因式分解配方法课件课件
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人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优质课课件(共19张PPT)
用因式分解法求解一元二次方程
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 － 4=0
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
教 1、熟练掌握用因式分解法解一 学 元二次方程。 目 2、通过因式分解法解一元二次 标 方程的学习，树立转化的思想。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x 1)
0
x12Leabharlann 3,x21 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 － 4=0
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
教 1、熟练掌握用因式分解法解一 学 元二次方程。 目 2、通过因式分解法解一元二次 标 方程的学习，树立转化的思想。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x 1)
0
x12Leabharlann 3,x21 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
初中数学教学课件：21.2.3 因式分解法(人教版九年级上)
2.解下列方程: （1）（x+2)(x-4)=0 【解析】(1) (2)4x(2x+1)-3(2x+1)=0
x 2 0或x 4 0
x1 2，x 2 4.
24x2x 1 32x 1 0，
2x 14x - 3 0,
2x 1 0或4x 3 0.
即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0 【解析】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0或x-5=0
∴x1= -5,x2=5.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例 题
【例1】用分解因式法解方程:
(1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2). 【解析】
解 : 1 5x 2 4x 0,
x5x 4 0.
2 x 2 x x 2 0, x 21 x 0.
1.x1 5; x2 2.
x 2 (5 2 ) x 5 2 0
2. x 2 ( 3 5 ) x 15 0 2.x1 5; x2 3.
3. x 2 (3 2)x 18 0
4. (4 x 2) x(2 x 1)
2
3.x1 3; x2
b b 2 4ac (a 0, b 2 4ac 0) 公式法 x 2a
人教九年级数学上册《因式分解法》课件
5．用因式分解法解下列方程： (1)x2－4＝0；
解：x1＝2，x2＝－2 (2)x2－2 3x＝0；
解：x1＝0，x2＝2 3
(3)(3－x)2－9＝0；
解：x1＝0，x2＝6 (4)x2－4x＋4＝(3－2x)2. 解：x1＝1，x2＝53
知识点2：用适当的方法解一元二次方程
6．解方程(x＋1)2－5(x＋1)＋6＝0时，我们可以将x＋1看成一个整
8．方程x(x－1)＝－x＋1的解为( D )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x1＝0，x2＝－1
D．x1＝1，x2＝－1
9．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A )
A．(2x＋2)(3x＋4)＝0化为2x＋2＝0或3x＋4＝0
B．(x－3)(x＋1)＝1化为x－3＝1或x＋1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3
2．解一元二次方程，首先看能否用___直__接__开__平__方__法______；再看 能否用____因__式__分__解__法______；否则就用____公__式__法_____；若二次项 系数为1，一次项系数为偶数可先用__配__方__法_____．
知识点1：用因式分解法解一元二次方程
1．方程(x＋2)(x－3)＝0的解是( C )
解：x1＝x2＝2
(2)(x－3)2＝3(x－3)．
解：x1＝3，x2＝6
15．用适当的方法解下列方程：
(1)4(x－1)2＝2；
解：x1＝
22＋2，x2＝－
2＋2 2
(2)x2－6x＋4＝0；
解：x1＝3＋ 5，x2＝3－ 5
(3)x2－4＝3x－6；
解：x1＝1，x2＝2 (4)(x＋5)2＋x2＝25.
配方法(课件1)
02 方程求解
配方法可以用于求解一元二次方程和某些一元高 次方程，将其转化为容易求解的形式。
03 函数极值
配方法可以用于求函数的极值，通过将函数转化 为完全平方的形式，可以更容易地找到极值点。
配方法的基本步骤
步骤1
步骤3
将多项式转化为完全平方的形式，可 以通过加上或减去适当的常数来实现。
利用直接开平方法求解，得到原多项 式的解。
01
02
03
解的求解过程
通过对方程进行配方，将 其转化为完全平方形式， 然后利用直接开平方法求 解。
解的表示
解可以表示为 $x=hpmsqrt{k}$的形式， 其中$h$和$k$是常数， $sqrt{k}$是方程的解。
解的验证
解出方程后，需要验证解 的正确性，确保解满足原 方程。
03
多元一次方程组的配方法
开方得到：$x - 2 = pm 1$
解得：$x_1 = 3, x_2 = 1$
THANKS
感谢观看
步骤2
对完全平方进行因式分解，得到两个 相同的因式。
02
一元二次方程的配方法
方程的转化
转化形式
将一元二次方程转化为$a(xh)^2+k$的形式，其中$h$和$k$ 是常数，$a$是方程的二次项系数。
配方过程
通过移项、配方等步骤，将一元二 次方程转化为完全平方的形式。
配方技巧
利用完全平方公式，将方程中的项 进行组合，使其成为完全平方项。
02
01
03
将方程两边同时除以二次项 系数，使二次项系数为1。
将方程两边同时加上一次项 系数一半的平方。
04
05
化简得到一个完全平方项。
配方法的应用实例
配方法可以用于求解一元二次方程和某些一元高 次方程，将其转化为容易求解的形式。
03 函数极值
配方法可以用于求函数的极值，通过将函数转化 为完全平方的形式，可以更容易地找到极值点。
配方法的基本步骤
步骤1
步骤3
将多项式转化为完全平方的形式，可 以通过加上或减去适当的常数来实现。
利用直接开平方法求解，得到原多项 式的解。
01
02
03
解的求解过程
通过对方程进行配方，将 其转化为完全平方形式， 然后利用直接开平方法求 解。
解的表示
解可以表示为 $x=hpmsqrt{k}$的形式， 其中$h$和$k$是常数， $sqrt{k}$是方程的解。
解的验证
解出方程后，需要验证解 的正确性，确保解满足原 方程。
03
多元一次方程组的配方法
开方得到：$x - 2 = pm 1$
解得：$x_1 = 3, x_2 = 1$
THANKS
感谢观看
步骤2
对完全平方进行因式分解，得到两个 相同的因式。
02
一元二次方程的配方法
方程的转化
转化形式
将一元二次方程转化为$a(xh)^2+k$的形式，其中$h$和$k$ 是常数，$a$是方程的二次项系数。
配方过程
通过移项、配方等步骤，将一元二 次方程转化为完全平方的形式。
配方技巧
利用完全平方公式，将方程中的项 进行组合，使其成为完全平方项。
02
01
03
将方程两边同时除以二次项 系数，使二次项系数为1。
将方程两边同时加上一次项 系数一半的平方。
04
05
化简得到一个完全平方项。
配方法的应用实例
配方法因式分解
§2.3运用配方法的因式分解法 学习目标
1. 理解掌握运用配方法进行因式分解；
2. 能根据具体情况灵活运用各种方法进行因式分解..
重点、难点
1. 配方法的运用方法；
2. 根据具体情况灵活选择方法进行因式分解
新课引入
1. 把下列各多项式因式分解：
1962-+x x ；22842--x x
小结：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法..
说明：配方法的关键是将二次三项式变形为：A 2—B 2的形式;然后要平方差公式继续分解.. 例题选讲
例1. 把下列各多项式因式分解：
112366+--x y x ；2422497y y x x +-；★3ab b ax x 2222+--
例2.把下列各多项式因式分解：
1362025422--+ab b a ；216)5(6)5(222--+-x x x x
说明：把一个多项式因式分解的基本步骤：
1）如果多项式各项有公因式;那么先提取公因式；
2）如果多项式各项没有公因式;那么可以尝试运用公式来分解；
3）如果上述两种方法不能分解;那么可以尝试分组或十字相乘法或配方法来分解；
4）分解因式时;必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止..
巩固练习
把下列各多项式因式分解：
118724--x x ；222484n mn mx x -+-
小结
把一个多项式因式分解的基本方法：
提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法和配方法
课后练习
把下列各多项式因式分解： 1y xy x x 621552-+-；2432234ab b a b a b a --+； 3142222---+xy y x y x。
因式分解法数学九年级上册同步教学课件(人教版)
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到
0.01s)?
解析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高
度为0，即
10x-4.9x2=0 ①
思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法来解 方程①？
21.2.4 因式分解法
配方法解方程10x-4.9x2=0.
解：
x2 100 x 0， 49
分析：二次项的系数为1， 可用配方法来解题较快.
解：配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得
（4）3x2 = 4x + 1；
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平 方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
解：化为一般形式 3x2 - 4x + 1 = 0.
(1) (x + 1)2 = 5x + 5；
解：方程整理得
解：∵ (x + 1)2 = 5(x + 1)， (x − 3)2 − (5 − 2x)2 = 0，则
∴ (x + 1)2 - 5(x + 1) = 0. [(x−3)+(5−2x)][(x−3)−(5−2x)]=0，
则 (x + 1)(x − 4) = 0. ∴ x + 1 = 0，或 x − 4 = 0， 即 x1 = −1，x2 = 4．
21.2.4 因 式 分 解 法
21.2.4 因式分解法
知识回顾
1. 解一元二次方程的基本思路是什么？ 降次
2.我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？ 直接开平方法，配方法，公式法.
21.2.4 因式分解法
情景导入
初中数学经典课件：因式分解(人教版)
全平方公式吗？
a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
计 算
x 44 x _x_2__8_x__1_6__
： 7 b2 _b_2__1_4b___49__
m 99 m __m_2__1_8_m__8_1_
这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _______(a_+__3_)2______ ② n2–10n+25 = _____(n__–_5_)2______ ③ 4t2–8t+4 = _______4_(_t–_1_)_2_____ ④ 4x2–12xy+9y2 = ___(2_x_–_3_y_)_2____
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
计 算
x 44 x _x_2__8_x__1_6__
： 7 b2 _b_2__1_4b___49__
m 99 m __m_2__1_8_m__8_1_
这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _______(a_+__3_)2______ ② n2–10n+25 = _____(n__–_5_)2______ ③ 4t2–8t+4 = _______4_(_t–_1_)_2_____ ④ 4x2–12xy+9y2 = ___(2_x_–_3_y_)_2____
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
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2、已知x2+y2+6x-4y+13=0,求x,y的值.
3、分解因式
(1)x2-4x-12 (2)y2+12y-133
(3)x2-3x-28
(4)y2+18y+56
(5)x2+4xy-21y2 (6)x2y2+5xy+6
则m 3 4即m 7; (2)如果x2 (m 3)x 4 (x 2)2 则m 3 4即m 1;
m 7或1。
提高练习：已知a2+b2-6a+2b+10=0, 求a,b的值.
解:∵ a2+b2-6a+2b+10=0 ∴a2-6a+9+b2+2b+1=0
∴(a-3)2+(b+1)2=0 ∴a=3,b=-1
因式分解配方法课件
知识回顾
1、分解下列因式：
(1)7x2-28x
(2) 5ab2-80a3
(3) -9a2+36b2 (4)25a2-30ab+9b2
(5)18x3y+24x2y2+8xy3 (6) a4-4 (在实数范围内）
提升训练
2.因式分解:
(1) 3ax2 6axy 3ay2 3a x2 2xy y2
3a(x y)2
(2)a4 8a2b2 16b4 (a2 4b2 )2
[(a 2b)(a 2b)]2 (a 2b)2 (a 2b)2 (3)(a2 9)2 36a2 (a2 9 6a)(a2 9 6a)
(a 3)2 (a 3)2
综合应用
3.用简便方计算：
（1）20082 64 16 2008 解：原式 2008 2 2 2008 8 82 （2008 8）2 20002 4000000
练习3 把下列各式分解因式
x4 4
3x2 6x 1（在实数范围内）
你领略到配方的魅力了吗？
❖配方法是一种“通法”，就是说只 要是能分解的二次三项式，都能用配 方法来分解。
综合应用
1.若x2 (m 3)x 4是完全平方式，
则实数m的值是 ______.
分析：两种情况： （1）如果x2 (m 3)x 4 (x 2)2
（2）9992 1002 998 解：原式 （998 1）2 1002 998
9982 299811002998
998（998 2 1002）1
998（ 2）1 1997
对于 ax2 bx c (a 0) 这样
的二次三项式，可以进行因式分解吗？
例如 : x2 2x 3 解：原式=(x2 2x 1) 1 3
➢在分解过程中，为什么要加上一项，又减 去该项？
➢在第2题中怎样把二次项系数变为1？
➢能总结出用配方法分解因式的步骤吗？
➢对比用配方法解方程，你觉得用配方法分 解因式的过程中，哪些值得注意的地方？
❖步骤：1提：提出二次项系数；
2配：配成完全平方；
3化：化成平方差；
4分解：运用平方差分解因式。 ❖实质：对二次三项式的常数项进行 “添项”。“添”的是一次项系数一 半的平方。（添项拆项法）
课堂作业
1、填空： （1）x2-18x+ =( )2 (2) 9x2 + +16y2=( )2
2、如果x2-2kx+4是完全平方式，则k=
.
3、分解因式 （1）x2+2x-24
(2) x2+8xy&4)x2y2-9xy+20
(5)-x2-2x+15
家庭作业
1、如果x2+2（k+4）x+25是完全平方式，求k的值。
(x 1)2 4 [(x 1) 2][(x 1) 2] (x 3)(x 1)
练习1 把下列各式分解因式
(1)x2 2x 8 (2)x2 6xy 5y2
(3) x2 y2 20 xy 96
试试用配方法怎样进行下列式子 的因式分解呢？
(1)x2 3x 40
(2)2x2 x 3