高中数学化归与转化的思想在解题中的应用
转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究
转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究【摘要】：随着科技、经济的迅速发展,数学在不同领域的应用日益广泛,数学教育成为世界各国关注的重点。
数学思想方法是数学学科的精髓,是分析与解决问题的理论基础,而转化与化归思想是数学中最重要的思想之一。
数学解题过程中处处渗透着转化与化归思想,学生解题能力的高低很大程度上也取决于其转化与化归能力的强弱。
笔者身处高中一线教学,结合教育教学实践经验以及调查分析,发现目前高中生数学解题中的转化与化归能力相对欠缺,影响学生解题能力的提升。
笔者希望本文的研究能够给一线教师提供一定的借鉴作用,对于提高学生的解题能力提供一定的帮助。
首先,笔者通过文献参考,了解转化与化归思想在国内外的研究现状,分析转化与化归思想的本质和内涵、转化与化归的原则、以及高中数学解题中转化与化归的常用方法。
简单来说,转化与化归思想就是通过观察、分析、类比、联想等思维过程把数学中需要解决的问题,遵循熟悉化、简单化、直观化等原则,选择合适的方法进行转化,然后归结到某些已经解决或比较容易解决的问题的一种思想方法。
其次,通过访谈和调查问卷,以我校部分教师和学生为研究对象,分别从教师和学生的角度研究转化与化归思想在高中数学中的应用现状。
研究表明,目前高中教师能够认识到转化和化归思想在高中数学解题中的重要作用。
但是,不少教师本身对于转化与化归思想缺乏系统深入的研究,教学过程渗透有限。
大部分学生的转化与化归能力仍然有待提高。
然后,结合教学实践经验,从高中数学中的数列、立体几何、函数、解析几何以及不等式几个方面,分析转化与化归思想的渗透策略。
这里重点选取近几年高考试题中一些具有代表性的问题,结合学生解题过程中存在的问题,具体分析老师在教学过程中的处理方式以及实践效果。
并提供《常见的递推数列通项公式的求法》解题教学案例,对课堂实践情况进行了详细分析。
最后,结合调查研究,笔者提出几点教学建议。
一要相信学生,给他们更多实践的机会;二要深入挖掘教材,感悟化归思想;三要注重概念、定理、公式等基础知识的教学,并注重知识之间的联系;四是通过变式训练引导学生应用化归思想;五是加强一题多解和多解归一的训练;六是引导学生及时归纳总结。
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析化归思想是高中数学解题中常用的一种方法，通过分析问题的特点，找到问题的本质，将复杂问题化为简单问题，从而更好地解决问题。
化归思想在高中数学解题中的应用非常广泛。
以代数与函数为例，化归思想可以用来解决方程与不等式的问题。
对于一元一次方程，我们可以通过变量的代换，将复杂的方程化为简单的线性方程，从而求解变量的值；对于一元二次方程，我们可以通过配方法，将其化为完全平方，并进行因式分解，从而求解变量的值。
同样，在不等式解题中，化归思想也非常有用。
我们可以通过变量的移项与配方法，将一元二次不等式化为完全平方不等式，从而求解变量的取值范围。
化归思想在几何解题中也有重要的应用。
在相似三角形的解题中，我们可以通过观察相似三角形的对应边比值的特点，将问题化简为类似的三角形问题，从而更好地求解相关角度或边长；在证明几何定理中，通过化归思想，可以将复杂的证明问题转化为简单的等价命题或已知定理的推论，从而简化证明过程，并提高证明的准确性和完整性。
化归思想在数列与数学归纳法的应用中也是非常重要的。
通过找到数列的通项公式，我们可以将数列的求和问题化为一元方程或求和公式的运算，从而得到数列的和；通过化归思想，我们可以将数学归纳法的问题化为一般命题的证明问题，从而更好地理解数学归纳法的原理与应用。
化归思想还可以在概率与统计等领域中发挥重要作用。
在概率问题中，通过化归思想，我们可以将复杂事件的概率计算问题化为简单事件的概率计算问题，从而更好地求解概率问题；在统计问题中，通过化归思想，我们可以将复杂的统计数据化简为简单的数据形式，从而更好地进行数据分析与统计推断。
化归思想在高中数学解题过程中是非常有效的方法。
通过将复杂问题化为简单问题，我们可以更好地理解问题的本质，更准确地解决问题。
化归思想的运用对于提高高中数学解题能力是非常重要的。
化归思想的运用也能够帮助学生培养逻辑思维能力，提高问题分析与解决问题的能力。
例谈“转化与化归”思想在高中数学解题中应用
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例谈“ 转化与化归 ’ ’ 思想 在高中数学解题中应用
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转化与化归思想在高中数学中的应用
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转化就 是数学命题 由一种形式 向另一种形式 的 变换过 程 ，化 归就是把待解决 的问题通过某种转化 过程归结 为一类 已经解决 或 比较容 易解决 的问题 。 转化与化 归思想是 中学数 学最基本 的思想方 法 ， 堪 称数学思想的精髓 所在 ， 因为数形结合思想 、 函数与 方程思想 、分类讨论 思想都是转化与化 归思 想的具 体体现 ， 各种变换 的方法 、 分析法 、 反证法 、 待定系数 法、 构造法等都是转化与化归 的手段 。 下面谈 谈转 化与化归思想 在高中数 学应 用中主 要 涉及 的 基 本类 型 。
１ ． 正 与 反 的 相 互 转 化
表 面看来似乎 只有相 等的数量关 系 ，根据这些相 等 关系又难以解决 问题 ， 但若能挖掘其 中的不等关系 ， 建立不等式（ 组） ， 往往能获得简捷求解的效果 。
例３ 已知都是实数 ，且０ 、 ｖ ／ Ｔ 二 ＋ ６ 、 嚼 ＝ １ ， 求证 ： ａ ２ ＋ ｂ ２ ： １ 。 分析 ： 利用均值不等式先得到一个不等关系 ， 再 结合已知中的相等关系寻求ｎ 与６ 之 间的关系 。
解： ． ． ． ０ ～
’ ． ．
≤
２
， ６ ～
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２
．
ａ ｘ ／ １ 一 ｂ ＋ ６ ｘ ／ １ 一 ａ ２ ≤１ 。又 ａ ｘ ／ １ 一 ｂ ＋ ６ 、 ／ １ 一 ＝
对于那些从“ 正面进攻 ” 很难奏效或运算 比较繁 琐的问题 ， 可先攻其反 面， 运用补集思想从而使正面 得 以解 决 。 例 １ 某 射手射击 １ 次击 中目标 的概率 是０ ． ９ ， 他 连续射击４ 次且 他各次射击 是否击 中 目标是相 互独 立 的， 则他至少击 中 目标 １ 次的概率为— — 。 分析 ： 至少击 中 目标一次 的情况包括 １ 次、 ２ 次、 ３ 次、 ４ 次击 中 目标 共 四种情 况 ，可转 化 为其对 立事 件—— “ 一次都未 中” 来求解 。 略解 ： 由上述 分析可知 ， 他 四次射击 未中 １ 次 的 概率Ｐ ｉ ＝ Ｃ ４ ０ ． １ ＝ Ｏ ． １ ４ ， 他至少 射击 击 中 目标 １ 次 的概率 为 １ 一 Ｐ １ ＝ １ —
化归与转化思想在高中数学解题中的应用
所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。
在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这就是转化的思想方法。
转化思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决，其思维过程的形式如下图：转化具有多向性、层次性和重复性的特点。
为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性，转化原则既可应用于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性，而解决问题中可以多次地使用转化，使问题逐次达到规范化，这是转化原则应用的重复性。
转化思想方法包含三个基本要素：1、把什么东西转化，即转化的对象；2、转化到何处去，即转化的目标；3、如何进行转化，即转化的方法。
转化思想方法应遵循以下五条原则：1、熟悉化原则，将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解。
2、简单化原则，将复杂问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
3、和谐化原则，转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。
4、直观化原则，将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
5、正难侧反原则，当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性。
转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究
转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究摘要：转化和化归思想是高中数学思想中很重要的一种思想，运用好转化和化归思想对于提高学生的数学思维能力和发展学生的数学应用意识都有很大的帮助。
掌握常见的转化与化归方法、运用原则和解题策略，以及思考如何提高转化与化归思想的运用能力，这些都是促进学生学习高中数学的重要因素。
关键词：转化与化归思想；高中数学；应用转化和化归思想简单来说就是在处理问题时，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或者比较容易解决的问题，最终求解出原问题的思想方法。
转化和化归的目的是简化问题。
转化与化归思想从某种意义上来说培养了一种透过问题看本质的能力，促进学生运用已有的知识储备和缜密的思维去发现问题、转化问题，从而寻找更好的路线来解决问题。
转化与化归思想为各类问题的解决提供了不计其数的方法，以此可见掌握好转化与化归思想的意义重大。
在高中数学学习过程中熟练运用转化与化归思想，对于促进学生的数学学习是大有裨益的。
一、注重变量之间的转化与化归在高中数学中，各种变量和公式的运用都是比较开放的，这就需要学生全面掌握各个知识点，并达到灵活运用的程度，否则就会不断降低学生的学习效率，其问题也难以得到有效解决。
同时，学生还要找到问题的契合点，通过公式以及变量之间的转化和化归，以此来得到问题的最终答案。
如果满足了一定要求和条件，变量的值也可以作为常量来使用，这样就能使复杂的问题简单化，学生理解起来也比较容易。
对于问题的教学，以及数学转化与化归思想的学习，教师都要给予一定引导和帮助，尤其是在面对一些教学难点时，教师应该发挥自身的指导作用，帮助学生扫清障碍，从而实现数学变量之间的转化。
比如，在求不等式x2+px+1>2x+p恒成立的x的取值范围时，学生就可以利用变量之间的转换，把不等式看作是关于P的一次不等式，就能达到化繁为简的目的，问题的解决也会更加顺利。
高中阶段与函数有关的问题比较多，而且比初中和小学时期的知识更加复杂，更加难以理解，如果不通过转化与化归思想解决问题，会使其解决起来比较麻烦，也在一定程度上降低了学生的学习效率。
浅谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用
浅谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用作者：黄庆彬来源：《新课程》2021年第12期新课程标准明确提出了高中生通过数学课程的学习要达到获“四基”、提“四能”的目标。
获“四基”，即学生获得数学基础知识、基本的技能、思想和活动经验;提“四能”，即提高学生从数学角度发现并提出问题、分析和解决问題的四种能力。
纵观近年来高考数学试题的编制及考查的内容，都很好地反映了课程改革理念，加大了数学思维能力的考查，注重学科思想方法的运用，这就要求教师在数学教学中要“两手抓”，既要加强基础知识与基本技能的教学，又要注意以素养为导向，以能力为重，加大各种思想方法的渗透。
在中学数学思想方法中，最基本、最核心的就是化归与转化思想，它是解决数学问题思想方法的精髓。
化归与转化，即运用转化、归结的数学手段，通过一定的数学过程，把一个复杂、陌生或者未解决的问题转化到已解决或较易解决的问题上来，从而破解原问题的一种方法。
数学家笛卡尔对此方法给予了高度评价，称之为解决数学问题的万能方法。
它对培养学生的解题能力和数学素质起至关重要的作用，故教师在平时教学中应注意引导学生抓基础与注重转化能力的培养两者并重，这是学好数学的金钥匙。
以下便是其模式。
一、高中数学中应用转化与化归思想遵循的原则应遵循4个原则：（1）熟悉化原则，即“化生为熟”，把陌生问题转化成熟悉问题。
（2）简单化原则，即“化繁为简”，把复杂问题转化成简单问题。
（3）直观化原则，即“化抽象为直观”，把较抽象的问题转化为较直观的问题（如数形结合思想，立体几何问题转化成平面几何问题）。
（4）正难则反原则。
若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法，或用逆否命题间接地解决问题。
二、高中数学中常见的转化与化归方法共有10种：在解决数学问题时，有的可用直接转换法、换元法、数形结合法，有的可用参数法、构造法、坐标法，还有的可用类比法、特殊法、一般化、等价转换法来解。
这些方法在一些题目中可能单独使用，也可能相互交叉使用，是不能完全分割开的。
“转化与化归”思想在高中数学解题教学中的应用
解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀转化与化归 思想在高中数学解题教学中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李㊀硕㊀㊀转化与化归 思想是高学数学中的一种重要的数学思想,运用非常广泛,尤其是一些特殊的问题,运用 转化与化归 思想解题可以提高效率,同时还可以降低问题解决的难度．因此,在数学课堂引入并应用转化与化归思想,能够让学生在学习数学及解题的过程中,加深对数学概念的理解,同时也能有效锻炼数学思维,提高学习效率,进一步发展数学核心素养．在高中数学的解题过程中,基于 转化与化归 思想的三大原则,主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化㊁命题的等价转化,以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等一些常见的转化方法．１特殊与一般的转化将一般问题进行特殊化处理,可使问题的解决变得更为直接和简便,并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维;除此之外,对特殊性问题进行概括性研究,实现特殊问题一般化,也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律,并能有效地解决特殊性问题．例１㊀ 蒙日圆 涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a ＝１(a ＞０)的离心率为１２,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(㊀㊀)．A．x ２＋y ２＝９㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ２＋y ２＝７C ．x ２＋y ２＝５D．x ２＋y ２＝４分析:根据题目中的已知条件,在椭圆上,两条相互垂直的切线可以随意选择,但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的,也即答案是唯一的．由此,可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路,不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题．解:因为椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a＝１(a ＞０)的离心率为１２,所以１a ＋１＝１２,解得a ＝３．所以椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１,且椭圆C 的上顶点为A (０,３),右顶点为B (２,０),则椭圆在A ,B 两点的切线方程分别为y ＝３和x ＝２,这两条切线的交点坐标为M (２,３)．由题意可知,交点M 必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得与椭圆C 同心的圆的半径r ＝２２＋(３)２＝７．所以椭圆C 的蒙日圆方程为x ２＋y ２＝７．故选:B ．以问题的特征为依据,对命题进行转化,将原问题转化为与之相关的㊁容易解决的新问题,这也是解决数学问题常见的转化思路,并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力．２命题的等价转化把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化,化难为易,是解决较难问题常用的转化手段．其主要方法包括:数与形的转化㊁正与反的转化㊁常量与变量的转化㊁图形形体及位置的转化等．例２㊀由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,得m 的取值范围是(－ɕ,a ),则实数a 的值是．分析:利用转化思想可以将命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０ 是假命题转化为 对任意x ɪR ,e|x －１|－m ＞０是真命题,由此得出m ＜e |x －１|恒成立,进而通过m 的取值范围来求a 的值．解:由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,可知 对任意x ɪR ,e |x －１|－m ＞０是真命题,由此可得m 的取值范围是(－ɕ,１),而(－ɕ,a )与(－ɕ,１)为同一区间,故a ＝１．例３㊀若对于任意t ɪ[１,２],函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是．分析:根据函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,可以利用正难则反的转化思想先找出g (x )在(t ,３)上单调的条件,再利用补集思想求出m 的取值范围．８５２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解:求得g ᶄ(x )＝３x ２＋(m ＋４)x －２．若g (x )在(t ,３)上单调递增,则g ᶄ(x )ȡ０,即３x ２＋(m ＋４)x －２ȡ０,亦即m ＋４ȡ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立．故m ＋４ȡ２t－３t 在t ɪ[１,２]上恒成立,则m ＋４ȡ－１,即m ȡ－５．若g (x )在(t ,３)上单调递减,则g ᶄ(x )ɤ０,即m ＋４ɤ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立,所以m ＋４ɤ２３－９,即m ɤ－３７３．综上,符合题意的m 的取值范围为－３７３＜m ＜－５．根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路;对复杂问题采用正难则反的转化思想,更有利于问题得到快速解答．３函数㊁方程㊁不等式之间的转化函数与方程㊁不等式之间有着千丝万缕的关联,通过结合函数y ＝f (x )图象可以确定方程f (x )＝０,不等式f (x )＞０和f (x )＜０的解集．例４㊀若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A．l n (y －x ＋１)＞０B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０D．l n |x －y |＜０分析:由题意,可将２x －２y＜３－x －３－y 转化为２x －３－x ＜２y－３－y ,进而实现不等式与函数之间的转化,从而解得答案．解:由２x －２y ＜３－x －３－y ,得２x －３－x ＜２y －３－y ．故构造函数y ＝２x －３－x ,即y ＝２x －(１３)x．由于函数y ＝２x－(１３)x 在R 上单调递增,因此x ＜y ,即y －x ＋１＞１．所以l n (y －x ＋１)＞l n １＝０．故选择:A ．例５㊀已知函数f (x )＝e l n x ,g (x )＝１ef (x )－(x ＋１)．(e ＝２．７１８ )(１)求函数g (x )的最大值;(２)求证:１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．分析:第(１)问要求函数g (x )的最大值,关键在于需要运用转化与划归思想,通过g ᶄ(x )得出函数g (x )单调性,即可求出g (x )的最大值．将第(１)问得出的g (x )最大值－２转化成l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立),再利用换元法最终证明出结论．解:(１)由g (x )＝１ef (x )－(x ＋１),即g (x )＝l n x －(x ＋１),得g ᶄ(x )＝１x－１(x ＞０)．令g ᶄ(x )＞０,则０＜x ＜１;令g ᶄ(x )＜０,则x ＞１．所以,函数g (x )在区间(０,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故g (x )的最大值为＝g (１)＝－２．(２)证明:由(１)知x ＝１是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,故g (x )ɤg (１)＝－２．所以l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立)．令t ＝x －１,则有t ȡl n (t ＋１)(t ＞－１)．取t ＝１n (n ɪN ＋),则有１n ＞l n (１＋１n)＝l n(n ＋１n )．故１＞l n２,１２＞l n ３２,１３＞l n ４３,,１n＞l n(n ＋１n )．上面n 个不等式叠加,得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (２ˑ３２ˑ４３ˑ ˑn ＋１n)＝l n (n ＋１)．故１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．在分析此类题目的过程中,利用函数㊁方程㊁不等式进行转化与化归更有利于问题的解决,因此,利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密,同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助．转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥,为高中数学问题的解决提供了多种思路,对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用,值得我们不断地探索与研究．因此,在解决高中数学问题的过程中,要灵活运用 转化与化归 的解题思想．有些数学问题看似复杂,但通过分析可知出题者采用的是 障眼法 ,其中有的是多余或无用的条件．同时,在高中数学课堂教学中,教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想,加强学生在特殊与一般转化㊁命题的等价转化以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等方面的技能,逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识,最大程度提高解题效率．Z９５。
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高中数学化归与转化的思想在解题中的应用
一、知识整合
1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
3．转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。
4．化归与转化应遵循的基本原则：
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
二、例题分析
例1．某厂2010年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（）
A. m>N
B. m<N
C.m=N
D.无法确定[分析]每月的利润组成一个等差数列{a n}，且公差d＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b n}，且公比q
＞1。
11a b =，且1212a b =，比较12S 与12T 的大小。
若直接求和，很难比较出其大小，但
注意到等差数列的通项公式a n =a 1+（n-1）d 是关于n 的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。
等比数列的通项公式b n =a 1q n-1是关于n 的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。
在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出a i ≥b i 则12S ＞12T ，即m ＞N 。
[点评]
把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。
在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。
例2．如果，三棱锥P —ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=l ，PA ，BC 的公垂线ED=h ．求
证三棱锥P —ABC 的体积216
V l h =． 分析：如视P 为顶点，△ABC 为底面，则无论是S △ABC 以及高h 都不好求．如果观
察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．
解：如图，连结EB ，EC ，由PA ⊥BC ，PA ⊥ED ，ED ∩BC=E ，可得PA ⊥面ECD ．这样，截面ECD 将原三棱锥切割成两个分别以ECD 为底面，以PE 、AE 为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l ，所以
V P －ABC =V P －ECD +V A －ECD =13S △ECD •AE+13S △ECD •PE=13S △ECD •PA=13•12BC ·ED ·PA=216
V l h =． 评注：辅助截面ECD 的添设使问题转化为已知问题迎刃而解．
例3．在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为( )． (A)160 (B)240 (C)360 (D)800
分析与解：本题要求25(32)x x ++展开式中x 的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x 系数的计算用上述两种思路进行转化：
思路1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则25(32)x x ++展开式是一个关于x 的10次多项式，25(32)x x ++ =(x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2)，它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x 并在其
余四个括号中均选 择常数项2相乘得到，故为15C ·(3x)·44C ·24=5×3×16x=240x ，
所以应选(B)．
思路 2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算，∵x 2+3x+2=x 2+ (3x+2)=(x 2+2)+3x=(x 2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，∴这条思路下又有四种不同的化归与转化方法．①如利用x 2+3x+2=x 2+(3x+2)转化，可以发现只有55C (3x+2)5中会有x 项，即45C (3x)·24=240x ，故选(B)；②如利用x 2+3x+2= (x 2
+2)+3x 进行转化，则只15C (x 2+2) 4·3x 中含有x 一次项，即15C ·3x ·C 44·24=240x ；③如利
用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化，就只有45C ·(x 2+3x)·24中会有x 项，即240x ；④
如选择x 2+3x+2=(1+x)(2+x)进行转化，25(32)x x ++=5(1)x +×5(2)x +展开式中的一次项x 只能由(1+x)5中的一次项乘以(2+x)5展开式中的常数项加上(2+x)5展开式中的一
次项乘以(1+x)5展开式中的常数项后得到，即为15C x ·55C 25+15C •24•x •05C •
15=160x+80x=240x ，故选(B)．
评注：化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。
例4．若不等式243x px x p +>+-对一切04p ≤≤均成立，试求实数x 的取值范围。
解： 243x px x p +>+- ∴2(1)430x p x x -+-+>
令()g p =2(1)43x p x x -+-+，则要使它对04p ≤≤均有()0g p >，只要有
(0)0(4)0g g >⎧⎨>⎩
3x ∴>或1x <-。
点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。
但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问
题迎刃而解。
本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。
三、总结提炼
1．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。
“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。
2．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。