北京四中高考数学总复习 三角恒等变换(提高)知识梳理教案

【考纲要求】

1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.

3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】

【考点梳理】

考点一、两角和、差的正、余弦公式

()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβ

αβ±±=

()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ

αβαβ

±±±=

-

要点诠释：

1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2

±≠

+∈、、π

αβαβπ

2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角()±αβ的正切值化简。 考点二、二倍角公式

1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：

sin 22sin cos ααα= 2()S α；

ααα22sin cos 2cos -=2()C α；

2

2tan tan 21tan α

αα

=

-2()T α。 要点诠释：

1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当

)(2

24

Z k k k ∈+≠+

≠

ππ

αππ

α和时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα22

sin cos 2cos -=＝1cos 22-α＝α2sin 21-；

解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。

3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，2

4

αα

是

的二倍，

332

α

α是

的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。 考点三、二倍角公式的推论

降幂公式：ααα2sin 21

cos sin =

； 22cos 1sin 2

αα-=；

22cos 1cos 2

αα+=.

万能公式：α

α

α2

tan 1tan 22sin +=； α

α

α22tan 1tan 12cos +-=.

半角公式：2cos 12

sin

α

α

-±

=； 2cos 12

cos

α

α

+±

=； α

α

α

cos 1cos 12

tan

+-±

=.

其中根号的符号由

2

α

所在的象限决定.

要点诠释：

(1)半角公式中正负号的选取由

2

α

所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如2

3α

可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半

角等等。

(3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z) 正切还有另外两个

半角公式：

Z k k k ∈≠-=+≠+=

),(sin cos 12tan ),2(cos 1sin 2

tan

παα

α

αππαααα

，这两个公式不用考

虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦的表达式。 考点四、三角形内角定理的变形

由A B C π++=，知()A B C π=-+可得出：

sin sin()A B C =+，cos cos()A B C =-+.

而

()222A B C π+=-

，有：()sin cos 22A B C +=，()

cos sin 22

A B C +=. 【典型例题】 类型一：化简与求值

【高清课堂：三角恒等变换397881例1】

例1. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.

(1)22

sin 13cos 17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)22

sin 15cos 15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)22

sin 18cos 12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)2

2

sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒ (5)2

2

sin (25)cos 55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数

Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 【思路点拨】注意到（2）中可以转换为30︒的函数值，从（2）计算入手. 【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下22

13

sin 15cos 15sin15cos151sin 3024

︒+︒-︒︒=-︒= Ⅱ.证明:2

2

sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-