电路课件(邱关源版)第十四章拉氏变换
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电路14章 拉氏变换2015
i 3
n
d ( s p1 ) 2 F ( s) ds
s p1
n K 1, l 1 K 1l Ki K 11 则：F ( s ) s p1 ( s p1 ) 2 ( s p1 ) l i l 1 s pi d K11 ( s p1 ) l F ( s ) s p1 ，K12 ( s p1 ) l F ( s ) s p1 ds 1 d l 1 l K1l ( s p ) F ( s ) 1 l 1 (l 1)! ds n K11 l 1 p1t p1t p1t f (t ) K1l e K1,l 1te t e K i e pi t (l 1)! i l 1
例 11- 2 L[sint ] L[
1 1 1 1 (e jt e jt ) (t )] [ ] 2 2 s 2j 2 j s j s j
二 . 导数性质
若：L[ f (t )] F (s) 则： L[
s s 1 d 例11 3：L[cos t ] L[ (sin t )] 0 2 2 s2 2 dt s
K i ( s pk ) F ( s) s pk , K11 ( s p1 ) F ( s) s p
2
1
, K12
f (t ) K12e p1t K11te p1t K i e pi t
3. D(s)有一个l 重根,其余为单根 D( s) b0 ( s p1 )l ( s pl 1 ) ( s pn )
2 j c j
1
c j
F ( s)e st ds
f (t ) Mect
n
d ( s p1 ) 2 F ( s) ds
s p1
n K 1, l 1 K 1l Ki K 11 则：F ( s ) s p1 ( s p1 ) 2 ( s p1 ) l i l 1 s pi d K11 ( s p1 ) l F ( s ) s p1 ，K12 ( s p1 ) l F ( s ) s p1 ds 1 d l 1 l K1l ( s p ) F ( s ) 1 l 1 (l 1)! ds n K11 l 1 p1t p1t p1t f (t ) K1l e K1,l 1te t e K i e pi t (l 1)! i l 1
例 11- 2 L[sint ] L[
1 1 1 1 (e jt e jt ) (t )] [ ] 2 2 s 2j 2 j s j s j
二 . 导数性质
若：L[ f (t )] F (s) 则： L[
s s 1 d 例11 3：L[cos t ] L[ (sin t )] 0 2 2 s2 2 dt s
K i ( s pk ) F ( s) s pk , K11 ( s p1 ) F ( s) s p
2
1
, K12
f (t ) K12e p1t K11te p1t K i e pi t
3. D(s)有一个l 重根,其余为单根 D( s) b0 ( s p1 )l ( s pl 1 ) ( s pn )
2 j c j
1
c j
F ( s)e st ds
f (t ) Mect
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
邱关源—电路—教学大纲—第十四章
2 2 其中， A(ω ) = H ( jω ) = P (ω ) + Q (ω )
ϕ (ω ) = ∠H ( jω ) = arctg
Q (ω ) P (ω )
H(ω)的模A(ω)反映了定常线性系统在正弦信号激励下，其稳态输出信号与输入信号 的幅值比，称为系统的幅频特性； 幅角ϕ(ω)反映了稳态输出信号与输入信号的相位差，称为系统的相频特性； 幅频特性与相频特性统称系统的频率特性。 因此，所谓频率特性即: 系统在正弦信号激励下，其稳态输出对输入的幅值比及相位差 随激励频率 ω 变化的特性。
网络函数极点的位置决定了电路单位冲激响应（暂态响应）的性质。
H ( s) =
H ( s) =
ω0 2 ( s + α ) 2 + ω0
1 s+α
↔
h( t ) = e -αt
p12 = -α + jω0 ↔ h( t ) = e -αt sinω0 t
α = ω0 = 0 , H ( s ) = ↔ h( t ) = ε ( t )
（四）
教学内容和要点
R(S) bm S m + bm-1 S m-1 + " + b1 S + b0 = E(S) an S n + an-1 S n-1 + " + a1 S + a0
一、极点分布与冲激响应 网络函数： H(S) = 可以变形为:
(an S n + an-1 S n-1 + " + a1 S + a0 )R(S) = (bm S m + bm-1 S m-1 + " + b1 S + b0 )E(S)
ϕ (ω ) = ∠H ( jω ) = arctg
Q (ω ) P (ω )
H(ω)的模A(ω)反映了定常线性系统在正弦信号激励下，其稳态输出信号与输入信号 的幅值比，称为系统的幅频特性； 幅角ϕ(ω)反映了稳态输出信号与输入信号的相位差，称为系统的相频特性； 幅频特性与相频特性统称系统的频率特性。 因此，所谓频率特性即: 系统在正弦信号激励下，其稳态输出对输入的幅值比及相位差 随激励频率 ω 变化的特性。
网络函数极点的位置决定了电路单位冲激响应（暂态响应）的性质。
H ( s) =
H ( s) =
ω0 2 ( s + α ) 2 + ω0
1 s+α
↔
h( t ) = e -αt
p12 = -α + jω0 ↔ h( t ) = e -αt sinω0 t
α = ω0 = 0 , H ( s ) = ↔ h( t ) = ε ( t )
（四）
教学内容和要点
R(S) bm S m + bm-1 S m-1 + " + b1 S + b0 = E(S) an S n + an-1 S n-1 + " + a1 S + a0
一、极点分布与冲激响应 网络函数： H(S) = 可以变形为:
(an S n + an-1 S n-1 + " + a1 S + a0 )R(S) = (bm S m + bm-1 S m-1 + " + b1 S + b0 )E(S)
拉氏变换详解ppt课件
a
0
a
令t / a , 则原式 f ( )e
0
sa
ad aF (as)
9
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) Nhomakorabea ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
14
2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和
f (t ) L [ F ( s)] t 1 e
0
a
令t / a , 则原式 f ( )e
0
sa
ad aF (as)
9
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) Nhomakorabea ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
14
2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和
f (t ) L [ F ( s)] t 1 e
电路PPT-拉普拉斯变换
)]
1
1 esT
F1(s)
對於本題脈衝序列
f1
(t
)
(t
)
(t
T 2)F1Fra bibliotek(s)
(1 s
1 s
esT
/
2
)
L[
f
(t
)]
1
1 esT
(1 1 esT/2) ss
11
s
( 1
esT
/
2
)
5.拉普拉斯的卷積定理
若： L[ f1(t)] F1(s) L[ f2(t)] F2(s)
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则：
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例 一些常用的變換
乘法運算變換
①對數變換 A B AB 為加法運算
lg A lg B lg AB
②相量法
正弦量 i1 i2 i
時域的正弦運算 變換為複數運算
相量 I1 I2 I
拉氏變換
對應
f(t)(時域原函數)
F(s)(頻域象函數)
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2. 拉氏變換的定義
原函數f(t) 用小寫字母表示，如 i(t), u(t)
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3.典型函數的拉氏變換
F(s) f (t)estdt 0
(1)單位階躍函數的象函數
f (t) (t)
F(s) L[ (t)] (t)estdt estdt
0
0
1 est s 0
1 s
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a1sm1 (s p1)n
am
F(s)
K11 s p1
(s
K12 p1)2
(s
K1n1 p1)n1
K1n (s p1)n
电路课件第十四章拉普拉斯变换
N (s)
K 1(sj )F (s)sjD (s)sj
N (s)
K 2(sj )F (s)sjD (s)sj
由于F(S)为实系数多项式，K1,K2也是一对共轭复数
设 K 1 K 1 1 K 1 e j1 ,K 2 K 1 1 K 1 e j1
设 K 1 K 1 1 K 1 e j1 ,K 2 K 1 1 K 1 e j1
第14章 拉普拉斯变换
概述：
以往分析方法的局限性
(1)直流电路和正弦电流电路对激励有严格限制，且 只能求稳态响应。
(2)经典法：虽可求全响应，但建立、求解微分方程 都存在困难。
当我们求任何激励下的完全响应时，应用拉氏 变换进行电路分析，称为运算法。其基本步骤类似 于正弦电路的相量法。
时域 电路
经典法、相量法、运算法
f(t)K1e(j)t K2e(j)t
p 1 j,p 2 j
公式二：
一般形式：
ki
N( s ) D' ( s )
s pi
f(t)K 1ep1tK 2ep2tK nepnt
f(t) N (p 1)e p 1 t N (p 2)e p 2 t N (p n )e p n t
D (p 1) D (p 2)
D (p n )
罗必塔法则(补充)
当x a或x 时，两个函数 fx、 x都趋于
1 .设 n m ， D (s) 0 的p 根 1p n为
利用部分分式展开法将F(S)分解为： f(t)K 1ep1tK 2ep2tK nepnt
F (s)K 1 K 2 K n
sp1 sp2
spn
A
Aeat
s a
(sp 1)F (s) K 1 (sp 1) s K 2 p 2 s K n p n
K 1(sj )F (s)sjD (s)sj
N (s)
K 2(sj )F (s)sjD (s)sj
由于F(S)为实系数多项式，K1,K2也是一对共轭复数
设 K 1 K 1 1 K 1 e j1 ,K 2 K 1 1 K 1 e j1
设 K 1 K 1 1 K 1 e j1 ,K 2 K 1 1 K 1 e j1
第14章 拉普拉斯变换
概述：
以往分析方法的局限性
(1)直流电路和正弦电流电路对激励有严格限制，且 只能求稳态响应。
(2)经典法：虽可求全响应，但建立、求解微分方程 都存在困难。
当我们求任何激励下的完全响应时，应用拉氏 变换进行电路分析，称为运算法。其基本步骤类似 于正弦电路的相量法。
时域 电路
经典法、相量法、运算法
f(t)K1e(j)t K2e(j)t
p 1 j,p 2 j
公式二：
一般形式：
ki
N( s ) D' ( s )
s pi
f(t)K 1ep1tK 2ep2tK nepnt
f(t) N (p 1)e p 1 t N (p 2)e p 2 t N (p n )e p n t
D (p 1) D (p 2)
D (p n )
罗必塔法则(补充)
当x a或x 时，两个函数 fx、 x都趋于
1 .设 n m ， D (s) 0 的p 根 1p n为
利用部分分式展开法将F(S)分解为： f(t)K 1ep1tK 2ep2tK nepnt
F (s)K 1 K 2 K n
sp1 sp2
spn
A
Aeat
s a
(sp 1)F (s) K 1 (sp 1) s K 2 p 2 s K n p n
《电路》第五版邱关源第十四章
sp1 sp2
spn
f( t) K 1 e p 1 t K 2 e p 2 t K n e p n t
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待定常数的确定： 方法1
K i F ( s ) ( s p i)s p i i 1 、 2 、 3 、 、 n
(s 令 s p =1 p)1F (s) K 1 (s p 1 ) s K 2 p 2 s K n p n
F(s) ∞ f (t)estdt
0
f (t)
1
c
j∞
F
(s)est
ds
2πj c j∞
正变换 反变换
简写 F ( s ) L f ( t ) ， f ( t ) L - 1 F ( s )
s 复频率 sj
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注意
① 积分域
0
0 0
积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 积分下限从0 + 开始，称为0 + 拉氏变换 。
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F (s)N D ( (s s) )a b 0 0 s s m n a b 1 1 s sm n 1 1 b a n m(n m )
讨论
象函数的一般形式
(1)若D(s)=0有n个单根分别为p1、 、 pn
利用部分分式可将F(s)分解为
待定常数
F(s)K 1 K 2 K n
∞
t0
f(tt0)estdt
令tt0
∞
f(
)es(t0)d
0
est0
∞
f(
)esd
0
est0F(s)
延迟因子
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例2-5 求矩形脉冲的象函数。 解 f(t) ε (t) ε (t T )
邱关源《电路》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第十四章至第十五章【圣才出品】
第14章线性动态电路的复频域分析14.1复习笔记一、拉氏变换及其基本性质对定义在[0，∞）上的函数f（t），其拉氏变换与拉氏反变换分别为()()0e d st F s f t t -∞-=⎰()()j j 1e d 2πj c st c f t F s s +∞-∞=⎰式中，s＝σ＋jω为复数，称为复频率。
其主要性质如下：（1）线性性质L[A 1f 1（t）＋A 2f 2（t）]＝A 1L[f 1（t）]＋A 2L[f 2（t）]＝A 1F 1（s）＋A 2F 2（s）（2）微分性质若L[f（t）]＝F（s），d ()()d f t f t t'=则L[f′（t）]＝sF（s）－f（0－）。
（3）积分性质若L[f（t）]＝F（s），则01()d ()t L f F s sξξ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰（4）延迟性质若L[f（t）]＝F（s），则()()()000e st L f t t t t F s ε-⎡⎤--=⎣⎦（5）拉氏变换的卷积定理设f 1（t）和f 2（t）的象函数分别为F 1（s）和F 2（s），则有()()()()()()1212012*d t L f t f t L f t f F s F s ξξξ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦=⎰二、拉氏反变换的部分分式展开法1．部分分式展开法概述通常用两个实系数的s 的多项式之比来表示电路响应的象函数，有()()()()101101m m m n n n N s a s a s a F s m n D s b s b s b --+++==≤+++ 且均为正整数将有理分式F（s）用部分分式展开时，首先要把F（s）化为真分式，若n＞m，则F （s）为真分式；若n＝m，则将F（s）化为F（s）＝A＋N 0（s）/D（s）。
求反变换时，分情况讨论，如表14-1-1所示。
表14-1-12．部分分式展开法求拉氏反变换的步骤（1）n＝m时，将F（s）化成真分式和多项式之和；（2）求真分式分母的根，确定分解单元；（3）将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数；（4）对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。
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+
i1(0 ) 5A
10V
i2 (0 ) 0
-
画运算电路
I1(s) 2
+ 10/s
-
0.3s
3
-+
1.5V
0.1s
3 i2
0.1H
返回 上页 下页
I1(s) 2
+ 10/s
-
0.3s
3
-+ 1.5V
0.1s
10 1.5
I1(s)
s 5 0.4s
10 1.5s (5 0.4s)s
uL1(t) 0.375 (t) 6.56e12.5t
U
L2
(s)
0.1sI
(s)
0.375
s
2.19 12.5
uL2 (t) 0.375 (t) 2.19e12.5t
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i1 2 1.75e12.5t i2 uL1(t) 0.375 (t) 6.56e12.5t
i(0 ) s
I(s ) + U(s) -
L的 Z (s) sL
运算
电路 Y (s) 1 sL
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③ 电容C的运算形式 时域形式：
i(t) C
+
u(t) -
u
u(0
)
1 C
t 0
i( ) d
取拉氏变换,由积分性质得
I(s) 1/sC +u(0 ) -s
+
U(s)
)
返回 上页 下页
小结 电路的运算形式
① 电压、电流用象函数形式； ② 元件用运算阻抗或运算导纳表示； ③ 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。
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例 给出图示电路的运算电路模型。
解 t=0 时开关打开
20 + 50V -
uc(0-)=25V
+ iL 0.5H 5
iL(0-)=5A 时域电路
I1(s)
+
sM I2 (s) +
sL1
U1(s)
-
L1i1(0 )
-
+
sL2
-
U2 (s)
L2i2 (0 )
+
-
+-
Mi2 (0 )
-
+
Mi1(0 )
耦合电感 的运算电路
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3. RLC串联电路的运算形式 若：uc (0 ) 0
i
+
R
u (t)
L
-
C
时域电路
iL (0 ) 0
uL2 (t) 0.375 (t) 2.19e12.5t
5 i1 3.75
uL1 0
t
uL2 0.375(t)
2 0
-
1/sC
U (s) 1 I (s) u(0 )
sC
s
I (s) sCU (s) Cu(0 )
Cu(0-) I(s )
+ U(s) -
C的 运算 电路
Z (s) 1 sC Y (s) sC
返回 上页 下页
④ 耦合电感的运算形式
i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
( K ej e( j)t K e ej ( j)t ) f1(t) K e [e t j(t ) e j(t ) ] f1(t)
2 K et cos(t ) f1(t)
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(3)若 D(s) 0具有重根
待定常数的确定： 方法1
Ki F (s)(s pi ) s pi i 1、2、3 、 n
(s
令s
p1 ) F (s)
= p1
K1
(s
p1)
s
K2 p2
s
Kn pn
方法2
Ki
lim
spi
N (s)(s D(s)
pi )
lim spi
sC
运算阻抗
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U (s) Z (s)I (s) I (s) Y (s)U (s)
运算形式的 欧姆定律
i
+
R
u (t)
-
C
I (s) R
+
U (s)
L
1/sC
uc (0 )
s
拉氏变换
-+
sL -
Li(0-) +
若：uc (0 ) 0 iL (0 ) 0
F (s)]
s p1
K11
(n
1 1)!
d n 1 ds n1
(s
p1 ) n
F (s)
s p1
返回 上页 下页
小结 由F(s)求f(t) 的步骤：
n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 F(s) A N0 (s) D(s)
② 求真分式分母的根，将真分式展开成部分分式
1 2(1
j)
1
K3 I (s)(s 1 j) s1j 2(1 j)
返回 上页 下页
I (s) 1 2 1 2(1 j) 1 2(1 j) s s 1 j (s 1 j)
L1I (s) i(t) 1 (1 etcost etsin t) 2
ZM (s) sM 互感运算阻抗 YM (s) 1 sM
返回 上页 下页
U1(s) sL1I1(s) L1i1(0 ) sMI 2 (s) Mi2 (0 ) U2 (s) sL2I2 (s) L2i2 (0 ) sMI1(s) Mi1(0 )
时域形式：
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
L2
di2 dt
M
di1 dt
取拉氏变换,由微分性质得
U1(s) sL1I1(s) L1i1(0 ) sMI 2 (s) Mi2 (0 ) U2 (s) sL2I2 (s) L2i2 (0 ) sMI1(s) Mi1(0 )
di 1 t
u iR L
dt C
0 icdt
运算电路
拉氏变换
I (s)
+
R
U (s) I (s)R sLI (s) 1 I (s)
I (s)(R sL
1
sC
) I(s)Z(s)
sC
U (s)
sL
-
1/sC
Z (s) 1 R sL 1
Y (s)
I (s)
s(s2
1 2s
2)
(4)反变换求原函数
D(s) 0有3个根 : p1 0，p2 1 j，p3 1 j
I (s) K1 K2 K3 s s 1 j (s 1 j)
K1
I (s)s
s0
1 2
K2
I (s)(s
1
j)
s1 j
25 3.75s (s 12.5)s
2 1.75 s s 12.5
i1 2 1.75e12.5t i2
返回 上页 下页
I1(s) 2
+ 10/s
-
0.3s
3
-+ 1.5V
UL1(s)
0.1s
U
L1
(s)
0.3sI1(s)
1.5
s
6.56 12.5
0.375
例2 图示电路 is (t), uc (0 ) 0 ，求uC(t)、iC(t)。
is R
+
C uc
Is (s) 1
IC(s) +
R 1/sC Uc(s)
解 画运算电路
返回 上页 下页
UC
(s)
R
R 1/
sC
Is
(s)
1 sC
R
RC (s 1/ RC )
Is (s) 1
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例1 电路原处于稳态，t =0 时开关闭合，试用运算
法求电流 i(t)。
i
解 (1) 计算初值
+ 1 1H
uc (0 ) 1V
1V
iL (0 ) 0
-
1F
1
(2) 画运算电路 I(s)
sL 1s
1 1 1 sC s 1 s
+1 1/s
s
1/s
+
1
-
uC(0-)/s
-
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(3) 应用回路电流法 I(s)
+1
s
1/s I1(s) +
-
uC(0-)/s
-
1/s 1
I2 (s)
(1
s
1 s )I1(s)
1 s
I2 (s)
1 s
uC
(0 s
)
0
-
1 s
I1(s)
(1
1 s
)
I
2
(s)
uC (0 ) s
1 s
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I1(s)