协方差分析
协方差分析名词解释
协方差分析名词解释协方差分析是数据统计学的一个名词。
它将每组实验数据标上号码，然后依照它们在总体中出现次数的大小，以及每一组数据与其他数据之间的平均差异，求得一组平均数据代表整个总体的概率。
简单来说，就是在均值的基础上，加减方差的和，或者说在众多的数据中取最好的一个数据作为代表整体的标准，这个量化了的标准就叫做“均值”。
这个“均值”是不是真正代表总体呢？不是的，因为它有偏差。
即“协方差”。
协方差分析的目的：协方差分析可以消除假设检验的各种局限性，消除非参数检验中可能存在的假定导致的检验误差，提高非参数检验的效度；而且通过对观测数据的处理，还可以获得一些新的信息，例如平均值变化的原因，检验数据的随机趋势是否符合某种规律，从而为非参数检验建立更好的假设检验方案。
协方差分析包括方差分析和分类变量回归分析两部分内容。
这里仅对方差分析进行介绍。
协方差分析法的基本思想是利用统计软件，根据研究所需的条件自动地选择适当的分析方法，并用数学方法对实验数据进行分析，得到一些重要的参数，例如最大似然估计、协方差、协方差矩阵、相关系数、协方差阵等。
把这些参数应用到假设检验和回归分析中去，就可以确定最优的回归方程。
通常是采用以下3种分析方法。
1.协方差分析法协方差分析是一种比较常见的非参数统计方法，它是根据样本和总体的协方差矩阵来分析总体特征的，即寻找样本与总体的差别以及差别的来源，而不涉及具体的数值解。
这一方法适用于那些对分类变量数值有兴趣的研究。
协方差分析法主要由协方差矩阵和协方差系数两部分组成，其中协方差系数反映了两个变量之间的线性相关程度，其计算公式如下：上述公式的含义是：协方差矩阵E=∑×∑×，式中P是每个变量的数值， Q是各变量的协方差，即协方差矩阵E 的特征值或特征向量为：式中：1．检验每个随机样本与某个特定均值间有无关系，即证明它们的均值之间是否存在协方差。
2．如果没有关系，可以在检验区间内取若干样本点进行多重比较，看看是否存在协方差。
协方差分析名词解释
协方差分析名词解释协方差分析（CovarianceAnalysis）是一种常见的统计分析方法，是衡量两个变量之间线性关系强度的有效手段。
协方差分析与相关分析（correlation analysis）有很多相关点，都是用来识别变量之间的关系，但两者的方法不同。
协方差分析的核心是对变量之间关系的衡量，而这种衡量有多种形式。
一般情况下，协方差分析主要是通过计算变量之间的协方差来完成的。
协方差（covariance）是衡量两个变量的线性关系的函数，可以从变量的期望值（expected value）和方差（variance）来计算。
如果变量之间的协方差大于0，则表明两个变量之间存在正相关关系，也就是说，变量A上升时，变量B也有可能会上升；如果变量之间的协方差小于0，则表明两个变量之间存在负相关关系，也就是说，变量A上升时，变量B可能会下降。
此外，协方差分析还可以用于研究多个变量之间的关系，其中最常用的方法是多元协方差分析（multivariable covariance analysis）。
它可以用来研究多个变量之间的变化与偏差，以及它们之间关联程度的大小。
此外，协方差分析还可以用于研究两个或多个样本之间的关系，也就是说，它可以分析两个或多个样本集中的变量之间是否存在关联性。
例如，可以利用协方差分析，分析一组调查者的年龄、职业、教育水平和收入之间的关系，这有助于统计学家和社会研究者了解他们的研究结果。
最后，协方差分析是一种常用的数据分析方法，它可以帮助研究者和社会科学家分析不同变量之间的关系，同时它也可以帮助研究者分析不同样本集之间的关系，从而使他们更好地理解社会、经济和文化现象。
它的分析结果可以为社会科学研究提供更多的参考依据，从而改善当前的社会现状。
协方差分析
协方差分析是方差分析法与回归分析法相结合 而产生的一种资料分析方法，其主要作用是用处理 前的试验记录矫正处理后的试验记录，以避免由于 处理前基数不一对处理后差异显著性所带来的影响， 从而提高试验结果的精确度。
协方差分析的分析步骤（原理）：
记处理前观测值（基数）为x、试验处理后观测值为y。
12 3 4 1 11 1 1 2 12 2 2 3 13 3 3 4 21 2 3 5 22 3 1 6 23 1 2 7 31 3 2 8 32 1 3 9 33 2 1
处理
1 2 3 4 5 6 7 8 9
表9.7 L9（34）肥料试验结果表
NPK
区组Ⅰ … x y…
区组Ⅳ xy
1 1 1 1 30.3 32.9 … 27.4 30.7
cards; 28 202 22 165 27 ...... 221 27 207 24 204 ;
proc glm; class corn block; model y=corn block
x/solution; lsmeans corn/stderr
pdiff; run;
其SAS输出结果见书 P164略
1 2 2 2 32.8 35.4 … 24.0 27.4
1 3 3 3 31.7 34.7 … 23.8 26.4
2 1 2 3 26.7 29.7 … 25.4 28.3
2 2 3 1 32.9 35.9 … 25.7 28.8
2 3 1 2 30.0 31.9 … 28.4 31.7
3 1 3 2 34.3 37.5 … 28.1 31.8
9.1 含一个协变数的协方差分析
1.完全随机化设计的协方差分析
协方差分析
协方差分析协方差分析（ANCOVA）是一种在统计学中常用的方法，用于比较两个或更多组之间的平均值是否存在差异，并控制一个或多个可能存在的共同协变量的影响。
在本文中，将介绍协方差分析的基本概念、假设前提、模型、效应检验、应用注意事项等内容。
一、基本概念协方差分析是一种结合了方差分析（ANOVA）和回归分析的技术，旨在研究组间的差异是否受到一个或多个协变量的影响。
协变量指的是可能影响因变量的其他变量，例如年龄、性别、智力水平等。
通过控制协变量的影响，协方差分析可以更准确地评估组间的差异是否真正存在。
二、假设前提三、模型在协方差分析中，需要估计各组的平均值（μ）和回归系数（β1和β2），以及误差项的方差（σ²）。
通过比较组间方差与误差项方差的比值，可以判断在控制协变量的情况下，组间的差异是否显著。
四、效应检验另外，还可以通过比较回归系数的显著性来判断协变量对因变量的影响。
如果协变量的回归系数显著，表示协变量对因变量的影响在各组之间存在差异。
五、应用注意事项在进行协方差分析时，需要注意以下几点：1.选择合适的协变量：选择与因变量相关的协变量，以减少协变量的影响，提高结果的准确性。
2.检验协变量与因变量之间的线性关系：协变量与因变量之间的关系应该是线性的，否则可能导致结果不准确。
3.选择适当的控制组：选择适当的控制组进行比较，以保证对组间差异的探究更有说服力。
4.检验方差齐次性假设：协方差分析要求各组之间的方差应该是齐次的，如果方差齐次性假设不成立，可能导致结果失真。
5.做出合理的解释：协方差分析仅能提供组间的比较结果，不能得出因果关系的结论。
因此，在解释结果时应谨慎，并结合实际情况进行合理解释。
总结：协方差分析是一种在统计学中常用的方法，用于比较组间平均值是否存在差异，并控制可能存在的共同协变量的影响。
通过协方差分析，可以更准确地评估组间差异的显著性，并提供合理的解释。
在进行协方差分析时，需要注意选择合适的协变量、检验线性关系、选择适当的控制组、检验方差齐次性假设，并做出合理的解释。
方差分析及协方差分析
方差分析及协方差分析方差分析和协方差分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系和差异。
本文将分别介绍方差分析和协方差分析的基本概念、原理和应用。
一、方差分析（Analysis of Variance）1.基本概念：方差分析是一种通过对不同组之间的差异进行分析，来揭示组间差异是否非随机的统计方法。
它可以用于比较两个或更多个组的均值是否有显著差异。
2.原理：方差分析的原理基于对总体变异的分解。
总体变异可以分解为组间变异和组内变异。
组间变异表示不同组之间的差异，而组内变异表示组内个体之间的差异。
方差分析通过计算组间变异与组内变异之间的比值来判断组间差异是否显著。
3.适用场景：方差分析适用于有一个自变量和一个或多个因变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果、比较不同教学方法对学生成绩的影响等。
4.步骤：方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的方差分析模型、计算方差分析统计量和p值、进行结果解释。
二、协方差分析（Analysis of Covariance）1.基本概念：协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。
它通过控制一个或多个连续变量（协变量）对组间差异进行调整，来比较不同组之间的差异。
协方差分析不仅考虑到组间差异，还考虑到了协变量的影响。
2.原理：协方差分析的基本原理是通过线性回归模型来估计组间均值的差异，同时考虑协变量的影响。
通过计算协方差矩阵和相关系数，可以得到组间差异的调整后的统计结果。
3.适用场景：协方差分析适用于有一个自变量、一个或多个因变量，以及一个或多个连续变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果，并控制患者年龄和性别等协变量。
4.步骤：协方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的协方差分析模型、建立回归模型、计算协方差分析统计量和p值、进行结果解释。
总结：方差分析和协方差分析都是常用的统计分析方法，用于研究组间差异和变量之间的关系。
应用统计学(第九章 协方差分析)
从而求得相应的均方； 两个变量的总乘积和与自由度也可按变异来源进行剖分
而获得相应的均积； 把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源进行剖分并
获得获得相应均积的方法称为协方差分析。
在随机模型的方差分析中，根据均方MS和期望均方的关 系，可以得到不同变异来源的方差组分的估计值；
b* SP / SP
e
ex
回归关系的显著性可用F检验或t检验，这时误差项目回
归自由度dfeU=1，回归平方和：
U SS b*SP SP2 / SP
e
ey
e
e
ex
误差项离回归平方和：
Q SS U SS SP2 / SS
e
ey
Байду номын сангаасey
ey
e
ex
离回归自由度：
df df df k(n 1) 1
矫正平均数的计算
yi.(xx..) yi . by / x ( xi . x..)
矫正平均数的多重比较
LSD0.05=0.8769， LSD0.01 =1.1718 食欲添加剂配方1、2、3号与对照比较， 其矫正50 日 龄平均重间均存在极显著的差异，配方1、2、3号的矫正50 日龄平均重均极显著高于对照。
回归关系的显著性检验：
变异来源 df 误 差回 归 1 误差离回归 43 误 差 总 和 44
SS 47.49 37.59 85.08
MS 47.49 0.87
F 54.32**
F0.01 7.255
F检验表明，误差项回归关系极显著，表明哺乳仔猪 50 日龄重与初生重间存在极显著的线性回归关系
协方差分析
肥料间（组间） 2 356.083 178.042 6.34** 60.750 30.376 <1
肥料内（组内） 21 589.750 28.083
830.875 39.565
总变异
23 945.833
891.625
注： F0.05（2，23）=3.47 F0.01 （2，23） =5.78
从上述方差分析看，施肥前，产量（x）存在显著差 异，说明24株树，三个组间存在极显著差异。
矫正平均数（y）间的差异
2 222.84 111.420
F 45.63**
注： F0.01 (2, 20) 5.85
结论：施不同肥料对果树的产量影响差异显著。这种 结论与前面的分析不同，前面不作协方差分析时，施不同 肥料间对果树产量影响差异不显著。
3）多重比较方法： ① 对观察值 y 的各处理平均数矫正
本例x-y变量间回归系数检验，回归关系 极显著，必须对反应量（y）进行矫正。
◆ 测定矫正后 yi (x x) 的差异性
① 计算总变异离回归平方和 （即对总变异
进行离回归分析）
QT
SST y
(SPT )2 SST x
765.752 891.625
945.833
271.67
VT n k 2 8 3 2 22
2.44281
1 8
50.875 51.8752
589.75
0.784
t 62.06 64.29 2.844* 0.784
B-C比较：
S d
2.442
1 8
1 8
59.5 51.8752
589.75
0.923
t 59.51 64.29 9.512** 0.923
第十章协方差分析
第十章协方差分析协方差分析（Analysis of Covariance，简称ANCOVA）是一种多元统计方法，用于在考虑一个或多个共变量（covariates）的情况下，评估一个或多个自变量（independent variables）对于因变量（dependent variable）的影响。
在实际研究中，常常会遇到一些与因变量相关但未被考虑的其他变量，而这些变量可能会对因变量与自变量之间的关系产生干扰。
ANCOVA通过引入共变量来修正这种干扰，从而提高自变量对因变量的解释效果。
ANCOVA的基本思想是通过构建一个线性回归模型，将自变量、共变量以及其交互项作为预测变量，将因变量作为被预测变量，进而评估自变量对因变量的影响。
在这个过程中，共变量的作用是控制或削弱对因变量的影响，从而更准确地评估自变量的效果。
在进行ANCOVA分析之前，需要满足一些前提条件。
首先，因变量和自变量之间应该存在线性关系。
其次，各个共变量与自变量和因变量之间也应该存在线性关系。
最后，自变量与因变量之间的差异不能完全由共变量解释。
在进行ANCOVA分析时，需要进行一些统计检验来评估因变量与自变量、共变量之间的关系。
例如，可以计算自变量和因变量之间的相关系数，使用方差分析来比较组间差异，以及计算共变量与因变量的相关系数等。
ANCOVA的优势在于可以更准确地评估自变量对因变量的影响，同时控制其他可能干扰的因素。
此外，ANCOVA还可以用于提高实验的统计效力，减少研究中可能出现的偏差。
然而，ANCOVA也存在一些局限性。
首先，ANCOVA要求共变量与自变量和因变量之间存在线性关系，因此如果数据不符合线性假设，则ANCOVA可能不适用。
其次，ANCOVA要求样本量足够大，才能保证结果的可信度。
此外，ANCOVA对于共变量和自变量之间的交互作用也存在敏感性。
总结来说，协方差分析是一种有效的多元统计方法，可以用于控制共变量的干扰，评估自变量对因变量的影响。
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n x y x y x
T T T
n1 n2 12 16 28 x1 x2 597 709 1306
2 1 2 2
2 T 2 T
x x 30613 31943 62556
y1 y2 47.39 65.95 113.34
140.40
202.57 164.70 196.95 158.34 216.53
37
50 50 45 48 51 46 58 38 38
1369
2500 2500 2025 2304 2601 2116 3364 1444 1444 31943
4.30
2.70 3.50 3.06 4.06 4.51 4.66 2.88 3.64 5.09 65.95
为进一步了解研究各组所属总体回归 线的坡度是否相同，以及回归线的高度是 否相同，先检验各组的方差（估计误差的 均方）差别有无统计学意义。
MS甲组 0.5132 F 1.24 MS乙组 0.4153 查表, 双侧检验F临界值, F0.05(10, 24) 2.64, P 0.05
x , x , y , y , x y
2 2 i i i i i
i
xi , yi , l xi xi , l yi yi , l xi yi
计算甲组(第一组)x,y的均数及x的离均差平方和
x1 y1
x n1
1
597 49.75 12 47.39 3.95 12
2 1
协方差分析按设计不同分为：
1、完全随机设计的协方差分析 2、配伍组设计协方差分析 3、多元协方差分析 （多个协变量的协方差分析） 4 、拉丁方设计 5 、析因设计等
应用协方差分析的条件
理论上要求各组资料（样本）均来自方 差相同的正态总体，各观察变量相互独 立。 各总体存在回归关系且各总体直线回归 系数 i 相等，且都不为0。 各样本方差齐性。
y n1
1
l x1x1 x
( x1 ) n1
2
597 30613 912.25 12
2
计算甲组(第一组)y以及x和y的离均差平方和积和
l y1 y1 y
2 1
( y1 ) n1
2
47.39 198.89 11.74 12 597 47.39 2280.01 12
2
l xx l xy l xy l xy l xy
2
l xx
2
77.64 2 11.74 5.1322 912.25 39.87 2 8.84 5.8147 525.44 117.512 20.58 10.9753 1437.69 123.952 20.79 11.4244 1640.43
协方差分析计算表
变异来源 甲组 乙组 自由度 11 15 lxx 912.25 525.44 lxy -77.64 -39.87 lyy 11.74 8.84 1 -0.0851 -0.0759
估计误差
自由度 10 14 平方和 5.1322 5.8147 均方 0.5132 0.4153
组内
回归系数 公共 修正均数 总计 27 1640.43 -123.95 20.79 26 1437.69 -117.51 20.58 -0.0817
协方差分析及SPSS统计软件包应用
临床流行病学应用研究室 欧爱华
为什么要进行协方差分析
影响效应指标的因素不可控性
（未控制或难以控制） 组间基线的不均衡性等
例如：在营养研究中，不考虑动物食 量的差别，直接用方差分析来比较不 同饲料组动物的平均增重，来评价不 同饲料的营养价值是不恰当的。这是 因为动物体重的增加，除了与食物的 营养价值有关，还与各组动物的食量 有关，而动物的食量多少又未加以控 制。
协方差分析手工计算数据 1521 1600 1681 y1 4.62 5.29 5.52 y12 21.3444 27.9841 30.4704
甲组肺活量
x1*y1 180.18 211.60 226.32 x2 43 39 38
乙组年龄
x22 1849 1521 1444 y2 4.61 4.73 4.58
计算两组各自的直线回归方程和公共的回归方程
b1 b2 bT
l x1 y1 l x1 x1 l x2 y 2 l x2 x2 l xT yT l xT xT
77.64 0.0851 912.25 39.87 0.0759 525.44 117.51 0.0817 1437.69
2
l x1 y1 x1 y1 77.64
( x1 y1 ) n1
计算乙组(第二组)x和y的均数及x的离均差平方和
x2 y2
x n2
2
709 44.31 16 65.95 4.12 16
2 2
y n2
2
l x2 x2 x
( x2 ) n2
l xx
2
l xx
2
l xx
估计误差平方和分析表
估计误差
变异来源
自由度 10
平方和 5.1322
均方 0.5132
甲组
乙组
组内
14
24
5.8147
10.9469
0.4153
0.4561
回归系数
公共 修正均数 总计
1
25 1 26
0.0284
10.9753 0.4491 11.4244
0.0284
0.4390 0.4491
计算估计误差平方和
ˆ) (y y 三组：
2 ˆ 甲组： ( y y ) l yy 2 ˆ 乙组： ( y y ) l yy 2 ˆ 公共： ( y y ) l yy 2 ˆ 总计： ( y y ) l yy 2
l yy
l xy
T
yT x1 y1 x2 y2 2280.01 2882.54 5162.55
2 y12 y2 198.89 280.68 479.57
计算合并的x,y的离均差平方和以及x与y的离均差积和
l xT xT l yT yT l xT yT
若用直线回归的方法找出食量与所增体 重的关系，求得当食量都化为相等时 （即扣除食量的影响），各饲料组动物 所增体重的修正均数，然后再用方差分 析检验各修正均数间有无差别，这才比 较合理。 又如，比较各种职业人群的血压时， 也应把年龄化为相等，再作比较等等。
什么是协方差分析？
协方差分析是把线性回归与 方差分析结合起来，用于检验两 个或多个修正均数间有无差别的 方法，其目的是把与结果变量 （因变量）Y呈直线关系的自变量 X（协变量）化成相等后，检验两 个或多个修正均数间有无差别。
( xT ) 2 nT
1306 2 62556 1640.43 28 2 ( y ) T 2 l yT yT yT nT 113.34 2 479.57 20.79 28 xT . yT l xT yT xT yT nT 1306 113.34 5162.55 123.95 28
( x2 y 2 ) n2
计算两组合并的各相关数据：
n x y x y x
T T T
n1 n2
2 T 2 T
T
x x y y x x y y y x y x
1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 T 1 1
2
y2
将数据代入后，计算各合计的相关项：
注意问题： 如果不满足以上条件，建议进 行变量变换，符合上述条件后， 再进行协方差分析。
要求： 在进行协方差分析前，应 先进行方差齐性检验和回归系 数的检验。
协方差分析的基本步骤
确定协变量（即未加以控制或难以控制 的因素） 建立因变量Y随协变量X变化的线性回归 关系 利用回归关系把协变量X化为相等后再进 行各组Y的休整均数间比较的假设检验
组间 组内 自由度 1 26 LXX 202.74 1437.69 均方 202.74 55.2958 F 3.67 P >0.05
总计
27
自由度 1 26
1640.43
LYY 0.21 20.58 均方 0.21 0.7915 F 0.27 P >0.05
y的变异来源
组间 组内
总计
27
20.79
检验结果两组年龄均数差异无统计学意义(P>0.05)，两 组肺活量均数差异也无统计学意义(P>0.05) 。
24
1 25 1 26
10.9469
0.0284 10.9753 0.4491 11.4244
0.4561
0.0284 0.4390 0.4491
分别对两组的x与y的均数进 行统计学检验，以便对协方 差分析的结果作出较完善的 解释，分析结果见下表：
检验xi,间及yi间差别的方差分析表
x的变异来源
乙组肺活量
y22 21.2521 22.3729 20.9764 x2*y2 198.23 184.47 174.04
41
45 49
1681
2025 2401
3.71
4.02 5.09
13.7641
16.1604 25.9081
152.11
180.90 249.41
42
43 43
1764
1849 1849
18.4900
7.2900 12.2500 9.3636 16.4836 20.3401 21.7156 8.2944 13.2496 25.9081 280.6773