北京理工大学数学专业微分几何2012级期末试题(MTH17071)(可编辑修改word版)

⎰ 课程编号：MTH17071 北京理工大学 2014-2015 学年第二学期

2012 级微分几何期末试题（回忆复原版）

一、设曲线 r = r (s )的挠率是一非零常数， s 是弧长参数，

1

求曲线 r (s )= (s )- (s )ds 的曲率和挠率。

二、设在曲线C : r = r (s )的所有法线上截取长度为

的一段，它们的端点的轨迹构成曲面 S ，称为围绕曲面 C 的管状曲面，其方程是

r

(s ,)= r (s )+ (cos ⋅(s )+ sin ⋅(s ))，其中 s 是曲线的弧长参数， (s ),(s )分别是曲线 C 的主法向量和次法向量，试研究此曲面上各种类型的点的分布。

三、证明：曲面 S 的平均曲率 H = 1 b g 。 2

四、求锥面 x 2 + y 2 - z 2 = 0 上的测地线。

五、写出 Gauss-Bonnet 公式，并说明其意义。 ∂ (x , y , z )

六、假定 x , y , z 是u , v , w 的光滑函数，证明 dx ∧ dy ∧ ∂ (u , v , w )

du ∧ dv ∧ dw 。

附：2012 级微分几何考题回忆

1.曲率，挠率

2.椭圆点，双曲点，抛物点

3.练习题第五章第一题

4.测地线

5.写出 gauss-bonnet 公式，以及意义

6.第七章倒数第二题