高中数学解题方法谈线性规划求最值问题
谈谈解答最值问题的四个技巧
备考指南最值问题是高考试题中常见的考点之一.此类问题具有较强的综合性，且命题形式多种多样，在解题过程中若找不到恰当的方法，就会因为复杂冗繁的计算量而浪费大量的时间，甚至得不到正确的答案.如何选择合适的方法，如何灵活运用各个模块的知识，是解答最值问题所需要重点考虑的事情.本文举了四个典型的例题，并对其进行了分析、探究，总结出解答最值问题的技巧，供同学们参考.一、用函数的单调性求最值在求解最值问题时，我们通常可将目标式构造成函数式，将问题转化为函数最值问题，利用函数的单调性来求解最值.在解题时，需根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性求得最值.例1.设a 为实数，求x 2+||x -a +1的最小值.解：设f ()x =x 2+||x -a +1，(1)若x ≤a ，则f ()x =æèöøx -122+a +34，①当a <12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上单调递减，可知函数在(]-∞,a 上的最小值为f ()a =a 2+1；②当a ≥12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上的最小值为f æèöø12=34+a ，且f æèöø12≤f ()a .（2）若x >a ，则f ()x =æèöøx +122-a +34.①当a ≤-12时，则函数f ()x 在éëöø-12,+∞上单调递增，在éëöøa ,-12上单调递减，所以函数在[)a ,+∞上的最小值为f æèöø-12=34-a ，且f æèöø-12≤f ()a ；②当a >-12时，则函数f ()x 在[)a ,+∞上的最小值为f ()a =a 2+1.综上可得，当a ≤-12时，f ()x min =34-a ；当-12<a≤12时，f ()x min =a 2+1；当a >12时，f ()x min =a +34.将目标式看作二次函数式，便可根据x 与a 的大小关系，以及a 与函数对称轴-12的大小关系，确定二次函数的单调性，即可根据二次函数的单调性确定函数的最值.在解题时，需运用运动和变化的观点，构建关于变量、自变量的集合，通过类比、联想、转化的方式构造合适的函数.二、用基本不等式求最值基本不等式a +b 2≥ab ()a >0，b >0主要用于求函数的最值及证明不等式.在运用基本不等式求最值时，需把握“一正”“二定”“三相等”三个条件，重点关注或配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值.例2.求y =x +4x的值域.解：①当x >0时，x +4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，②当x <0时，()-x +æèöø-4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，所以x +4x ≤-4，故y =x +4x的值域是(]-∞,-4∪[)4,+∞.由于x 的取值不确定，而运用基本不等式的条件是各式均为正值，于是将x 分为x >0和x <0两种情况，分别运用基本不等式来求最值.三、利用线性规划思想求最值线性规划思想是指求线性约束条件下，目标函数的极值.运用线性规划思想求最值的基本步骤是：①根据题意建立数学模型，并作出可行域；②建立目标函数；③利用图形求出目标函数的最值.例3.已知ìíîïïx -y +2≥0，x +y -4≥0，2x -y -5≤0，求z =x 2+y 2-10y +25的最小值.解：作出可行域，如图中阴影部分所示.将直线x -y +2=0、x +y -4=0、2x -y -5=0两两联立可求出三个顶点的坐标A ()1,3、B ()3,1、C ()7,9，51备考指南而z =x 2+y 2-10y +25=x 2+()y -52表示可行域内任一点()x ,y 到定点M ()0,5的距离的平方，过M 作直线AC易知垂足N 在线段AC 上，则z 的最小值为||MN 2，由点到直线的距离公式可得||MN =，故z 的最小值为||MN 2=92.我们将不等式组看作线性约束条件，画出可行域，便可将问题看作线性规划问题，结合图形寻找到目标函数取得最小值的点，即可利用线性规划思想求得问题的答案.四、利用代数式的几何意义求最值大部分的代数式都有几何意义，如y =x 2表示的是一条抛物线，y =x 表示的是一条直线，y =1x表示的是两条双曲线，等等.在求最值时，可先挖掘代数式的几何意义，画出相应的几何图形，通过寻找图形中的临界情形，如相切、相交等情形，确定目标式的最值.例4.已知x ，y 满足x 225+y 29=1，求()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最值.解：由方程x 225+y29=1易知，该曲线为椭圆，设P ()x ,y 为椭圆上的一点，B (2，2)，则a =5，b =3，c =4，右焦点A (4,0)，左焦点F 1(-4,0)，而||PA +||PB =()x -42+y 2+()x -22+()y -22，根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PA |=10，则|PA |=10-|PF 1|，|PA |＋|PB |=10-|PF 1|+|PB |，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边性质，可得10-|F 1B |≤|PF 1|-|PB |≤10+|F 1B |，又F 1B =210，故10-210≤|PA |+|PB |≤10+210.当且仅当P ，B ，A 共线时等号成立，故()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最大值是10+210，最小值是10-210.解答此题，需将方程x 225+y 29=1看作椭圆，P 看作椭圆上的一个动点，那么目标式表示的是线段||PA +||PB ，问题就变为求两线段和的最大值、最小值.挖掘题目中代数式的几何意义，将问题转化为几何图形问题，利用几何图形的性质以及相关定理、公式即可解题.当然，求最值的方法还有很多，如导数法、转化法等.这就要求让同学们运用发散思维，去寻求、总结更多的解答最值问题的方法.（作者单位：安徽省临泉第二中学）（上接34页）三、引导学生关注时事，点评其中的人与事“文章合为时而著”，在写作教学中，我们要引导学生关注时事，多思考，多评论，让他们走进社会生活，理性地表达自己的观点。
高中数学一轮复习线性规划中求整点最优解的两种常用方法
线性规划中求整点最优解的两种常用方法简单的线性规划是新教材的新增加内容，它在人们的生活和生产实践中有着广泛的应用，因此，它必将成为高考的一个新亮点，而在线性规划中，求整点最优解的问题是一个难点，下面介绍两种常用的方法.1、平移求解法步骤：1、作出可行域（若是实际问题，则首先应根据题意列出线性约束条件，找出线性目标函数）；2、找出最优解（当最优解不是整数解时，过最优解作与线性目标函数平行的直线）；3、平移直线族（在平面直角坐标系中，打出网格，在可行域内，平移步骤2中所作的直线，最先经过的整点即为所求的整点最优解）. 【范例引导】例1、要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少.解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0027*******y x y x y x y x 目标函数为：y x z +=.作出可行域，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518.此时，5211=+y x ，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，用平移求解法，打出网格，将平行直线族y x t +=中的5211=+y x 向右上方平移，由图可知，在可行域中最先经过的整点是B （3，9）和C （4，8），它们是所求的最优整点解，此时.12=+y x答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，一种是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；二是截第一种钢板4张、第二种钢板8张. 2、调整优值法步骤：1、求出非整点的最优解及最优值（即对应最优解的目标函数值）；2、借助不定方程的知识调整最优值；3、筛选出符合条件的最优解. 【范例引导】例2、用“调整优值法” 解例1 .解:由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，此时，5211=+=y x t = 11.4不是整数，因而需要对t 进行调整，由于y x ,为整数，所以t 为整数，而与11.4最靠近的整数是12，故取t =12，即12=+y x ，将x y -=12代入到线性约束条件，解得：5.43≤≤x ，取4,3==x x 得整点的最优解为：B （3，9）和C （4，8），此时.12=+y x例3、已知y x ,满足不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+≤+Ny N x y x y x y x ;0;040356056（*）求y x z 150200+=的最大值. 解：根据约束条件画出可行域，由⎩⎨⎧=+=+40356056y x y x 得非整点最优解)760,720(，此时，711857760150720200=⋅+⋅=z 也是非整数.因为y x z 150200+=)34(50y x +=，又y x ,为整数，所以z 一定是50的倍数.令y x z 150200+==1850，则)437(31x y -=，代入到（*）式中得3212≤≤x ，故当3=x 时，325=y 为非整数解.令y x z 150200+==1800，则)436(31x y -=，代入到（*）式中得：40≤≤x ，经计算（0，12），（3，8）为其整数解，此时，1800=z . 【名师小结】在一定的约束条件下使某目标达到最大值或最小值的问题称为数学规划，而当约束条件和目标函数都是一次的（又称线性的），我们称这种规划问题为线性规划.例如，如何分配有限的资源以达到某种既定的目标（如利润最大，支付最小等），称为资源分配问题，而许多资源分配问题可以归结为线性规划模型来处理. 在解线性规划应用问题时的一般步骤为：（1）审题；（2）设出所求的未知数；（3）列出约束条件，建立目标函数；（4）作出可行域；（5）找出最优解. 【误区点拨】1、对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点，而先要过边界点作目标函数By Ax t +=的图象，则最优解是在可行域内离直线By Ax t +=最近的整点；2、熟练掌握二元一次不等式所表示的平面区域是解决线性问题的基础，因此，正确地作出可行域是我们解题的关键；3、一般的线性规划问题，其约束条件是平面上的一个多边形闭区域，或者是向某一方向无限延展的半闭区域，而目标函数必在边界取最值，且是边界的顶点处取最值，但不一定有最优整数解，这一点一定要注意. 【反馈训练】1、设y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈>>≤+<+zy z x y x y x y x ,0,01141023，求y x u 45+=的最大值. 2怎样搭配价格最低？3、有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要原料和产生的利润分别是：磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，利润10000元或磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，利润5000元.工厂现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最大的利润？4、某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个；乙产品4吨需煤9吨，电力5千瓦，劳动力10个.甲产品1吨利润7万元，甲产品1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦，劳动力只有300个，问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？ 【参考答案】1、最优整数解为（2，1），=m an u 14；2、10片A 和3片B 搭配价格最低为1.6元.3、最后归结为在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0661518104y x y x y x 下，求目标函数y x u 500010000+=的整数解问题，答案是生产甲、乙肥料各2车皮时可获得最大的利润30000元.4、最后归结为在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.15,15,300103,20054,30049y x y x y x y x 下，求目标函数y x u 127+=的整数解问题，答案是甲、乙两种产品各20吨、24吨，利润总额达到最大428元.。
线性规划问题
线性规划问题为了更好地解决高中数学中线性规划问题，笔者进行了简单总结。
一、利用线性规划求最值（一）目标函数为一次函数形式求的最大值，最小值。
分析：一般的直线的规划区域只要求出区域的交点坐标（最大值，最小值存在），将坐标点代入目标函数就可以。
线性规划区域的边界点坐标分别为（3，1），（7，9），（1，3），代入目标函数可以得到最大值为（7，9）取到为21，最小值为（3，1）取到为1。
含有参数的如：目标函数最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为（）分析：直线x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0的交点分别为a（1，1），b(1，22/5)，c(5，2)，所以最值的取得是根据直线的斜率k的范围，把变为，结合图形分析当时，由题意可得得到时，结合图形分析可知，不存在满足题意的k，因此k=2（二）目标函数为二次函数能转化为完全平方形式例2.求的最小值。
分析：先将，可以发现表示的是点（x，y）到定点的距离的平方，过m作直线ac的垂线，易知，垂足n在线段ac上，故z的最小值是|nm|=2/9（三）目标函数是反比例形式例3.求。
(分析：把等号右边转化为斜率问题进行求解)表示可行域内任意一点与定点q（-1，-1/2）连线的斜率的2倍，因为故z的范围是[3/4，7/2]求的值域分析：因为所以z可以表示为单位圆上的点与（3，2）的斜率的取值范围，所以z的取值范围是两条斜率的取值范围[]二、线性规划的面积问题(一)与向量相结合例4.在平面直角坐标系里，o为坐标原点，，p点满足，则p点轨迹表示的平面区域面积是。
设p点坐标为（x，y）根据题意可得区域面积一目了然为2。
（二）与圆相结合例5.a=，b=；(1)p=的面积；(2)求点q的面积。
分析：p点转化x-3=x1，y-1=y1，所以(x-3)2+(y-1)21区域标识的是圆边界及其内部的面积。
q点横纵坐标转化x-x2=x1，y-y2=y1所以(x-x2)2+(y-y2)2=1，所以p点的轨迹是以线性规划目标区域中任意一点为圆心的圆。
线性规划最值问题
线性规划最值问题什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类最值问题。
在线性规划中，我们试图找到一组变量的值，使得目标函数取得最大（或最小）值，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。
线性规划问题的一般形式线性规划问题可以用下列一般形式来表示：$$\max (或 \min) c^T x$$$$s.t.\quad Ax \leq b$$其中，$x$是变量向量，$c$是目标函数系数向量，$A$是约束条件系数矩阵，$b$是约束条件右侧常数向量。
求解线性规划最值问题的步骤求解线性规划最值问题的一般步骤如下：1. 确定目标函数：根据问题要求确定目标函数的系数向量$c$和优化目标（最大化或最小化）。
2. 设置约束条件：根据问题要求确定约束条件的系数矩阵$A$和右侧常数向量$b$。
3. 求解最值：应用线性规划算法，求解线性规划问题，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量$x$。
4. 解释结果：将最值代入目标函数，得到最终的最值结果，并解释其含义。
线性规划最值问题的应用线性规划最值问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：- 产品混合问题：决定不同产品的生产数量，以最大化收益或最小化成本。
- 运输问题：确定不同货物在不同运输路线上的分配方案，以最小化运输成本。
- 资源分配问题：决定资源的最优分配，以最大化效益或实现平衡。
总结线性规划最值问题是一种在实际应用中常见的问题求解方法。
通过确定目标函数和约束条件，并应用线性规划算法，我们可以找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量。
该方法可以应用于多个领域，帮助优化决策和资源分配。
高中数学解线性规划问题的方法与思路总结
高中数学解线性规划问题的方法与思路总结一、引言线性规划是高中数学中的重要内容，也是数学建模和实际问题求解中常用的方法之一。
本文将总结解线性规划问题的方法与思路，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用线性规划。
二、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。
其中，线性约束条件可以用一组线性不等式或等式表示，线性目标函数是一次函数。
三、线性规划问题的解题步骤1. 建立数学模型：根据实际问题，确定决策变量、目标函数和约束条件，并将其转化为数学表达式。
2. 确定可行域：根据约束条件，确定决策变量的取值范围，即可行域。
3. 确定最优解：通过图像、代数或单纯形表等方法，确定最优解的存在性和唯一性。
4. 求解最优解：利用图像、代数或单纯形表等方法，求解最优解，并进行验证。
5. 分析最优解：对最优解进行解释和分析，得出结论。
四、线性规划问题的解题技巧1. 图像法：将线性规划问题转化为几何问题，在平面直角坐标系中绘制可行域和目标函数的图像，通过观察图像找到最优解。
例如，解决如下问题：求函数 f(x, y) = 3x + 4y 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6 的可行域中的最大值。
通过绘制可行域和目标函数的图像，可以观察到最优解在可行域的顶点处取得。
2. 代数法：通过代数计算，利用不等式关系和线性目标函数的性质，求解最优解。
例如，解决如下问题：求函数 f(x, y) = 2x + 3y 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4 的可行域中的最大值。
通过列出不等式组成的方程组，利用代数方法求解方程组，得到最优解。
3. 单纯形表法：适用于多个决策变量和多个约束条件的线性规划问题。
通过构建单纯形表，利用迭代计算的方法求解最优解。
例如，解决如下问题：求函数 f(x, y, z) = 5x + 4y + 3z 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z = 6 的可行域中的最大值。
利用线性规划巧解常见的最值问题
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图１
ｆ
若 ｚ —— 如何 求 ｚ ＝－ ＸＩ 的取 值 范 围？
，
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作 直 线ｌ：一 ｙ ０ ｘ ２ ＝ ．
题型三： 已知点Ｍ（，） ｘｙ满足条件｛ ｙ４ ０， ｘ －Ｉ ＋ ＞
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（ 昌市第 二 中学 ， 金 甘肃 金 昌
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利 用 线 性 规 划 巧 解 常 见 的 最 值 问 题
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在 高 中数 学 学 习 中求 最 值 问 题 或 范 围 问 题 是 考 试 常 见 的 题 型 ， 时 也 是 学 生 难 以 解决 的 问题 ， 用 线 性 规 划 的 知 识解 有 利 决 此 类 问 题 可 以 避 免 学 生 常 犯 的一 些 错 误 ．下 面就 几 种 常 见 的 题 型进 行 探 讨 ．
定 程 度 上 能 够 促 进 课 堂 上 学 生 的 参 与 ，从 而 提 高课 堂 教 学 效 率。
一
思维 性强 、 活性 、 灵 运用性强 的特点 ， 并结合 教学反馈信息 精
心 设 计 教 案 ， 用 现代 化 的 教 学 手 段 ， 用 探 究 式 学 习 方 法 ， 运 采 摆 正 讲 与 练 的 关 ห้องสมุดไป่ตู้ ， 点 培 养 学 生 的学 习 能 力 与 创 新 ， 他 们 重 使 变 被 动为 主 动 ， 学 会 为会 学 ， 而 达 到 传 授 知 识 、 养 能 力 变 从 培 的双 重 目的 ， 到 事 半 功倍 的效 果 收 参考文献 ： ［ ］ 美 凤 ． 学 数 学 教 师 提 高 课 堂 教 学 效 率 的 探 讨 ［］ １李 中 Ｊ． 新 乡教 育 学院 学 报 ，０ ８ （ ） ２ ０ ，６ ． ［ ］ 宏 志． 何 提 高 课 本 例 、 题 的教 学 价 值 ［］中学 数 ２李 如 习 Ｊ． 学 ，０ ６ （） ２ ０ ，１． ［ ］ 岩 ． 谈 如 何 提 高 数 学 课 堂 的 效 率 ［］成 才 之 路 ， ３吕 浅 Ｊ．
利用线性规划求最值
利用线性规划求最值陕西宁强县天津高级中学 李红伟简单线性规划是高中数学教学的新内容之一，是解决一些在线性约束条件下的线性目标函数的最值（最大值或最小值）的问题。
简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合的思想求函数的最值。
解决问题时主要是借助平面图形，运用这一思想能够较快的解决一些二次函数的最值问题。
现对高中数学中目标函数常见类型的最值问题做一探讨。
一、线性约束条件下线性目标函数的最值（即截距型：c by ax z ++=）例1．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+,2,01,03x y x y x 若y x z +=2，求z 的最大值和最小值。
解析：不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+,2,01,03x y x y x 表示的平面区域如图所示。
图中阴影部分即为可行域。
图示—1由⎩⎨⎧=+-=-+,01,03x y x 得⎩⎨⎧==,2,1y x )2,1(A ∴ 由⎩⎨⎧=-+=,03,2y x x 得⎩⎨⎧==,1,2y x )1,2(B ∴ 由⎩⎨⎧=+-=,01,2y x x 得⎩⎨⎧==,3,2y x )3,2(M ∴ y x z +=2，z x y +-=∴2， 即z表示直线z x y +-=2在y 轴的截距. 当直线z x y +-=2经过可行域内的点)3,2(M 时，直线在y 轴的截距最大，z 也最大，此时7322m a x =+⨯=Z . 当直线z x y +-=2经过可行域内的点)2,1(A 时，直线在y 轴的截距最小，z 也最小，此时4212min =+⨯=Z .所以，Z 的最大值为7，Z 最小值为4.这类问题的解决，关键在于能够正确理解目标函数的几何意义——目标函数的“截距”。
二、线性约束条件下非线性目标函数的最值1．距离型：22)()(b y a x z -+-= 即z 几何意义为可行域内的动点）（y x ,与定点),(b a 的距离的平方。
例说运用线性规划思想解二元函数最值问题论文
例说运用线性规划思想解二元函数最值问题线性规划是高中数学中的新增内容,也是初等与高等数学的衔接内容,是高考的重点热点.线性规划思想在高中数学各个章节中都有应用,尤其在求有关二元函数的最值问题时，以下举几例说明，供参考：一、在解析几何中的应用1.到点的距离问题例1 已知x,y满足y≤x,x+2y≤4,y≥-2,则s=x2+y2+2x-2y+2的最小值是.解析 s=(x+1）2+（y-1)2表示可行域内的点到点(-1,1)的距离的平方,由图可知当点取(0,0)时s的最小值为2.2.到直线的距离问题例2 已知x,y满足不等式组x+y-4≥0,x-y+2≥0,2x-y-5≤0,则ω=|x+2y-4|的最大值为.解析作出可行域,设p(x,y)是区域内任一点,则|x+2y-4|[]5表示点p到直线x+2y-4=0的距离,解x-y+2=0,2x-y-5=0,得q(7,9),由图可知,当取点q(7,9)时，ω的最大值为21.3.两点连线的斜率问题例3 已知x,y满足不等式组y≥0,x-y≥0,2x-y-2≥0，则ω=y-1[]x+1的取值范围是.解析作出可行域,设p(x,y)为可行域内任一点,而ω=y-1[]x+1表示点p和点q(－1,1)连线的斜率,且ωmin=k qm=-1[]2,又由图知ω<1,所以ω-1[]2,1.点评 (1)解线性规划问题要先正确画出满足条件的可行域.(2)要善于联想目标函数所表示的几何意义,如距离、斜率等.二、在函数、方程与不等式中的应用例4 已知函数f(x)=(4a-3)x+b-2a,x∈［0,1］,若f(x)≤2恒成立,则a+b的最大值为.解析由题意得f(0)≤2,f(1)≤2,解得b-2a≤2,2a+b≤5,令z=a+b,作图令横轴为a轴,纵轴为b轴,由线性规划知识可得在点3[]4,7[]2处z取得最大值17[]4.三、在概率问题中的应用例5 甲乙二人互相约定6：00~6：30在预定地点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开,求甲乙二人能会面的概率.（假定他们在6：00~6：30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的.）解析设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为x，y.则由题意知0≤x≤30,0≤y≤30,由“二人会面”可得|x-y|<10，在直角坐标系中画出0≤x≤300≤y≤30的对应平面区域为正方形，且面积为302=900；画出|x-y|<10的对应平面区域为区域a，且面积为302-2×1[]2×(30-10)2=500.所以由几何概型可得所求概率为p=500[]900=5[]9.答两人能见面的概率为5[]9.从以上几例看出，在求有关二元函数的最值问题时，注意利用线性规划思想,联想目标函数的几何意义,合理恰当转化将使问题解决简洁明了.。
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线性规划求最值问题
一、与直线的截距有关的最值问题
例1 已知点()P x y ，在不等式组2010220x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩
，，≤≤≥表示的平面区域上运动，则z x y =-的
取值范围是（ ）．
（A ）［－2，－1］ （B ）［－2，1］
（C ）［－1，2］ （D ）［1，2］
解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑z x y =-，
把它变形为y x z =-，这是斜率为1且随z 变化的一族平行
直线．z -是直线在y 轴上的截距．当直线满足约束条件且
经过点（2，0）时，目标函数z x y =-取得最大值为2；
直线经过点（0，1）时，目标函数z x y =-取得最小值为－1．故选（C ）．
注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的取值范围为［-1，2］更为简单．这需要有最值在边界点取得的特殊值意识．
二、与直线的斜率有关的最值问题 例2 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩
，，，≤≥≤，则y z x =的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2），00y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交点，即A 点．
∴312P ⎛⎫
⎪⎝⎭，．故答案为32
． 注：解决本题的关键是理解目标函数00y y z x x -=
=-的 几何意义，当然本题也可设y t x
=，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时，
t 最大．代入y tx =，求出32
t =， 即得到的最大值是32
． 三、与距离有关的最值问题
例3 已知2040250x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩
，，，≥≥≤，求221025z x y y =+-+的最小值．
解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A （1，3）、B （3，1）、C （7，9）．而22(5)z x y =+-表示可行域内任一点（x ，y ）到定点M （0，5）的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足Ｎ在线段AC 上，故z 的最小值是292MN =． 注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等． 四、与实际应用有关的最值问题
例4 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买多少才行？ 分析：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数
之和，再由此在可行域内求出最优解．解题中应当注意到问
题中的桌、椅数都应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上
得出的最优解不满足题设条件时，应作出调整，直至满足题设．
解：设应买x 张桌子，y 把椅子，把所给的条件表示成
不等式组，即约束条件为502020001.5x y y x y x x y *+⎧⎪⎪⎨⎪
⎪∈⎩N ，
，，，，
≤≥≤ 由50202000x y y x +=⎧⎨=⎩，，解得2007200.7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，． ∴ A 点的坐标为2002007
7⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 由502020001.5x y y x +=⎧⎨=⎩，，解得2575.2
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，． ∴ B 点的坐标为75252⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，． 所以满足约束条件的可行域是以2002007525(00)772A B O ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，，，为顶点的三角形区域（如图4）．由图形可知，目标函数z x y =+在可行域内的最优解为25，，但注意到x y *∈N ，，故取37y =．
答：应买桌子25张，椅子37把．。