高中数学解题四大思想方法

思想方法一、函数与方程思想 姓名：
方法1 构造函数关系，利用函数性质解题 班别：
根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。

通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。

例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555
a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c b
B a b c
C c a b
D b c a >>>>>>>>
例2 已知函数21()(1)ln , 1.2
f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性；
（2） 证明：若5,a <则对任意12121212
()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有
方法2 选择主从变量，揭示函数关系
含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。

例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使2
43x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 .
方法3 变函数为方程，求解函数性质
实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。

宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。

列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

例4
函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
方法1 函数与不等式问题中的数形结合
研究函数的性质能够借助于函数的图像，从函数图像上能直观地观察单调性、周期性、对称性等性质。

不等式问题与函数的图像也有密切的联系，比如应用二次函数的图像解决一元二次不等式，就体现了数形结合的思想方法。

所以，解决不等式问题要常联系对应的函数图像，利用函数图像，直观地得到不等式的解集，避免复杂的运算。

例1 （10新课标全国卷）已知函数lg ,010,()16,10.2
x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是（ ）
.(1,10).(5,6).(10,12).(20,24)A B C D
变式：函数236,2,()2, 2.
x x f x x x x +≥-⎧=⎨+-<-⎩若不等式()2f x x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是 . 方法2 解析几何中的数形结合
解析几何是用方程研究曲线的问题，蕴含着丰富的数形结合思想，往往要先把题目中的几何语言转化为几何图形，然后再结合这种图形（一般为曲线）的几何特征，用代数语言即方程表现出来，从而用代数的方法解决几何问题。

例 2 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
.(1,2].(1,2).[2,).(2,)A B C D +∞+∞
例3 已知P 为抛物线214
y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标为（2,0），则PA PM +的最小值是 .
方法3 参数范围问题中的数形结合 如果参数具有明显的几何意义，那么能够考虑应用数形结合思想解决问题。

一般地，常见的对应关系有：
（1）y kx b =+中的k 表示直线的 ，b 表示直线在 轴上的 ；
（2）b n a m
--表示连接(,)a b 和(,)m n 两点直线的 ； （3
(,)a b 和(,)m n 之间的 ；
（4）导数'0()f x 表示曲线在点00(,())x f x 处的 。

利用这些对应关系，由数想形，能够巧妙的利用几何法解决。

例4 若直线1y kx =+与圆221x y +=交于P Q 、两点，且0
120POQ ∠=（其中O 为原点），则k 的值为（ ）
....A B C D -
变式：直线3y kx =+与圆2239()(3)24x y -+-=交于M N 、
两点，若MN ，则k 的取值范围值是（ ）
32.,0...,043A B C D ⎡⎡⎤⎡⎤⎡--⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎣⎦⎣⎦⎣⎦
方法1 概念分类型
有很多核心的数学概念是分类的，比如：直线的斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念相关的问题往往需要根据数学概念实行分类，从而全面完整得解决问题。

例1 若函数()(01)x
f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是
方法2 运算需要型
分类讨论的很多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分母是否为0；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就要实行分类讨论.
例2 设函数329()62f x x x x a =-
+-. （1） 对于任意实数',()x f x m ≥恒成立，求m 的最大值.
（2） 若方程()0f x =有且仅有一个实数，求a 的取值范围.
方法3 参数变化型
很多问题中参数的不同取值会对结果产生影响，所以，需要对参数的取值实行分类，常见的问题有：含参不等式的求解；解析式中含有参数的函数的性质问题；含参二元二次方程表示的曲线类型；参数的几何意义等.
例3 已知函数22()+23(),.x
f x x ax a a e x R a R =
-+∈∈（）其中 （1） 当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2） 讨论函数()f x 的单调性.
思想方法四、转化与化归思想
方法1 抽象问题与具体问题化归
具体化原则，就是把一些抽象问题化归为具体问题，从而解决问题.一般地，对于抽象函数、抽象数列等问题，能够借助于熟悉的具体函数、数列等知识，探寻抽象问题的规律，找到解决问题的突破口和方法. 例 1 若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++，则下列说法一定准确的是（ ）
.().().()+1.()+1A f x B f x C f x D f x 为奇函数为偶函数为奇函数为偶函数
方法2 一般问题与特殊问题化归
数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性.解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题.其解题模式是：首先设法使问题特殊（或一般）化，降低难度，然后解这个特殊（或一般）性的问题，从而使原问题获解.
例2 456
,,162536
e e e （其中e 为自然常数）的大小关系是（ ） 456
654546645....162536362516251636361625e e e e e e e e e e e e A B C D <<<<<<<<
方法3 正向思维与逆向思维化归
逆向思维水平是指从正向思维序列到逆向思维序列的转换水平.如果经常注意对问题的逆向思考，不但能够加深对可逆仅仅的理解，而且能够提升思维的灵活性.
例3 已知集合{}{}2222(1)(1)0,680A y y a a y a a A y y y =-++++>=-+≤，若0A
B ≠，则实数a 的
取值范围为 .
方法4 命题与等价命题化归
有的命题若直接考虑，则显得无从下手，若把命题化归为他的等价命题，往往柳暗花明.解题时要注意命题与等价命题的转化，尤其是原命题与逆否命题的转化.
例4 设函数32
()33f x x bx cx =++有两个极值点[][]1212,1,0,1,2.x x x x ∈-∈、且 （1）求,b c 满足的约束条件； （2）证明：21
10().2f x -≤≤-。