测变量之间的关系， 并为决策提供科学依据。
方差分析的例子和应用
市场调研
通过方差分析，我们可以比较不同市场 的消费者行为差异，为市场定位提供依据。
产品质量
方差分析可用于评估不同生产线或供应商的质量表现， 找到出现问题的原因，并进行改进。
教育研究
通过方差分析，我们可以比较不同教育干预 措施的效果，为教育政策的制定提供指导。
《方差和协方差分析》 PPT课件
本PPT课件将深入探讨方差和协方差分析的概念、原理以及相关实际应用，的概念和原理
概念理解
方差分析是一种用于比较组间差 异的统计方法， 帮助我们了解不同因素对观察结 果的影响程度。
原理解析
通过计算组内和组间的方差，并 进行比较分析， 判断差异是否显著。
协方差分析的概念和原理
概念解释
原理介绍
协方差分析是一种用于分析两个 或多个变量之间关系的统计方法， 帮助我们理解变量之间的相关性。
通过计算变量间的协方差，并对 其进行分析， 我们可以得出变量之间的相关结 构。
应用价值
协方差分析可以帮助我们发现变 量之间的关联规律， 为决策和预测提供参考依据。
协方差分析的例子和应用
总结和展望
通过本次PPT课件，我们详细介绍了方差和协方差分析的概念、原理、 例子和应用，希望能够为大家在统计分析领域提供有力支持。
1
金融领域
通过协方差分析，我们可以研究不同金
医学研究
2
融资产之间的相关性， 为投资组合的构建和风险管理提供指导。
协方差分析可用于分析不同治疗方法的
疗效差异，
为医疗决策提供科学依据。
3
社会科学
方差分析方法的比较
方差分析方法的比较方差分析是一种广泛应用于统计学中的方法，用于比较两个或多个群体之间的差异性。
近年来，社会科学领域中越来越多的研究者开始使用方差分析方法，但是同时也出现了很多其他的方法，并且每种方法都有其优缺点。
本文将对比几种不同的方差分析方法，以期能够帮助使用者更好地选择适用于自己研究的方法。
一、单因素方差分析单因素方差分析是最常见的一种方差分析方法，主要用于比较两个或多个群体在一个因素下的差异性。
例如，在一个心理学实验中，想要比较不同教育背景的学生在完成一个困难任务时所花费的时间是否有所不同，就可以使用单因素方差分析来进行比较。
单因素方差分析的优点在于简单易用，适用范围广泛。
同时，它还可以通过多个组合因素来进行协作。
然而，单因素方差分析也存在一些缺点。
例如，当因素较多时，它就不再适用。
此外，在不同条件下，虽然不同组别的差异显著，但是考虑到一些随机因素而无统计意义。
二、重复测度方差分析重复测度方差分析是一种常用的方差分析方法，主要用于比较同一群体在不同时间或不同情况下的差异性。
例如，在一个医学实验中，想要比较同一患者在接受不同治疗方案的情况下血压值的变化，就可以使用重复测度方差分析进行比较。
重复测度方差分析的优点在于可以减少测量误差，提高测试的稳定性。
此外，由于样本中存在了自身控制组，更容易发现实验组中出现的重要特征。
重复测度方差分析也存在一些缺点。
例如，如果要比较的两个时间之间的差异很小，则可能会导致拒绝零假设。
另外，重复测度方差分析所得到的结果比较关注群体的平均水平，而较少关注个体信息。
三、协方差分析协方差分析是一种常用的方差分析方法，主要用于比较两个或更多个因素之间的交互作用。
例如，在一个心理学实验中，想要比较学生的性别和教育背景对完成一个任务的影响，就可以使用协方差分析进行比较。
协方差分析的优点在于可以更深入地理解因素的交互作用。
此外，它比较灵活，因此可以适用于多个变量的情况。
然而，协方差分析也存在一些缺点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方差分析和协方差分析,协变量和控制变量方差分析方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，是发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。
造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。
假定条件和假设检验1. 方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。
（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。
（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。
（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。
2. 方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。
如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。
否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。
作用一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。
方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。
方差分析是在可比较的数组中，把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。
对变差的度量，采用离差平方和。
方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和，这是一个很重要的思想。
经过方差分析若拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均值不相等或不全相等。
若要得到各组均值间更详细的信息，应在方差分析的基础上进行多个样本均值的两两比较。
多个样本均值间两两比较多个样本均值间两两比较常用q检验的方法，即Newman-kueuls法，其基本步骤为：建立检验假设-->样本均值排序-->计算q值-->查q界值表判断结果。
多个实验组与一个对照组均值间两两比较多个实验组与一个对照组均值间两两比较，若目的是减小第II类错误，最好选用最小显著差法（LSD法）；若目的是减小第I类错误，最好选用新复极差法，前者查t界值表，后者查q'界值表。
基本思想基本思想通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
举例分析下面我们用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想：如某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下：患者：健康人：问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同从以上资料可以看出，24个患者与健康人的血磷值各不相同，如果用离均差平方和（SS）描述其围绕总均值的变异情况，则总变异有以下两个来源：组内变异，即由于随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相等；组间变异，即由于克山病的影响使得患者与健康人组的血磷值均值大小不等。
而且：SS总=SS组间+SS组内v总=v组间+v组内如果用均方（离差平方和除以自由度）代替离差平方和以消除各组样本数不同的影响，则方差分析就是用组间均方去除组内均方的商（即F值）与1相比较，若F值接近1，则说明各组均值间的差异没有统计学意义，若F值远大于1，则说明各组均值间的差异有统计学意义。
实际应用中检验假设成立条件下F值大于特定值的概率可通过查阅F界值表（方差分析用）获得。
利用统计学软件分析结果如下：data a; input type num @@;cards; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ;run;proc anova; class type;model num=type;means type;run;自由度离差平方和均方F 值P值SS组间（处理因素）1 1. 1.（有统计学意义）SS组内（抽样误差）22 3.0.总和23分类及举例单因素方差分析（一）单因素方差分析概念理解步骤是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。
这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。
这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。
单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。
方差分析认为：观测变量值得变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。
据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分，用数学形式表述为：SST=SSA+SSE。
单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（二）单因素方差分析原理总结容易理解：在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平方和所占比例小，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同水平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
（三）单因素方差分析基本步骤1、提出原假设：H0——无差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：方差分析采用的检验统计量是F统计量，即F值检验。
3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的目的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
4、给定显著性水平，并作出决策（四）单因素方差分析的进一步分析在完成上述单因素方差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他几个重要分析，主要包括方差齐性检验、多重比较检验。
1、方差齐性检验是对控制变量不同水平下各观测变量总体方差是否相等进行检验。
前面提到，控制变量不同各水平下观测变量总体方差无显著差异是方差分析的前提要求。
如果没有满足这个前提要求，就不能认为各总体分布相同。
因此，有必要对方差是否齐性进行检验。
SPSS单因素方差分析中，方差齐性检验采用了方差同质性（homogeneity of variance）检验方法，其原假设是：各水平下观测变量总体的方差无显著差异。
2、多重比较检验单因素方差分析的基本分析只能判断控制变量是否对观测变量产生了显著影响。
如果控制变量确实对观测变量产生了显著影响，进一步还应确定控制变量的不同水平对观测变量的影响程度如何，其中哪个水平的作用明显区别于其他水平，哪个水平的作用是不显著的，等等。
例如，如果确定了不同施肥量对农作物的产量有显著影响，那么还需要了解10公斤、20公斤、30公斤肥料对农作物产量的影响幅度是否有差异，其中哪种施肥量水平对提高农作物产量的作用不明显，哪种施肥量水平最有利于提高产量等。
掌握了这些重要的信息就能够帮助人们制定合理的施肥方案，实现低投入高产出。
多重比较检验利用了全部观测变量值，实现对各个水平下观测变量总体均值的逐对比较。
由于多重比较检验问题也是假设检验问题，因此也遵循假设检验的基本步骤。
检验统计量的构造方法（1）LSD方法LSD方法称为最小显著性差异（Least Significant Difference）法。
最小显著性差异法的字画就体现了其检验敏感性高的特点，即水平间的均值只要存在一定程度的微小差异就可能被检验出来。
正是如此，它利用全部观测变量值，而非仅使用某两组的数据。
LSD方法适用于各总体方差相等的情况，但它并没有对犯一类错误的概率问题加以有效控制。
（2）S-N-K方法S-N-K方法是一种有效划分相似性子集的方法。
该方法适合于各水平观测值个数相等的情况，3、其他检验（1）先验对比检验在多重比较检验中，如果发现某些水平与另外一些水平的均值差距显著，如有五个水平，其中x1、x2、x3与x4、x5的均值有显著差异，就可以进一步分析比较这两组总的均值是否存在显著差异，即1/3(x1+x2+x3)与1/2(x4+x5)是否有显著差异。
这种事先指定各均值的系数，再对其线性组合进行检验的分析方法称为先验对比检验。
通过先验对比检验能够更精确地掌握各水平间或各相似性子集间均值的差异程度。
（2）趋势检验当控制变量为定序变量时，趋势检验能够分析随着控制变量水平的变化，观测变量值变化的总体趋势是怎样的，是呈现线性变化趋势，还是呈二次、三次等多项式变化。
通过趋势检验，能够帮助人们从另一个角度把握控制变量不同水平对观测变量总体作用的程度。
多因素方差分析（一）多因素方差分析基本思想多因素方差分析用来研究两个及两个以上控制变量是否对观测变量产生显著影响。
这里，由于研究多个因素对观测变量的影响，因此称为多因素方差分析。
多因素方差分析不仅能够分析多个因素对观测变量的独立影响，更能够分析多个控制因素的交互作用能否对观测变量的分布产生显著影响，进而最终找到利于观测变量的最优组合。
例如：分析不同品种、不同施肥量对农作物产量的影响时，可将农作物产量作为观测变量，品种和施肥量作为控制变量。
利用多因素方差分析方法，研究不同品种、不同施肥量是如何影响农作物产量的，并进一步研究哪种品种与哪种水平的施肥量是提高农作物产量的最优组合。
（二）多因素方差分析的其他功能1、均值检验在SPSS中，利用多因素方差分析功能还能够对各控制变量不同水平下观测变量的均值是否存在显著差异进行比较，实现方式有两种，即多重比较检验和对比检验。
多重比较检验的方法与单因素方差分析类似。
对比检验采用的是单样本t检验的方法，它将控制变量不同水平下的观测变量值看做来自不同总体的样本，并依次检验这些总体的均值是否与某个指定的检验值存在显著差异。
其中，检验值可以指定为以下几种：观测变量的均值（Deviation）;第一水平或最后一个水平上观测变量的均值（Simple）;前一水平上观测变量的均值（Difference）;后一水平上观测变量的均值（Helmert）。
2、控制变量交互作用的图形分析控制变量的交互作用可以通过图形直观分析。
（三）多因素方差分析的进一步分析在上述案例中，已经对广告形式、地区对销售额的影响进行了多因素方差分析，建立了饱和模型。
由分析可知：广告形式与地区的交互作用不显著，先进一步尝试非饱和模型，并进行均值比较分析、交互作用图形分析。
1、建立非饱和模型2、均值比较分析3、控制变量交互作用的图形分析协方差分析（一）协方差分析基本思想通过上述的分析可以看到，不论是单因素方差分析还是多因素方差分析，控制因素都是可控的，其各个水平可以通过人为的努力得到控制和确定。