协方差分析
协方差分析
协方差分析是将乘积和与平方和按照变异来源 进行分解，从而将直线回归与方差分析结合应 用的一种统计方法。
在方差分析的过程中，通常是根据变异的来源将平 方和和自由度分离，从而进行误差估计和显著性检 验。
P
2
0.18667 0.09333 1.04 0.375
组内
18 1.62286 0.09016
总变异
20 1.80952
对y的方差分析
变异来源 组间
df
SS
s2
F
P
2
2.201 1.100 0.45 0.646
组内
18
44.251 2.458
总变异
20
46.452
从方差分析结果来看，不论是营养液喷洒前还 是喷洒后，瓜苗的高度均没有显著区别！
检验误差项回归系数的显著性（F检验法）：
Ue
F dfe(U ) 25.348 22.8
Qe
18.9
dfe(Q)
17
按df1＝1，df2＝17查F值表，得F（0.01）＝8.40， F值达到极显著水平，故认为喷洒营养液一周
后植株的高度确实受到植株原高度的影响。
检验误差项回归系数的显著性（t检验法）：
C x 2.4 2 2.3 2.2 2 2.9 2.7 16.5 2.35
y 12.9 10.2 12 11 9.5 14.2 13.3 83.1 11.87
总计 x
51.7 2.46
y
240.4 11.44
先对x和y变量分别进行方差分析，得如下结果：
对x的方差分析
协方差分析
第十一节协方差分析(analysis of covariance)在各种试验设计中，对应变量（dependent variable）Y 研究时，常希望其他可能影响Y的变量在各组间保持基本一致，以达到均衡可比。
例如：比较几种药物的降压作用，各试验组在原始血压、性别、年龄等指标应无差异。
第十一节协方差分析有时这些变量不能控制，须在统计分析时，通过一定方法来消除这些变量的影响后，再对应变量y作出统计推断。
称这些影响变量为协变量（Covariate）。
如果所控制的变量是分类变量时，可用多因素的方差分析；当要控制的变量是连续型变量时，可用协方差分析，以消除协变量的影响，或将协变量化成相等后，对y的修正均数进行方差分析。
第十一节协方差分析例如：比较几种不同饲料对动物体重增加的作用，可把动物的进食量作为协变量。
比较大学生和运动员的肺活量时，可把身高作为协变量。
比较治疗后二组舒张压的大小，可把治疗前的舒张压作为协变量。
第十一节协方差分析协方差分析的基本原理：协方差分析是把直线回归和方差分析结合起来的一种统计分析方法。
当不同处理结果的y值受协变量x的影响时，先找出y与x的直线关系，求出把x值化为相等后y的修正均数，然后进行比较，这样就能消除x对y的影响，更恰当地评价各种处理的作用。
协方差分析的步骤±观察指标服从正态分布、方差齐性、各观察相互独立H检验分组因素与协变量x是否有交互作用。
对上例，即是否雌雄羔羊进食量相同，它们的体重增加量却不相同。
如检验结果分组因素与协变量x间没有交互作用，即说明雌雄羔羊进食量相同的情况下，它们的体重增加量是相同的。
进行第二项检验：H检验协变量与应变量之间是否存在线性关系。
如果不存在线性关系，则不能简单地运用协方差分析，因为协方差分析是利用协变量x与应变量y之间的线性回归关系扣除协变量x对y的影响。
必要时可考虑进行变量转换。
如果检验结果协变量与应变量之间存在线性关系，则进行第三项检验：H进一步扣除x对y影响的前提下，检验各组的修正均数差别是否有统计学意义。
协方差分析名词解释
协方差分析名词解释协方差分析是数据统计学的一个名词。
它将每组实验数据标上号码，然后依照它们在总体中出现次数的大小，以及每一组数据与其他数据之间的平均差异，求得一组平均数据代表整个总体的概率。
简单来说，就是在均值的基础上，加减方差的和，或者说在众多的数据中取最好的一个数据作为代表整体的标准，这个量化了的标准就叫做“均值”。
这个“均值”是不是真正代表总体呢？不是的，因为它有偏差。
即“协方差”。
协方差分析的目的：协方差分析可以消除假设检验的各种局限性，消除非参数检验中可能存在的假定导致的检验误差，提高非参数检验的效度；而且通过对观测数据的处理，还可以获得一些新的信息，例如平均值变化的原因，检验数据的随机趋势是否符合某种规律，从而为非参数检验建立更好的假设检验方案。
协方差分析包括方差分析和分类变量回归分析两部分内容。
这里仅对方差分析进行介绍。
协方差分析法的基本思想是利用统计软件，根据研究所需的条件自动地选择适当的分析方法，并用数学方法对实验数据进行分析，得到一些重要的参数，例如最大似然估计、协方差、协方差矩阵、相关系数、协方差阵等。
把这些参数应用到假设检验和回归分析中去，就可以确定最优的回归方程。
通常是采用以下3种分析方法。
1.协方差分析法协方差分析是一种比较常见的非参数统计方法，它是根据样本和总体的协方差矩阵来分析总体特征的，即寻找样本与总体的差别以及差别的来源，而不涉及具体的数值解。
这一方法适用于那些对分类变量数值有兴趣的研究。
协方差分析法主要由协方差矩阵和协方差系数两部分组成，其中协方差系数反映了两个变量之间的线性相关程度，其计算公式如下：上述公式的含义是：协方差矩阵E=∑×∑×，式中P是每个变量的数值， Q是各变量的协方差，即协方差矩阵E 的特征值或特征向量为：式中：1．检验每个随机样本与某个特定均值间有无关系，即证明它们的均值之间是否存在协方差。
2．如果没有关系，可以在检验区间内取若干样本点进行多重比较，看看是否存在协方差。
协方差分析名词解释
协方差分析名词解释协方差分析（CovarianceAnalysis）是一种常见的统计分析方法，是衡量两个变量之间线性关系强度的有效手段。
协方差分析与相关分析（correlation analysis）有很多相关点，都是用来识别变量之间的关系，但两者的方法不同。
协方差分析的核心是对变量之间关系的衡量，而这种衡量有多种形式。
一般情况下，协方差分析主要是通过计算变量之间的协方差来完成的。
协方差（covariance）是衡量两个变量的线性关系的函数，可以从变量的期望值（expected value）和方差（variance）来计算。
如果变量之间的协方差大于0，则表明两个变量之间存在正相关关系，也就是说，变量A上升时，变量B也有可能会上升；如果变量之间的协方差小于0，则表明两个变量之间存在负相关关系，也就是说，变量A上升时，变量B可能会下降。
此外，协方差分析还可以用于研究多个变量之间的关系，其中最常用的方法是多元协方差分析（multivariable covariance analysis）。
它可以用来研究多个变量之间的变化与偏差，以及它们之间关联程度的大小。
此外，协方差分析还可以用于研究两个或多个样本之间的关系，也就是说，它可以分析两个或多个样本集中的变量之间是否存在关联性。
例如，可以利用协方差分析，分析一组调查者的年龄、职业、教育水平和收入之间的关系，这有助于统计学家和社会研究者了解他们的研究结果。
最后，协方差分析是一种常用的数据分析方法，它可以帮助研究者和社会科学家分析不同变量之间的关系，同时它也可以帮助研究者分析不同样本集之间的关系，从而使他们更好地理解社会、经济和文化现象。
它的分析结果可以为社会科学研究提供更多的参考依据，从而改善当前的社会现状。
协方差分析
协方差分析协方差分析（ANCOVA）是一种在统计学中常用的方法，用于比较两个或更多组之间的平均值是否存在差异，并控制一个或多个可能存在的共同协变量的影响。
在本文中，将介绍协方差分析的基本概念、假设前提、模型、效应检验、应用注意事项等内容。
一、基本概念协方差分析是一种结合了方差分析（ANOVA）和回归分析的技术，旨在研究组间的差异是否受到一个或多个协变量的影响。
协变量指的是可能影响因变量的其他变量，例如年龄、性别、智力水平等。
通过控制协变量的影响，协方差分析可以更准确地评估组间的差异是否真正存在。
二、假设前提三、模型在协方差分析中，需要估计各组的平均值（μ）和回归系数（β1和β2），以及误差项的方差（σ²）。
通过比较组间方差与误差项方差的比值，可以判断在控制协变量的情况下，组间的差异是否显著。
四、效应检验另外，还可以通过比较回归系数的显著性来判断协变量对因变量的影响。
如果协变量的回归系数显著，表示协变量对因变量的影响在各组之间存在差异。
五、应用注意事项在进行协方差分析时，需要注意以下几点：1.选择合适的协变量：选择与因变量相关的协变量，以减少协变量的影响，提高结果的准确性。
2.检验协变量与因变量之间的线性关系：协变量与因变量之间的关系应该是线性的，否则可能导致结果不准确。
3.选择适当的控制组：选择适当的控制组进行比较，以保证对组间差异的探究更有说服力。
4.检验方差齐次性假设：协方差分析要求各组之间的方差应该是齐次的，如果方差齐次性假设不成立，可能导致结果失真。
5.做出合理的解释：协方差分析仅能提供组间的比较结果，不能得出因果关系的结论。
因此，在解释结果时应谨慎，并结合实际情况进行合理解释。
总结：协方差分析是一种在统计学中常用的方法，用于比较组间平均值是否存在差异，并控制可能存在的共同协变量的影响。
通过协方差分析，可以更准确地评估组间差异的显著性，并提供合理的解释。
在进行协方差分析时，需要注意选择合适的协变量、检验线性关系、选择适当的控制组、检验方差齐次性假设，并做出合理的解释。
方差分析及协方差分析
方差分析及协方差分析方差分析和协方差分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系和差异。
本文将分别介绍方差分析和协方差分析的基本概念、原理和应用。
一、方差分析（Analysis of Variance）1.基本概念：方差分析是一种通过对不同组之间的差异进行分析，来揭示组间差异是否非随机的统计方法。
它可以用于比较两个或更多个组的均值是否有显著差异。
2.原理：方差分析的原理基于对总体变异的分解。
总体变异可以分解为组间变异和组内变异。
组间变异表示不同组之间的差异，而组内变异表示组内个体之间的差异。
方差分析通过计算组间变异与组内变异之间的比值来判断组间差异是否显著。
3.适用场景：方差分析适用于有一个自变量和一个或多个因变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果、比较不同教学方法对学生成绩的影响等。
4.步骤：方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的方差分析模型、计算方差分析统计量和p值、进行结果解释。
二、协方差分析（Analysis of Covariance）1.基本概念：协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。
它通过控制一个或多个连续变量（协变量）对组间差异进行调整，来比较不同组之间的差异。
协方差分析不仅考虑到组间差异，还考虑到了协变量的影响。
2.原理：协方差分析的基本原理是通过线性回归模型来估计组间均值的差异，同时考虑协变量的影响。
通过计算协方差矩阵和相关系数，可以得到组间差异的调整后的统计结果。
3.适用场景：协方差分析适用于有一个自变量、一个或多个因变量，以及一个或多个连续变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果，并控制患者年龄和性别等协变量。
4.步骤：协方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的协方差分析模型、建立回归模型、计算协方差分析统计量和p值、进行结果解释。
总结：方差分析和协方差分析都是常用的统计分析方法，用于研究组间差异和变量之间的关系。
应用统计学(第九章 协方差分析)
从而求得相应的均方； 两个变量的总乘积和与自由度也可按变异来源进行剖分
而获得相应的均积； 把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源进行剖分并
获得获得相应均积的方法称为协方差分析。
在随机模型的方差分析中，根据均方MS和期望均方的关 系，可以得到不同变异来源的方差组分的估计值；
b* SP / SP
e
ex
回归关系的显著性可用F检验或t检验，这时误差项目回
归自由度dfeU=1，回归平方和：
U SS b*SP SP2 / SP
e
ey
e
e
ex
误差项离回归平方和：
Q SS U SS SP2 / SS
e
ey
Байду номын сангаасey
ey
e
ex
离回归自由度：
df df df k(n 1) 1
矫正平均数的计算
yi.(xx..) yi . by / x ( xi . x..)
矫正平均数的多重比较
LSD0.05=0.8769， LSD0.01 =1.1718 食欲添加剂配方1、2、3号与对照比较， 其矫正50 日 龄平均重间均存在极显著的差异，配方1、2、3号的矫正50 日龄平均重均极显著高于对照。
回归关系的显著性检验：
变异来源 df 误 差回 归 1 误差离回归 43 误 差 总 和 44
SS 47.49 37.59 85.08
MS 47.49 0.87
F 54.32**
F0.01 7.255
F检验表明，误差项回归关系极显著，表明哺乳仔猪 50 日龄重与初生重间存在极显著的线性回归关系
方差分析与协方差分析
方差分析与协方差分析方差分析 (Analysis of Variance, ANOVA) 和协方差分析 (Analysis of Covariance, ANCOVA) 是统计学中常用的两种数据分析方法。
它们在比较多个组或处理之间的差异时非常有用，并且可以探究因素对观察结果的影响。
本文将详细介绍方差分析和协方差分析的概念、原理和应用。
一、方差分析的概念和原理方差分析是一种用于比较多个组之间均值差异的统计方法。
它基于对总体方差的分解，将观察结果的变异分解成不同的来源，如组内变异和组间变异。
方差分析的目标是确定组间变异是否显著大于组内变异，进而判断不同组均值之间的差异是否具有统计学意义。
方差分析通常基于以下假设：1. 观察结果服从正态分布；2. 不同组之间的观察结果具有同方差性；3. 观察结果是相互独立的。
方差分析的原理是通过计算不同组之间的均方差（Mean Square, MS）和F统计量来进行推断。
F统计量是组间均方差与组内均方差的比值，如果F值显著大于1，则说明不同组之间存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析，其中单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况，而多因素方差分析则适用于有多个自变量的情况。
二、方差分析的应用方差分析在科学研究和实际应用中广泛应用，以下是一些常见的应用场景：1. 实验比较：方差分析可用于比较不同处理、不同实验条件下的实验结果。
例如，在农业领域，可以利用方差分析比较不同肥料、不同温度等对作物产量的影响。
2. 组间比较：方差分析可用于比较不同组别、不同样本间的差异。
例如，在医学研究中，可以利用方差分析比较不同药物对疾病治疗效果的差异。
3. 教育评估：方差分析可用于教育研究中，比较不同学校或不同教学方法对学生学习成绩的影响。
三、协方差分析的概念和原理协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。
它用于比较多个组别或处理之间的差异，同时控制一个或多个协变量的影响。
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xy x y
（10-4）
均积与均方具有相似的形式 ， 也有相似的 性质。在方差分析中，一个变量的总平方和与
自由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应
的均方。统计学已证明：两个变量的总乘积和
与自由度也可按变异来源进行剖分而获得相应
的均积。这种把两个变量的总乘积和与自由度 按变异来源进行剖分并获得获得相应均积的方 法亦称为协方差分析。
发现：增重与初始重之间存在线性回归关系。但 是，在实际试验中很难满足试验仔猪初始重相同 这一要求。 这时可利用仔猪的初始重(记为x)与 其增重(记为y)的回归关系， 将仔猪增重都矫正 为初始重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪
增重的影响就消除了。由于矫正后的增重是应用
统计方法将初始重控制一致而得到的，故叫统计
于是，样本相关系数r可用均方MSx、MSy，
均积MPxy表示为：
r MPxy MS x MS y
上一张 下一张 主 页 退 出
（10-3）
相应的总体相关系数ρ 可用x与y的总体标 准差 x 、 y ，总体协方差COV(x,y)或 xy 表 示如下：
COV ( x, y)
x y
的乘积和，简称均积，记为MPxy，即
MPxy ( x x )( y y ) n 1
n 1
xy
( x)( y ) n 1 n
（10-2）
与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差
（covariance），记为COV(x,y)或 xy 。统 计学证明了，均积MPxy是总体协方差COV(x,y) 的无偏估计量，即 EMPxy= COV(x,y)。
第二节 单因素试验资料的协方差分析
设有k个处理、n次重复的双变量试验资料，
每处理组内皆有n对观测值x、y，则该资料为 具kn对x、y观测值的单向分组资料，其数据 一般模式如表10—1所示。
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退 出
表10—1 kn对观测值x、y的单向分组资料的 一般形式
表10—1的x和y变量的自由度和平方和的剖分参 见单因素试验资料的方差分析方法一节。其乘积和的 剖分则为：
2
2
(n 1)
（10-1） (n 1)
退 出
上一张 下一张 主 页
其中
2 ( x x )
n 1
是x的均方MSx，它是x的
2 方差 x 的无偏估计量；
2 ( y y )
n 1
是y的均方MSy，它是y的
2 方差 x 的无偏估计量；
( x x )( y y) 称为x与y的平均的离均差
控制。统计控制是试验控制的一种辅助手段。经
过这种矫正，试验误差将减小，对试验处理效应
上一张 下一张 主 页 退 出
估计更为准确。若 y 的变异主要由x的不同造成 (处理没有显著效应)，则各矫正后的y 间将没有 显著差异(但原y间的差异可能是显著的)。若 y 的变异除掉x不同的影响外， 尚存在不同处理的 显著效应，则可期望各y 间将有显著差异 (但原 y间差异可能是不显著的)。此外，矫正后的 y 和 原y的大小次序也常不一致。所以， 处理平均数 的回归矫正和矫正平均数的显著性检验，能够提 高试验的准确性和精确性，从而更真实地反映试 验实际。这种将回归分析与方差分析结合在一起， 对试验数据进行分析的方法，叫做协方差分析 (analysis of covariance)。
第十章 协方差分析
第一节 协方差分析的意义
上一张 下一张 主 页
退 出
协方差分析有二个意义 ， 一是对试验进行 统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分 述如下。 一、对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性 ，对处理 以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。 但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使 试验控制达到预期目的。例如：研究几种配合 饲料对猪的增重效果，希望试验仔猪的初始重 相同，因为仔猪的初始重不同，将影响到猪的 上一张 下一张 主 页 退 出 增重。经研
k
df t k 1
(10-6)
处理内的乘积和SPe是 xij 与x i . 和 y ij 与 y i . 的
离均差乘积之和，即：
1 k SPe ( xij xi .)( yij yi .) xij yij xi . yi . SPT SPt n i 1 i 1 j 1 i 1 j 1
y
二、估计协方差组分 在第八章曾介绍过表示两个相关变量线性相 关性质与程度的相关系数的计算公式：
r
( x x )( y y ) 2 2 ( x x ) ( y y )
若将公式右端的分子分母同除以自由度(n1)，得
r
( x x )( y y ) /( n 1) ( x x ) ( y y )
退 出
其中，
x.. xi ., y.. y i .,
i 1 i 1
k
k
x.. x..
kn y.. y.. kn
,Байду номын сангаас
处理间的乘积和SPt是 x i . 与x .. 和 y i . 与y.. 的 离均差乘积之和乘以n，即：
xi . y i . 1 k SPt n ( x i . x..)( y i . y..) x i . y i . n i 1 kn i 1
总变异的乘积和SPT是xji与 x ..和yji与 y.. 的离均 差乘积之和，即：
SPT ( xij x..)( y ij y..)
i 1 j 1 k n
k
n
x.. y.. xij y ij kn i 1 j 1
df T =kn-1
(10-5)
上一张 下一张 主 页
上一张 下一张 主 页 退 出
在随机模型的方差分析中，根据均方MS 和期望均方 EMS的关系， 可以得到不同变异 来源的方差组分的估计值。同样，在随机模型 的协方差分析中，根据均积 MP 和期望均积 EMP 的关系，可 得 到 不同变异来源的协方差 组分的估计值。有了这些估计值，就可进行相 应的总体相关分析。这些分析在遗传、育种和 生态、环保的研究上是很有用处的。 由于篇幅限制 ， 本章只介绍对试验进行统 控制的协方差分析。