高中数学解题基本方法——换元法
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是一种广泛应用于高中数学解题中的方法。
它的核心思想是通过一定的变换将问题转化为更易于解决的形式，从而得到问题的解。
一、函数换元法1. 基本思想函数换元法是一种利用函数的运算性质，将复杂函数转化为较为简单的函数，从而帮助我们解决问题的方法。
例如，在求函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 的零点时，我们可以采用换元法将 $x-1$ 替换为 $t$，从而得到 $f(t)=\frac{1}{t}$，这样我们就可以较为容易地求得 $t=0$，进一步得到 $x=1$ 这一解。
2. 具体应用函数换元法在高中数学中广泛应用于函数的求导、求极限等方面。
例如，在求函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的导数时，我们可以采用函数换元法将$2x+\frac{\pi}{6}$ 替换为 $t$，这样就可以得到$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dt}\sin t \times\frac{d}{dx}(2x+\frac{\pi}{6})=\cos(2x+\frac{\pi}{6})\times2=\sqrt{3}\cos(2x+\frac{\pi}{6})$。
这样问题就被转化为了求 $\sin t$ 的导数，从而便于计算。
二、微分方程的换元法微分方程是一种描述物理现象的重要工具，但由于其求解的困难度较大，我们需要采用适当的方法来简化问题。
其中，微分方程的换元法就是其中一个重要的方法。
例如，在求解微分方程 $y'+y=e^x$ 时，我们可以采用换元法将 $y=e^{-x}u$，得到$\frac{dy}{dx}=e^{-x}\frac{du}{dx}-e^{-x}u$，代入原方程后得到$\frac{du}{dx}=e^x$，进一步得到 $u=e^x+C$，从而得到原方程的通解为$y=e^{-x}(e^x+C)$。
微分方程的换元法在高中数学的物理问题中经常被应用。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中常用的一种解题方法，它在求解一些复杂的积分、微分、方程等问题时起到了非常重要的作用。
在高中数学中，换元法的应用涉及到了一些基本的知识点，如函数的复合、反函数、导数和微分等，通过灵活运用这些知识，可以帮助我们更好地理解和解决一些数学问题。
下面我们就来具体地了解一下，换元法在高中数学解题中的应用。
我们来讨论换元法在求解积分问题中的应用。
在高中数学中，我们经常会遇到一些复杂的积分，如含有根式、三角函数、指数函数等的积分，有时候直接使用常规的积分公式很难求解，这时就需要运用换元法来简化问题。
换元法的核心思想是通过代换将原积分问题转化为一个更简单的形式，然后再利用简单的积分公式进行求解。
举一个具体的例子来说明，比如要求解\int \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}dx这个积分，这是一个典型的换元法的应用题。
我们可以令u=1-x^2，然后求出du=-2xdx，将原积分问题中的x\sqrt{1-x^2}替换成\sqrt{u}，同时将dx也替换成\frac{-1}{2\sqrt{u}}du，这样原积分就变成了\int \frac{-1}{2\sqrt{u}}du，这个积分就非常容易求解了。
通过这个例子我们可以看到，换元法可以帮助我们将原本复杂的积分问题转化为一个更简单的形式，从而更容易地求解。
除了在求解积分问题中的应用，换元法在解微分方程、解函数极值、确定定积分上限等问题中也有着重要的应用。
在解微分方程中，有时候需要通过换元法将一个微分方程转化为一个更简单形式的方程，从而更容易求解。
在解函数极值的问题中，也经常需要使用换元法来将一个复杂的函数转化为一个形式更简单的函数，从而更容易求解函数的极值点。
在确定定积分上限的问题中，有时候也需要使用换元法将一个复杂的积分问题转化为一个更简单的形式，从而更容易确定积分的上限。
可以看到，换元法在高中数学解题中有着广泛的应用。
高中数学数列学习中换元法的运用
高中数学数列学习中换元法的运用数列学习中，换元法是一种常见的解题方法。
它是通过将原数列中的项替换为其他变量或函数，从而简化或转化问题的解法。
以下是换元法的运用及例题解析。
1.线性变换法线性变换法是将数列的项用一个直线函数的表达式来表示。
这可以让我们更好地理解问题和方便求解。
例如：已知数列$\{a_n\}$满足$a_n=3n-1$，求$a_0,a_1,a_2$。
解题思路：我们可以将$a_n$表示成一个直线函数$y=3x-1$。
这表示一个过原点的直线。
因此$a_0$就是$y=3x-1$的截距，即$a_0=-1$；$a_1$则是这条直线上横坐标为1对应的纵坐标，即$a_1=2$；同理，$a_2$就是这条直线上横坐标为2对应的纵坐标，即$a_2=5$。
因此，数列$\{a_n\}$的前三项为-1，2，5。
2.递推公式换元法递推公式是指数列中每一项可以通过前一项和公式推导得到的一种表达式。
在数列学习中，递推公式是一种非常重要的概念。
换元法可以使递推公式更易于阅读和处理。
例如：已知数列$\{a_n\}$满足$a_n=3a_{n-1}-2$，且$a_0=1$，求$a_1,a_2,a_3$。
解题思路：我们可以将递推公式变形，转换成$a_n-1=3(a_{n-1}-1)$。
这里我们将$a_{n-1}$替换成$x_{n-1}=a_{n-1}-1$，变成$x_n=3x_{n-1}$。
因此，$a_1=x_1+1=3(1)+1=4$，$a_2=x_2+1=3(3)+1=10$，$a_3=x_3+1=3(9)+1=28$。
因此，数列$\{a_n\}$的前三项为1，4，10。
3.指数函数换元法解题思路：我们将指数函数的形式代入到数列，有$a_0=2^0=1$，$a_1=2^1=2$，$a_2=2^2=4$。
因此，数列 $\{a_n\}$的前三项为1，2，4。
三角函数是一个复杂但非常有趣的函数类型。
三角函数换元法是将数列的项表示成一个三角函数的形式。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中的一种重要解题方法，它常常应用在代数、微积分和函数等领域。
换元法是一种通过引入新的变量或函数来简化原问题的方法，它能够将原问题转化为更容易处理的形式，从而解决原问题。
本文将着重介绍换元法在高中数学解题中的应用，探讨它的作用和优势。
在代数中，换元法常常用于简化复杂的代数式或方程。
当我们要求解一个关于变量的复杂方程时，可以通过引入新的变量或代数式来简化原方程，从而更容易求解。
当我们要对一个复杂的代数式进行因式分解或化简时，也可以运用换元法来转化成更简单的形式，便于进行后续操作。
对于如下代数式：x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1，我们可以引入新的变量y=x+1，从而将原式转化为y^4的形式，进而进行简化或因式分解操作。
这种方法能够大大简化代数式的求解过程，提高解决问题的效率。
二、换元法在微积分中的应用在微积分中，换元法是一种常用的积分方法，它常常用于求解含有根式、三角函数等特殊形式的积分。
通过引入新的变量或函数，可以将原积分转化为更容易处理的形式，从而利用已知积分的性质或方法求解原积分。
对于积分\int \frac{1}{x\sqrt{x^2+1}} dx，我们可以通过引入新的变量u=x^2+1，从而将原积分转化为\int \frac{1}{2\sqrt{u}} du的形式，利用已知积分\int\frac{1}{\sqrt{u}} du的性质求解原积分。
这种方法在解决含有根式的积分时具有很大的优势，能够简化积分的求解过程，提高解题的效率。
在函数的研究中，换元法也具有重要的应用价值。
当我们要对一个复杂的函数进行求导或积分时，可以通过引入新的变量或函数来简化原函数，从而利用已知函数的性质或方法求解原函数。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 介绍换元法换元法是高中数学中常用的一种解题方法，通过对变量进行替换或者转化，可以简化问题的处理过程，使得原本复杂的数学题目变得更容易解决。
换元法在数学中的应用非常广泛，不仅可以用来解一元二次方程、化简代数式，还可以用来证明数学定理、解决几何问题以及处理微积分问题等。
在数学中，换元法是一种灵活的工具，能够帮助我们更加深入地理解数学概念，提高问题解决效率。
通过适当选择变量的替换，可以将原本复杂的问题简化为更容易处理的形式，从而更快地得出解答。
换元法在高中数学学习中起着举足轻重的作用，不仅可以帮助我们更好地掌握数学知识，还可以培养我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
要想在高中数学学习中取得更好的成绩，掌握好换元法这一重要的解题工具是至关重要的。
通过不断练习和理解，我们可以更好地运用换元法解决各种数学问题，提高自己的数学解题能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
1.2 换元法在解高中数学问题中的重要性在高中数学中，换元法可以用于解一元二次方程。
通过适当的变量替换，可以将原问题转化为简单的一次方程问题，从而更容易地求解方程的解。
换元法还可以用于化简复杂的代数式，从而简化计算过程，提高计算效率。
换元法还可以用于证明数学定理。
通过巧妙地引入新的变量，可以简化证明过程，使得证明更加清晰和简洁。
换元法还可以用于解决几何问题和微积分问题，在解决这些问题时发挥着非常重要的作用。
换元法在高中数学解题中的灵活运用可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题效率和解题能力。
换元法是高中数学学习中不可或缺的重要工具，学生应该认真学习和掌握这一方法，以便更好地应对各种数学问题。
2. 正文2.1 利用换元法解一元二次方程利用换元法解一元二次方程是高中数学学习中非常常见的问题。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
当解一元二次方程时，有时候可以通过换元法来简化计算过程。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中一种重要的解题方法，在解决各类函数的求导、定积分以及一些简单的微分方程中都有广泛的应用。
它是一种通过合理的变量替换来简化问题、降低难度的数学技巧，能够极大地提高解题的效率，因此在高中数学的学习中至关重要。
一、换元法的概念与基本思想换元法是一种将复杂的算术计算问题转化为简单的计算问题的数学方法，它通过构造适当的变量替换来简化原问题。
换元的基本思想是通过替换自变量，使问题的解能够进行简化或者直接得到。
对于一个给定的函数，我们可以对其进行合适的变换，从而使函数的形式更加简单。
这种变换可以通过引入一个新的变量来实现，这个新的变量通常被称为“中间变量”或者“代换变量”。
通过代入变量替换原函数，我们可以得到一个形式更加简单的函数。
换元法的核心是将问题转化为新的问题求解，通过合适的代换使问题变得更简单。
二、换元法的主要应用换元法在高中数学中的应用很广泛，主要包括以下几个方面：1.函数的求导换元法在函数求导的计算中有重要的应用。
对于复杂的函数，我们可以通过引入合适的变量替换来简化计算过程。
对于含有根号的函数，可以通过引入一个新的变量来简化计算。
具体而言，如果要计算函数y=f(x)的导数，我们可以令y=g(u)，其中u是一个函数，然后通过计算导数du/dx和函数关系g(u)得到dy/dx。
这样，我们可以通过导数的链式法则将原函数的导数表示为新变量的导数和链式法则的乘积。
2.定积分3.微分方程在求解一些简单的微分方程中，换元法也有重要的应用。
通过引入恰当的变量替换，我们可以将微分方程转化为更简单的形式，从而使求解过程更加容易。
具体而言，我们可以将微分方程中的变量替换为新变量，并根据新变量的定义和微分方程的关系来求解新变量。
通过求解新变量，我们可以得到原微分方程的解。
三、换元法的常用方法在使用换元法求解问题时，我们需要根据具体问题选择合适的代换方法。
常见的代换方法主要有以下几种：1.代换叠加法对于一些含有多项的复杂函数，我们可以通过分别代换每一项来简化计算。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是一种在数学解题中常用的方法，它主要用于将复杂的数学问题转化为更简单的形式来解决。
这种方法在高中数学中的应用非常广泛，下面我将详细介绍换元法在高中数学解题中的应用。
最常见的换元法是代数换元法。
在代数换元法中，我们会将一个或多个变量用新的变量来表示，从而简化问题的解答过程。
我们来看一下代数换元法在高中数学中常见的应用之一——代数方程的解法。
在解代数方程的过程中，我们经常会遇到一些复杂的方程，例如含有平方根、三角函数等。
为了简化方程的求解，我们可以通过换元法来转换方程的形式。
举个例子，如果我们要求解方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以令y = x - 2，从而将方程转化为y^2 - 3 = 0。
这样一来，我们就可以更容易地求解出y的值，再通过反代得到x的值。
这个例子展示了换元法在代数方程解法中的重要作用。
另一个常见的应用是积分运算中的换元法。
在高中数学中，我们学习了很多不同种类的函数和曲线图像。
在计算函数的积分时，我们经常会遇到需要进行换元的情况。
通过进行合适的变量替换，可以将复杂的积分化简为简单的形式。
对于定积分∫(1+x^2)dx，我们可以通过换元法将x^2替换为tan^2θ，从而将积分转化为∫(1+tan^2θ)sec^2θdθ，这样一来，我们就能更容易地求解出积分的值。
换元法在积分运算中的应用非常广泛，是求解复杂积分的重要技巧。
除了代数方程和积分运算，换元法在高中数学的其他领域也有广泛的应用。
在三角函数的证明中，我们经常需要通过换元法将一个复杂的三角函数化简为一个简单的形式，以便于我们进行进一步的推导和证明。
在概率与统计的计算中，我们也常常需要使用到换元法来简化问题的解答过程。
换元法在高中数学解题中的应用非常广泛，无论是代数方程的解法、积分运算还是其他数学领域，都离不开这一重要的方法。
通过合理地选取变量替换，我们可以将复杂的数学问题转化为更简单的形式，从而更便于我们进行解题。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用【摘要】换元法是高中数学中常用的解题方法之一，本文通过分析换元法在代数、微积分和几何问题中的应用，探讨了其灵活运用对于解决复杂问题的重要性。
首先介绍了换元法的基本概念，然后讨论了其在不同领域中的具体应用，包括代数方程求解、微积分函数积分和几何图形变换等方面。
文章强调了掌握换元法对于提高数学解题能力的重要意义，指出通过灵活运用换元法可以更好地解决各种数学问题。
通过本文的学习，高中数学学生可以更好地掌握换元法这一重要的解题方法，提高数学解题能力，为今后的学习打下坚实的基础。
【关键词】换元法、高中数学、应用、基本概念、代数、微积分、几何、注意事项、灵活运用、提高数学解题能力、重要意义1. 引言1.1 换元法在高中数学解题中的应用在高中数学学习中，换元法是一个非常重要的解题方法，它可以帮助学生解决复杂的问题，提高数学解题能力。
换元法实际上是一种代数运算技巧，通过引入新的变量或者函数，将原问题转化为更易解决的形式。
在代数问题中，换元法常常用于简化方程、求解方程组，解决多项式的因式分解等问题。
在微积分问题中，换元法可以用来简化积分运算，求出复杂函数的原函数。
在几何问题中，换元法常常用于证明几何定理，求解几何问题。
在应用换元法时，需要注意选择合适的换元变量，使得问题更容易解决，避免引入不必要的复杂性。
掌握换元法对于高中数学学生来说是非常重要的，它可以帮助他们更好地理解数学知识，提高解题能力，培养逻辑思维能力，解决问题的能力。
换元法的灵活运用可以让数学变得更加有趣和具有挑战性，对学生的数学学习和考试都有着积极的促进作用。
2. 正文2.1 一、换元法的基本概念换元法是高中数学中常见的解题方法之一，它主要是通过引入新的变量或函数来简化原问题的解答过程。
换元法的基本概念包括以下几点：换元法的核心思想是将原问题中复杂的部分用一个新的变量或函数替代，从而转化为一个更简单的形式。
这个新的变量或函数通常会与原问题中的变量之间存在某种特定的函数关系，通过这种关系可以将原问题转化为一个更容易求解的形式。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用
换元法是一种常用的解题方法，用于简化和解决复杂问题。
它适用于高中数学的各个领域，如函数、微积分、概率论等。
本文将介绍换元法在高中数学解题中的应用。
在函数部分，换元法常用于函数的分析、求极值、求导等问题。
在分析函数的增减性时，我们可以利用换元法将原函数转化为更容易处理的函数形式。
以函数f(x) = x^3 -
3x^2 + 2x为例，我们可以令y = x - 1，将原函数转化为f(y) = (y + 1)^3 - 3(y + 1)^2 + 2(y + 1)。
通过计算这个新函数的一阶导数和二阶导数，我们可以分析出原函数的单调性和极值情况。
除了上述应用，换元法还可以应用于等比数列、导数的应用、泰勒展开等各个数学领域。
在等比数列的求和问题中，我们可以利用换元法将等比数列转化为等差数列的形式，从而利用求和公式来计算求和值。
在导数的应用中，我们可以利用换元法将复杂的函数求导问题转化为简单的函数求导问题，从而提高计算的效率。
在泰勒展开中，我们可以利用换元法将原函数转化为简化形式，从而利用泰勒展开公式来计算函数的近似值。
换元法是一种重要的解题方法，在高中数学的各个领域中都有广泛的应用。
通过合理选择合适的换元变量，我们可以将复杂的问题简化为易于处理的形式，从而更加高效地解决问题。
换元法的应用也需要根据具体问题来决定，不能一概而论。
我们需要在实际解题过程中灵活运用换元法，并结合其他数学方法进行分析和求解。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中常见的一种解题方法，也是一种常用的积分方法。
它的原理是通过适当地变换自变量，将原方程或原式子简化成一个更易求解的形式。
换元法在高中数学中的应用非常广泛，下面就具体介绍一些常见的应用。
1. 函数的图像与变换：在研究函数的图像与变换时，我们常常需要用到换元法。
通过适当地变换自变量，可以将原函数的图像进行平移、伸缩等操作，进而得到新函数的图像。
对于函数y=sin(x)，我们可以通过变换自变量x来得到y=sin(2x)、y=sin(x-pi)等函数的图像。
这些变换可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
2. 三角函数的积分：在高中数学的积分中，三角函数的积分是一个常见的难点。
通过换元法，可以将复杂的三角函数积分化简成简单的积分。
对于积分∫sin^2(x)dx，我们可以通过换元u=sin(x)来将其化简成∫u^2du，进而求解。
还有一些特殊的换元方法，如倍角、半角等，可以帮助我们解决一些特殊的三角函数积分。
3. 微分方程的求解：微分方程是高中数学中的重要内容，而换元法是求解微分方程的重要方法之一。
通过合适的换元，我们可以将微分方程化为变量可分离的形式，从而更容易求解。
对于微分方程y'=(1+y)/(1-x)，我们可以通过换元u=1+y来将其化简成u'/(u-1)=dx/(1-x)，然后再进行变量分离，最后求得u和y的解。
5. 曲线的弧长与曲线积分：在研究曲线的弧长和曲线积分时，我们常常需要使用换元法。
通过适当地变换自变量，可以将曲线的参数表示转化为更简单的形式，从而更容易进行计算。
对于曲线y=x^2在x=0到x=1上的弧长，我们可以通过变换t=x^2来将其化简成∫√(1+2t) dt，进而求解。
同样，在曲线积分中，也可以利用换元法将积分变量转化为更简单的形式。
换元法是高中数学中常用的一种方法，它可以帮助我们将复杂的数学问题化简成简单的问题，从而更容易求解。
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高中数学解题基本方法——换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{an }中，a1＝－1，an+1·an＝an+1－an，则数列通项an＝___________。
4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程1313++-xx＝3的解是_______________。
6.不等式log2(2x－1) ·log2(2x+1－2)〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：设sinx+cosx ＝t ∈[－2,2]，则y ＝t 22＋t －12，对称轴t ＝－1，当t ＝2，y max ＝12＋2；2小题：设x 2＋1＝t (t ≥1)，则f(t)＝log a [-(t-1)2＋4]，所以值域为(－∞,log a 4]； 3小题：已知变形为11a n +－1a n ＝－1,设b n ＝1a n，则b 1＝－1,b n ＝－1＋(n －1)(-1)＝－n ，所以a n ＝－1n；4小题：设x ＋y ＝k ，则x 2－2kx ＋1＝0, △＝4k 2－4≥0,所以k ≥1或k ≤－1； 5小题：设3x ＝y ，则3y 2＋2y －1＝0,解得y ＝13，所以x ＝－1； 6小题：设log 2(2x －1)＝y ，则y(y ＋1)<2，解得－2<y<1，所以x ∈(log 254,log 23)。
Ⅱ、示范性题组：例1. 实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求1S max＋1S min的值。
（93年全国高中数学联赛题）【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2α＝1,于是进行三角换元，设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式求S max 和S min 的值。
【解】设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5解得 S ＝10852-sin α；∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴1013≤1085-sin α≤103∴1S max＋1S min＝310＋1310＝1610＝85此种解法后面求S 最大值和最小值，还可由sin2α＝810S S-的有界性而求，即解不等式：|810S S-|≤1。
这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】 由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝S 2＋t ，y 2＝S 2－t ，t ∈[－S 2，S2]， 则xy ＝±S t 224－代入①式得：4S ±5St 224－=5，移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 。
∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤103∴1S max＋1S min＝310＋1310＝1610＝85【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S ＝x 2＋y 2与三角公式cos 2α＋sin 2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。
第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S ＝x 2＋y 2而按照均值换元的思路，设x 2＝S 2＋t 、y 2＝S 2－t ，减少了元的个数，问题且容易求解。
另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x 、y 时，可以设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。
本题设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ，求得a 2∈[0,53]，所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2＋b 2)＝1013＋2013a 2∈[1013,103]，再求1S max ＋1S min 的值。
例2． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，1cos A ＋1cos C＝－2cos B ，求cosA C-2的值。
（96年全国理） 【分析】 由已知“A ＋C ＝2B ”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得A CB +=⎧⎨⎩12060°＝°；由“A ＋C ＝120°”进行均值换元，则设A C ＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩ ，再代入可求cos α即cosA C-2。
【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B ，可得 A C B +=⎧⎨⎩12060°＝°,由A＋C＝120°，设AC＝°α＝°－α6060+⎧⎨⎩，代入已知等式得：1 cos A ＋1cos C＝160cos()︒+α＋160cos()︒-α＝11232cos sinαα-＋11 232cos sinαα+＝coscos sinααα143422-＝coscosαα234-＝－22,解得：cosα＝22，即：cosA C-2＝22。
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。
所以1cos A＋1cos C＝－2cos B＝－22，设1cos A＝－2＋m，1cos C＝－2－m ，所以cosA＝12-+m，cosC＝12--m，两式分别相加、相减得：cosA＋cosC＝2cos A C+2cosA C-2＝cosA C-2＝2222m-，cosA－cosC＝－2sin A C+2sinA C-2＝－3sinA C-2＝222mm-，即：sin A C-2＝－2322mm()-，＝－2222m-，代入sin2A C-2＋cos2A C-2＝1整理得：3m4－16m－12＝0,解出m2＝6，代入cos A C-2＝2222m-＝22。
【注】本题两种解法由“A＋C＝120°”、“1cos A＋1cos C＝－22”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。
假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。
所以1cos A＋1cos C＝－2cos B＝－22，即cosA＋cosC＝－22cosAcosC，和积互化得：2cos A C+2cosA C-2＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cosA C-2＝22－2cos(A-C)＝22－2(2cos2A C-2－1)，整理得：42cos2A C-2＋2cosA C-2－32＝0,解得：cos A C-2＝22例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。
【解】设sinx＋cosx＝t，则t∈[-2,2]，由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝t21 2 -∴ f(x)＝g(t)＝－12(t－2a)2＋12（a>0），t∈[-2,2]t＝-2时，取最小值：－2a2－22a－1 2当2a≥2时，t＝2，取最大值：－2a2＋22a－12；当0<2a≤2时，t＝2a，取最大值：12。
∴ f(x)的最小值为－2a2－22a－12，最大值为122222212222()()<<-+-≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪aa a a。
【注】此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx 的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。
换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-2,2]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。
本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x，不等式x2log241()aa+＋2x log221aa+＋log2()aa+1422>0恒成立，求a的取值范围。
（87年全国理）y【分析】不等式中log 241()a a +、 log 221aa +、log 2()a a +1422三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。