高中数学解题思想之分类讨论思想

合集下载

高中数学分类讨论思想方法

高中数学分类讨论思想方法高中数学分类讨论思想方法是高中数学教学中一种重要的解题思路和方法。

它通过从不同的角度和不同的方法分析问题，使得解决问题更加全面和灵活。

分类讨论思想方法在高中数学中应用广泛，涉及到许多数学概念和技巧。

下面我将结合具体的例子，对高中数学分类讨论思想方法进行详细的介绍。

首先，分类讨论思想方法的基本思路是将问题分成若干个子问题，每个子问题用不同的方法进行求解或分析。

这样做可以把原本比较复杂的问题转化为几个较简单的子问题，从而更好地理解和解决。

例如，考虑一个常见的二次方程问题：求解方程$x^2-5x+6=0$。

首先，我们可以分类讨论这个方程的根的情况。

根据二次方程的求根公式，方程的根可以分为以下几种情况：1. 当 $\Delta=0$ 时，方程有两个相等的实根。

此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta=0$，所以方程有两个相等的实根。

根据求根公式$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得方程的两个根为$x_1=x_2=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\frac{5}{2}$。

2. 当 $\Delta>0$ 时，方程有两个不相等的实根。

此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta>0$，所以方程有两个不相等的实根。

根据求根公式$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得方程的两个根为$x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot1}=2$ 和$x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot1}=3$。

3. 当 $\Delta<0$ 时，方程没有实根。

此时，$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=1$，由于 $\Delta<0$，所以方程没有实根。

高中数学解题教学中分类讨论思想的培养

高中数学解题教学中分类讨论思想的培养1. 引言1.1 引言在高中数学解题教学中，分类讨论思想的培养是非常重要的。

通过分类讨论思想，学生可以更加系统和全面地分析问题，找到解题的关键点，从而提高解题的效率和准确性。

分类讨论思想不仅在数学学科中有着重要的意义，而且也是一种重要的思维方式，可以帮助学生在面对复杂问题时更好地进行分析和解决。

本文将从分类讨论思想的重要性、分类讨论思想的培养方法、实例分析、提高高中数学解题能力的建议以及培养学生分类讨论思想的意义等方面进行探讨。

通过对这些内容的深入研究和分析，希望能够为高中数学教学提供一些新的思路和方法，帮助学生更好地掌握分类讨论思想，提高数学解题能力，培养扎实的数学思维能力。

接下来，我们将详细讨论分类讨论思想在高中数学解题教学中的重要性，以及如何有效地培养学生的分类讨论思想。

让我们一起探究这一重要而有趣的话题！2. 正文2.1 分类讨论思想的重要性分类讨论思想在高中数学解题教学中的重要性不言而喻。

分类讨论思想能够帮助学生在解决数学问题时有条不紊地进行思考和分析，避免盲目性的试错，提高解题效率。

分类讨论思想可以帮助学生培养逻辑思维能力，提高他们的问题解决能力和数学素养，对于学生日后的学业和职业发展都具有积极的意义。

分类讨论思想还可以激发学生对数学的兴趣，让他们更加深入地理解数学知识，从而提高学习的主动性和参与度。

在教学实践中，老师可以通过设计各种不同类型的数学问题，引导学生运用分类讨论思想进行解题，不断提升他们的分析和推理能力。

老师还可以组织学生参加数学竞赛和数学建模等活动，让他们有机会运用分类讨论思想解决实际问题，从而加深对这一思维方法的理解和应用。

分类讨论思想在高中数学解题教学中不仅具有重要的作用，而且对学生的综合素质提升和未来发展都有着积极的影响。

教师应当重视和加强对分类讨论思想的培养，帮助学生掌握这一重要的解题方法，为他们的学习和未来打下坚实的基础。

2.2 分类讨论思想的培养方法1. 引导学生理清问题关键点：在解题过程中，学生需要理清问题的关键点，将问题分解为更小的部分，从而有助于更好地理解问题和寻找解决方法。

浅谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用

浅谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用1. 引言1.1 分类讨论思想在数学教学中的重要性在高中数学教学中，分类讨论思想是一种非常重要的教学方法。

分类讨论思想可以帮助学生建立起系统的思维结构，培养学生的逻辑思维能力，提高他们的问题解决能力和创新能力。

通过分类讨论思想，学生可以将知识点整理成一种有机的体系，更加深入地理解和掌握数学知识。

分类讨论思想还可以帮助学生发现知识之间的联系和规律，从而激发学生对数学的兴趣，提高学习的积极性和主动性。

在高中数学教学中，引导学生采用分类讨论思想是非常必要的。

通过分类讨论思想的应用，可以使教学更加系统化、深入化，提高教学的效果和质量，培养学生全面发展的数学素养，使他们具备扎实的数学基础和优秀的数学思维能力。

分类讨论思想不仅是教师教学的方法，更是促进学生全面发展的重要途径，它在高中数学教学中具有不可替代的重要作用。

2. 正文2.1 分类讨论思想在高中数学教学中的基本概念分类讨论思想在高中数学教学中的基本概念涉及到对问题或者知识点进行分类，然后在每一个类别里进行讨论和分析的方法。

这种思想贯穿于数学教学的各个环节，可以帮助学生更深入地理解数学知识，提高他们的逻辑思维能力。

在高中数学教学中，分类讨论思想可以应用在各种数学问题中。

比如在解题过程中，通过将问题分解成几个小问题，然后分别讨论和解决，可以使学生更加清晰地理解问题的结构和解题思路。

分类讨论思想也可以帮助学生在实验教学中更好地总结实验数据，分析实验现象，从而加深对数学原理的理解。

分类讨论思想还可以在数学知识点梳理和素养培养中发挥重要作用。

通过将数学知识点按照特定的规则分类，可以帮助学生系统地掌握知识结构，提高记忆和理解效果。

而在素养培养方面，分类讨论思想可以培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，使他们具备独立思考和解决问题的能力。

2.2 分类讨论思想在高中数学解题中的实际运用分类讨论思想在高中数学解题中的实际运用是非常重要的。

分类讨论思想在高中数学解题中的应用

分类讨论思想在高中数学解题中的应用摘要分类讨论思想是数学中的一个重要思想，其在高中数学解题中得到了广泛的应用。

本文将详细阐述分类讨论思想的定义、重要性、应用及具体案例，以便更好地展示其在高中数学解题中的应用价值。

分类讨论思想；高中数学；解题应用；具体案例一、分类讨论思想是一种数学思想，在高中数学中得到了广泛的应用。

它可以有效地降低解题难度，提高解题效率。

本文将重点研究其在高中数学解题中的应用。

二、分类讨论思想的定义分类讨论思想指的是将问题分为若干小问题，根据不同的情况分别进行讨论，最终得到问题的解决方法的一种数学思想。

使用这种方法，问题就可以逐步分解，降低难度，提高解题效率。

三、分类讨论思想的重要性分类讨论思想的重要性主要体现在以下几个方面：1.降低问题难度采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以使问题难度逐步降低，最终简化问题难度，得到问题的解决方法。

2.提高解题效率分类讨论思想可以使问题分解成若干小问题，这样可以使解决问题的速度更快，提高解题效率。

3.避免遗漏采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以避免因为考虑不全面而遗漏某些情况，从而得到更为全面的解决方法。

四、分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想在高中数学中的应用非常广泛，下面将以具体案例来说明其应用方法。

1.解决数列问题在解决数列问题时，可以采用分类讨论思想，将数列分成等差数列和等比数列两种情况进行讨论。

例如，如下：已知数列{a_n}满足a_1=-3，a_n+1=2a_n+7，求数列的前n项和。

解：由题意得，a_n+1=2a_n+7化简可得：a_n=2^(n-2)a_1+7(2^(n-2)-1)/(2-1)若数列为等差数列，则d=a_n-a_1=(2^(n-2)-1)*2若数列为等比数列，则q=a_n/a_(n-1)代入公式得：q=2综上所述，当数列为等差数列时，前n项和为n/2(2a_1+(n-1)d)。

分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究

分类讨论思想在高中数学解题中的应用研究分类讨论思想是一种在高中数学解题中十分常见的思维方式，它能够帮助学生更加系统、全面、深入地分析问题，从而得出更加准确、严谨的解答。

一、分类讨论思想的概念及特点分类讨论指的是将问题分成若干个独立的情况，并对每种情况进行分析，最终得出全面、深入的结论的思维方式。

分类讨论思想的特点是：有目的性、有系统性、有针对性、有全面性、有严谨性。

此外，分类讨论还要注意分类的互斥性和完备性。

1. 函数解析式的确定。

对于一些比较复杂的函数，可以采用分类讨论的思想来确定它的解析式。

例如，已知函数f(x)如下：$$f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\geqslant 0\\2x+1,&x<0\\\end{cases}$$我们可以发现，这个函数在x=0处存在“分界点”，如果使用同一种方法求解，就会产生问题。

因此，我们可以采用分类讨论的思想，将问题分为x≥0和x<0两种情况，对每种情况分别求解。

2. 组合数学问题。

组合数学中很多问题也可以使用分类讨论的思想进行求解。

例如，假设有n个格子要涂黑，但是其中的一些格子不能被涂黑。

我们可以考虑将格子分成两类：可以涂黑和不能涂黑的。

然后，对于可以涂黑的格子，我们可以使用组合数学的知识求解涂黑的方法数；对于不能涂黑的格子，我们可以先对它们进行计数，再将它们从总数中减去，得出最终的结果。

3. 几何问题。

几何问题中也常常需要使用分类讨论的思想。

例如，对于一个梯形，如果我们要计算它的面积，需要先确定底边长和高，这就需要对梯形进行分类讨论。

具体来说，我们可以将梯形分成上底和下底相等和上底和下底不相等两种情况，分别求解它们的面积，最终将两者相加即可得到梯形的面积。

三、分类讨论思想的教学策略针对分类讨论思想的教学，我们可以采用以下几种策略：1. 举例法。

在讲解分类讨论思想时，可以通过举一些对应的数学问题进行解析，让学生通过对具体问题的分析，加深对分类讨论思想的理解。

分类讨论思想

分类讨论思想一、含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。

二、常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。

2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。

3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。

4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。

5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。

6.由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中。

三、高中数学中相关的知识点1.绝对值的定义；1.二次函数对称轴的变化；2.函数问题中区间的变化；3.函数图像形状的变化；4.直线由斜率引起的位置变化；5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；6.立体几何中点、线、面的位置变化等。

七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象。

即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标。

第二步：根据公式、定理确定分类标准。

运用公式、定理对分类对象进行区分。

第三步：分类解决“分目标”问题。

对分类出来的“分目标”分别进行处理。

第四步：汇总“分目标”。

分类讨论思想在高中数学中的应用

分类讨论思想在高中数学中的应用分类讨论思想是数学中一个重要的概念，它在高中数学中有着广泛的应用。

分类讨论思想的核心就是将问题进行分类，然后分别讨论每个分类下的情况。

这种思想在解决数学问题时非常有用，可以帮助学生更好地理解问题、找到解题的路径，提高解题的效率。

本文将针对高中数学中常见的几个知识点，介绍分类讨论思想在这些知识点中的应用。

一、组合数学中的分类讨论思想在高中数学中，组合数学是一个重要的内容，它涉及到排列、组合等概念。

而分类讨论思想在组合数学中有着广泛的应用。

以排列组合问题为例，当问题比较复杂时，可以通过分类讨论的方法将问题简化，从而更好地解决问题。

有一道高中数学题目：“从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字，将它们按照从小到大的顺序排列成一组数，那么共有多少种排列方式？”这个问题涉及到排列的概念，而我们可以通过分类讨论的方法来解决它。

我们可以将这个问题分成两种情况来讨论，一种是选取的3个数字没有重复，另一种是选取的3个数字中有重复的数字。

对于第一种情况，我们可以直接使用排列的公式来计算出结果；对于第二种情况，我们可以先计算出选取的3个数字中有重复的数字的情况，然后再根据具体的情况来进行讨论。

通过分类讨论的方法，我们可以更清晰地理解问题，更快速地找到解决问题的路径。

二、几何中的分类讨论思想在几何中，分类讨论思想同样有着重要的应用。

几何问题通常涉及到图形的性质、面积、体积等概念，而分类讨论思想可以帮助我们更好地理解和解决这些问题。

有一道高中数学题目：“在平面直角坐标系中，有一个正方形的对角线的两个端点分别为A（1，2）和B（4，5），求这个正方形的面积。

”这个问题涉及到正方形的性质和面积的计算，而我们可以通过分类讨论的方法来解决它。

我们可以确定正方形的另外两个顶点的坐标，然后再根据正方形的性质来计算出正方形的面积。

通过分类讨论的方法，我们可以更清晰地理解图形的性质和面积的计算方法，更快地解决问题。

高中数学常见解题思想方法——思想篇(高三适用)九、分类讨论思想含解析

分类讨论思想是高中重要数学思想之一,是历年高考数学的重点与难点.突出考察思维的逻辑性、全面严谨性，比如在不等式、数列、导数应用相关的习题中，分类讨论思想很常见。

一、什么是分类讨论思想：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结果不能唯一确定,有些问题的结论不能以统一的形式进行研究，还有些含参数的问题,参数的取值不同也会影响问题的结果，那么就要根据题目的要求，将题目分成若干类型，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再对分好的每类逐一研究、解决问题的数学思想，就是分类讨论思想。

二、分类讨论的一般步骤：第一，明确讨论对象，确定对象的取值范围；第二,确定分类标准，进行合理分类，不重不漏;第三，对分好的每类进行讨论,获得阶段性结果；第四,归纳总结，得出结论。

三、分类讨论的常见情形：1.由数学概念引起的分类：有的概念本身就是分类给出的,在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、指数与对数函数、直线和平面所成的角等。

2.由性质、定理、公式的限制引起的分类：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,由a的正负而导致开口方向不确定；等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.3。

由某些数学运算要求引起的分类讨论：如解不等式ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0,a＞0解法是不同的；除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数时不等号的方向，三角函数的定义域等．4。

由图形引的不确定性起的分类：有的图形的类型、位置需要分类，比如角的终边所在象限;立体几何中点、线、面的位置关系等。

5.由实际意义引起的分类：此类问题在实际应用题中常见.特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．6。

由参数变化引起的分类:如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同，所以必须对参数的不同取值进行分类讨论；或对于不同的参数值运用不同的求解或证明方法．四、下面我们通过几种具体问题来看看常见的分类讨论情形：1。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。

这种分类讨论题型可以称为概念型。

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。

如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。

这种分类讨论题型可以称为性质型。

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。

如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。

这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

Ⅰ、再现性题组：1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A⊇B，那么a的范围是_____。

A. 0≤a≤1B. a≤1C. a<1D. 0<a<12.若a>0且a≠1，p＝loga (a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。

A. p＝qB. p<qC. p>qD.当a>1时，p>q；当0<a<1时，p<q3.函数y＝sin|sin|xx＋cos|cos|xx＋tgxtgx||＋||ctgxctgx的值域是_________。

4.若θ∈(0, π2)，则limn→∞cos sincos sinn nn nθθθ＋θ-的值为_____。

A. 1或－1B. 0或－1C. 0或1D. 0或1或－15.函数y＝x＋1x的值域是_____。

A. [2,+∞)B. (-∞,-2]∪[2,+∞)C. (-∞,+∞)D. [-2,2]6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。

A. 893 B.493 C.293 D.493或8937.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

A. 3x－2y＝0B. x＋y－5＝0C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0D.不能确定【简解】1小题：对参数a 分a>0、a ＝0、a<0三种情况讨论，选B ；2小题：对底数a 分a>1、0<a<1两种情况讨论，选C ；3小题：分x 在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}；4小题：分θ＝π4、0<θ<π4、π4<θ<π2三种情况，选D ； 5小题：分x>0、x<0两种情况，选B ；6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D ；7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C 。

Ⅱ、示范性题组：例1. 设0<x<1，a>0且a ≠1，比较|log a (1－x)|与|log a (1＋x)|的大小。

【分析】比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a 有关，所以对底数a 分两类情况进行讨论。

【注】本题要求对对数函数y ＝log a x 的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0<a<1时其是减函数。

去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性。

例2. 已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数： ①. C ⊂A ∪B 且C 中含有3个元素； ②. C ∩A ≠φ 。

【分析】由已知并结合集合的概念，C 中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A 而属于B 的元素。

并由含A 中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。

【解】 C 121·C 82＋C 122·C 81＋C 123·C 80＝1084【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C 中元素如何取法。

另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C 203－C 83＝1084。

例 3. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是前n 项和。

①. 证明： lg lg S S n n ++22<lgS n +1； ②.是否存在常数c>0，使得lg()lg()S c S c n n -+-+22＝lg （S n +1－c ）成立？并证明结论。

(95年全国理)【分析】要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。

其中在应用等比数列前n 项和的公式时，由于公式的要求，分q ＝1和q ≠1两种情况。

【解】设{a n }的公比q ，则a 1>0，q>0①．当q ＝1时，S n ＝na 1，从而S n S n +2－S n +12＝na 1(n ＋2)a 1－(n ＋1)2a 12＝－a 12<0；当q ≠1时，S n ＝a q qn 111()--，从而 S n S n +2－S n +12＝a q q q n n 1222111()()()---+－a q q n 1212211()()--+＝－a 12q n <0；由上可得S n S n +2<S n +12，所以lg(S n S n +2)<lg(S n +12)，即lg lg S S n n ++22<lgS n +1。

②. 要使lg()lg()S c S c n n -+-+22＝lg （S n +1－c ）成立，则必有(S n －c)(S n +2－c)＝(S n +1－c)2,分两种情况讨论如下：当q ＝1时，S n ＝na 1，则(S n －c)(S n +2－c)－(S n +1－c)2＝(na 1－c)[(n ＋2)a 1－c]－[(n ＋1)a 1－c]2＝－a 12<0当q ≠1时，S n ＝a q q n 111()--，则(S n －c)(S n +2－c)－(S n +1－c)2＝[a q q n 111()--－c][ a q qn 1211()--+－c]－[a q q n 1111()--+－c]2＝－a 1q n [a 1－c(1－q)] ∵ a 1q n ≠0 ∴ a 1－c(1－q)＝0即c ＝a q11-而S n －c ＝S n －a q 11-＝－a q qn11-<0 ∴对数式无意义由上综述，不存在常数c>0, 使得lg()lg()S c S c n n -+-+22＝lg （S n +1－c ）成立。

【注】本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。

该题文科考生改问题为：证明log log ..050522S S n n ++>log 05.S n +1 ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。

例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。

例4. 设函数f(x)＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x<4的一切x 值都有f(x)>0，求实数a 的取值范围。

【分析】含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。

【解】当a>0时，f(x)＝a （x －1a ）2＋2－1a ∴ 111220a f a ≤＝≥()-+⎧⎨⎪⎩⎪或1141210<<->⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪a f aa ()＝或14416820a f a ≥＝≥()-+⎧⎨⎪⎩⎪∴ a ≥1或12<a<1或φ 即 a>12；当a<0时，f a f a ()()1220416820＝≥＝≥-+-+⎧⎨⎩，解得φ；当a ＝0时，f(x)＝－2x ＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意由上而得，实数a 的取值范围是a>12。

【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a 分a>0、a<0、a ＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。

本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。

例5. 解不等式()()x a x a a +-+4621>0 (a 为常数，a ≠－12)【分析】含参数的不等式，参数a 决定了2a ＋1的符号和两根－4a 、6a 的大小，故对参数a 分四种情况a>0、a ＝0、－12<a<0、a<－12分别加以讨论。

【解】 2a ＋1>0时，a>－12；－4a<6a 时，a>0 。

所以分以下四种情况讨论：当a>0时，(x ＋4a)(x －6a)>0，解得：x<－4a 或x>6a ；当a ＝0时，x 2>0，解得：x ≠0；当－12<a<0时，(x ＋4a)(x －6a)>0，解得: x<6a 或x>－4a ；当a>－12时，(x ＋4a)(x －6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。