浙江省温州市2017-2018学年高三数学一模试卷(文科) Word版含解析

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2017-2018学年浙江省温州中学高三(上)期中数学试卷含解析

2017-2018学年浙江省温州中学高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合M={x |y=ln （2﹣x 2）}，N={x |1e＜e x +1＜e 2，x ∈Z }，则M ∩N=（）A ．{1}B ．{﹣1，0}C ．{﹣1，0，1}D ．∅2．（4分）已知z=m 2﹣1+（m 2﹣3m +2）i （m ∈R ，i 为虚数单位），则“m=﹣1”是“z 为纯虚数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（4分）下列函数中，周期为π，且在[0，π2]上为减函数的是（）A ．y=sin （2x +π2）B ．y=cos （2x +π2）C ．y=sin （x +π2）D ．y=cos （x +π2）4．（4分）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点．下列结论中，不正确的是（）A ．EF ⊥BB 1 B ．EF ∥平面ACC 1A 1 C ．EF ⊥BD D ．EF ⊥平面BCC 1B 15．（4分）P 为△ABC 内部一点，且满足|PB |=2|PA |=2，∠APB =5π6，且2PA →+3PB →+4PC →=0→，则△ABC 的面积为（）A ．98B ．43C ．1D ．656．（4分）设a 为实常数，y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )=9x +a 2x +7．若f （x ）≥a +1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围是（）A ．a ≤0B ．a ≥85C ．a ≤−87或a ≥85D ．a ≤−877．（4分）将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成一个四面体ABCD ，当该四面体的体积最大时，直线AB 与CD 所成的角为（） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°8．（4分）在△ABC 中，已知tanA=14，tanB=35，且△ABC 最大边的长为 17，则△ABC 的最小边为（） A ．1B ． 5C ． 2D ．39．（4分）设实数a 使得不等式|2x ﹣a |+|3x ﹣2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（）A ．[−13，13]B ．[−12，12]C ．[−14，13]D ．[﹣3，3]10．（4分）设f （x ）、g （x ）都是定义在实数集上的函数，定义函数（f•g ）（x ），∀x ∈R ，（f•g ）（x ）=f （g （x ）），若f （x ）= x ，x ＞0x 2，x ≤0，g （x ）= e x ，x ≤0lnx ，x ＞0，则（）A ．（f•f ）（x ）=f （x ）B ．（f•g ）（x ）=f （x ）C ．（g•f ）（x ）=g （x ）D ．（g•g ）（x ）=g （x ）二、填空题：本大题7小题，11-14题每题6分，15-17每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上．11．（6分）若正项等比数列{a n }满足a 2+a 4=3，a 3a 5=1，则公比q= ，a n = ．12．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积是．13．（6分）已知实数x ，y 满足条件 x −y ≥−1x +y ≤4x −2y ≤0，若存在实数a 使得函数z=ax +y（a ＜0）取到最大值z （a ）的解有无数个，则a= ，z （a ）= ． 14．（6分）一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是．若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的期望为．15．（4分）在△ABC 中，CA=2，CB=6，∠ACB=60°，若点O 在∠ACB 的平分线上，满足OC →=m OA →+n OB →，m ，n ∈R ，且﹣12≤n ≤﹣14，则|OC →|的取值范围是．16．（4分）已知F 为抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →⋅OB →=2（其中O 为坐标原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是．17．（4分）已知双曲线C 1：x 2a −y 2b=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）与双曲线C 1共焦点，C 1与C 2在第一象限相交于点P ，且|F 1F 2|=|PF 1|，则双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f (x )= 32sin 2x −cos 2x −m ，（1）求函数f （x ）的最小正周期与单调递增区间；（2）若x ∈[5π24，3π4]时，函数f （x ）的最大值为0，求实数m 的值．19．（15分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=∠APB=90°，点M 是线段AB上的一点，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD=4BM．（1）证明：面PAB⊥面ABCD；（2）求直线CM与平面PCD所成角的正弦值．20．（15分）已知函数f(x)=−13x3+2ax2−3a2x+b，（a，b∈R）（1）当a=3时，若f（x）有3个零点，求b的取值范围；（2）对任意a∈[45，1]，当x∈[a+1，a+m]时恒有﹣a≤f′（x）≤a，求m的最大值，并求此时f（x）的最大值．21．（15分）已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．22．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−32n，n∈N*．（1）求证{a n−1n}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）设数列{1S n}的前n项和为T n，是否存在正整数λ，对任意m，n∈N*，不等式T m﹣λS n＜0恒成立？若存在，求出λ的最小值，若不存在，请说明理由．2017-2018学年浙江省温州中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合M={x|y=ln（2﹣x2）}，N={x|1e＜e x+1＜e2，x∈Z}，则M∩N=（）A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．∅【分析】先分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={x|y=ln（2﹣x2）}={x|﹣2＜x＜2}，N={x|1e＜e x+1＜e2，x∈Z}={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，∴M∩N={﹣1，0}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）已知z=m2﹣1+（m2﹣3m+2）i（m∈R，i为虚数单位），则“m=﹣1”是“z为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：若z=m2﹣1+（m2﹣3m+2）i为纯虚数，则m2﹣1=0，m2﹣3m+2≠0，解得m=﹣1．∴“m=﹣1”是“z为纯虚数”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）下列函数中，周期为π，且在[0，π2]上为减函数的是（）A．y=sin（2x+π2）B．y=cos（2x+π2）C．y=sin（x+π2）D．y=cos（x+π2）【分析】由条件结合正弦函数、余弦函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】解：由于y=sin（2x+π2）=cos2x的周期为2π2=π，在[0，π2]上，y=cos2x是减函数，故A满足条件；由于y=cos（2x+π2）=﹣sin2x的周期为2π2=π，在[0，π2]上，y=sin2x不是单调函数，故B不满足条件，由于y=sin（x+π2）=cosx的周期为2π，故排除C；由于y=cos（x+π2）=﹣sinx的周期为2π，故排除D，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数、余弦函数的周期性和单调性，属于基础题．4．（4分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点．下列结论中，不正确的是（）A．EF⊥BB1 B．EF∥平面ACC1A1C．EF⊥BD D．EF⊥平面BCC1B1【分析】在B中：连接A1B，由平行四边形的性质得EF∥A1C1，由此能推导出EF ∥平面ACC1A1；在A中：由正方体的几何特征得B1B⊥面A1B1C1D1，由A1C1？面A1B1C1D1，得B1B⊥A1C1，由此能求出EF⊥BB1；在C中：由正方形对角线互相垂直可得AC⊥BD，从而得到EF与BD垂直；在D中：由EF⊥BB1，BB1∩BC=B，得EF与BC不垂直，从而EF⊥平面BCC1B1不成立．【解答】解：在B中：连接A1B，由平行四边形的性质得A1B过E点，且E 为A 1B 的中点，则EF ∥A 1C 1，又A 1C 1⊂平面ACC 1A 1，EF ⊂平面ACC 1A 1，∴EF ∥平面ACC 1A 1，故B 正确；在A 中：由正方体的几何特征可得B 1B ⊥面A 1B 1C 1D 1，又由A 1C 1？面A 1B 1C 1D 1，可得B 1B ⊥A 1C 1，由EF ∥平面ACC 1A 1可得EF ⊥BB 1，故A 正确；在C 中：由正方形对角线互相垂直可得AC ⊥BD ，∵EF ∥A 1C 1，AC ∥A 1C 1，∴EF ∥AC ，则EF 与BD 垂直，故C 正确；在D 中：∵EF ⊥BB 1，BB 1∩BC=B ，∴EF 与BC 不垂直， ∴EF ⊥平面BCC 1B 1不成立，故D 错误．故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．5．（4分）P 为△ABC 内部一点，且满足|PB |=2|PA |=2，∠APB =5π6，且2PA →+3PB →+4PC →=0→，则△ABC 的面积为（） A ．98B ．43C ．1D ．65【分析】可作图：延长PA 到D ，使PD=2PA ，延长PB 到F ，使PE=3PB ，并连接DE ，取DE 中点F ，并连接PF ，设交AB 于O ，连接AF ，从而有AF ∥PE ，且AF =12PE ，从而得出AF PB =FO PO =32，这样便可得到PF =52PO ，根据作图过程可以得到2PF →+4PC →=0→，从而有PF=2PC ，进一步便可得到CO =94PO ，从而S △ABC =94S △PAB ，而根据条件可以求出S △PAB ，从而可以得出△ABC 的面积．【解答】解：如图，延长PA 到D ，使PD=2PA ，延长PB 到F ，使PE=3PB ，连接DE ，取DE 中点F ，并连接PF ，设交AB 于O ，连接AF ，则：AF ∥PE ，且AF =12PE =32PB ；∴AF PB =32=FO PO； ∴FO =32PO ，∴PF =52PO ；∵2PA →+3PB →=2PF →； ∴2PF →+4PC →=0→； ∴PF=2PC ；∴52PO =2PC ，即PC =54PO ； ∴CO =94PO ； ∴S △ABC =94S △PAB ；∵S △PAB =12⋅1⋅2⋅sin 5π6=12； ∴S △ABC =98．故选：A ．【点评】考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及三角形中位线的性质，相似三角形的对应边的比例关系，三角形的面积公式，向量的数乘运算．6．（4分）设a 为实常数，y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )=9x +a 2x +7．若f （x ）≥a +1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围是（）A ．a ≤0B ．a ≥85C ．a ≤−87或a ≥85D ．a ≤−87【分析】先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围【解答】解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f(−x)=−9x−a2x+7因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f(x)=−f(−x)=9x+a2x−7因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+a2x−7≥a+1成立，只需要9x+a2x−7的最小值≥a+1，因为9x+a2x−7≥29x⋅a2x﹣7=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得a≥85或a≤﹣87，所以a≤﹣8 7．故选：D．【点评】本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值7．（4分）将正方形ABCD沿对角线BD折叠成一个四面体ABCD，当该四面体的体积最大时，直线AB与CD所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】画出图形，由题意该四面体的体积最大时，就是折叠成直二面角，建立空间直角坐标系，求解即可．【解答】解：由题意可知该四面体的体积最大时，就是折叠成直二面角，建立空间直角坐标系，如图：设正方形的对角线长为2，则AB →=(1．−1，0)，DC →=(1，0，1) 所以直线AB 与CD 所成的角为：θ，cosθ=|AB →⋅DC→|AB →||DC →||= 2⋅ 2=12 所以θ=60° 故选B ．【点评】本题是基础题，考查折叠问题，体积的最值，空间直角坐标系求解异面直线所成的角的问题，考查计算能力，转化思想．8．（4分）在△ABC 中，已知tanA=14，tanB=35，且△ABC 最大边的长为 17，则△ABC 的最小边为（） A ．1B ． 5C ． 2D ．3【分析】由条件求得tan C=﹣1，可得C=3π4，C ＞B ＞A ，故a 为最小的边，再利用正弦定理求得a 的值．【解答】解：△ABC 中，已知tanA=sinA cosA =14，tanB=sinB cosB =35＜1，∴A ＜B ＜π4，∴C ＞π2．再根据tan C=﹣tan （A +B ）=﹣tanA +tanB 1−tanAtanB =﹣1，∴C=3π4，∴C ＞B ＞A ．再根据sin 2A +cos 2A=1，求得sinA= 17，cosA= 17，且△ABC 最大边的长为c= 17，则△ABC 的最小边为a ，再利用正弦定理可得a sinA =c sinC，即 a 117= 172，求得a= 2，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和的正切公式，正弦定理的应用，属于中档题．9．（4分）设实数a使得不等式|2x﹣a|+|3x﹣2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（）A．[−13，13]B．[−12，12]C．[−14，13]D．[﹣3，3]【分析】根据所给的含有绝对值的不等式，设出所给的两个变量之间的关系，对所给的绝对值不等式进行整理，得到最简形式，根据函数的思想f（x）＞m恒成立，只要m＜f（x）的最小值．【解答】解：取k∈R，令x=12ka，则原不等式为|ka﹣a|+|32ka﹣2a|≥|a|2，即|a||k﹣1|+32|a||k﹣43|≥|a|2由此易知原不等式等价于|a|≤|k﹣1|+32|k﹣43|，对任意的k∈R成立．由于|k﹣1|+32|k﹣43|=52k−3，k≥431−12k，1≤k＜433−52k，k＜1∵y=52k−3，在k≥43时，y≥13y=1﹣12k，在1≤k＜43时，13≤y＜12y=3﹣52k，k＜1时，y＞12所以|k﹣1|+32|k﹣43|的最小值等于13，从而上述不等式等价于|a|≤13，即﹣13≤a≤13．故选A．【点评】本题考查函数的恒成立问题，以及含有绝对值的不等式，解题的关键是求出函数的最小值，本题是一个难题．10．（4分）设f（x）、g（x）都是定义在实数集上的函数，定义函数（f•g）（x），∀x ∈R ，（f•g ）（x ）=f （g （x ）），若f （x ）= x ，x ＞0x 2，x ≤0，g （x ）= e x ，x ≤0lnx ，x ＞0，则（）A ．（f•f ）（x ）=f （x ）B ．（f•g ）（x ）=f （x ）C ．（g•f ）（x ）=g （x ）D ．（g•g ）（x ）=g （x ）【分析】根据题目给的定义函数分别求出（f•f ）（x ）等，然后判断即可，注意分段函数的定义域对解析式的影响．【解答】解：对于A ，因为f （x ）=x ，x ＞0x 2，x ≤0，所以当x ＞0时，f （f （x ））=f （x ）=x ；当x ≤0时，f （x ）=x 2≥0，特别的，x=0时x=x 2，此时f （x 2）=x 2，所以（f•f ）（x ）=x ，x ＞0x 2，x ≤0=f （x ），故A 正确；对于B ，由已知得（f•g ）（x ）=f （g （x ））=e x ，x ≤0(lnx )2，0＜x ≤1lnx ，x ＞1，显然不等于f （x ），故B 错误；对于C ，由已知得（g•f ）（x ）=g （f （x ））=lnx ，x ＞01，x =0lnx 2，x ＜0，显然不等于g （x ），故C 错误；对于D ，由已知得（g•g ）（x ）= x ，x ≤1ln (lnx )，x ＞1，显然不等于g （x ），故D 错误．故选A ．【点评】本题考查了“新定义问题”的解题思路，要注重对概念的理解，同时本题考查了指数函数与对数函数的性质，属于中档题．二、填空题：本大题7小题，11-14题每题6分，15-17每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上．11．（6分）若正项等比数列{a n }满足a 2+a 4=3，a 3a 5=1，则公比q= 22，a n =2n +22．【分析】由题意易得a4=1，进而可得a2=2，由等比数列通项公式可得．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足a2+a4=3，a3a5=1，∴由等比数列的性质可得a42=a3a5=1，解得a4=1，∴a2=3﹣a4=2，∴公比q=a4a2=22，∴a1=22∴a n=22（22）n﹣1=2n+22故答案为：22；2n+22【点评】本题考查等比数列的通项公式和性质，属基础题．12．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为5，表面积是15+19．【分析】三视图复原的几何体是长方体，去掉两个三棱锥后的几何体，结合图中数据求出该几何体的体积和表面积．【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，去掉两个三棱锥后的几何体，如图所示：去掉的三棱锥的高为3，底面是等腰直角三角形，直角边长为1，所求几何体的体积为：V几何体=2×1×3﹣2×13×12×1×1×3=5；表面积为：S几何体=2×3+2×1+2×12×1×3+12×2×3+12×2×1+2×12×2×(10)2−(22)2 =15+19．故答案为：5，15+19．【点评】本题考查了三视图求解几何体的体积与表面积的应用问题，是中档题．13．（6分）已知实数x，y满足条件x−y≥−1x+y≤4x−2y≤0，若存在实数a使得函数z=ax+y（a＜0）取到最大值z（a）的解有无数个，则a=﹣1，z（a）=1．【分析】z=ax+y可化为y=﹣ax+z，由题意作平面区域，从而利用数形结合求解．【解答】解：z=ax+y可化为y=﹣ax+z，由题意作平面区域如下，结合图象可知，y=﹣ax+z与直线y=x+1重合，故﹣a=1，z=1，故答案为：﹣1，1．【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想方法的应用，属于中档题．14．（6分）一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是35．若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的期望为 6 ．【分析】①从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率P=∁31∁22∁41∁63．②由题意可得：ξ的取值为4，5，6，7，8．通过分类讨论，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出分布列，进而得出数学期望．【解答】解：①从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率P=∁31∁22∁41∁63=35．②由题意可得：ξ的取值为4，5，6，7，8．P （ξ=4）=P （2红1黄）=∁22∁21∁63=220=110，P （ξ=5）=P （2红1绿）+P （2黄1红）=∁22∁21∁63+∁22∁21∁63=420=210，P （ξ=6）=P （1红1黄1绿）=∁21∁21∁21∁63=820=410，P （ξ=7）=P （2黄1绿）+P （2绿1红）=∁22∁21∁63+∁22∁21∁63=420=210，P （ξ=8）=P （2绿1黄）=∁22∁21∁63=220=110．∴E （ξ）=4×10+5×10+6×10+7×10+8×10=6．∴故答案为：35，6．【点评】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（4分）在△ABC 中，CA=2，CB=6，∠ACB=60°，若点O 在∠ACB 的平分线上，满足OC →=m OA →+n OB →，m ，n ∈R ，且﹣12≤n ≤﹣14，则|OC →|的取值范围是 [3 34，3] ．【分析】根据点O 在∠ACB 的平分线上，从而可设OC →=k （CA →|CA →|+CB →|CB →|）=k2(OA →−OC →)+k6(OB →−OC →)，可以求出OC →=3k 6+4k OA →+k 6+4k OB →，根据条件，从而有k 6+4k=n ．根据n 的范围，从而得到−12≤k 6+4k ≤−14，这样可以解出k的范围，从而可根据OC →2=k 2(CA →|CA →|+CB→|CB →|)2即可得出OC →2的范围，从而得出|OC →|的范围．【解答】解：∵O 在∠ACB 的平分线上；∴存在k ，使OC →=k (CA→|CA →|+CB→|CB →|)=k 2CA →+k 6CB →=k 2(OA →−OC →)+k 6(OB →−OC →)；∴(1+2k 3)OC →=k 2OA →+k 6OB →； ∴OC →=3k 6+4k OA →+k 6+4k OB →；∴n =k6+4k ； ∵−12≤n ≤−14； ∴−12≤k 6+4k ≤−14；解得−1≤k ≤−34；OC →2=k 2(1+2⋅cos 60°+1)=3k 2；916≤k 2≤1；∴2716≤OC →2≤3； ∴3 34≤|OC →|≤ 3；∴|OC →|的取值范围是[3 34， 3]．故答案为：[3 34， 3]．【点评】考查共线向量基本定理，向量加法的平行四边形法则，菱形的对角线平分对角，向量的数乘运算，向量减法的几何意义，以及平面向量基本定理，向量数量积的运算及计算公式．16．（4分）已知F 为抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →⋅OB →=2（其中O 为坐标原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是24．【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及OA →⋅OB →=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【解答】解：设直线AB 的方程为：x=ty +m ，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 与x 轴的交点为M （m ，0），x=ty +m 代入y 2=x ，可得y 2﹣ty ﹣m=0，根据韦达定理有y 1•y 2=﹣m ， ∵OA →⋅OB →=2，∴x 1•x 2+y 1•y 2=2，从而（y 1•y 2）2+y 1•y 2﹣2=0， ∵点A ，B 位于x 轴的两侧， ∴y 1•y 2=﹣2，故m=2．不妨令点A 在x 轴上方，则y 1＞0，又F （14，0），∴S △BFO +S △AFO =12•14•y 1+12•14•|y 2|=18(y 1+2y 1)≥ 24当且仅当y 1=2y 1，即y 1= 2时，取“=”号，∴△BFO 与△AFO 面积之和的最小值是 24，故答案为： 24【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．17．（4分）已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）与双曲线C 1共焦点，C 1与C 2在第一象限相交于点P ，且|F 1F 2|=|PF 1|，则双曲线的离心率为 2+ 3 ．【分析】过P 作抛物线准线的垂线，垂足为A ，连接PF 2，在直角△F 1AP 中．利用勾股定理，结合双曲线、抛物线的定义，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设点P （x 0，y 0），F 2（c ，0），过P 作抛物线准线的垂线，垂足为A ，连接PF 2，由双曲线定义可得|PF 2|=|PF 1|﹣2a 由抛物线的定义可得|PA |=x 0+c=2c ﹣2a ，∴x 0=c ﹣2a 在直角△F 1AP 中，|F 1A |2=(2c )2−(2c −2a )2=8ac −4a 2 ∴y 02=8ac −4a 2 ∴8ac ﹣4a 2=4c （c ﹣2a ） ∴c 2﹣4ac +a 2=0 ∴e 2﹣4e +1=0 ∵e ＞1 ∴e=2+ 3 故答案为：2+ 3【点评】本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f (x )= 32sin 2x −cos 2x −m ，（1）求函数f （x ）的最小正周期与单调递增区间；（2）若x ∈[5π24，3π4]时，函数f （x ）的最大值为0，求实数m 的值．【分析】（1）化简f （x ），利用正弦函数的单调性列不等式得出f （x ）的单调区间；（2）根据x 的范围得出2x ﹣π6的范围，从而得出f （x ）的最大值，进而求出m的值．【解答】解：（1）f （x ）= 32sin2x ﹣12cos2x ﹣m ﹣12=sin （2x ﹣π6）﹣m ﹣12．∴f （x ）的最小正周期为T=2π2=π；令﹣π2+2kπ≤2x ﹣π6≤π2+2kπ，解得：﹣π6+kπ≤x ≤π3+kπ，∴f （x ）的单调递增区间为[﹣π6+kπ，π3+kπ]，k ∈Z ．（2）∵x ∈[5π24，3π4]，∴2x ﹣π6∈[π4，4π3]，∴当2x ﹣π6=π2时，f （x ）取得最大值1﹣m ﹣12=0，∴m=12．【点评】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．19．（15分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=∠APB=90°，点M 是线段AB 上的一点，且PM ⊥CD ，AB=BC=2PB=2AD=4BM ．（1）证明：面PAB ⊥面ABCD ；（2）求直线CM 与平面PCD 所成角的正弦值．【分析】（1）只要证明PM ⊥面ABCD 利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）过点M 作MH ⊥CD ，连结HP ，得到CD ⊥平面PMH 进一步得到平面PMH ⊥平面PCD ；过点M 作MN ⊥PH ，得到∠MCN 为直线CM 与平面PCD 所成角，通过解三角形得到所求．【解答】（1）证明：由AB=2PB=4BM ，得PM ⊥AB ，又因为PM ⊥CD ，且AB ∩CD ，所以PM ⊥面ABCD ，…（4分）且PM ⊂面PAB ．所以，面PAB ⊥面ABCD ．…（6分）（2）解：过点M 作MH ⊥CD ，连结HP ，因为PM⊥CD，且PM∩MH=M，所以CD⊥平面PMH，又由CD⊂平面PCD，所以平面PMH⊥平面PCD，平面PMH∩平面PCD=PH，过点M作MN⊥PH，即有MN⊥平面PCD，所以∠MCN为直线CM与平面PCD所成角．…（9分）在四棱锥P﹣ABCD中，设AB=2t，则CM=172t，PM=32t，MH=7510t，∴PH=455t，MN=7316t，从而sin∠MCN=MNCM=751136，即直线CM与平面PCD所成角的正弦值为751136．…（14分）【点评】本题考查了面面垂直的判断以及求线面角的方法；关键是转化为线线问题解答；属于中档题．20．（15分）已知函数f(x)=−13x3+2ax2−3a2x+b，（a，b∈R）（1）当a=3时，若f（x）有3个零点，求b的取值范围；（2）对任意a∈[45，1]，当x∈[a+1，a+m]时恒有﹣a≤f′（x）≤a，求m的最大值，并求此时f（x）的最大值．【分析】（1）把a=3代入f（x），函数f（x）进行求导，求出函数单调区间，研究其极值，从而求出b的范围；（2）对任意a∈[45，1]，可知当x∈[a+1，a+m]时恒有﹣a≤f'（x）≤a，将问题转化为f'（a+1）=2a﹣1＜a恒成立，再利用常数分离法进行求解；【解答】解：∵函数f(x)=−13x3+2ax2−3a2x+b，∴f'（x）=﹣x2+4ax﹣3a2（1）若a=3，f'（x）=﹣（x﹣3）（x﹣9），f （x ）极小值=f （3）=﹣36+b ，f （x ）极大值=f （9）=b由题意： b ＞0−36+b ＜0∴0＜b ＜36（2）a ∈[45，1]时，有2a ≤a +1≤2，由f'（x ）图象，f'（x ）在[a +1，a +m ]上为减函数，∴f'（a +m ）＜f'（a +1）易知f'（a +1）=2a ﹣1＜a 必成立；只须f'（a +m ）≥﹣a 得1a≤2m +1m 2a ∈[45，1]，可得−25≤m ≤2又m ＞1，∴1＜m ≤2m 最大值为2此时x ∈[a +1，a +2]，有2a ≤a +1＜3a ≤a +2，∴f （x ）在[a +1，3a ]内单调递增，在[3a ，a +2]内单调递减，∴f （x ）max =f （3a ）=b ；【点评】此题主要考查利用导数研究函数的单调性及其应用，这类题型是高考的热点问题，是一道中档题；21．（15分）已知椭圆的焦点坐标为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），过F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且|PQ |=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则△F 1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1，由|PQ |=3，可得2b 2a=3，又a 2﹣b 2=1，由此可求椭圆方程；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），不妨y 1＞0，y 2＜0，设△F 1MN 的内切圆的径R ，则△F 1MN 的周长=4a=8，S △F 1MN =12（|MN |+|F 1M |+|F 1N |）R=4R ，因此S △F 1MN 最大，R 就最大．设直线l 的方程为x=my +1，与椭圆方程联立，从而可表示△F 1MN 的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．【解答】解：（1）设椭圆方程为x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），由焦点坐标可得c=1…（1分）由|PQ |=3，可得2b 2a=3，…（2分）又a 2﹣b 2=1，解得a=2，b= 3，…（3分）故椭圆方程为x 24+y 23=1…（4分）（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），不妨y 1＞0，y 2＜0，设△F 1MN 的内切圆的径R ，则△F 1MN 的周长=4a=8，S △F 1MN =12（|MN |+|F 1M |+|F 1N |）R=4R因此S △F 1MN 最大，R 就最大，…（6分）由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x=my +1，由 x =my +1x 24+y 23=1得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9=0，…（8分）得y 1=−3m +6 m 2+12，y 2=−3m−6 m 2+12，则S △F 1MN =12|F 1F 2|(y 1−y 2)=y 1−y 2=12 m 2+13m 2+4，…（9分）令t= m 2+1，则t ≥1，则S △F 1MN =12 m 2+12=12t 3t 2+1=123t +1t，…（10分）令f （t ）=3t +1t ，则f′（t ）=3﹣1t ，当t ≥1时，f′（t ）≥0，f （t ）在[1，+∞）上单调递增，有f （t ）≥f （1）=4，S △F1MN ≤3，即当t=1，m=0时，S △F1MN ≤3，S △F1MN =4R ，∴R max =34，这时所求内切圆面积的最大值为916π．故直线l ：x=1，△F 1MN 内切圆面积的最大值为916π…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出S △F 1MN 最大，R 就最大是关键．22．（15分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −32n ，n ∈N *．（1）求证{a n −12n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）设数列{1S n }的前n 项和为T n ，是否存在正整数λ，对任意m ，n ∈N *，不等式T m ﹣λS n ＜0恒成立？若存在，求出λ的最小值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据分类讨论n=1，a 1=32，当a n =S n ﹣S n ﹣1，再凑成等比数列，根据等比数列的通项公式得到通项．（2）S n ≥23，在分别求出T 1、T 2及T m ，则求出T m ＜1915，则可求得λ的最小值．【解答】解：（1）∵S n =2a n ﹣32，① 当n=1时，a 1=32，当n ≥2时，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣32n −1，②，由①﹣②可得S n ﹣S n ﹣1=a n =2a n ﹣32n ﹣2a n ﹣1+32n −1， ∴a n =2a n ﹣1﹣32， ∴a n ﹣12=2（a n ﹣1﹣12）， ∵a 1=32， ∴a 1﹣12=1 ∴{a n ﹣12n }是以1为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ﹣12=2n ﹣1， ∴a n =12+2n ﹣1；（2）∵a n =12n +2n ﹣1，S n =2a n ﹣32n ， ∴S n =22n +2n ﹣32n =2n ﹣12n =22n −12n ＞S 1=32∴1S n =2n 2−1=2n (2+1)(2−1)＜2n −1(2+1)(2−1)=12−1﹣12+1，n ≥2，当n=1时，1S 1=23，当n=2时，1S 2=415， ∴T m =1S 1+1S 2+1S 3+…+1S m ≤23+415+13﹣17+17﹣115+…+12m −1−1﹣12m +1=1915﹣12m +1＜1915， ∵对任意m ，n ∈N *，不等式T m ﹣λS n ＜0恒成立，∴λ＞T m S n， ∵T m S n ＞19153=3845， ∴λ≥1∴存在正整数λ=1，对任意m ，n ∈N *，恒有T m ﹣λS m ＜0成立．【点评】本题主要考察求数列的通项公式，凑成等比数列的形式，求其通项，再利用已知的通项，构造新的数列，对其进行化简处理，求出λ的值，属于难题．。

浙江省温州市2017-2018学年高三一模数学(文)试卷 Word版含解析

浙江省温州市2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={x|y=+1}，Q={y|y=x3}，则P∩Q=( )A．∅B．[0，+∞）C．（0，+∞）D．[1，+∞）2．设a，b∈R，则“lga＞lgb”是“＜”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知sinx+cosx=，则cos（﹣x）=( )A．﹣B．C．﹣D．4．下列正确的是( )A．垂直于同一直线的两条直线互相平行B．平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形C．平面截正方体所得的截面图形可能是正六边形D．锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆C：（x﹣）2+y2=1相切，则双曲线的离心率是( )A．2 B．3 C．D．6．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上是单调函数，则ω应满足的条件是( )A．0＜ω≤1 B．ω≥1 C．0＜ω≤1或ω=3 D．0＜ω≤37．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）=f（﹣x），当0≤x≤1时，f（x）=x2，则f=( )A．﹣1 B．1 C．0 D．201528．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知二面角A1﹣BD﹣A的大小为，若空间有一条直线l与直线CC1，所成的角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是( )A．[，]B．[，]C．[，]D．[0，]二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分．9．设函数f（x）=，则f（﹣2）=__________．若f（a）=1，则实数a=__________．10．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=3n﹣a，则实数a=__________，公比q=__________．11．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧，则该几何体的体积等于__________cm3，表面积等于__________cm2．12．已知F1，F2是椭圆C：+=1的左右焦点，过右焦点F2的直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，M是弦AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，则△ABF1的周长等于__________，斜率k=__________．13．已知a，b∈R，若a2+b2﹣ab=2，则ab的最小值是__________．14．若直线l：ax﹣by=1与不等式组表示的平面区域无公共点，则3a﹣2b 的最小值与最大值的和等于__________．15．已知△ABC，AB=7，AC=8，BC=9，P为平面ABC内一点，满足，则的取值范围是__________．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（1）求△ABC的面积；（2）求sin（A﹣B）．17．已知数列{a n}的前n项和S n，且满足：+++…+=n，n∈N*．（1）求a n；（2）求证：++…+＜．18．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，（1）求证：AC⊥BD；（2）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．19．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P（4，0）．（1）设Q是抛物线C上的动点，求|PQ|的最小值；（2）过点P的直线l与抛物线C交于M、N两点，若△FMN的面积为6，求直线l的方程．20．已知函数f（x）=+x（1）判断函数f（x）在（﹣2，﹣1）上的单调性并加以证明；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2|x|﹣m有四个不同的零点，求实数m的取值范围．浙江省温州市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={x|y=+1}，Q={y|y=x3}，则P∩Q=( )A．∅B．[0，+∞）C．（0，+∞）D．[1，+∞）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出P中x的范围确定出P，求出Q中y的范围确定出Q，找出P与Q的交集即可．解答：解：由P中y=+1，得到x≥0，即P=[0，+∞），由Q中y=x3，得到y∈R，即Q=R，则P∩Q=[0，+∞），故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设a，b∈R，则“lga＞lgb”是“＜”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．解答：解：由lga＞lgb，则a＞b＞0，则＜成立，即充分性成立，若a=﹣1，b=1，则＜成立，但lga＞lgb不成立，即必要性不成立，则“lga＞lgb”是“＜”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．3．已知sinx+cosx=，则cos（﹣x）=( )A．﹣B．C．﹣D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式可得2（sinx+cosx）=，即2cos（﹣x）=，易得答案．解答：解：∵sinx+cosx=，∴2（sinx+cosx）=，∴2cos（﹣x）=∴cos（﹣x）=故选：B点评：本题考查两角和与差的三角函数，属基础题．4．下列正确的是( )A．垂直于同一直线的两条直线互相平行B．平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形C．平面截正方体所得的截面图形可能是正六边形D．锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形考点：四种；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：A．垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面直线；B．平行四边形在一个平面上的平行投影可能是平行四边形或一条直线；C．平面截正方体所得的截面图形可能是正六边形，正确；D．锐角三角形在一个平面上的平行投影可能是钝角三角形．解答：解：A．垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面直线，因此不正确；B．平行四边形在一个平面上的平行投影可能是平行四边形或一条直线，因此不正确；C．平面截正方体所得的截面图形可能是正六边形，如图所示，取正方体棱的中点，正确；D．锐角三角形在一个平面上的平行投影可能是钝角三角形，如图所示，三棱锥中P﹣ABC，PC⊥AC，PC⊥BC，CA=AC=BC=1，∠ACB=120°，△PAB是锐角三角形，其投影△ACB为钝角三角形，因此不正确．故选：C．点评：本题考查了空间线面位置关系、平行投影性质，考查了推理能力，属于基础题．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆C：（x﹣）2+y2=1相切，则双曲线的离心率是( )A．2 B．3 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与与圆C：（x﹣）2+y2=1相切⇔圆心（，0）到渐近线的距离等于半径r=1，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．解答：解：取双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线bx﹣ay=0．圆E：（x﹣5）2+y2=9的圆心（5，0），半径r=3．∵渐近线与圆C：（x﹣）2+y2=1相切，∴=1，化为a2=b2．∴该双曲线的离心率e===．故选：D．点评：熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键．6．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上是单调函数，则ω应满足的条件是( ) A．0＜ω≤1 B．ω≥1 C．0＜ω≤1或ω=3 D．0＜ω≤3考点：正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[，]上单调，分情况讨论，建立不等式，即可求ω取值范围．解答：解：①若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上是单调递减．令+2kπ≤ωx≤+2kπ（k∈Z），则+≤x≤+（k∈Z），∴≤且≥，∴ω=3②若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在[，]上是单调递增．令﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ（k∈Z），则﹣+≤x≤+∴﹣≤且≥∴0＜ω≤1综上可得：0＜ω≤1，ω=3．故选：C．点评：本题考查函数的单调性，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）=f（﹣x），当0≤x≤1时，f（x）=x2，则f=( )A．﹣1 B．1 C．0 D．20152考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由奇函数的性质和f（2+x）=f（﹣x），求出函数的最小正周期，利用函数的周期性和奇偶性将f转化为﹣f（1），再代入已知的解析式求值．解答：解：由题意得，f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），所以函数f（x）是以4为最小正周期的周期函数，因为当0≤x≤1时，f（x）=x2，则f=f（4×503+3）=f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故选：A．点评：本题考查奇函数的性质，以及函数的周期性的综合应用，同时考查转化思想．8．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知二面角A1﹣BD﹣A的大小为，若空间有一条直线l与直线CC1，所成的角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是( ) A．[，]B．[，]C．[，]D．[0，]考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，过点A作AO⊥BD，连接A1O，由三垂线定理可得BD⊥A1O，则∠AOA1为二面角A1﹣BD﹣A的平面角．把直线l平移到AM，则∠A1AM=∠MAO=．过点A作AP⊥A1O，则AP⊥平面A1BD．利用线面角的定义可得：AM（即直线l）与平面A1BD所成的最大角为∠AMA1．假设，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）与平面A1BD所成的最小角为∠ANP．解答：解：如图所示，过点A作AO⊥BD，连接A1O，由三垂线定理可得BD⊥A1O，则∠AOA1为二面角A1﹣BD﹣A的平面角，∴∠AOA1=．把直线l平移到AM，则∠A1AM=∠MAO=．过点A作AP⊥A1O，则AP⊥平面A1BD．∴AM（即直线l）与平面A1BD所成的最大角为∠AMA1=∠MAO+∠MOA==．假设，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）与平面A1BD所成的最小角为∠ANP=∠PA1A﹣∠A1AN==．∴直线l与平面A1BD所成角的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了二面角的平面角、线面角、三垂线定理、异面直线所成的角，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分．9．设函数f（x）=，则f（﹣2）=4．若f（a）=1，则实数a=2或0．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：先根据函数f（x）的解析式，求出f（﹣2）的值，再讨论a的值，求出f（a）=1时，实数a的值．解答：解：∵设函数f（x）=，∴f（﹣2）==22=4；又∵f（a）=1，∴当a≤0时，=1，解得a=0，满足题意；当a＞0时，log2a=1，解得a=2，满足题意；综上，实数a的值为2或0．故答案为：4；2或0．点评：本题考查了利用函数的解析式求函数值的应用问题，也考查了由函数值求自变量的应用问题，是基础题目．10．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=3n﹣a，则实数a=1，公比q=3．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件利用递推公式求出数列的前3项，再由等比数列的性质能求出a和公比．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n=3n﹣a，∴a1=3﹣a，a2=S2﹣S1=9﹣a﹣（3﹣a）=6，a3=S3﹣S2=（27﹣a）﹣（9﹣a）=18，∴62=（3﹣a）×18，解得a=1，q==．故答案为：1；3．点评：本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要注意公式的合理运用．11．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧，则该几何体的体积等于3πcm3，表面积等于12+6πcm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体的特征是什么，从而求出它的体积与表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为半径等于3的圆面，高为4的圆锥的一部分，∴该几何体的体积为V几何体=S底h=×π•32×4=3π；该几何体的表面积为S几何体=2S△+S圆+S侧面扇形=2××4×3+•π•32+•π•2•3•=12+6π．故答案为：3π；12+6π．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．12．已知F1，F2是椭圆C：+=1的左右焦点，过右焦点F2的直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，M是弦AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，则△ABF1的周长等于8，斜率k=﹣3．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆方程求出a的值，由椭圆的定义和结论求出△ABF1的周长；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点M（x，y），由题意和斜率公式可得，利用点差法和中点坐标公式、斜率公式，求出直线l的斜率．解答：解：（1）由椭圆C：+=1得，a=2，因为直线l：y=kx+m过右焦点F2，且与椭圆C相交于A，B两点，所以△ABF1的周长为4a=8；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点M（x，y），由直线OM（O为原点）的斜率为得，，由题意得，，两式相减得，，3（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）=0，则k==﹣=﹣=﹣×=﹣×4=﹣3，故答案为：8；﹣3．点评：本题考查椭圆的定义和简单几何性质，斜率公式，以及点差法的应用，其中点差法是常考的方法之一．13．已知a，b∈R，若a2+b2﹣ab=2，则ab的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用a2+b2≥﹣2ab，及不等式的性质即可得出．解答：解：∵a2+b2﹣ab=2，∴2+ab=a2+b2≥﹣2ab，∴3ab≥﹣2，当a=﹣b=时，取等号．∴ab≥，故答案为：﹣．点评：本题考查了基本不等式的性质与不等式的基本性质，属于基础题．14．若直线l：ax﹣by=1与不等式组表示的平面区域无公共点，则3a﹣2b的最小值与最大值的和等于﹣2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用直线ax+by=1与平面区域无公共点建立条件关系，即可得到结论．解答：解：不等式组表示的平面区域是由A（﹣1，1），B（1，1），C（0，﹣2）围成的三角形区域（不包含边界）．若直线l：ax﹣by=1与不等式组表示的平面区域无公共点，则A，B，C三点在直线l的同侧或在直线上，则满足或．则（a，b）在如图所示的三角形区域．设z=3a﹣2b，得b=，平移直线b=，得到直线在A处的截距最大，此时z最小，则在B处的截距最小，此时z最大，由解得，即B（，），此时z=3×﹣2×=，由，解得，即A（﹣，），此时z=3×（﹣）﹣2×=，则3a﹣2b的最小值与最大值的和等于=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．15．已知△ABC，AB=7，AC=8，BC=9，P为平面ABC内一点，满足，则的取值范围是[4，10]．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：求得向量=33，以及|+|=14，再由条件，运用向量的三角形法则，结合向量的数量积的定义和余弦函数的值域，即可得到范围．解答：解：=||•||•cosB=×（72+92﹣82）=33，|+|===14，由，则（+）•（+）=﹣7，即+•（+）+=﹣7，||2+||•|+|cosθ+33=﹣7，由﹣1≤cosθ≤1，可得﹣1≤≤1，解得，4≤||≤10．故答案为：[4，10]．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形中余弦定理的运用，考查余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（1）求△ABC的面积；（2）求sin（A﹣B）．考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理求出a，b，然后求三角形的面积；（2）由（1）可得A，B的正弦值、余弦值，再利用两角和与差的三角函数公式求值．解答：解：（1）由已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．得到a=2b所以a=4，b=2，所以△ABC是等腰三角形，所以AC边上的高为，所以△ABC的面积为；（2）由（1）得cosA==，cosB==，所以sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=．点评：本题考查了正弦定理、三角形的面积公式以及三角函数公式的运用；关键是熟练运用正弦定理求出三角形的边长．17．已知数列{a n}的前n项和S n，且满足：+++…+=n，n∈N*．（1）求a n；（2）求证：++…+＜．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用递推式即可得出；（2）a n=n+1（n∈N*）．可得数列{a n}是等差数列．S n=.．利用“裂项求和”即可得出．解答：（1）解：当n=1时，，解得a1=2．∵+++…+=n，n∈N*．当n≥2时，+++…+=n﹣1，n∈N*．两式相减可得：=1，即a n=n+1．当n=1时也成立，∴a n=n+1（n∈N*）．（II）证明：∵a n=n+1（n∈N*）．∴数列{a n}是等差数列．∴S n==．∴．∴++…+=+++…+=＜=．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，（1）求证：AC⊥BD；（2）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得△ABD≌△CBD，从而AD=CD，取AC的中点E，连结BE，DE，则BE⊥AC，DE⊥AC，从而AC⊥平面BED，由此能证明AC⊥BD．（2）过C作CH⊥BD于点H，由已知得CH⊥平面ABD，过H做HK⊥AD于点K，连接CK，则∠CKH为二面角C﹣AD﹣B的平面角，由此能求出二面角C﹣AD﹣B的余弦值．解答：（1）证明：∵∠ABD=∠CBD，AB=BC，BD=BD．∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．取AC的中点E，连结BE，DE，则BE⊥AC，DE⊥AC．又∵BE∩DE=E，BE⊂平面BED，BD⊂平面BED，∴AC⊥平面BED，∴AC⊥BD．（2）解：过C作CH⊥BD于点H．则CH⊂平面BCD，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴CH⊥平面ABD．过H做HK⊥AD于点K，连接CK．∵CH⊥平面ABD，∴CH⊥AD，又HK∩CH=H，∴AD⊥平面CHK，∴CK⊥AD．∴∠CKH为二面角C﹣AD﹣B的平面角．连接AH．∵△ABD≌△CBD，∴AH⊥BD．∵∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，∴AH=CH=，BH=1．∵BD=，∴DH=．∴AD=，∴HK==．∴tan=，∴cos，∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P（4，0）．（1）设Q是抛物线C上的动点，求|PQ|的最小值；（2）过点P的直线l与抛物线C交于M、N两点，若△FMN的面积为6，求直线l的方程．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设Q（x，y），则PQ|===，利用二次函数的单调性即可得出；（II）设直线l：x=my+4，M（x1，y1），N（x2，y2），与抛物线方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．解答：解：（I）设Q（x，y），则PQ|===，当x=2时，|PQ|min=2．（II）设直线l：x=my+4，M（x1，y1），N（x2，y2），焦点F（1，0）．联立，消去x得y2﹣4my﹣16=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣16．∴S△FMN==×===6，∴m=±1，∴直线l的方程为：x±y﹣4=0．点评：本题考查了二次函数的单调性、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形面积计算公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=+x（1）判断函数f（x）在（﹣2，﹣1）上的单调性并加以证明；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2|x|﹣m有四个不同的零点，求实数m的取值范围．考点：函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理．专题：数形结合；分类法；函数的性质及应用．分析：（1）函数f（x）在（﹣2，﹣1）上是减函数，用单调性定义证明即可；（2）解法一：函数g（x）=f（x）﹣2|x|﹣m有四个不同的零点，即f（x）的图象与y=2|x|+m 的图象有四个不同的交点，结合图象求出m的取值范围；解法二：函数g（x）=f（x）﹣2|x|﹣m有四个不同的零点，即方程+x﹣2|x|﹣m=0有四个不同的实根，讨论函数h（x）=的图象与y=2|x|﹣x+m的图象交点情况，求出m的取值范围；解法三：函数g（x）有4个不同零点，即方程+x﹣2|x|﹣m=0有4个不同的实根，去掉绝对值，把方程化为等价的不等式组，再讨论表达式组解的情况，从而求出m的取值范围；解法四：函数g（x）都有4个不同零点，即方程m=+x﹣2|x|有4个不同的实根，构造函数h（x）=+x﹣2|x|，考查h（x）的单调性与值域，从而求出m的取值范围．解答：解：（1）函数f（x）=+x=，函数f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，证明如下：设x1、x2∈（﹣2﹣1），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（﹣）+（x1﹣x2）=（x1﹣x2）[1﹣]；∵﹣2＜x1＜x2＜﹣1，∴x1﹣x2＜0，0＜（x1+2）（x2+2）＜1，∴1﹣＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；∴函数f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减；（2）解法一：∵函数g（x）=f（x）﹣2|x|﹣m有四个不同的零点，∴函数f（x）=+x的图象与函数y=2|x|+m的图象有四个不同的交点；结合图象，得①当x＜﹣2 时，函数f（x）=﹣+x的图象与函数y=2|x|+m的图象恰有一个交点，②当x＞﹣2 时，为满足g（x）有4个不同的零点，则函数f（x）=+x（x＞﹣2）的图象与函数y=2|x|+m图象恰有三个交点符合要求，而f（x）=+x（x＞﹣2）过点（0，），结合图象知，m＜；当直线y=﹣2x+m与y=+x（x＞﹣2）相切时，在（﹣2，+∞）内只有两个交点；∴，消去y，得+3x﹣m=0；整理，得3x2+（6﹣m）x+1﹣2m=0，△=（6﹣m）2﹣4×3（1﹣2m）=0，解得m=﹣6﹣2（舍去），m=﹣6+2；∴当m∈（﹣6+2，）时，函数g（x）有4个零点．解法二：∵函数g（x）=f（x）﹣2|x|﹣m有四个零点，∴方程+x﹣2|x|﹣m=0有四个实根，即函数h（x）=的图象与函数y=2|x|﹣x+m的图象有四个交点，∴函数h（x）=的图象与函数y=得图象有四个交点；①当x≥0 时，若函数h（x）=的图象与函数y=x+m的图象有一个交点，则m≤；②当x＜0 时，若函数h（x）=（x＜0）的图象与函数y=﹣3x+m的图象恰好有3个交点符合要求，则m＜；当直线y=﹣3x+m与y=（x＞﹣2）相切时，在（﹣∞，0）内只有两个交点，∴，消去y，得=﹣3x+m，整理，得3x2+（6﹣m）x+1﹣2m=0，△=（6﹣m）2﹣4×3（1﹣2m）=0，解得m=﹣6﹣2（舍去），m=﹣6+2；∴当m∈（﹣6+2，）时，函数g（x）有4个零点．解法三：函数g（x）有4个不同零点，即方程+x﹣2|x|﹣m=0有4个不同的实根；方程化为：①与②与③；记v（x）=x2+（m+2）x+（2m﹣1），u（x）=3x2+（6﹣m）x﹣（2m+1），w（x）=3x2+（6﹣m）x﹣（2m﹣1），则u（x）、v（x）、w（x）开口均向上；对①：由v（﹣2）=﹣1＜0知v（x）在[0，+∞）最多一个零点，当v（0）=2m﹣1≤0，即m≤时，v（x）在[0，+∞）上有一个零点，当v（0）=2m﹣1＞0，即m＞时，v（x）在[0，+∞）没有零点；对②：由u（﹣2）=﹣1＜0知u（x）在（﹣∞，﹣2）有唯一零点；对③：为满足g（x）有4个零点，w（x）在（﹣2，0）应有两个不同零点；∴，解得﹣6+2＜m＜；综上所述：当m∈（﹣6+2，）时，函数g（x）有4个零点．解法四：函数g（x）都有4个不同零点，即方程m=+x﹣2|x|有4个不同的实根；令h（x）=+x﹣2|x|，则h（x）=；∵h（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，且其值域为R，∴h（x）=m在（﹣∞，﹣2）有一个实根；又∵h（x）在[0，+∞）单调递减，且其值域为（﹣∞，]，∴当m≤时，h（x）=m在[0，+∞）上有一个实根，当m＞时，h（x）=m在[0，+∞）上没有实根；为满足g（x）都有4个不同零点，h（x）=m在（﹣2，0）至少有两个实根；当﹣2＜x＜0时，h（x）=+3（x+2）﹣6≥2﹣6，∴h（x）在（﹣2，﹣2+]单调递减，且此时值域为[2﹣6，+∞），h（x）在[﹣2+，0）单调递增，且此时值域均为[2﹣6，）；．∴m∈（﹣6+2，）时，方程h（x）=m在（﹣2，0）有两个实根综上所述：当m∈（﹣6+2，）时，函数g（x）有4个零点．点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的单调性的判断与证明，考查了函数的零点与方程的实数根的应用问题，是综合性题目．。

学易金卷：浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟考试数学试题解析解析版

浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟考试数学试题命题教师: 苏阳雍、董玲臣审题教师：陈重阳考试时刻：120分钟试题分值：总分值150分选择题部份（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 当23<m <1时，复数z =(3m −2)+(m −1)i 在平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】23<m <1，那么3m －2>0，m －1<0，点在第四象限．2. 函数f(x)=3x 2√1−x+lg(−3x 2+5x +2)的概念域是 A. （−13，+∞） B. （−13，1） C. （−13，13） D. （−∞，−13）【答案】B【解析】由题设可得{1−x >0−3x 2+5x +2>0⇒{x <1(3x +1)(x −2)<0⇒{x <1−12<x <2⇒−12<x <1,应选答案B 。

3. 在△ABC 中，“sinA >√32”是“A >π3”的A. 充分没必要要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也没必要要条件【答案】A【解析】试题分析：在ΔABC 中，∵A ∈(0,π)，∴假设sinA >√32，那么π3<A <5π6，因此是充分没必要要条件．考点：正弦定理的运用．4. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如右图所示，将f(x)的图象向左平移π6个单位，取得g(x)的图象，那么函数g(x)的解析式为A. g(x)=sin2xB. g(x)=cos2xC. g(x)=sin(2x +π6) D. g(x)=sin(2x +2π3)【答案】D考点：此题考查了三角函数图象的变换及解析式的求法点评：熟练把握三角函数图象的变换及解析式的求法是解决此类问题的关键，属基础题5. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1+a 3=30,S 4=120,设b n =1+log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为A. 152B. 135C. 80D. 16 【答案】B【解析】由题设可得a 2+a 4=S 4−(a 1+a 3)=90，即q(a 1+a 3)=90⇒q =3，因此a 1=301+9=3，那么a n =3⋅3n−1=3n ，因此b n =1+log 3(3n )=1+n ，那么数列{b n }是首项为b 1=2，公差为d =1的等差数列，因此S 15=2×15+15×142=135，应选答案B 。

温州市普通高中2017届高三数学模拟试卷(4月份) 含解析

2017年浙江省温州市普通高中高考数学模拟试卷（4月份)一、选择题（共10小题,每小题4分，满分40分）1．设集合A=｛x∈R|x＞0},B={x∈R｜x2≤1｝，则A∩B=（) A．（0，1) B．(0，1] C．D．）的图象可能是（）A．B． C．D．6．已知实数x，y满足，则｜3x+y|的最大值为（) A．5 B．6 C．7 D．87．在四面体ABCD中，二面角A﹣BC﹣D为60°，点P为直线BC上一动点，记直线PA与平面BCD所成的角为θ，则（）A．θ的最大值为60°B．θ的最小值为60°C．θ的最大值为30°D．θ的最小值为30°8．设，，均为非零向量,若|（+）•｜=|（﹣）•｜，则( ）A．∥B．⊥C．∥或∥D．⊥或⊥9．给定R上的函数f(x），（）A．存在R上函数g（x），使得f（g（x））=xB．存在R上函数g（x），使得g（f(x））=xC．存在R上函数g（x）,使得f（g(x））=g（x）D．存在R上函数g(x），使得f（g（x)）=g（f（x））10．设P为椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的动点，F1、F2为椭圆C的焦点，I为△PF1F2的内心，则直线IF1和直线IF2的斜率之积（）A．是定值B．非定值,但存在最大值C．非定值，但存在最小值D．非定值，且不存在最值二、填空题（共7小题，每小题6分,满分36分)11．圆x2+y2﹣2y﹣3=0的圆心坐标是,半径．12．已知某几何体的三视图如图所示(单位：cm），则此几何体的体积为，表面积为．13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，记S 为△ABC的面积，若A=60°,b=1，S=,则c= ，cosB= ．14．袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X，则P（X=k）取最大值时，k的值为．15．若关于x的不等式｜x｜+｜x+a|＜b的解集为（﹣2，1)，则实数对（a，b）= ．16．已知等差数列｛a n}满足：a4＞0，a5＜0，则满足＞2的n 的集合是．17．已知函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在区间上有零点，则ab 的最大值是．三、解答题(共5小题，满分74分）18．已知函数f（x)=cos2x﹣2cos2（x+）+1．（Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x)在区间上的最值．19．如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1所有的棱长均为2，A1B=，A1B ⊥AC．（Ⅰ）求证：A1C1⊥B1C；（Ⅱ）求直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值．。

2017-2018学年高三一模考试文科数学测试卷及答案

2017-2018 学年度咼三年级第一次模拟考试文科数学试卷一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的A. 2 _2iB. 2 2iC. _2 _ 2 iD. -2 2i2. 已知命题p : -i n 三N , 3n .2018，则一p 为( )A. —n. N , 3n £；20 18B . —n^N , 3n .2018C.n N, 3n ^2 018 D. -I n 三 N , 3“ ：：： 2 01 8f1~]3. 设集合 M ={x|x —x,0} , N = x| 1 ，则是()IxJA. M ? NB. N ? MC. M =ND. M U N =R4.某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（边过点 P (1, -2)，则 sin 2 v = ()3 3 4A.B .-C .—D5556.等腰直角三角形 ABC 中，A =90、，该三角形分别绕 AB , BC 所在直线旋转，则2个几何体的体积之比为（1.2(1 —i)5.以角v 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系 xOy ,若角二终2A. 向右平移生个单位长度2B. 向右平移二个单位长度4C. 向左平移二个单位长度2D. 向左平移二个单位长度4B .求 135 - ... - (2 n - 1)C.求12 - 22・32亠亠nA .1 :、、.、C7. 已知a =45c A. a ::: c ::.aC.b :::c ::8.为了得到yIx_可yD . 2 :1该程序所能实现的功能是（）sin 2x •丄的图象（） I 3丿设计的程序框图,210.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（D.求12 ■■■■■ (n -1)A. 5 4、、2B. 9C. 6 5、, 2D. 2 3 4 5311. 已知P为抛物线亍二x上异于原点0的点，PQ _ x轴，垂足为Q ,过PQ的中点作x轴一P Q的平行线交抛物线于点M，直线QM交y轴于点N，则 ----------- =()N O2 3A. B. 1C. — D. 23 212. 已知函数f (x) =x -2xcosx，则下列关于f(x)的表述正确的是( )A. f (x)的图象关于y轴对称 B . f (x)的最小值为-1C. f (x)有4个零点 D . f (x)有无数个极值点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知 a =(_1,1) , b =(1, _2)，贝U (a 2b) a =.x - y _ 0I14. 设x , y满足约束条件x・2y_3_0，则z = 2x 3 y的最小值是.x - 2 y -1 乞02 2x y15. 已知双曲线C : 1 (m .0)，则C的离心率的取值范围是.1 亠m 1 —mc a b16. 在八ABC中，角A , B , C的对边分别为a, b, c,若S ABC，贝V 的最大4 b a值是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)、(23)题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共60分.17.已知数列｛ a n ｝是以1为首项的等差数列，数列｛X ｝是以q （q =1）为公比的等比数列（1）求｛a n ｝和｛b n ｝的通项公式;天进货当天销售•如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失 3元.根据以往的销售情况，按［0,100），［1 00,200），［200,300），［3 00,400），［400,500］进行分组,得到如图所示的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图计算该种鲜鱼日需求量的平均数 X （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了 300公斤这种鲜鱼，假设当天的需求量为 X 公斤（0乞X 空500），利润为Y 元.求Y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润 Y 不小于700元的概率•19.如图，在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中，平面 A ’B ’C _平面 AA 1C 1C ，乙BAC =90-（2）若.'^1 B 1C 是边长为2的等边三角形，求点 B 1到平面ABC 的距离.(2)若 S 、= a 1b n 6"丄亠亠％丄b 2-，求S n .18.某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤 20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当2 220.已知椭圆-:X2 - y2=1 （a b - 0）的左焦点为F，上顶点为A，长轴长为2 6，B为a b（1）若椭圆:的方程；（2）若C为椭圆:上一点，满足AC//BM , AMC=6 0；，求m的值.x 121. 已知函数 f （x）% ，g （x） = e* " .. .. In x —a .x（1）求f （x）的最大值；（2）若曲线y=g（x）与x轴相切，求a的值.（二）选考题：共10分•请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分•22. 选修4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆6 : （x-1）2 - / =1，圆C 2 : （X-3）2 ・y2=9.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求6， C2的极坐标方程；「X =t CO S 0（（2）设曲线C3 : （t为参数且t式0），C3与圆6，C2分别交于A，B，求S少cy =t sin a的最大值.23. 选修4-5 :不等式选讲设函数f（x）=|x+1| — x的最大值为m.（1）求m的值；2 2（2）若正实数a，b满足a • b = m，求—一-——的最小值.b 十1 a +1②一①可得，S= 2n +1 + (2n + 2n —1 + ・・・ +=2n +2— 2n — 4.(18) 解:(I) x = 50 x 0.001 O X 100 + 150X 0.002 0x 100 + 250 x 0.003 0 x 100+ 350 x 0.002 5x 100+ 450 x 0.001 5 x 100 = 265 .…4 分(H)当日需求量不低于 300公斤时，利润 Y = (20 — 15) x 300 = 1 500元；当日需求量不足 300公斤时，利润 Y = (20 — 15) x — (300 — x ) x 3 = 8x — 900元；故 Y =°x- 900, 0< X V 300,…8 分故丫= 1 500, 300W x < 500. 分由 Y 》700 得，200W x < 500, 所以 F ( Y > 700) = P (200 w x w 500)=0.003 0x 100 + 0.002 5x 100 + 0.001 5x 100=0.7 .(19) 解:参考答案•选择题:A 卷: DACCD BDBCA CDB 卷: AACCD DBBCA CD •填空题： (13)— 4 (14)— 5(15) (1 ,2)(16) 2 2三•解答题: (17) 解:(I)设｛a n ｝的公差为 d , ｛6｝的首项为 b,贝 U a n = 1 + (n — 1) d , b n = bg n —1 •卩 + d= b,依题意可得孑2d = b 1(q — 1),2K1 + d ) bq = bq ,d =1,解得b 1= 2,q = 2,所以 a n = n , b n = 2.S= 1X 2n+ 2X 2n —1+ - +1n x 2 ,所以 n +12S = 1 x 2.. 2+ 2x 2 +•••+ n x 2 ,2 12) — n x 2…12分…12分(I)过点B作AC的垂线，垂足为0,由平面 ABC 丄平面 AACC,平面 ABC n 平面 AACC = AC 得BO ±平面AACQ,又AC 平面AACC 得B0丄AC. 由/BAC= 90°, AB// AB ，得 AB 丄 AC 又 BOd A 1B 1 = B i ,得 AC 丄平面 A i B i C. 又CA 平面ABC,得ACLCA .又 AML BM , AC// BM 所以 k BM = k AC =所以AB //平面ABC所以B 到平面ABC 的距离等于 A 到平面ABC 的距离，设其为 d , 由 Vq -AB = V B-AA 1 C 得，1 1 1 1 X-X ACX ABX d = ；x ：x ACX A C x B O,3 23 2所以 d = B 0= <;3.即点B 到平面ABC 的距离为，3. (20) 解：(I)依题意得 A (0 , b ) , F ( — c , 0)，当 ABL l 时，B ( — 3, b ),,r b b 2 2由 AF 丄 BF 得 k AF • k BF = • =— 1，又 b + c = 6.c — 3 + c解得 c = 2, b = ,2.2 2所以，椭圆r 的方程为x 6+2 =1.(n)由(I)得A (0 ,寸2)，所以 k AM =—…7分m厂所以直线AC 的方程为y =(^+羽,2 2m xv — 12my = —x + 订2与—+ — = 1 联立得(2 + 3m )x + 12mx= 0,所以 x c = ?十 §m ，—12m 乔（叶0），在直角△ AM （中，由/ AMC 60° 得，|AC = ,3|AM ，整理得：（，3m+ 2） 2= 0, 解得m=—晋.…10分…12分当X V 1时，f (x ) > 0, f ( x )单调递增;当X > 1时，f (X )V 0 , f ( x )单调递减,1 故x = 1时，f (X )取得最大值f (1) = e . e ,,, x —1 1 1(n)因为 g (x ) = e + -2— x — 1,X X 设切点为(t , 0)，则 g (t ) = 0,且 g (t ) = 0,t — 1 1 1 t —1 1即 e + 严一 -—1 = 0, e — t ■一 In t — t + a = 0,1 t 一!所以 a = - + In t +1 — e .人 X —1 1 1令 h ( x ) = e + 2— — 1, x x1 X 1 x — !由(I )得f ( X )<e ，所以g w e ，即e >x ，等号当且仅当x = 1时成立,21 1 (X — 1) (X + 1)所以h (x ) >x + T — - — 1 = - >0,等号当且仅当 x = 1时成立, X X X故 a = 1.(22)解:依题意得 I AB = 6cos a — 2cos C 2(3 , 0)到直线 AB 的距离 d = 3|sin a | ,1(21)解:1 — x(X )二丁所以当且仅当 x = 1 时，h ( x ) = 0, 所以t = 1.…11分 …12分 C 1：cos 0 , y = p sin 0 2 . 2 一 -2 2 2.2 p cos 0 + p sin 0 — 2 p cos 可得,+ 1= 1，所以2cosG: 2 2 2.2 p cos 0 + p sin 0 — 6 p cos + 9= 9，所以p = 6cos a = 4COS a ,所以S\ABC>= x d x | AB = 3|sin 2 a | ,故当a=±丁时，&AB(2取得最大值3. …10分4(23)解：丁一1, X W一1,(I) f (x) = |x + 1| —| x| = 2X + 1, —1 v X V 1,、1, X> 1,由f(x)的单调性可知，当x> 1时，f(x)取得最大值1.所以m= 1. …4分（n ）由（i ）可知， a + b = 1, bh +吕=3（bh +h b +1）+（a +1）] 2 . 2 . 1 22 a （a +1） b （b +1） =-[a + b ++] 3 b +1=1（a + b ）2 1 a = b = g 时取等号.b 21 —-的最小值为 a +1 3 > 1（a2 + b 2 + 2a （a + 1）b （b +1） b + 1 a +1 ） a + 1 当且仅当 …10分。

浙江省温州市2018届高三9月高考适应性测试(一模)数学试题Word版含答案

2017年9月份温州市普通高中高考适应性测试数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|1B x x =≥，则A B =（）A ．(1,2)B ．(2,)+∞C ．(1,)+∞D ．∅2.已知α，R β∈，则“αβ>”是“cos cos αβ>”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．43π+ B ．23π+ C ．43π+ D ．423π+ 4.若实数x ，y 满足约束条件20,360,0,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩则2z x y =+的取值范围是（）A ．[]3,4B ．[]3,12C ．[]3,9D ．[]4,95.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，2n an b =，数列{}n b 的前n 项，前2n 项，前3n项的和分别为A ，B ，C ，则（） A ．A B C +=B ．2B AC =C ．2()A B C B +-=D ．2()()B A A C B -=-6.已知函数()f x 的导函数'()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的图象可能是（）7.正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆22221x y a b+=上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ． 8.已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交BC 于Q ，交AC 于P ，若||1AB =，||2AC =，则AP BC ⋅的值为（）A ．3B ．32C D 9.已知函数()||f x x x =，则下列命题错误的是（）A ．函数(sin )f x 是奇函数，且在11(,)22-上是减函数B ．函数sin(())f x 是奇函数，且在11(,)22-上是增函数C ．函数(cos )f x 是偶函数，且在(0,1)上是减函数D ．函数cos(())f x 是偶函数，且在(1,0)-上是增函数10.如图，正四面体ABCD 中，P 、Q 、R 在棱AB 、AD 、AC 上，且AQ QD =，12AP CR PB RA ==，分别记二面角A PQ R --，A PR Q --，A QR P --的平面角为α、β、γ，在（）A ．βγα>>B ．γβα>>C ．αγβ>>D ．αβγ>>第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，将答案填在答题纸上）11.2log 31()2= ．12.双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4为，渐进线方程为．13.已知直线l ：0x -=与圆C ：22(2)4x y -+=交于O ，A 两点（其中O 是坐标原点），则圆心C 到直线l 的距离为，点A 的横坐标为．14.如图，四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中1AD =，4BC =，ADB CDB ∠=∠，则BD = ，AC = ．15.已知242a b +=（a ，b R ∈），则2a b +的最大值为．16.设向量a ，b ，且||2||a b a b +=-，||3a =，则||b 的最大值是；最小值是． 17.已知函数11()||||f x x m x a x m x=++-+--有六个不同零点，且所有零点之和为3，则a 的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知函数2()4cos cos()13f x x x π=++．（1）求()6f π的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．19.如图，四面体ABCD 中，112AB BC CD BD AD =====，平面ABD ⊥平面CBD ．（1）求AC 的长；（2）点E 是线段AD 的中点，求直线BE 与平面ACD 所成角的正弦值． 20.已知函数3()4ln f x x x x=--．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）当03x <≤时，求证：2234ln x x x x +-≤．21.已知抛物线C ：22y px =（0p >），焦点为F ，直线l 交抛物线C 于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，00(,)D x y 为AB 的中点，且0||||12AF BF x +=+．（1）求抛物线C 的方程；（2）若12121x x y y +=-，求0||x AB 的最小值． 22. 已知数列{}n a 中，112a =，1112n n n a a a +++=（*n N ∈）．（1）求证：112n a ≤<；（2）求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（3）设12(1)(1)(1)n n n b a a a =+++…，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：9415n S < ．2017年9月份温州市普通高中高考适应性测试数学试题答案一、选择题1-5:ADACD 6-10:CBBAD二、填空题11.1312.22148x y -=，y = 13.1,314.2，15.0 16.9,117.5a >三、解答题18.解：（1）2()4cos cos()16663f ππππ=++54cos cos 166ππ=+4(12=+=-．（2）2()4cos cos()13f x x x π=++14cos (cos )12x x x =--+22cos 21x x =--+2cos 2x x =-2sin(2)6x π=-+．所以，()f x 的最小正周期为π，当3222262k x k πππππ+≤+≤+（k Z ∈）时，()f x 单调递增，即()f x 的单调递增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）．19.解：（1）∵1AB =，BD =，2AD =， ∴AB BD ⊥，又∵平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD 平面CBD BD =，∴AB ⊥平面CBD ， ∴AB BC ⊥， ∵1AB BC ==，∴AC =（2）由（1）可知AB ⊥平面BCD ，过B 作BG CD ⊥于点G ，连接AG ，则有CD ⊥平面ABG ，∴平面AGD ⊥平面ABG ，过B 作BH AG ⊥于点H ，则有BH ⊥平面AGD ，连接HE ，则BEH ∠为BE 与平面ACD 所成的角．由1BC CD ==，BD =120BCD ∠=︒，∴2BG =，又∵1AB =，∴AG =，又∵112BE AD ==，∴sin BH BEH BE ∠==．20.解：（1）∵234'()1f x x x =+-2243x x x -+=2(1)(3)x x x--=，令'()0f x >，解得3x >或1x <，又由于函数()f x 的定义域为{}|0x x >， ∴()f x 的单调递增区间为(0,1)和(3,)+∞．（2）由（1）知3()4ln f x x x x=--在(0,1)上单调递增，在[]1,3上单调递减，所以，当03x <≤时，max ()(1)2f x f ==-，因此，当03x <≤时，恒有3()4ln 2f x x x x=--≤-，即2234ln x x x x +-≤． 21.解：（1）根据抛物线的定义知12||||AF BF x x p +=++，132D x x x +=， ∵||||12D AF BF x +=+， ∴1p =， ∴22y x =．（2）设直线l 的方程为x my b =+，代入抛物线方程，得2220y my b --=，∵12121x x y y +=-，即22111214y y y y +=-， ∴122y y =-，即1222y y b =-=-， ∴1b =-，∴122y y m +=，122y y =-，12|||AB y y =-==2222121112121()21244D x x y y x y y y y m ++⎡⎤===+-=+⎣⎦，∴20||x AB =令21t m =+，[1,)t ∈+∞，则0||4x AB ==≥． 22.（1）证明：当1n =时，112a =，满足112n a ≤<，假设当n k =（1k ≥）时，112n a ≤<，则当1n k =+时，112k k a a +=-2[,1)3∈，即1n k =+时，满足112n a ≤<；所以，当*n N ∈时，都有112n a ≤<．（2）由1112n n n a a a +++=，得112n n a a +=-，所以+1111122n n n na a a a -+-=-=--，即111111n n a a +=---，即111111n n a a +-=---，所以，数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列．（3）由（2）知，12(1)(1)11n n n a =-+--=---， ∴1n na n =+，因此2121132(1)23n n n b n n n b a n n n+++++==++，当2n ≥时，221218(72114)(57)(2)0n n n n n n +-++=+-≥，即2n ≥时，212326237n n b n n b n n +++=≤+，所以2n ≥时，22122666()()777n n n n b b b b ---≤≤≤≤…，显然0n b >，只需证明3n ≥，9415n S <即可．当3n ≥时，2212322222666()()3777n n n S b b b b b b b b -=++++≤+++++…146(1())2576317n --=+-12286(1())357n -=+-228943515<+=．。

浙江省温州市2017届高考数学模拟试卷4月份含解析精

2017年浙江省温州市高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．（3分）设集合M={﹣1，0，1}，N为自然数集，则M∩N=（）A．{﹣1，0} B．{﹣1} C．{0，1} D．{1}2．（3分）已知f（x﹣3）=2x2﹣3x+1，则f（1）=（）A．15 B．21 C．3 D．03．（3分）过点（1，2）且与直线y=2x+1垂直的直线的方程为（）A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y+4=0 C．x+2y+3=0 D．x+2y﹣5=04．（3分）cos75°cos15°﹣sin255°sin165°的值是（）A．﹣ B．C．D．05．（3分）在下列区间中，函数f（x）=e﹣x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）6．（3分）函数y=+1的值域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C． B． C． D．，它的最大值、最小值分别记为f（x），f（x）minmax（I）当t=0时，求f（x）max，f（x）min（II）令g（t）=f（x）max﹣f（x）min，求函数g（t）的解析式．2017年浙江省温州市高考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N为自然数集，则M∩N=（）A．{﹣1，0} B．{﹣1} C．{0，1} D．{1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】由此利用交集的定义能求出M∩N．【解答】解：集合M={﹣1，0，1}，N为自然数集，则M∩N={0，1}故选：C【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．已知f（x﹣3）=2x2﹣3x+1，则f（1）=（）A．15 B．21 C．3 D．0【考点】3T：函数的值．【分析】利用f（x﹣3）=2x2﹣3x+1，f（1）=（4﹣3），能求出结果．【解答】解：∵f（x﹣3）=2x2﹣3x+1，∴f（1）=（4﹣3）=2×42﹣3×4+1=21．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3．过点（1，2）且与直线y=2x+1垂直的直线的方程为（）A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y+4=0 C．x+2y+3=0 D．x+2y﹣5=0【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】与直线y=2x垂直的直线方程的斜率k=﹣，直线过点（1，2），由此能求出直线方程．【解答】解：与直线y=2x+1垂直的直线方程的斜率k=﹣，∵直线过点（1，2），∴所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），整理，得x+2y﹣5=0．故选：D．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线间位置关系的合理运用．4．cos75°cos15°﹣sin255°sin165°的值是（）A．﹣ B．C．D．0【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式、两角和差的余弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：cos75°cos15°﹣sin255°sin165°=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos（75°﹣15°）=cos60°=，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．5．在下列区间中，函数f（x）=e﹣x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】利用函数的零点判定定理判断求解即可．【解答】解：函数f（x）=e﹣x+4x﹣3是连续函数，因为f（）=﹣1＜0，f（）=+3﹣3＞0，所以f（）f（）＜0，故选：D．【点评】本题考查函数的判定定理的应用，考查计算能力．6．函数y=+1的值域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C． B． C． D．上有解，构造函数h（x）=x2﹣x﹣2，求出它的值域，得到a的范围即可【解答】解：若函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+2的图象上存在关于x轴对称的点，则方程a﹣x2=﹣（x+2）⇔a=x2﹣x﹣2在区间上有解，令h（x）=x2﹣x﹣2，1≤x≤2，由h（x）=x2﹣x﹣2的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故当x=1时，h（x）取最小值﹣2，当x=2时，函数取最大值0，故a∈，故选：A．【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；考查了转化、数形结合思想，属于中档题．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面A1B1C1，且A1C1⊥B1C1，A1C1=3，B1C1=CC1=2，P 是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为（）A．5 B．5 C． D．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，不难看出CP+PA1的最小值是A1C的连线．（在BC1上取一点与A1C构成三角形，因为三角形两边和大于第三边）由余弦定理即可求解．【解答】解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．BC1=2，A1C1=3，A1B=，通过计算可得∠A1C1P=90°，又∠BC1C=45°，∴∠A1C1C=135°，由余弦定理可求得A1C==，故选：D．【点评】本题考查棱柱的结构特征，余弦定理的应用，是中档题．18．已知直线x﹣y+1=0与双曲线+=1（ab＜0）相交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），则=（）A．1 B．C．2 D．【考点】KM：直线与双曲线的位置关系．【分析】将直线方程代入双曲线的方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得a和b的关系，则==2．【解答】解：设P（x1，y1）、Q（x2，y2）由题意得，，（ab＜0）整理得：（a+b）x2+2ax+a﹣ab=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=，由OP⊥OQ，则•=0，得x1x2+y1y2=0，∴+=0，即=1，则=，∴==2，∴=2，故选：C．【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．= ．【考点】98：向量的加法及其几何意义；99：向量的减法及其几何意义．【分析】根据向量的加减的几何意义即可求出【解答】解： =++=，故答案为：．【点评】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与C的交点为P，与y轴的交点为Q，且|PF|=|PQ|，则抛物线C的方程为y2=4x ，点P的坐标为（2，4）．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设P（x0，4），代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛物线方程与P的坐标．【解答】解：设P（x0，4），代入由y2=2px（p＞0）中得x0=，所以|PQ|=，|PF|=+，由题设得+=×，p＞0，解得p=2．所以C的方程为y2=4x，P（2，4）．故答案为y2=4x；（2，4）．【点评】本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决．21．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则数列{a n}的前12项和S12= 24 ．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】a1=1，a n+1=，可得a n+3=a n．即可得出．【解答】解：a1=1，a n+1=，∴a2=a1+1=2，a3=a2+1=2+1=3，a4==1，…．∴a n+3=a n．则数列{a n}的前12项和S12=4（a1+a2+a3）=4×6=24．故选：24．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值范围．【解答】解：y===函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象结合图象可实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）故答案为：（0，1）∪（1，4）【点评】本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（10分）（2017•温州模拟）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（sinC﹣sinA，sinC﹣sinB）与=（b+c，a）共线．（I）求角B的大小；（II）若b=2，c=，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）平面向量的共线定理以及正弦、余弦定理，求出B的值；（II）由正弦定理求出sinC、再由平方关系求出cosC，利用三角形内角和定理求出sinA，再计算△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，向量=（sinC﹣sinA，sinC﹣sinB）与=（b+c，a）共线，∴a（sinC﹣sinA）﹣（b+c）（sinC﹣sinB）=0，由正弦定理得a（c﹣a）﹣（b+c）（c﹣b）=0，整理得a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理得cosB===，∴B=；（II）由正弦定理=，得sinC===，∴cosC=±=±；当cosC=时，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinB=•+•=；∴△ABC的面积为：S△ABC=bcsinA=×2×（+）×=3+；当cosC=﹣时，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=，∴△ABC的面积为：S△ABC=bcsinA=×2×（+）×=；综上，△ABC的面积为3+或．【点评】本题考查了平面向量与解三角形的应用问题，也考查了计算与转化能力，是综合题．24．（10分）（2017•温州模拟）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C和抛物线y2=x交于M，N两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II）A为椭圆的右顶点，经过原点的直线和椭圆C交于B，D两点，设直线AB与AD的斜率分别为k1，k2．问k1•k2是否为定值？若为定值，请求出；否则，请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（I）由=，设a=2λ，c=，b=，其中λ＞0，把M（c，），代入椭圆中得，由此能求出椭圆C的标准方程．（II）设B（x0，y0），（y0＞0），则D（﹣x0，﹣y0），且=1，由此能推导出k1•k2=﹣为定值．【解答】解：（I）由=，设a=2λ，c=，b=，其中λ＞0，由已知M（c，），代入椭圆中得： =1，即=1，解得，从而a=2，b=2，c=2，故椭圆C的标准方程为．…（II）k1，k2为定值，…（6分）下面给出证明．证明：设B（x0，y0），（y0＞0），则D（﹣x0，﹣y0），且=1，…（7分）而k1•k2=•===﹣，…（9分）由（I）知a2=8，b2=4，∴k1•k2=﹣为定值．…（10分）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查两直线的斜率乘积是否为定值的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想思想，是中档题．25．（11分）（2017•温州模拟）已知u，v是方程x2﹣4tx﹣1=0（t∈R）的两个不相等的实数根，函数f（x）=的定义域为，它的最大值、最小值分别记为f（x）max，f（x）min （I）当t=0时，求f（x）max，f（x）min（II）令g（t）=f（x）max﹣f（x）min，求函数g（t）的解析式．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】（I）当t=0时，u=﹣1，v=1，f（x）=（﹣1≤x≤1），确定f（x）在上单调递增，即可求f（x）max，f（x）min（II）由题意，f′（x）=≥0，f（x）在上单调递增，令g（t）=f（x）max﹣f（x）min，利用韦达定理，即可求函数g（t）的解析式．【解答】解：（I）当t=0时，由x2﹣1=0得x=±1，∴u=﹣1，v=1，f（x）=（﹣1≤x≤1），∵f′（x）=≥0，∴f（x）在上单调递增，∴f（x）max=，f（x）min=﹣；（II）由题意，f′（x）=≥0，∴f（x）在上单调递增，∴f（x）max=f（v），f（x）min=f（u）；又u+v=4t，uv=﹣1，∴g（t）=f（v）﹣f（u）=﹣==．【点评】本题考查函数的最值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

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浙江省温州市2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（0，3）C．（﹣∞，0）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）2．已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l⊥m，m∥α，则l⊥αC．若l⊥α，m⊥α，则l∥m D．若l⊥m，l⊥α，则m∥α3．已知实数x，y满足，则x﹣y的最大值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣34．已知直线l：y=kx+b，曲线C：x2+y2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最大值为（）A．B．C．2 D．6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCA翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角E﹣BC﹣F的余弦值为（）A．B．C．D．7．如图，已知F1、F2为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足（+）=0，||=a，线段PF2与双曲线C交于点Q，若=5，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x8．已知集合M={（x，y）|x2+y2≤1}，若实数λ，μ满足：对任意的（x，y）∈M，都有（λx，μy）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“和谐实数对”．则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（）A．{（λ，μ）|λ+μ=4} B．{（λ，μ）|λ2+μ2=4}C．{（λ，μ）|λ2﹣4μ=4}D．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=4}二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．已知直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+y+1=0，l1∥l2，则a的值为，直线l1与l2间的距离为．10．已知钝角△ABC的面积为，AB=1，BC=，则角B=，AC=．11．已知f（x）=，则f（f（﹣2））=，函数f（x）的零点的个数为．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．13．若数列{a n}满足a n+1+a n=2n﹣1，则数列{a n}的前8项和为．14．已知f（x）=ln（x+），若对任意的m∈R，方程f（x）=m均为正实数解，则实数a的取值范围是．15．已知椭圆C：=1（a＞）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，直线l：y=ex+a，P为点F1关于直线l对称的点，若△PF1F2为等腰三角形，则a的值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知2sinαtanα=3，且0＜α＜π．（I）求α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域．17．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，且4S1，3S2，2S3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=|2n﹣5|a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．19．如图，已知点F（1，0），点A，B分别在x轴、y轴上运动，且满足AB⊥BF，=2，设点D的轨迹为C．（I）求轨迹C的方程；（Ⅱ）若斜率为的直线l与轨迹C交于不同两点P，Q（位于x轴上方），记直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围．20．已知函数f（x）=（x﹣t）|x|（t∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∃t∈（0，2），对于∀x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，求实数a的取值范围．2016年浙江省温州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（0，3）C．（﹣∞，0）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）【分析】分别求出集合A，B，从而求出其交集即可．【解答】解：∵集合A={x|y=lgx}={x|x＞0|，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B=（0，3），故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．2．已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l⊥m，m∥α，则l⊥αC．若l⊥α，m⊥α，则l∥m D．若l⊥m，l⊥α，则m∥α【分析】利用线面平行的性质定理和判定定理对四个选项分别分析解答．【解答】解：对于A，若l∥α，m∥α，则l与m的位置关系可能为平行、相交或者异面；故A错误；对于B，若l⊥m，m∥α，则l与α平行或者相交；故B 错误；对于C，若l⊥α，m⊥α，利用线面创造的性质可得l∥m；故C正确；对于D，若l⊥m，l⊥α，则m∥α或者m⊂α；故D错误；故选C．【点评】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理，正确运用．3．已知实数x，y满足，则x﹣y的最大值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3【分析】令z=x﹣y，从而化简为y=x﹣z，作平面区域，结合图象求解即可．【解答】解：令z=x﹣y，则y=x﹣z，由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当过点A（3，0）时，x﹣y取得最大值3，故选B．【点评】本题考查了学生的作图能力及线性规划的应用，同时考查了数形结合的思想应用．4．已知直线l：y=kx+b，曲线C：x2+y2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】先根据直线l与曲线C有公共点，根据直线和圆的位置关系得到b2≤1+k2，再根据充分，必要条件的定义判断即可．【解答】解：由题意可得直线直线l：y=kx+b，曲线C：x2+y2=1有公共点，∴≤1，∴b2≤1+k2，当b=1时，满足，b2≤1+k2，即“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”充分条件，当直线l与曲线C有公共点，不一定可以得到b=1，b=0时也满足，故“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，以及充分必要条件的判定，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．5．已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最大值为（）A．B．C．2 D．【分析】建立平面直角坐标系，设P（x，0），使用坐标法将表示成x的函数，根据x的范围求出函数的最大值．【解答】解：以AB为x轴，以AD为y轴建立平面直角坐标系，∵正方形ABCD的面积为2，∴B（，0），C（），D（0，）．设P（x，0）（0），则=（，），=（﹣x，）．∴=﹣x（）+2=x2﹣+2=（x﹣）2+．∴当x=时，取得最大值．故选B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，使用坐标法求值是常用方法之一．6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCA翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角E﹣BC﹣F的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据折叠前和折叠后的边长关系，结合二面角的平面角定义得到∠FOE是二面角E ﹣BC﹣F的平面角进行求解即可．【解答】解：取BC的中点O，连接OE，OF，∵BA=CD，∴BF=FC，即三角形BFC是等腰三角形，则FO⊥BC，∵BE=CF，∴△BEC是等腰三角形，∴EO⊥BC，则∠FOE是二面角E﹣BC﹣F的平面角，∵EF⊥CF，BF⊥EF，∴EF⊥平面BCF，EF⊥FO，则直角三角形EFO中，OE=AB=2，EF=DE=，则sin∠FOE===，则cos∠FOE===，故选：B【点评】本题主要考查二面角的求解，根据二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．注意叠前和折叠后的线段边长的变化关系．7．如图，已知F 1、F 2为双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足（+）=0，||=a ，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若=5，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x【分析】连接F 1Q ，由向量共线定理可得|F 2Q |=，|PQ |=，由双曲线的定义可得|F 1Q |=，运用向量的数量积的性质可得|F 1F 2|=|F 1P |=2c ，在△F 1PQ 和△QF 1F 2中，由∠PQF 1+∠F 2QF 1=π，可得cos ∠PQF 1+cos ∠F 2QF 1=0，运用余弦定理，化简整理可得b=a ，运用双曲线的渐近线方程即可得到．【解答】解：连接F 1Q ，由||=a ，=5，可得|F 2Q |=，|PQ |=，由双曲线的定义可得|F 1Q |﹣|F 2Q |=2a ，即有|F 1Q |=，由（+）=0，即为（+）（﹣）=0，即有2﹣2=0，|F 1F 2|=|F 1P |=2c ，在△F 1PQ 和△QF 1F 2中，由∠PQF 1+∠F 2QF 1=π，可得cos ∠PQF 1+cos ∠F 2QF 1=0，由余弦定理可得， +=0，化简可得c 2=a 2，由c 2=a 2+b 2，可得b=a ，可得双曲线的渐近线方程为y=±x ，即为y=±x ．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用三角形中的余弦定理，同时考查向量数量积的性质和向量共线定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．8．已知集合M={（x ，y ）|x 2+y 2≤1}，若实数λ，μ满足：对任意的（x ，y ）∈M ，都有（λx ，μy ）∈M ，则称（λ，μ）是集合M 的“和谐实数对”．则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（）A ．{（λ，μ）|λ+μ=4}B ．{（λ，μ）|λ2+μ2=4}C ．{（λ，μ）|λ2﹣4μ=4}D ．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=4}【分析】由题意，λ2x 2+μ2y 2≤λ2+μ2≤1，问题转化为λ2+μ2≤1与选项有交点，代入验证，可得结论．【解答】解：由题意，λ2x 2+μ2y 2≤λ2+μ2≤1，问题转化为λ2+μ2≤1与选项有交点，代入验证，可得C 符合．故选：C ．【点评】本题考查曲线与方程，考查学生的计算能力，问题转化为λ2+μ2≤1与选项有交点是关键．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．已知直线l 1：ax ﹣y +1=0，l 2：x +y +1=0，l 1∥l 2，则a 的值为 ﹣1 ，直线l 1与l 2间的距离为．【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：直线l 1：ax ﹣y +1=0，l 2：x +y +1=0，分别化为：y=ax +1，y=﹣x ﹣1， ∵l 1∥l 2，∴a=﹣1，1≠﹣1．两条直线方程可得：x +y ﹣1=0，x +y +1=0．直线l 1与l 2间的距离d==．故答案分别为：﹣1；．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知钝角△ABC 的面积为，AB=1，BC=，则角B=，AC=．【分析】利用已知及三角形面积公式可求sinB ，可求B=或，分类讨论：当B=时，由余弦定理可得AC=1，可得AB 2+AC 2=BC 2，为直角三角形，舍去，从而利用余弦定理可得AC 的值．【解答】解：∵钝角△ABC 的面积为，AB=1，BC=，∴=1××sinB ，解得：sinB=，∴B=或，∵当B=时，由余弦定理可得AC===1，此时，AB 2+AC 2=BC 2，可得A=，为直角三角形，矛盾，舍去．∴B=，由余弦定理可得AC===，故答案为：；．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．11．已知f （x ）=，则f （f （﹣2））= 14 ，函数f （x ）的零点的个数为 1 ．【分析】根据x ＜0与x ≥0时f （x ）的解析式，确定出f （f （﹣2））的值即可；令f （x ）=0，确定出x 的值，即可对函数f （x ）的零点的个数作出判断．【解答】解：根据题意得：f（﹣2）=（﹣2）2=4，则f（f（﹣2））=f（4）=24﹣2=16﹣2=14；令f（x）=0，得到2x﹣2=0，解得：x=1，则函数f（x）的零点个数为1，故答案为：14；1．【点评】此题考查了函数零点的判定定理，以及函数的值，弄清函数零点的判定定理是解本题的关键．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12，表面积为36．【分析】根据三视图作出棱锥的直观图，根据三视图数据计算体积和表面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为3正方形，EA⊥底面ABCD，EA=4．∴棱锥的体积V=．棱锥的四个侧面均为直角三角形，EB=ED=5，∴棱锥的表面积S=32++=36．故答案为12；36．【点评】本题考查了棱锥的三视图和结构特征，体积与表面积计算，属于基础题．13．若数列{a n}满足a n+1+a n=2n﹣1，则数列{a n}的前8项和为28．【分析】数列{a n}满足a n+1+a n=2n﹣1，对n分别取1，3，5，7，求和即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a n+1+a n=2n﹣1，∴数列{a n}的前8项和=（2×1﹣1）+（2×3﹣1）+（2×5﹣1）+（2×7﹣1）=28．故答案为：28．【点评】本题考查了递推关系、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知f（x）=ln（x+），若对任意的m∈R，方程f（x）=m均为正实数解，则实数a的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据对数函数的性质结合不等式的性质得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：f（x）=ln（x+）=m，则a=x+﹣e m＞4故答案为：（4，+∞）．【点评】本题考察了对数函数的性质，不等式的性质，是一道基础题．15．已知椭圆C：=1（a＞）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，直线l：y=ex+a，P为点F1关于直线l对称的点，若△PF1F2为等腰三角形，则a的值为．【分析】运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，结合点到直线的距离公式，由题意可得|PF1|=|F1F2|，解方程即可求得a的值．【解答】解：由题意可得c=，e=，F1（﹣c，0）到直线l的距离为d=，由题意可得|PF1|=|F1F2|，即为2d=2c，即有=a2﹣2，化简可得a4﹣3a2=0，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率公式的运用和点到直线的距离公式，以及运算化简能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知2sinαtanα=3，且0＜α＜π．（I）求α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域．【分析】（Ⅰ）由已知推导出2cos2α+3cosα﹣2=0，由此能求出α．（Ⅱ）f（x）=4cosxcos（x﹣α）=2sin（2x+）+1，由，得2x+∈[]，由此能求出函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵2sinαtanα=3，且0＜α＜π．∴2sin2α=3cosα，∴2﹣2cos2α=3cosα，∴2cos2α+3cosα﹣2=0，解得或cosα=﹣2（舍），∵0＜α＜π，∴α=．（Ⅱ）∵α=，∴f（x）=4cosxcos（x﹣α）=4cosx（cosxcos+sinxsin）=2cos2x+2sinxcosx=+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵，∴2x+∈[]，∴2≤2sin（2x+）+1≤3，∴函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域为[2，3]．【点评】本题考查角的求法，考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式及余弦加法定理和正弦加法定理的合理运用．17．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，且4S1，3S2，2S3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=|2n﹣5|a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）根据4S1，3S2，2S3成等差数列．根据等差中项6S2=4S1+2S3，化简整理求得q=2，写出通项公式；（Ⅱ）讨论当n=1、2时，求得T1=6，T2=10，写出前n项和，采用错位相减法求得T n．【解答】解：（Ⅰ）∵4S1，3S2，2S3成等差数列，∴6S2=4S1+2S3，即6（a1+a2）=4a1+2（a1+a2+a3），则：a3=2a2，q=2，∴；（Ⅱ）当n=1，2时，T1=6，T2=10，当n≥3，T n=10+1×23+3×24+…+（2n﹣5）2n，2T n=20+1×24+3×25+…+（2n﹣7）×2n+（2n﹣5）×2n+1，两式相减得：﹣T n=﹣10+8+2（24+25+…+2n）﹣（2n﹣5）×2n+1，=﹣2+2×﹣（2n﹣5）×2n+1，=﹣34+（7﹣2n）2n+1，∴T n=34﹣（7﹣2n）2n+1．∴．【点评】本题求等比数列的通项公式和采用错位相减法求前n项和，属于中档题．18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．【分析】（I）由DE⊥平面得出DE⊥AB，又DF⊥AB，故而AB⊥平面DEF，从而得出平面ABD⊥平面DEF；（II）以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面DAB的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA=DC，DE⊥AC，AC=4，AD⊥CD，∴E为AC的中点，DE==2．∵AB⊥BC，AC=4，∠BAC=60°，∴AB=．以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，﹣2，0），D（0，0，2），B（，﹣1，0）．∴=（0，﹣2，﹣2），=（，﹣1，﹣2），=（，﹣1，0）．设平面DAB的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令z=1，得=（，﹣1，1）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴BE与平面DAB所成的角的正弦值为．【点评】本题考查了了面面垂直的判定，空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题．19．如图，已知点F（1，0），点A，B分别在x轴、y轴上运动，且满足AB⊥BF，=2，设点D的轨迹为C．（I）求轨迹C的方程；（Ⅱ）若斜率为的直线l与轨迹C交于不同两点P，Q（位于x轴上方），记直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围．【分析】（I）根据=2得B为AD的中点，利用AB⊥BF，可得=0，从而可得轨迹C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线l的方程为y=x+b，代入y2=4x，整理，利用韦达定理，结合斜率公式，即可求k1+k2的取值范围．【解答】解：（I）设D（x，y），则由=2得B为AD的中点，所以A（﹣x，0），B（0，）∵AB⊥BF，∴=0，∴（x，）（1，﹣）=0∴y2=4x（x≠0）；（Ⅱ）斜率为的直线l的方程为y=x+b，代入y2=4x，整理可得x2+（4b﹣16）x+4b2=0，△=（4b﹣16）2﹣16b2＞0，∴b＜2设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴x1+x2=16﹣4b，x1x2=4b2．k1+k2=+==，∵b＜2，∴＜0或＞2，∵k1+k2的取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【点评】本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，解题的关键是用好向量，挖掘隐含，属于中档题．20．已知函数f（x）=（x﹣t）|x|（t∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∃t∈（0，2），对于∀x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）讨论x的取值范围，将函数表示为分段函数形式，然后判断函数的单调性即可．（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ），…（1分）当t＞0时，f（x）的单调增区间为，单调减区间为…（4分）当t=0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）…（5分）当t＜0时，f（x）的单调增区间为[0，+∞），，单调减区间为…（8分）（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣x=，当x∈[0，2]时，∵∈（0，2），∴…（9分）当x∈[﹣1，0]时，∵g（﹣1）=﹣t，g（0）=0，∴g min（x）=﹣t…（10分）故只须∃t∈（0，2），使得：成立，即…（13分）∴a≤…（14分）另解：设h（t）=f（x）﹣x=﹣|x|t+x|x|﹣x，t∈（0，2）…（9分）只须h（t）max≥a，对x∈[﹣1，2]都成立．…（10分）则只须h（0）=x|x|﹣x≥a，对x∈[﹣1，2]都成立．…（12分）再设m（x）=x|x|﹣x，x∈[﹣1，2]，只须m（x）min≥a，易求得a≤…（14分）【点评】本题主要考查函数单调性的判断以及不等式恒成立问题，利用参数转化法是解决本题的关键．。