几何综合题(一)

几何综合题（一）

1.如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．

（1）证明：△ACE∽△FBE；（2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

2.如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，∠ECF＝45°，CF交AD于点F，将△CBE绕点C 顺时针旋转到△CDP，点P恰好在AD的延长线上．

(1)求证：EF＝PF；(2)直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切吗？为什么？

3．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．

（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．

4．如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1=∠2，BF=BC．（1）求证：四边形BCEF是菱形；（2）若AB=BC=CD，求证：△ACF≌△BDE．

5．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

(1) 求∠ABD 的度数； (2)求线段BE的长．

6．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积．

7．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．

8．数学课上，吴老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当6

CP=时，EM与EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，

G，如图2，则可得：DF DE

FC EP

=，因为DE EP

=，所以DF FC

=.可求出EF和EG的值，进而可求得EM

与EN的比值.

(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小悦又对此题作了进一步探究，得出了DP MN

=的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.

9．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF

．（1）求证：BE = DF ；（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并

证明你的结论．

10．(1) 如图1,正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,∠AOF ＝90°，求证：BE ＝CF .

(2) 如图2,正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,∠FOH ＝90°, EF ＝4.求GH 的长..

(3) 点E ,H ,F ,G 分别在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上，EF ,GH 交于点O ,∠FOH ＝90°,EF ＝4. 直接写出下列两题的答案：①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长； ②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成,求GH 的长(用n 的代数式表示

).

11．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．

12．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED.（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长

的度数．

BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求EFD

13．如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E．F．已知BE=BP．求证：(1)∠E=∠F(2)□ABCD是菱形．

14．如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．

(1)求证：AC∥DE；(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．

15．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB 长相等，问在E、F移动过程中：

（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由．（2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．

几何综合题（一）答案

1． 解答：（1）∵Rt △AB′C′是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠

C′AB′，∴∠CAC′=∠BA B′，∴∠ACC′=∠ABB′，又∠AEC=∠FEB ，∴△ACE ∽△FBE ． （2）当β=2α时，△ACE ≌△FBE ．在△ACC′中，∵AC=AC′，

∴

在Rt △ABC 中，∠ACC′+∠BCE=90°，即90°-α+∠

BCE=90°，∴∠BCE=α，∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE ， ∴CE=BE ，由（1）知：△ACE ∽△FBE ，∴△ACE ≌△FBE ． 2．证明：（1）在正方形ABCD 中，∠BCD=90° 依题意△CDP 是△CBE 绕点C 旋转90°得到，∴∠ECP=90° CE=CP ∵∠ECF=45°，∴∠FCP=∠ECP －∠ECF=90°－45°=45°∴∠ECF=∠FCPCF=CF ，∴△ECF ≌△PCF 。∴EF=PF 。

(2) 相切. 理由：过点C 作CQ ⊥EF 于点Q 。由（1）得，△ECF ≌△PCF ，∴∠EFC=∠PFC 又CQ ⊥EF ，CD ⊥FP ，∴CQ=CD ∴直线EF 与以C 为圆心，CD 为半径的圆相切。

D

C B

A

O

E

3．（1）在正方形ABCD 中，∵BC=CD ，∠B=∠CDF ，BE=DF ，∴△CBE ≌△CDF ．∴CE=CF ．

（2）解：GE=BE+GD 成立．∵△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE=∠DCF ．∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD ． 即∠ECF=∠BCD=90°．又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF ，∠GCF=∠GCE ，GC=GC ， ∴△ECG ≌△FCG ．∴EG=GF ．∴GE=DF+GD=BE+GD ．

（3）解：过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，在直角梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∠A=∠B=90°， 又∠CGA=90°，AB=BC ，∴四边形ABCD 为正方形．∴AG=BC=12．已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG ，设DE=x ，则DG=x-4，∴AD=16-x ．在Rt △AED 中∵DE2=AD2+AE2，即x2=（16-x ）2+8×8解得：x=10．∴DE=10． 4．证明：（1）∵AD ∥FE ，∴∠FEB=∠2．∵∠1=∠2，∴∠FEB=∠1．∴BF=EF ．∵BF=BC ，∴BC=EF ． ∴四边形BCEF 是平行四边形．∵BF=BC ，∴四边形BCEF 是菱形．

（2）∵EF=BC ，AB=BC=CD ，AD ∥EF ，∴四边形ABEF 、CDEF 均为平行四边形．∴AF=BE ，FC=ED ． 又∵AC=2BC=BD ，∴△ACF ≌△BDE ．

5．解:⑴ 在菱形ABCD 中,AD AB =，︒=∠60A ∴ABD ∆为等边三角形 ∴︒=∠60ABD ⑵由（1）可知4==AB BD ，又∵O 为BD 的中点∴2=OB ，又∵AB OE ⊥，及︒=∠60ABD ∴

︒=∠30BOE ∴1=BE

6．（1）证明：∵∠AEF=90o

， ∴∠FEC+∠AEB=90o

．在Rt △ABE 中，∠AEB+∠BAE=90o

，∴∠BA E =∠FEC；

（2）证明：∵G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，∴AG=GB=BE=EC ，且∠AGE=180o －45o =135o

．

又∵CF 是∠DCH 的平分线，∠ECF=90o

+45o

=135o

．在△AG E 和△ECF 中，⎪⎩

⎪⎨

⎧∠=∠=∠=∠=FEC GAE ECF AGE EC AG o ,135,

∴△AG E ≌△ECF； （3）解：由△AG E ≌△ECF，得AE=EF ．又∵∠AEF=90o

，∴△AEF 是等腰直角三角形．由AB=a ，BE=

21a ，知AE=2

5a ，∴S △AEF =85a 2． 7．解：（1）四边形OCED 是菱形．∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED 是平行四边形，又 在矩形ABCD 中，OC=OD ，∴四边形OCED 是菱形． （2）连结OE ．由菱形OCED 得：CD⊥OE，∴OE∥BC，又 CE∥BD，∴四边形BCEO 是平行四边形，∴OE=BC=8，∴S 四边形OCED =1

186242

2

OE CD ⋅=⨯⨯=