北京理工大学数学专业微分几何2012级期末试题(MTH17071)(可编辑修改word版)
⎰ 课程编号：MTH17071 北京理工大学 2014-2015 学年第二学期
2012 级微分几何期末试题（回忆复原版）
一、设曲线 r = r (s )的挠率是一非零常数， s 是弧长参数，
1
求曲线 r (s )= (s )- (s )ds 的曲率和挠率。
二、设在曲线C : r = r (s )的所有法线上截取长度为
的一段，它们的端点的轨迹构成曲面 S ，称为围绕曲面 C 的管状曲面，其方程是
r
(s ,)= r (s )+ (cos ⋅(s )+ sin ⋅(s ))，其中 s 是曲线的弧长参数， (s ),(s )分别是曲线 C 的主法向量和次法向量，试研究此曲面上各种类型的点的分布。
三、证明：曲面 S 的平均曲率 H = 1 b g 。
2
四、求锥面 x 2 + y 2 - z 2 = 0 上的测地线。
五、写出 Gauss-Bonnet 公式，并说明其意义。
∂ (x , y , z )
六、假定 x , y , z 是u , v , w 的光滑函数，证明 dx ∧ dy ∧ ∂ (u , v , w )
du ∧ dv ∧ dw 。
附：2012 级微分几何考题回忆
1.曲率，挠率
2.椭圆点，双曲点，抛物点
3.练习题第五章第一题
4.测地线
5.写出 gauss-bonnet 公式，以及意义
6.第七章倒数第二题。
北京理工大学2012-2013学年第一学期工科数学分析期末试题(A卷)试题2012-2(A)
1 北京理工大学2012-2013学年第一学期 工科数学分析期末试题(A 卷)一. 填空题（每小题2分, 共10分）1. 设⎪⎩⎪⎨⎧<≥++=01arctan 01)(x x x x a x f 是连续函数，则=a ___________.2. 曲线θρe 2=上0=θ的点处的切线方程为_______________________________.3. 已知),(cos 4422x o bx ax ex x ++=- 则_,__________=a .______________=b 4. 微分方程1cos2=+y dx dy x 的通解为=y __________________________________. 5. 质量为m 的质点从液面由静止开始在液体中下降, 假定液体的阻力与速度v 成正比, 则质点下降的速度)(t v v =所满足的微分方程为_______________________________.二. (9分) 求极限 210)sin (cos lim xx x x x +→.三. (9分) 求不定积分⎰+dx e xx x x )1arctan (12. 四. (9分) 求322)2()(x x x f -=在区间]3,1[-上的最大值和最小值.五. (8分) 判断212arcsin arctan )(x x x x f ++= )1(≥x 是否恒为常数. 六. (9分) 设)ln(21arctan 22y x x y +=确定函数)(x y y =, 求22,dxy d dx dy . 七. (10分) 求下列反常积分. (1);)1(122⎰--∞+x x dx (2) .1)2(10⎰--x x dx八. (8分) 一垂直立于水中的等腰梯形闸门, 其上底为3m, 下底为2m, 高为2m, 梯形的上底与水面齐平, 求此闸门所受到的水压力. (要求画出带有坐标系的图形)九. (10分) 求微分方程x e x y y y 3)1(96+=+'-''的通解.十. (10分) 设)(x f 可导, 且满足方程a dt t f x x x f xa +=+⎰)())((2 ()0(>a , 求)(x f 的表达式. 又若曲线)(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为,67π 求a 的值. 十一. (8分) 设)(x f 在]2,0[上可导, 且,0)2()0(==f f ,1sin )(121=⎰xdx x f 证明在)2,0(内存在ξ 使.1)(='ξf。
北京理工大学数学专业应用随机过程期末试题(MTH17096)
北京理工大学2012-2013学年第一学期2010级《应用随机过程》期末试题A 卷一、（15分）设随机过程()X t Yt Z =+，其中Y ,Z 是相互独立的()0,1N 随机变量，求()X t 的数学期望，协方差函数和一维概率密度函数。
二、（15分）设在(]0,t 内到达某商店的顾客数()X t 是具有强度（每分钟）为λ的泊松过程，求：（1）5分钟内来到的顾客数为2人的概率；（2）5分钟内到来的平均顾客数；（3）设T 为首位顾客到达的时间，计算概率()5P T >。
三、（15分）设质点在线段[]1,5的整数点上作随机游动，n X 表示质点在时刻n 所处的位置，其一步转移概率矩阵为：11000221100022100001110033301000P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
（1）若初始分布为11,,0,0,022⎛⎫ ⎪⎝⎭，求质点在时刻n=1的概率分布； （2）试讨论该Markov 链的状态分类及其各常返闭集的平稳分布。
四、（10分）设Markov 链的状态空间{}0,1,2,I = ，转移概率,10,111,i i i i p p a ---==，1001,1,2,,1i i i a i a ∞-=<<==∑ 。
（1）试证明该Markov 链是不可约常返链； （2）试给出此链正常返的充要条件，并求出状态0的平均返回时间。
五、（15分）某实验室有两台机器，每台机器发生故障的概率为μ，发生故障后立即修理，且在h 时间内机器从故障到正常的概率为()h o h λ+。
令()X t 表示t 时刻正常工作的机器数，则()X t 是一生灭过程。
（1）写出()X t 的Q 矩阵；（2）写出转移概率所满足的Kolmogorov 向前、向后方程；（3）求平稳分布。
六、（15分）设()()cos X t V at =+Θ，其中()0,2,0,1U EV DV πΘ== ，且,V Θ相互独立。
北京理工大学数学专业解析几何期末试题(MTH17014-H0171006)
北京理工大学数学专业解析几何期末试题(MTH17014-H0171006)课程编号：MTH17014 北京理工大学2011-2012学年第一学期2011级本科生解析几何期末试题A 卷姓名--------------，班级------------，学号--------------，题目一 二三四五六总分得分一，单选题(30分)1,已知空间三点A,B,C,下面哪个条件能确定A,B,C 四点共面( ) (a),空间任意一点O,三点满足 (b),空间任意一点O,三点满足(c),空间任意一点O,三点满足(d),空间任意一点O,三点满足2, 已知三向量满足下面哪个条件说明这三向量共面( )(a), , (b),, (c), , (d), .3,在一仿射坐标系中,平面,点A(1,-2,-1)和点B(2,-1,3).则下面说法正确的是( )(a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧;(c)线段AB 平行于平面π; (d)线段AB 垂直于平面π.4, 在仿射坐标系中,已知直线和直线,则下面说法正确的是( ).OA OB OC =+ 11.22OA OB OC =+0.OA OB OC ++= 110.23OA OB OC ++=,,,αβγ()0αβγ⋅=0.αββγγα⨯+⨯+⨯=()0αβγ⨯⨯=()()αβγβγα⨯∙=⨯∙:2430x y z π+++=2103260x z x y ++=⎧⎨+-=⎩2102140x y z x z +--=⎧⎨+-=⎩(a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合.5, 在仿射坐标系中,已知平面和直线,则下面说法正确的是( )(a)直线和平面平行; (b)直线和平面相交; (c)直线在平面上; (d)直线和平面垂直.6,在平面仿射坐标中,直线与轴相交,则( )(a),(b),(c),(d)7，在空间直角坐标系下，方程的图形是（ ）(a),椭球面；(b),单叶双曲面；(c),双叶双曲面；(d),锥面。
微分几何期末试题及答案
微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪一项不是微分几何的研究对象？A. 流形B. 曲线C. 曲面D. 代数方程2. 在微分几何中，下列哪个概念是用来描述曲线的弯曲程度？A. 切线B. 曲率C. 法向量D. 微分3. 给定一个曲面上的点，其邻域内的所有点都可以通过该点的哪种向量场来到达？A. 切向量B. 法向量C. 零向量D. 任意向量4. 以下哪个是微分几何中研究曲面局部性质的重要概念？A. 拓扑B. 度量C. 群论D. 线性代数5. 在曲面上，高斯曲率的计算公式是什么？A. K = R/(2π)B. K = R^2/(2π)C. K = det(II - e^(-2u) * I)D. K = det(I - e^(-2u) * II)6. 以下哪个是微分几何中研究曲面全局性质的重要概念？A. 曲率B. 度量C. 测地线D. 向量场7. 给定一个流形，其上的每一个点都有一组局部坐标，这组坐标被称为该点的什么？A. 切向量B. 法向量C. 坐标图D. 邻域8. 在微分几何中，哪种类型的曲面可以通过一个平面曲线的旋转来生成？A. 圆柱面B. 抛物面C. 双曲面D. 椭球面9. 以下哪个是微分几何中研究曲面上最短路径的概念？A. 测地线B. 切线C. 法线D. 曲率10. 微分几何中的“黎曼几何”主要研究的是什么类型的几何结构？A. 欧几里得空间B. 黎曼流形C. 仿射空间D. 射影空间二、简答题（每题10分，共40分）11. 请简述什么是流形，并给出一个具体的例子。
12. 解释什么是度量张量，并说明它在微分几何中的作用。
13. 描述一下什么是测地线，并说明它在曲面上的性质。
14. 阐述高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）的意义及其在微分几何中的重要性。
三、解答题（每题15分，共30分）15. 给定一个曲面上的两点A和B，证明通过A点的任意一条测地线都可以延伸到B点。
北京理工大学数学专业微分几何2012级期末试题(MTH17071)
课程编号：MTH17071 北京理工大学2014-2015学年第二学期
2012级微分几何期末试题（回忆复原版）
一、设曲线()r r s =的挠率τ是一非零常数，s 是弧长参数，
求曲线()()()1
r s s s ds βγτ=-⎰ 的曲率和挠率。
二、设在曲线():C r r s =的所有法线上截取长度为λ的一段，它们的端点的轨迹构成曲面
S ，称为围绕曲面C 的管状曲面，其方程是()()()()(),cos sin r
s r s s s θλθβθγ=+⋅+⋅ ，其中s 是曲线的弧长参数，()(),s s βγ分别是曲线C 的主法向量和次法向量，试研究此曲面上各种类型的点的分布。
三、证明：曲面S 的平均曲率12
H b g αβαβ=。
四、求锥面2220x y z +-=上的测地线。
五、写出Gauss-Bonnet 公式，并说明其意义。
六、假定,,x y z 是,,u v w 的光滑函数，证明()()
,,,,x y z dx dy dz du dv dw u v w ∂∧∧=∧∧∂。
附：2012级微分几何考题回忆
1.曲率，挠率
2.椭圆点，双曲点，抛物点
3.练习题第五章第一题
4.测地线
5.写出gauss-bonnet 公式，以及意义
6.第七章倒数第二题。
北京理工大学数学专业数学分析Ⅱ试题(MTH17002)
2011级数学专业数学分析Ⅱ阶段测验一试题1.设(),,ln arctanyxf x y z x y z z =++，O 为坐标原点。
（1）求f 在()2,1,2P -点沿方向PO的方向导数；（2）求f 在()2,1,2P -点沿方向PM的方向导数为0的点M 的轨迹方程。
2.设(),z z x y =是由方程()2222,0f x z y x --=确定的可微的隐函数，其中(),f u v 具有连续的一阶偏导函数，求z zyx x y∂∂+∂∂并化为最简形式。
3.设()22,2z f xy x y =-，其中f 有二阶连续偏导数。
又。
求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂。
4.设(),f x y =，求()()0,0,0,0x y f f ''。
又问：f 在()0,0点是否可微？5.设函数(),z z x y =有连续的二阶偏导数且满足方程2222220u u x y x y ∂∂-=∂∂，做变换,xxy yξη==。
设()(),,z x y ϕξη=，试求函数ϕ满足的方程。
6.设()()22,22ln z f x y x xy y y x ==-++-，求f 在()1,2点邻域内带Peano 型余项的二阶Taylor 公式。
7.设()20,,,0s x t a u x t e ds x t -=∈> ，求222u u a t x ∂∂-∂∂。
8.设f 在)},|,x y a x b c y d Ω=<<<<内有定义，f 关于y 的偏导函数y f '在Ω内存在且有界，又设对每个固定的()0,y c d ∈，()0,f x y 关于x 在(),a b 内连续，求证：f 在Ω内连续。
9.设f 在平面区域(){},01,01x y x y Ω=<<<<内定义。
（1）叙述f 在Ω内一致连续的严格含义；（2）叙述极限()0lim ,x y f x y →+→+存在的Cauchy 收敛准则；（3）设f 在区域Ω内一致连续，求证：极限()00lim ,x y f x y →+→+必存在；（4）求证：(),xf x y y =在区域Ω内不一致连续。
（完整word版）北京理工大学数学专业泛函分析期末试题（MTH17060）
（完整word版）北京理⼯⼤学数学专业泛函分析期末试题（MTH17060）北京理⼯⼤学2012-2013学年第⼀学期2010级泛函分析试题（A 卷）⼀、（10分）设T 是赋范线性空间X 到⾃⾝的线性映射。
证明以下三条等价：（1）T 连续；（2）T 在零点连续；（3）T 有界。
⼆、（10分）设H 是Hilbert 空间。
证明：（1）若n x x →，则对于任意固定的y H ∈，()(),,n x y x y →；（2）若n x x →，n y y →，则()(),,n n x y x y →。
三、（10分）设H 是Hilbert 空间，()A B H ∈且存在0m >使得()2,,x H Ax x m x ?∈≥，证明：存在()1A B H -∈。
四、（10分）设H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性⼦空间。
证明：M 在H 中稠密的充分必要条件是{}M θ⊥=。
注：M 仅为H 的⼦集时充分性不成⽴，试举反例五、（15分）设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体，对于[]0,1f C ∈，令[]()0,1max x f f x ∈=。
证明：（1）[]0,1C 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间；（2）对于[]0,1t ∈，令()()t F f f t =，则t F 是[]0,1C 上线性有界泛函，求t F 。
六、（15分）设[]2,0,1,1,2,k f f L k ∈=L ，且[],..0,1k f f a e →。
证明：lim k k f f →∞=当且仅当lim 0k k f f →∞-=，其中()[][]12220,1,0,1f f x dx f L ?? ?=∈ ?。
七、（15分）设12,f f 是Hilbert 空间H 上的线性⽆关的线性有界泛函，12ker ker M f f =I。
证明：（1）M 是闭的线性⼦空间；（2）存在12,y y H ∈使得对于x H ∈，有01122x x y y λλ=++，其中0x 为x 在M 上的正交投影，12,λλ∈￡。
(完整word版)北京理工大学数学专业泛函分析期末试题(MTH17060)
北京理工大学2012-2013学年第一学期2010级泛函分析试题（A 卷）一、（10分）设T 是赋范线性空间X 到自身的线性映射。
证明以下三条等价： （1）T 连续； （2）T 在零点连续； （3）T 有界。
二、（10分）设H 是Hilbert 空间。
证明： （1）若n x x →，则对于任意固定的y H ∈，()(),,n x y x y →； （2）若n x x →，n y y →，则()(),,n n x y x y →。
三、（10分）设H 是Hilbert 空间，()A B H ∈且存在0m >使得()2,,x H Ax x m x ∀∈≥，证明：存在()1A B H -∈。
四、（10分）设H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间。
证明：M 在H 中稠密的充分必要条件是{}M θ⊥=。
注：M 仅为H 的子集时充分性不成立，试举反例 五、（15分）设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体，对于[]0,1f C ∈， 令[]()0,1max x f f x ∈=。
证明：（1）[]0,1C 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间；（2）对于[]0,1t ∈，令()()t F f f t =，则t F 是[]0,1C 上线性有界泛函，求t F 。
六、（15分）设[]2,0,1,1,2,k f f L k ∈=L ，且[],..0,1k f f a e →。
证明：lim k k f f →∞=当且仅当lim 0k k f f →∞-=，其中()[][]12220,1,0,1f f x dx f L ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪⎝⎭⎰。
七、（15分）设12,f f 是Hilbert 空间H 上的线性无关的线性有界泛函，12ker ker M f f =I。
证明：（1）M 是闭的线性子空间；（2）存在12,y y H ∈使得对于x H ∈，有01122x x y y λλ=++，其中0x 为x 在M 上的正交投影，12,λλ∈£。
【数学】北京理工大学数学专业数学析试题MTHMTH
【关键字】数学课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期2014.11.32013级数学专业数学分析Ⅲ阶段测验（一）试题1.设是中的调和函数，S是中任意的分片光滑闭曲面。
求证：，其中和分别表示函数和沿S 外法线方向的方向导数。
2.叙述正项级数敛散性的比较判别法和D’Alembert比值判别法，并利用前者证明后者。
3.判断下列级数的敛散性：（1）（2）（3）（4）（5）4.设。
又设广义极限存在。
求证：当（含）时，级数收敛；当（含）时，级数发散。
5.研究级数的敛散性，包括绝对收敛性和条件收敛性，其中是实参数。
6.设收敛，其中R>0，求证：对一切，绝对收敛。
7.设，且有极限。
求证：数列收敛，且。
8.设存在，又设绝对收敛。
求证：。
课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期2014.112013级数学专业数学分析Ⅲ期中试卷一、（15分）（1）设数项级数与均绝对收敛，问：是否一定收敛？为什么？如果收敛，绝对收敛，那么是否一定收敛？为什么？（2）设，绝对收敛，又设的n次部分和序列有界，求证：收敛。
2、（10分）设单调递减，且；又设是任意固定的正整数，求证：收敛当且仅当收敛。
三、（15分）设对每一个自然数n，函数在数集E内有定义，（1）用肯定语气叙述函数项级数在数集E内不满足一致收敛的Cauchy准则的严格含义；（2）设存在数列和，满足，都有，且数项级数与均收敛，试利用一致收敛的Cauchy准则证明函数项级数在数集E内一致收敛。
四、（10分）设，求证：收敛。
五、（15分）研究函数项级数的敛散性，包括绝对收敛和条件收敛，并证明：（1）函数项级数的和函数在其收敛域内连续；（2）函数项级数在其收敛域内不一致收敛。
六、（10分）设。
（1）求证：函数序列在中内闭一致收敛；（2）用两种方法证明在内不一致收敛。
七、（15分）（1）求幂级数的收敛域及和函数；（2）求函数的Maclaurin级数展开式并确定收敛区间。
北京理工大学数学专业高等代数期末试题MTH
2009级数学类高等代数期末考试试题A 卷班级 学号 姓名 成绩一、（25分）设()n n M F ⨯表示域F 上的所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。
取定()n n A M F ⨯∈，对于任意的()n n X M F ⨯∈，定义()X AX XA σ=-。
（1）证明：σ为()n n M F ⨯上的一个线性变换。
（2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ⨯∈都有()()()XY X Y X Y σσσ=+。
（3）当a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求σ在给定基 1112212201101111,,,11110110F F F F ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵表示。
（4）当1402A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求()Ker σ的一组基与维数。
二、（15分）设数域K 上3维线性空间V 的线性变换A 在V 的一个基123,,ααα下的矩阵为010440212A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
求线性变换A 的Jordan 标准形。
三、（20分）设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：（1）如果W 是A 的一维不变子空间，那么W 中任何一个非零向量都是A 的特征向量；反之，如果ξ是A 的一个特征向量，那么ξ生成的子空间ξ<>是A 的一维不变子空间。
（2）A 可以对角化的充分必要条件是V 可以分解成A 的一维不变子空间的直和。
四、（20分）设22()V M F ⨯=，在V 中取一个基11122122,,,E E E E 。
（1）求它的对偶基11122122,,,f f f f ，要求写出ij f 的表达式。
（2）求V 上任意一个线性函数f 的表达式。
五、（20分）证明：n 维酉空间V 上的线性变换A 是Hermite 变换A 当且仅当在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite 矩阵。
班级 学号 姓名 成绩一、（15分）设()n n M F ⨯为数域F 上所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。