2017年高三数学一模(文科)答案

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2017年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷文科数学试卷及参考答案与解析

2017年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷文科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合A＝{x|x＜2},B＝{x|3－2x＞0},则( )A.A∩B＝{x|x＜}B.A∩B＝∅C.A∪B＝{x|x＜}D.A∪B＝R2.(5分)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别是x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A.x1,x2,…,xn的平均数 B.x1,x2,…,xn的标准差C.x1,x2,…,xn的最大值 D.x1,x2,…,xn的中位数3.(5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.i(1＋i)2B.i2(1－i)C.(1＋i)2D.i(1＋i)4.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.5.(5分)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )A. B. C. D.6.(5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )A. B. C. D.7.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝x＋y的最大值为( )A.0B.1C.2D.38.(5分)函数y＝的部分图象大致为( )A. B. C.D.9.(5分)已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x),则( )A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D.y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称10.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A＞1000和n＝n＋1B.A＞1000和n＝n＋2C.A≤1000和n＝n＋1D.A≤1000和n＝n＋211.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0,a＝2,c＝,则C＝( )A. B. C. D.12.(5分)设A,B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB＝120°,则m的取值范围是( )A.(0,1]∪[9,＋∞)B.(0,]∪[9,＋∞)C.(0,1]∪[4,＋∞)D.(0,]∪[4,＋∞)二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

【江西省南昌市】2017届高三第一次模拟数学(文科)试卷-答案

FC 1 又 E 为 AD 的中点，G 为 △PAD 的重心，∴ AG 2 .
GH 1 1/6
在 △AFC 中， AG AF 2 ，故 GF∥HC .
GH FC 1
又 HC 平面 PCD ， GF 平面 PCD ，∴ GF //平面 PDC .
方法二：过 G 作 NG∥AD 交 PD 于 N，过 F 作 FM∥AD 交 CD 于 M，连接 MN，
由频率分布直方图，可估算这100 天空气质量指数监测数据的平均数为： 250.1 750.2 1250.251750.2 2250.15 2750.1 145 . 19．【解析】（Ⅰ）方法一：连 AG 交 PD 于 H，连接 CH.
由梯形 ABCD， AB∥CD 且 AB 2DC ，知 AF 2 .
知 AF 2 ，即 FC 1 AC
FC 1
3
∴在 △ADC 中， KF∥CD ，所以平面 GKF∥平面 PDC
又 GF 平面 GKF ，∴ GF∥面 PDC
2/6
（Ⅱ）方法一：由平面 PAD 平面 ABCD， △PAD 与 △ABD 均为正三角形，E 为 AD 的中点 ∴ PE AD ， BE AD ，得 PE 平面 ABCD，且 PE 3
所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；
当 2a 0 时，有 g '(0) 2a 0 ，则在 x 0, 存在 g '(x1) 0 ，此时 x (0, x1) 上单调递减，x (x1, ) 上单调
递增所以函数 y f '(x) 在 x 0, 上先减后增．
江西省南昌市 2017 届届高三第一次模拟数学（文科）试卷答案
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1~5．CBDDC 6~10．ADBBA 11~12．CD 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分．

【陕西省西安市】2017年高考一模数学(文科)试卷(附答案)

A B=（1,3-{}4．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（）29312．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当(,3]1x ∈-时，(1,1]()(1|2|),(1,3]x f x t x x ∈-=--∈⎪⎩，其中0t >，若方程()xf x =恰有3个不同的实数根，则t 的取值范围为（） ||||a b a b +=-，那么向量a 与向量b 的关系是．若不等式组1x y ⎧⎪+≥⎨所表示的平面区域为D ，若直线三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 17．（12分）已知数列{}n a 中，35a =，2614a a +=，且2n a ，12n a +，22n a +成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足(1)nn n b a n --=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求21T ．18．（12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区 2.5PM 的年平均浓度不得超过35微克/立方米， 2.5PM 的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天 2.5PM 的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如表：（Ⅰ）从样本中 2.5PM 的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天2.5PM 的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 2.5PM 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．19．（12分）如图（1）：在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，6AD =，CE AD ⊥于E 点，把DEC △沿CE 折到D EC '的位置，使D A '=2）：若G ，H 分别为D B '，D E '的中点．（Ⅰ）求证：GH D A ⊥'；（Ⅱ）求三棱锥C D BE -'的体积．20．（12分）如图已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆222:(2)0)(T x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN 的最小值，并求此时圆T 的方程．21．（12分）已知2()3f x x =--，()2ln g x x x ax =-且函数()f x 与()g x 在1x =处的切线平行．（Ⅰ）求函数()g x 在(1,(1))g 处的切线方程；（Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围． [选修44-：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=，它在点π)4M 处的切线为直线l ．（1）求直线l 的直角坐标方程；（2）已知点P 为椭圆22134x y +=上一点，求点P 到直线l 的距离的取值范围．[选修45-：不等式选讲]23．已知函数||,()21f x x x R =-∈．（Ⅰ）解不等式|()1|f x x <+；（Ⅱ）若对于x ，y ∈R ，有113||x y --≤，1216||y +≤，求证：()1f x <．17．（I ）∵2n a ，12n a +，22n a +成等比数列， ∴122(2)22n n n a a a ++=，∴122n n n a a a ++=+．∴数列{}n a 为等差数列，设公差为d ， ∵35a =，5620a a +=， ∴125a d +=，12920a d +=，解得11a =，2d =． ∴12(1)21n a n n =+-=-．（II ）(1)(21)(1)n nn n b a n n n =-=----．设数列(1){}nn --的前n 项和为n S ，则123(1)nn S n =-+-+⋯+-．∴1123(1)(1)(1)n n n S n n +-=-++⋯+--+-，∴11[1(1)]2111(1)1)(1(1)(1)n n n n n S n n ++---=-++⋯+-=------﹣，∴(1)1(1)42n n n nS ---=+．∴2(121)(1)1(1)(1)1(1)24242n n n n n n n n n T n n +-------=--=---． ∴22122132121425444T ---=-=-+． 18．解：（Ⅰ）设 2.5PM 的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为1A ，2A ，3A ， 2.5PM 的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为1B ，2B ．所以5天任取2天的情况有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共10种．其中符合条件的有：11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共6种．所以所求的概率63105P ==．………………………………………………………………………（8分）（Ⅱ）去年该居民区 2.5PM 年平均浓度为：12.50.1537.50.662.50.1587.50.142.5⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．………………………（10分）因为42.535>，所以去年该居民区 2.5PM 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…………………………………………………………………………………………………（12分） 19．解：（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ︒∠=，2AB BC ==，6AD =，CE AD E ⊥于点，把DEC △沿CE 折到D EC '的位置，使D A '=4ED =，连结BE ，GH ，在三角形AED '中，可得222ED AE AD '=+'，可得AD AE '⊥，DC ==，AC =，可得222AC AD CD +'='，可得，因为AEAC A =，所以AD ABCD '⊥平面，可得AD BE '⊥，G ，H 分别为D B '，D E '的中点，可得GH BE ∥，所以GH D A ⊥'．（Ⅱ）三棱锥C D BE -'的体积为V ．则111223323BCE V S AD ='=⨯⨯⨯=△．20．解：（1）由题意可得2c e a ==，椭圆的左顶点(2,0)T -，可得2a =，c =，1b =，则椭圆方程为2214x y +=；（2）设(,)M m n ，由对称性可得(,)N m n -，即有2214m n +=，则222225(2,)(2,)(2)(2)14344TM m m n m n m n m m T m N =++-=+=++=++--258()1545m =+-，由22m -≤≤，可得85m =-时，TM TN 的最小值为15-，此时2925n =，即有22213(2)25r m n =++=，可得圆T 的方程2213(2)25x y ++=．21．解：（Ⅰ）()2f x x '=-，故(1)2k f ='=-，而()2(ln 1)g x x a '=+-，故(1)2g a '=-，故22a -=-，解得：4a =，故(1)4g a =-=-，故()g x 的切线方程是：42(1)y x +=--，即220x y ++=；（Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x -≥恒成立，等价于32ln a x x x≤++，令3()2ln g x x x x=++，(0,)x ∈+∞， 2223(3)(1)()1x x g x x x x +-'=+-=，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调减，当1x =时，()0g x '=，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调增，∴min ()(1)4g x g ==， ∴4a ≤．22．解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=，∴22cos 2sin ρθρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为212y x =，∴y x '=，又π)4M 的直角坐标为(2,2)， ∴曲线C 在点(2,2)处的切线方程为22(2)y x -=-，即直线l 的直角坐标方程为：220x y --=．（2）P 为椭圆22134x y +=上一点，设(cos ,2sin )P αα，则P 到直线l 的距离π|4cos()2|d α-+，当π1sin()32α-=-时，d 有最小值0．当πsin()13α-=时，d∴P 到直线l 的距离的取值范围为：[0,5．……………………………………（10分）23．解：（Ⅰ）不等式|()1|f x x <+，等价于||||211x x -<+，0x ≤，不等式可化为211x x -+<-+，即0x >，不成立；102x ≤≤，不等式可化为211x x -+<+，即0x >，∴102x ≤≤；12x >，不等式可化为211x x -<+，即2x <，∴122x <<；故不等式|()1|f x x <+的解集为(0,2)．（Ⅱ）∵113||x y --≤，1216||y +≤， ∴11()212(1||||||)(21)2(1)||(21)2136f x x x y y x y y =-=--++≤--++≤+<．陕西省西安市2017年高考一模数学（文科）试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数+i=+i=+i=所对应的点位于第一象限，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了计算能力，属于基础题．3．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sin（x+）的图象上所有的点向左平移个的单位长度，可得y=sin（x++）=sin（x+）的图象；再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为y=sin（x+），故选：B．【点评】本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．【考点】球的体积和表面积．【分析】设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=，解之得=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．【解答】解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S1=4，S2=4∵两个球的表面积之比为1：4，∴===，解之得=（舍负）因此，这两个球的体积之比为==（）3=即两个球的体积之比为1：8故选：C【点评】本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比．着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题．5．【考点】抛物线的标准方程．【分析】求出双曲线的焦点坐标，可得抛物线y2=2px的焦点坐标，即可求出p的值．【解答】解：双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），即抛物线y2=2px的焦点为（2，0），∴=2，∴p=4．故选D．【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．故选C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题．7．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．据此可求出原几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C．【点评】本题考查了三视图，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．8．【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．9．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=b时的导数值，利用基本不等式求最值得答案．【解答】解：由f（x）=lnx+x2﹣bx+a，得f′（x）=+2x﹣b（x＞0），∴f′（b）=+b（b＞0）∴f′（b）=+b≥2，当且仅当b=，即b=1时上式取“=”，切线斜率的最小值是2．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．10．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数，求比值即可．【解答】解：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为3，由古典概型可知，它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于故选D．【点评】本题考查古典概型、组合数运算，考查运算能力．11．【考点】任意角的三角函数的定义；对数函数的图象与性质．【分析】利用函数的图象经过定点P的坐标，任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：∵函数y=log a（x﹣3）+2过定点P（4，2），且角α的终边过点P，∴x=4，y=2，r=|OP|=2，∴sinα=，cosα=，∴sin2α+cos2α=2sinαcosα+2cos2α﹣1=2××+2×﹣1=，故选：A．【点评】本题主要考查函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题．12．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．【分析】确定f（x）的周期为4，x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），再利用t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，可得t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2，即可求出t的取值范围．【解答】解：由f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），故f（x）的周期为4，∵x∈（1，2）时，f（x）=t（x﹣1），x∈（2，3）时，f（x）=t（3﹣x），∴x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），∵t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，∴t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2∴2＞t＞，故选：B．【点评】本题考查函数的周期性、根的存在性及根的个数判断，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题13．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的模长公式与数量积运算，得出•=0时⊥．【解答】解：|+|=|﹣|，∴=，+2•+=﹣2•+，∴•=0，∴⊥，∴向量与向量的关系是垂直．故答案为：垂直．【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题目．14．【考点】简单线性规划．【分析】作出区域D，直线y﹣2=a（x+2）表示过点A（﹣2，2）且斜率为a的直线，数形结合可得结果．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域D（如图阴影），直线y﹣2=a（x+2）表示过点A（﹣2，2）且斜率为a的直线，联立可解得即C（1，0），由斜率公式可得a==，由解得B（0，3），此时A==结合图象可得要使直线y﹣2=a（x+2）与区域D有公共点需a≤，故答案为：a≤．【点评】本题考查简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．15．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据预测都不正确，即可推出相对应的数字【解答】解：乙丙丁所说为假⇒甲拿4，甲乙所说为假⇒丙拿1，甲所说为假⇌乙拿2；故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4，2，1，3，故答案为：4，2，1，3【点评】本题考查了合情推理的问题，关键是掌握命题的否定，属于基础题．16．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：顶点A，B为椭圆的两个焦点，利用正弦定理及椭圆的定义，求得a和b的关系，即可求得=3．【解答】解：由椭圆+=1，长轴长2a=10，短轴长2b=8，焦距2c=6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点，三角形ABC中，a=丨BC丨，b=丨AC丨，c=丨AB丨=6，a+b=丨BC丨+丨AC丨=10，由正弦定理可知===2R，则sinA=，sinB=，sinC=，===3，故答案为：3．【点评】本题考查椭圆的定义及正弦定理的应用，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．三、解答题17．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由2，2，2成等比数列，可得=2•2，可得2a n+1=a n+a n+2．利用等差数列的通项公式可得a n．（II）利用“错位相减法”、等差数列等比数列的求和公式即可得出．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．【分析】（Ⅰ）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2，求出基本事件总数，符合条件的基本事件总数，即可求得概率；（Ⅱ）利用组中值×频数，可得去年该居民区PM2.5年平均浓度，进而可判断该居民区的环境是否需要改进．【点评】本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过证明：AD′⊥AE，AD′⊥AC，推出AD′⊥平面ABCD，推出AD′⊥BE，通过证明GH∥BE，推出GH⊥D′A；（Ⅱ）三棱锥C﹣D′BE的体积．直接利用棱锥的体积公式求解即可．【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中（Ⅰ）的关键是熟练掌握面面垂直，线面垂直及线线垂直的相互转化，（Ⅱ）的关键是判断出棱锥的高和底面面积．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，结合a，b，c的关系，可得椭圆方程；（2）设M（m，n），由对称性可得N（m，﹣n），代入椭圆方程，再由向量数量积的坐标表示，转化为关于m的二次函数，配方，结合椭圆的范围，可得最小值，进而得到M的坐标，可得圆的方程．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查向量数量积的最小值，注意运用二次函数的最值求法和椭圆的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，从而求出切线方程即可；（Ⅱ）先把已知等式转化为a≤x+2lnx+，设g（x）=x+2lnx+，x∈（0，+∞），对函数进行求导，利用导函数的单调性求得函数的最小值，只要a小于或等于最小值即可．【点评】本题主要考查了利用导函数求最值的问题．考查了学生对函数基础知识的理解和灵活运用．22．【考点】直线与椭圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标方程与普通方程的互化求解即可．（2）设出椭圆的参数方程，利用点到直线的距离公式化简求解即可．【点评】本题考查椭圆的参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．23．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由条件|2x﹣1|＜|x|+1，分类讨论，求得x的范围．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式证得不等式成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题。

【陕西省西安市】2017年高考一模数学(文科)试卷-答案

17．（I ）∵2n a ，12n a +，22n a +成等比数列，∴122(2)22n n n a a a ++=，∴122n n n a a a ++=+．∴数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，∵35a =，5620a a +=，∴125a d +=，12920a d +=，解得11a =，2d =．∴12(1)21n a n n =+-=-．（II ）(1)(21)(1)n n n n b a n n n =-=----．设数列(1){}n n --的前n 项和为n S ，则123(1)n n S n =-+-+⋯+-．∴1123(1)(1)(1)n n n S n n +-=-++⋯+--+-，∴11[1(1)]2111(1)1)(1(1)(1)n n n n n S n n ++---=-++⋯+-=------﹣， ∴(1)1(1)42n n n n S ---=+．∴2(121)(1)1(1)(1)1(1)24242n n n n n n n n n T n n +-------=--=---． ∴22122132121425444T ---=-=-+． 18．解：（Ⅰ）设2.5PM 的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为1A ，2A ，3A ， 2.5PM 的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为1B ，2B ．所以5天任取2天的情况有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共10种．其中符合条件的有：11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共6种．所以所求的概率63105P ==．………………………………………………………………………（8分）（Ⅱ）去年该居民区 2.5PM 年平均浓度为：12.50.1537.50.662.50.1587.50.142.5⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．………………………（10分）因为42.535>，所以去年该居民区 2.5PM 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…………………………………………………………………………………………………（12分）19．解：（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ︒∠=，2AB BC ==，6AD =，CE AD E ⊥于点，把DEC △沿CE 折到D EC '的位置，使D A '=，4ED =，连结BE ，GH ，在三角形AED '中，可得222ED AE AD '=+'，可得AD AE '⊥，DC =AC =222AC AD CD +'='，可得，因为AE AC A =，所以AD ABCD '⊥平面，可得AD BE '⊥，G ，H 分别为D B '，D E '的中点，可得GH BE ∥，所以GH D A ⊥'．（Ⅱ）三棱锥C D BE -'的体积为V ．则11122332BCE V S AD ='=⨯⨯⨯△．20．解：（1）由题意可得c e a ==，椭圆的左顶点(2,0)T -，可得2a =，c 1b ==，则椭圆方程为2214x y +=；（2）设(,)M m n ，由对称性可得(,)N m n -，即有2214m n +=，则222225(2,)(2,)(2)(2)14344TM m m n m n m n m m T m N =++-=+=++=++-- 258()1545m =+-，由22m -≤≤，可得85m =-时，TM TN 的最小值为15-，此时2925n =，即有22213(2)25r m n =++=，可得圆T 的方程2213(2)25x y ++=． 21．解：（Ⅰ）()2f x x '=-，故(1)2k f ='=-，而()2(ln 1)g x x a '=+-，故(1)2g a '=-，故22a -=-，解得：4a =，故(1)4g a =-=-，故()g x 的切线方程是：42(1)y x +=--，即220x y ++=；（Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x -≥恒成立，等价于32ln a x x x ≤++，令3()2ln g x x x x=++，(0,)x ∈+∞， 2223(3)(1)()1x x g x x x x +-'=+-=，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调减，当1x =时，()0g x '=，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调增，∴min ()(1)4g x g ==，∴4a ≤．22．解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=，∴22cos 2sin ρθρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为212y x =，∴y x '=，又π)4M 的直角坐标为(2,2)，∴曲线C 在点(2,2)处的切线方程为22(2)y x -=-，即直线l 的直角坐标方程为：220x y --=．（2）P 为椭圆22134x y +=上一点，设(cos ,2sin )P αα，则P 到直线l 的距离π|4cos()2|d α-+==，当π1sin()32α-=-时，d 有最小值0．当πsin()13α-=时，d∴P 到直线l 的距离的取值范围为：[．……………………………………（10分） 23．解：（Ⅰ）不等式|()1|f x x <+，等价于||||211x x -<+，0x ≤，不等式可化为211x x -+<-+，即0x >，不成立；102x ≤≤，不等式可化为211x x -+<+，即0x >， ∴102x ≤≤； 12x >，不等式可化为211x x -<+，即2x <， ∴122x <<；故不等式|()1|f x x <+的解集为(0,2)．（Ⅱ）∵113||x y --≤，1216||y +≤， ∴11()212(1||||||)(21)2(1)||(21)2136f x x x y y x y y =-=--++≤--++≤+<．陕西省西安市2017年高考一模数学（文科）试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数+i=+i=+i=所对应的点位于第一象限，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了计算能力，属于基础题．3．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sin（x+）的图象上所有的点向左平移个的单位长度，可得y=sin（x++）=sin（x+）的图象；再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为y=sin（x+），故选：B．【点评】本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．【考点】球的体积和表面积．【分析】设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为=，解之得=，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．【解答】解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，可得它们的表面积分别为S1=4，S2=4∵两个球的表面积之比为1：4，∴===，解之得=（舍负）因此，这两个球的体积之比为==（）3=即两个球的体积之比为1：8故选：C【点评】本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比．着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题．5．【考点】抛物线的标准方程．【分析】求出双曲线的焦点坐标，可得抛物线y2=2px的焦点坐标，即可求出p的值．【解答】解：双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），即抛物线y2=2px的焦点为（2，0），∴=2，∴p=4．故选D．【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．故选C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题．7．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．据此可求出原几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C．【点评】本题考查了三视图，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．8．【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．9．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=b时的导数值，利用基本不等式求最值得答案．【解答】解：由f（x）=lnx+x2﹣bx+a，得f′（x）=+2x﹣b（x＞0），∴f′（b）=+b（b＞0）∴f′（b）=+b≥2，当且仅当b=，即b=1时上式取“=”，切线斜率的最小值是2．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．10．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数，求比值即可．【解答】解：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为3，由古典概型可知，它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于故选D．【点评】本题考查古典概型、组合数运算，考查运算能力．11．【考点】任意角的三角函数的定义；对数函数的图象与性质．【分析】利用函数的图象经过定点P的坐标，任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：∵函数y=log a（x﹣3）+2过定点P（4，2），且角α的终边过点P，∴x=4，y=2，r=|OP|=2，∴sinα=，cosα=，∴sin2α+cos2α=2sinαcosα+2cos2α﹣1=2××+2×﹣1=，故选：A．【点评】本题主要考查函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题．12．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．【分析】确定f（x）的周期为4，x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），再利用t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，可得t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2，即可求出t的取值范围．【解答】解：由f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），故f（x）的周期为4，∵x∈（1，2）时，f（x）=t（x﹣1），x∈（2，3）时，f（x）=t（3﹣x），∴x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），∵t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，∴t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2∴2＞t＞，故选：B．【点评】本题考查函数的周期性、根的存在性及根的个数判断，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题13．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的模长公式与数量积运算，得出•=0时⊥．【解答】解：|+|=|﹣|，∴=，+2•+=﹣2•+，∴•=0，∴⊥，∴向量与向量的关系是垂直．故答案为：垂直．【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题目．14．【考点】简单线性规划．【分析】作出区域D，直线y﹣2=a（x+2）表示过点A（﹣2，2）且斜率为a的直线，数形结合可得结果．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域D（如图阴影），直线y﹣2=a（x+2）表示过点A（﹣2，2）且斜率为a的直线，联立可解得即C（1，0），由斜率公式可得a==，由解得B（0，3），此时A==结合图象可得要使直线y﹣2=a（x+2）与区域D有公共点需a≤，故答案为：a≤．【点评】本题考查简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．15．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据预测都不正确，即可推出相对应的数字【解答】解：乙丙丁所说为假⇒甲拿4，甲乙所说为假⇒丙拿1，甲所说为假⇌乙拿2；故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4，2，1，3，故答案为：4，2，1，3【点评】本题考查了合情推理的问题，关键是掌握命题的否定，属于基础题．16．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：顶点A，B为椭圆的两个焦点，利用正弦定理及椭圆的定义，求得a和b的关系，即可求得=3．【解答】解：由椭圆+=1，长轴长2a=10，短轴长2b=8，焦距2c=6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点，三角形ABC中，a=丨BC丨，b=丨AC丨，c=丨AB丨=6，a+b=丨BC丨+丨AC丨=10，由正弦定理可知===2R，则sinA=，sinB=，sinC=，===3，故答案为：3．【点评】本题考查椭圆的定义及正弦定理的应用，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．三、解答题17．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由2，2，2成等比数列，可得=2•2，可得2a n+1=a n+a n+2．利用等差数列的通项公式可得a n．（II）利用“错位相减法”、等差数列等比数列的求和公式即可得出．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．【分析】（Ⅰ）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2，求出基本事件总数，符合条件的基本事件总数，即可求得概率；（Ⅱ）利用组中值×频数，可得去年该居民区PM2.5年平均浓度，进而可判断该居民区的环境是否需要改进．【点评】本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过证明：AD′⊥AE，AD′⊥AC，推出AD′⊥平面ABCD，推出AD′⊥BE，通过证明GH∥BE，推出GH⊥D′A；（Ⅱ）三棱锥C﹣D′BE的体积．直接利用棱锥的体积公式求解即可．【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中（Ⅰ）的关键是熟练掌握面面垂直，线面垂直及线线垂直的相互转化，（Ⅱ）的关键是判断出棱锥的高和底面面积．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，结合a，b，c的关系，可得椭圆方程；（2）设M（m，n），由对称性可得N（m，﹣n），代入椭圆方程，再由向量数量积的坐标表示，转化为关于m的二次函数，配方，结合椭圆的范围，可得最小值，进而得到M的坐标，可得圆的方程．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查向量数量积的最小值，注意运用二次函数的最值求法和椭圆的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，从而求出切线方程即可；（Ⅱ）先把已知等式转化为a≤x+2lnx+，设g（x）=x+2lnx+，x∈（0，+∞），对函数进行求导，利用导函数的单调性求得函数的最小值，只要a小于或等于最小值即可．【点评】本题主要考查了利用导函数求最值的问题．考查了学生对函数基础知识的理解和灵活运用．22．【考点】直线与椭圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标方程与普通方程的互化求解即可．（2）设出椭圆的参数方程，利用点到直线的距离公式化简求解即可．【点评】本题考查椭圆的参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．23．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由条件|2x﹣1|＜|x|+1，分类讨论，求得x的范围．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式证得不等式成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题。

【贵州省贵阳市】2017年高考一模数学(文科)试卷(附答案)

贵州省贵阳市2017年高考一模数学（文科）试卷一、选择题（共12小题,每小题5分,满分60分） 1．已知i 为虚数单位,则232017i i i i z =++++=（）A ．0B ．1C ．﹣iD ．i 2．满足{{1,2}1,2,,4}3P ⊆Ø的集合P 的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．53．某公司某件产品的定价x 与销量y 之间的数据统计表如下,根据数据,用最小二乘法得出y 与x 的线性回归直线方程为：ˆˆ6.517.5yx =+,则表格中n 的值应为（）A ．45B ．50C ．55D ．604．已知{}n a 是等差数列,且公差0d ≠,n S 为其前n 项和,且56S S =,则11S =（） A ．0B ．1C ．6D ．115．如图的程序框图,如果输入三个数a ,b ,c ,22(0)a b +≠要求判断直线0ax by c ++=与单位圆的位置关系,那么在空白的判断框中,应该填写下面四个选项中的（）A ．0?c =B ．0?b =C ．0?a =D ．0?ab =6．某一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱长为（）A ．2BC ．D ．37．在[0,π]内任取一个实数x ,则1sin 2x ≤的概率为（） A ．23B ．12C ．13D ．148．设M 为边长为4的正方形ABCD 的边BC 的中点,N 为正方形区域内任意一点（含边界）,则AM AN 的最大值为（） A ．32B ．24C ．20D ．169．经过双曲线的左焦点1F 作倾斜角为30︒的直线,与双曲线的右支交于点P ,若以1PF 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点,则双曲线的离心率为（）AB ．2CD10．设SA 为球的直径,B C D 、、三点在球面上,且SA BCD ⊥面,三角形BCD 的面积为3,33S BCD A BCD V V --==，则球的表面积为（）A ．16πB ．64πC ．32π3D ．32π 11．设命题p ：若()y f x =的定义域为R ,且函数(2)y f x =-图象关于点(2,0)对称,则函数()y f x =是奇函数,命题q ：0x ∀≥,1123x x ≥,则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ⌝∨C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝12．过点(22M 作圆221x y +=的切线l,l 与x 轴的交点为抛物线22(0)E y px p =：＞的焦点,l 与抛物线E 交于A B 、两点,则AB 中点到抛物线E 的准线的距离为（）A B ． CD ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知2sin cos 3sin cos αααα+=-,则tan2α=_________.14．函数2()f x x =在1x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为__________.15．我国古代数学家刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家,他在《九章算术圆田术》注重,用割圆术证明了圆面积的精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法,所谓“割圆术”,即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的周长无限接近圆的周长,进而求得较为精确的圆周率（圆周率指周长与该圆直径的比率）.刘徽计算圆周率是从正六边形开始的,易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形,每个三角形的边长均为圆的半径R ,此时圆内接正六边形的周长为6R ,此时若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长,可得圆周率为3,当正二十四边形内接于圆时,按照上述算法,可得圆周率为______（参考数据：cos150.966︒≈,0.26≈）16．已知数列{}n a 满足：23*1232222(N )nn a a a a n n ++++=∈,数列2211{}log log n n a a +的前n 项和为n S ,则12310S S S S =___________.三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知锐角ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,sin()b A C =+,cos()cos A C B -+=. （1）求角A 的大小；（2）求b c +的取值范围.18．（12分）2017年1月1日,作为贵阳市打造“千园之城”27个示范性公元之一的泉湖公园正式开园,元旦期间,为了活跃气氛,主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放,现从到公园游览的市民中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查,统计出100名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况, （1）根据条件完成下列22⨯列联表,并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关？（2）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取7名挑战者,再从中抽取2人参加挑战,求抽取的2人中至少有一名男生的概率. 参考公式与数据：22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++.19．（12分）底面为菱形的直棱柱1111ABCD A B C D -中,E F 、分别为棱11A B 、11A D 的中点,（1）在图中作一个平面α,使得BD α⊂,且平面AEF α∥（不必给出证明过程,只要求做出α与直棱柱1111ABCD A B C D -的截面）（2）若12AB AA ==,60BAD ∠=︒,求点C 到所作截面α的距离.20．（12分）已知圆1F：22(9x y ++=与圆2F：22(1x y -+=,以圆1F 、2F 的圆心分别为左右焦点的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=＞＞经过两圆的交点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线x =M 、N （M 在第一象限）满足120F M F N =,直线1MF 与2NF 交于点Q ,当||MN 最小时,求线段MQ 的长.21．（12分）设()e x f x x =,21()2g x x x =+. （1）令()()()F x f x g x =+,求()F x 的最小值；（2）若任意12[1)x x ∈-+∞，，且12x x ＞有1212))][((())(m f x x g x g x f --＞恒成立,求实数m 的取值范围. 四、请考生在第22.23题中任选一题作答,如多做,则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲 22．（10分）在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为12cos 6sin 0ρθθρ-+=-,直线l的参数方程为132()3x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,点P 的坐标为(3,3),求|||PA PB +|的值. 选修4-5：不等式选讲 23．设()|1||4|f x x x =+--.（1）若2(x)6f m m -+≤恒成立,求实数m 的取值范围；（2）设m 的最大值为0m a b c ，，，均为正实数,当0345a b c m ++=时,求222a b c ++的最小值,贵州省贵阳市2017年高考一模数学（文科）试卷答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1~5．DBDAA6~10．DCBCA11~12．CD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．815-． 14．14．15．3.12．16．111．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin()b A C =+，可得：sin b B =， ∴由正弦定理sin sinB sin a b cA C==，可得：sin a A =，sin c C =，cos()cos A C B -+=，可得：cos()cos()A C A C --+=，可得：cos cos sin sin (cos cos sin sin )A C A C A C A C +--=，2sin sin A C ∴=，2ac ∴=，可得：sin a A ==， ∵A 为锐角，π3A ∴=．（2）3a =，π3A =，∴由余弦定理可得：222π2cos 3b c bc -=+，即2234b c bc =+-，整理可得：23()4b c bc +=+，又22324b c bc bc bc bc =+--=≥，当且仅当b c =时等号成立，23333()4442b c bc ∴+=++=≤，解得：b c +，当且仅当b c =时等号成立，又b c a +=＞，b c ∴+∈． 18．解：（1）列联表2100(15202045) 6.59 6.63535656040K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＜，∴不能在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关；（2）现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的市民中选取7名挑战者，男生3名，女生4名，从中抽取2人参加挑战，共有2721C =种方法，全是女生的方法有6种，∴抽取的2人中至少有一名男生的概率为651217-=．19．解：（1）1111B C G D C H BG GH DH 取的中点，的中点，连结，，，1111BDHG ABCD A B C DBDHG αα-则平面就是所求的平面，与直棱柱的截面即为平面．（2）取BC 中点M ，12AB AA ==，60BAD ∠=︒，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DM为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(C -，(0,0,0)D ，B ，G ， DB =，DG =，(DC =-，设平面BDG的法向量(,,)n x y z =，则0320n DB x n DGy z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1y =，得(23,n =-，∴点C 到所作截面α的距离：||4||219n DC d n ===．20．解：（1）由题意，c =，两圆的交点坐标为，代入椭圆方程可得2242331a b +=，联立223a b +=，可得22a =，21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）设直线1MF 的方程为()y kx k =+＞0，可得)M ，同理N ， 1|MN |)|6k k∴=+≥，当且仅当k =时，|MN|取得最小值6，此时M ，1||6MF =，1||3QF =，||3MQ ∴=．21．解：（1）21()()()e 2x F x f x g x x x x =+=++，()(1)(e 1)x F x x '=++，令()0F x '＞，解得：1x ＞-，令0F x '（）＜，解得：1x ＜-，故()F x 在(,1)-∞-递减，在(1,)-+∞递增，故min 1()(1)1eF x F =-=--；（2）若任意12[1)x x -∈+∞，，且12x x ＞有1212[))](())((m f x f x g x g x -﹣＞恒成立，则任意12[1)x x -∈+∞，，且12x x ＞有1122(())))((0mf x g x mf x g x --＞＞恒成立，令21()()()e 1,[2x h x mf x g x mx x x x -=-=∈-+∞﹣，），即只需()h x 在[1,)-+∞递增即可；故()(1)1(e 0-)x h x x m '=+≥在[1,)-+∞恒成立，故1e x m ≥，而1e e x≤，故e m ≥．四、请考生在第22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲22．解：（1）曲线C 的极坐标方程为12cos 6sin 0ρθθρ+-=-，可得：22cos 6sin 10ρρθρθ-+-=，可得222610x y x y -+-+=，曲线C 的普通方程：222610x y x y -+-+=．（2）由于直线l的参数方程为132()3x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数．把它代入圆的方程整理得2250t t +-=，122t t ∴+=-，125t t =-，1||||PA t =，2||||PB t =，12||||||||PA PB t t +=+== ∴||||PA PB +的值选修4-5：不等式选讲23．解（1）51||4|5x x -+--≤|≤．由于2()6f x m m -+≤的解集为R ，265m m ∴-+≥，即15m ≤≤．（2）由（1）得m 的最大值为5，3455a b c ∴++=由柯西不等式2222222(3453)()(45)25a b c a b c ++++++=≥﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故22212a b c ++≥．（当且仅当310a =，410b =，510c =时取等号）222a b c ∴++的最小值为12．贵州省贵阳市2017年高考一模文科数学试卷解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【考点】虚数单位i及其性质．【分析】利用等比数列的求和公式、复数的周期性即可得出．【解答】解：z====i，【点评】本题考查了等比数列的求和公式、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】集合A一定要含有1、2两个元素，可能含有3、4，但不能包含全部，即可得出结论．【解答】解：P可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，个数为3．【点评】子集包括真子集和它本身，集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n 个元素，则集合M的子集共有2n个，真子集2n﹣1个．3．【考点】线性回归方程．【分析】求出、，根据回归直线方程经过样本中心点，求出n的值．【解答】解：由题意可知：=×（2+4+5+6+8）=5，=×（30+40+n+50+70）=38+，∵回归直线方程经过样本中心，∴38+=6.5×5+17.5解得n=60．【点评】本题考查了平均数与回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题目．4．【考点】等差数列的前n项和．【分析】先求出a6=S6﹣S5=0，由此利用S11=（a1+a11）=11a6，能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且公差d≠0，S n为其前n项和，且S5=S6，∴a6=S6﹣S5=0，∴S11=（a1+a11）=11a6=0．【点评】本题考查数列两项倒数和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．【考点】程序框图．【分析】根据直线ax+by+c=0与单位圆x2+y2=1的位置关系，当c2＜a2+b2，且c=0时，直线与单位圆相交过圆心，即可得解．【解答】解：根据直线ax+by+c=0与单位圆x2+y2=1的位置关系，当c2＜a2+b2，且c=0时，直线与单位圆相交过圆心，可得：空白的判断框中，应该填写c=0？【点评】本题考查的知识点是程序框图的作用，点到直线的距离，属于基础题．6．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据，即可求出四棱锥中最长的棱长．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个直角梯形OABC，直角梯形的上底是BC=1，下底是AO=2，垂直于底边的腰是OP=2，如图所示：则四棱锥的最长棱长为PB===3．【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，解题的关键是还原出几何体结构特征，是基础题．7．【考点】几何概型．【分析】由题意，本题属于几何概型的运用，已知区间的长度为π，满足sinx≤，可得0≤x≤或，区间长度为，由几何概型公式解答．【解答】解：在区间[0，π]上，长度为π，当x∈[0，π]时，sinx≤，可得0≤x≤或，区间长度为由几何概型知，符合条件的概率为=．【点评】本题考查解三角函数与几何概型等知识，关键是求出满足条件的x区间长度，利用几何概型关系求之．8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴方向建立坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划方法解决问题．【解答】解：以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴方向建立坐标系，则A=（0，0），M（4，2），则=（4，2），设N点坐标为（x，y），则=（x，y），，∴•=4x+2y，设z=4x+2y，平移目标函数，则过点C（4，4）时有最大值，此时最大值为z=16+8=24，【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，PF2⊥x轴，将x=c代入双曲线方程求出点P的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：由题意，PF2⊥x轴，将x=c代入双曲线的方程得y=，即P（c，）在△PF1F2中tan30°=，即，解得e=．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题．10．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V S﹣BCD=3V A﹣BCD=3，求出球的直径，即可得出结论．【解答】解：设三棱锥A﹣BCD的高为h，则三棱锥S﹣BCD的高为3h，球的直径为2R，∵三角形BCD的面积为3，V A﹣BCD=1，∴=1，∴h=1，∴R=2，∴球的表面积为4π•22=16π，【点评】本题考查球的表面积，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．11．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】函数y=f（x﹣2）图象关于点（2，0）对称⇒函数y=f（x﹣2）图象关于点（0，0）对称，则函数y=f（x）是奇函数，故命题p为真命题；当x=时，x=，x=，此时，x＜x，故命题q是假命题．所以p∧￢q为真命题．【解答】解：若y=f（x）的定义域为R，且函数y=f（x﹣2）图象关于点（2，0）对称⇒函数y=f（x）图象关于点（0，0）对称，则函数y=f（x）是奇函数，故命题p为真命题；当x=时，x=，x=，此时，x＜x，故命题q是假命题．所以p∧￢q为真命题，【点评】本题考查了复合命题真假的判定，属于基础题．12．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】利用已知条件求出切线方程，求出抛物线的焦点坐标，得到抛物线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出中点的横坐标，然后求解结果．【解答】解：过点M（，﹣）作圆x2+y2=1的切线l，点在圆上，可得曲线的斜率为：1，切线方程为：y+=x﹣，可得x﹣y﹣=0，直线与x轴的交点坐标（，0），可得抛物线方程为：y2=4x，，可得x2﹣6+2=0，l与抛物线E交于A（x1，y1）、B（x2，y2），可得：x1+x2=6，则AB中点到抛物线E的准线的距离为：3=4．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【考点】二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知及同角三角函数间的基本关系式即可求出tanα的值，由二倍角的正切公式即可求值．【解答】解：由=，可得：tanα=4，那么：tan2α==【点评】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系式，二倍角的正切公式的应用，属于基本知识的考查．14．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，求出切点，代入点斜式方程，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入三角形的面积公式求解．【解答】解：函数f（x）=x2的导数为f′（x）=2x，可得在x=1处的切线斜率为2，切点为（1，1），即有在x=1处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），令x=0，可得y=﹣1；y=0，可得x=．则围成的三角形的面积为×1×=．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及直线方程的运用，正确求导是解题的关键，属于基础题．15．【考点】模拟方法估计概率．【分析】求出边长为≈0.26R，周长为0.26×24R=2πR，即可得出结论．【解答】解：正二十四边形的圆心角为15°，圆的半径R，边长为≈0.26R，周长为0.26×24R=2πR，∴π=3.12，故答案为3.12．【点评】本题考查模拟方法估计概率，考查学生的计算能力，比较基础．16．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】根据2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n，求出a n=，再利用对数的运算性质和裂项法即可得到=﹣，裂项求和得到S n，代值计算即可．【解答】解：∵2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n，∴2a1+22a2+23a3+…+2n﹣1a n﹣1=n﹣1，∴2n a n=1，∴a n=，∴===﹣，∴S n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴S1•S2•S3…S10=×××…××=，故答案为：【点评】本题考查了数列的通项公式的求法和裂项求和，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．【考点】余弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a=sinA，c=sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinAsinC=，从而可求a==sinA，结合A为锐角，可求A的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求b+c≤，由三角形两边之和大于第三边可得b+c＞a=，即可得解b+c的范围．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式以及三角形两边之和大于第三边等知识的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．18．【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据所给数据得出2×2列联表，求出K2，即可得出结论；（2）利用古典概型的概率公式求解即可．【点评】本题考查独立性检验知识的运用，考查概率的计算，考查学生对数据处理的能力，属于中档题．19．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【分析】（1）取B1C1的中点G，D1C1的中点H，连结BG，GH，DH，则平面BDHG就是所求的平面α．（2）取BC中点M，以D为原点，DA为x轴，DM为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到所作截面α的距离．【点评】本题主要考查满足条件的平面的作法，考查点到直线的距离的求法，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力；考查了化归与转化及数形结合的数学思想．20．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题意，c=，两圆的交点坐标为（，±），代入椭圆方程可得=1，联立a2+b2=3，求出a，b，即可得到椭圆方程；（2）求出M，N的坐标，利用基本不等式求出|MN|的最小值，即可得出结论．【点评】本题考查椭圆方程，考查直线方程，考查基本不等式的运用，属于中档题．21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）求出函数F（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（2）问题转化为任意x1，x2∈[﹣1，+∞）且x1＞x2有mf（x1）﹣g（x1）＞mf（x2）﹣g（x2）＞0恒成立，令h（x）=mf（x）﹣g（x）=mxe x﹣x2﹣x，x∈[﹣1，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．四、请考生在第22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选讲22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程；参数方程的优越性．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标化简公式化简求解即可．（2）把直线方程代入圆的方程化简可得t的二次方程，利用根与系数的关系，以及|PA|=|t1|，|PB|=|t2|求出|PA|•|PB|．【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线的参数方程中参数t 的几何意义，是基础题．选修4-5：不等式选讲23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）求出f（x）=|x+1|﹣|x﹣4|的最大值，f（x）max≤﹣m2+6m即可．（2）由柯西不等式（a2+b2+c2）（32+42+52）≥（3a+4b+5c）2=25【点评】本题考查绝对值不等式的最值，柯西不等式的应用，属于中档题．。

2016-2017高三数学一模(文科)(模拟一)详解答案

— 高三文科数学 (模拟一)参考答案第1页 —NCS20170607项目第一次模拟测试卷文科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一1、C 【解析】因为U，则U ，故答案选C ．2、B 【解析】复数z 对应的点为(1,3)a -，则有312a =-+，所以2a =，故答案选B ．3、D 【解析】不妨设390,60αβ=︒=︒，有sin sin αβ<，则αβ>不可推出sin sin αβ>；反之，因为sin60sin390︒>︒此时αβ<，则sin sin αβ>也不可推出αβ>，故答案选D .4、D 【解析】由已知条件抽样比为301120040=，从而8111000120040n =++，解得1040n =，故答案选D ． 5、C 【解析】2b =⇒=C ． 6、A 【解析】由cos2sin A A =得：2112sin sin sin 2A A A -=⇒=或1-（舍去）， ∴1111sin 22222ABC S bc A ∆==⨯⨯=，故答案选A . 7、D 【解析】由2221log log (1)log i i i i+=+-，7i =进入循环，得223log 1S =++23log 2+22222228log ]3(log 2log 1)(log 3log 2)(log 8log 7)67+=+-+-++-=，当8i =退出循环，输出22 log 6log 31S ==+，故答案选D ．8、B 【解析】因为函数的周期22T ππωω==⇒=，有()si n (2)f x A x ϕ=+，则()s i n (2)1f A x αϕ=+= 所以33()sin 2()sin(32)sin(2)122f A A A ππααϕπαϕαϕ⎡⎤+=++=++=-+=-⎢⎥⎣⎦，故答案选B ． 9、B 【解析】甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱,故答案选B .10、A 【解析】回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A BCD -，其体积是正方体体积的16，等于323，故答案选A ． 11、C 【解析】因为当0x >时，函数()ln 1f x x x =-+有11'()1x f x xx-=-=，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，当1x =时函数有极大值为(1)0f =根据奇函数的对称性，作出其函数图像如图所示：由函数图像可知xy e =和()y f x =有两个不同交点，故答案选C ． 12、D 【解析】因为124x x ++=，124AF BF x x +=++，所以AF BF +=. 在AFB ∆中，由余弦定理得：222cos 2AF BF ABAFB AF BF+-∠=⋅— 高三文科数学 (模拟一)参考答案第2页 —2222241()23311222AB AB AB AF BF AF BF ABAF BF AF BF AF BF-+-⋅-==-=-⋅⋅⋅.又213AF BF AF BF AB +=≥⋅≤. 所以22113cos 11223ABAFB AB ∠≥-=-⨯，∴ AFB ∠的最大值为23π，故答案选D ．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13、13【解析】1cos()sin(())sin()42443a ππππαα+=--=-=.14、32【解析】a 在1e 上的投影为211211123(2)2211cos32a e e e e e e e π⋅=-⋅=-⋅=-⨯⨯=15、(3)π【解析】由图中数据可得：122S π=⨯⨯=圆锥侧，212S ππ=⨯⨯=圆柱侧，21S ππ=⨯=底面.所以几何体的表面积为(3)S π=表面积.16、9【解析】设构成等差数列的五个数分别为,,,,x a b c y ，因为等差数列的公差4y xd -=，则3(2)(3)(3)444y x y x b c y x x y x y --++=+⨯++⨯+=+ （另解：因为由等差数列的性质有2x y a c b +=+=，所以2,222x yyx y b y b c ++++===.）则等差数列后三项和为222x yyx y b c y y +++++=++3944x y =+3(3)4x y =+. 所以设3z x y =+，作出约束条件所表示的可行域如图所示：可知当经过点(3,3)A 时，目标函数3z x y =+有最大值12，此时b c y ++有最大值9. 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17、【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由345S S S +=可得：1235a a a a ++=，即253a a =，------- 2分所以3(1)14d d +=+，解得2d =.------- 4分 ∴ 1(1)221n a n n =+-⨯=-.------- 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：1(1)(21)n n b n -=-⋅-.∴ 21357(23)(21)n T n n =-+-++⋅---(2)2n n =-⨯=-. ------ 12分18、【解析】（Ⅰ）36573b =，0.2b ∴=，又0.3a b +=故0.1a =，10,20x y == ------- 4分（Ⅱ）补全直方图如图所示 -------8分由频率分布直方图，可估算这100天空气质量指数监测数据的平均数为： 250.1750.21250.251750.22250.152750.1145⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.------- 12分— 高三文科数学 (模拟一)参考答案第3页 —19、【解析】（Ⅰ）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，CD AB //且 2AB DC =，知21AF FC =又E 为AD 的中点，且:2:1PG GE =，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH = ------- 2分在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC .------- 4分又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .------- 6分方法二：过G 作AD GN //交PD 于N ,过F 作AD FM //交CD 于M ,连接MN ,E 为AD 的中点，且:2:1PG GE =，G 为PAD ∆的重心，32==PE PG ED GN ,33232==∴ED GN , 又ABCD 为梯形，CD AB //,21=AB CD ,21=∴AF CF ------- 2分31=∴AD MF ,332=∴MF ∴FM GN =------- 4分又由所作AD GN //，AD FM //得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形. PCD MN PCD GF MN GF 面，面⊆⊄,// ,∴//GF 面PDC ------- 6分方法三：过G 作GK //PD 交AD 于K ,连接,KF GF ,由PAD ∆为正三角形, E 为AD 的中点，且:2:1PG GE =，G 为PAD ∆的重心，得23DK DE =，∴13DK AD =------- 2分又由梯形ABCD ，CD AB //，且DC AD 2=，知21AF FC =,即13FC AC = ------- 4分 ∴在ADC ∆中， KF //CD ，所以平面GKF //平面PDC 又 GF ⊆平面GKF ，∴//GF 面PDC ------- 6分（Ⅱ）方法一:由平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，E 为AD 的中点∴PE AD ⊥，BE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ，且3PE =由（Ⅰ）知GF //平面PDC ，∴13G PCD F PCD P CDF CDF V V V PE S ---∆===⨯⨯ ------- 8分又由梯形ABCD ，CD AB //，且322==DC AD，知13DF BD =又ABD ∆为正三角形，得60CDF ABD ∠==，∴1sin 2CDF S CD DF BDC ∆=⨯⨯⨯∠=-- 10分得13P CDF CDF V PE S -∆=⨯⨯=∴三棱锥G PCD -------- 12分方法二: 由平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，E 为AD 的中点∴PE AD ⊥，BE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ，且3PE =由23PG PE =，∴221333G PCD E PCD P CDE CDE V V V PE S ---∆===⨯⨯⨯ ------- 8分— 高三文科数学 (模拟一)参考答案第4页 —而又ABD ∆为正三角形，得120EDC ∠=，得1sin 2CDE S CD DE EDC ∆=⨯⨯⨯∠=．----- 10分∴212133333P CDF CDF V PE S -∆=⨯⨯⨯=⨯⨯=，∴三棱锥G PCD -．---- 12分 20、【解析】（Ⅰ）设点12(,0),(,0)A a F c -，由题意可知：42a c -+=，即42a c =- ① 又因为椭圆的离心率12c e a ==，即2a c = ② 联解方程①②可得：2,1a c ==，则2223b a c =-=所以椭圆C 的方程为22143y x +=．------- 6分（Ⅱ）方法一：要证以G 点为圆心，2GF 的长为半径的圆总与x 轴相切．只需证2GF x ⊥轴，即证1G x =．------- 7分证明：设1122(,),(,)M x y N x y ，联解方程22(4143)x y k x y +-==⎧⎪⎨⎪⎩可得：2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>．由韦达定理可得：21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+ （*） ------- 9分因为直线111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N yl y x x =--即证：1212322y y x x -=+-，即12213(4)(2)(4)(2)k x x k x x -⋅-=--⋅+．即证1212410()160x x x x -++=．------- 11分将（*）代入上式可得22222224(6412)1032160163203403434k k k k k k k⋅-⨯-+=⇔--++=++．此式明显成立，原命题得证．所以以点G 为圆心，2GF 的长为半径的圆总与x 轴相切．------- 12分方法二：设3(,),(,),(,)M x y N x y G x y ，123,,x x x 两两不等，因为,,B M N 2212222122222212123(1)3(1)444(4)(4)(4)(4)x x y y y x x x x x --=⇒=⇒=-----，整理得2x x 8分又1,,A M 112yx =+ ①又2,,A N 222yx - ②222221233212121222231231212123(1)(2)22(2)(2)(2)(2)4()2(2)2(2)(2)(2)3(1)(2)4x x x x y x y x x x x y x x x x y x x x -+++++++=⇒===--------— 高三文科数学 (模拟一)参考答案第5页 —即2321121231212122(2)(2)2()4()2(2)(2)2()4x x x x x x x x x x x x x x ++++++==----++，------- 10分将121225()80x x x x -++=即12125()402x x x x =+-=代入得2332()92x x +=-，解得34x =（舍去）或31x =．------- 11分所以2GF x ⊥轴，即以点G 为圆心，2GF 的长为半径的圆总与x 轴相切．------- 12分方法三：显然l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(4)y k x =-，1122(,),(,)M x y N x y . 由22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>.设112233(,),(,),(,)M x y N x y G x y ，123,,x x x 两两不等，则212232k x x +=，21226412k x x -=，12||x x -=----- 9分由1,,A M 112yx =+ ①由2,,A N 222y x - ②， ①与②两式相除得：32121121212312121212122)(4)(2)()3()812(2)(4)(2)3()()83k x x x x x x x x x y x k x x x x x x x x +-+-++--====------++-+． ------- 10分解得34x =（舍去）或31x =，------- 11分所以2GF x ⊥轴，即以点G 为圆心，2GF 的长为半径的圆总与x 轴相切．------- 12分 21、【解析】（Ⅰ）当1a =时，有2()24)(2)x f x x e x =-++（，则'()22)24x f x x e x =-++（'(042)2f ⇒=-+=．------- 3分又因为(0)440f =-+=，------- 4分∴曲线()y f x =在点(0,(0))P f 处的切线方程为02(0)y x -=-，即2y x =．------- 6分（Ⅱ）因为'()22)2(2)x f x x e a x =-++（，令()'()22)2(2)x g x f x x e a x ==-++（有'()22x g x x e a =⋅+（0x ≥）且函数'()y g x =在[)0,x ∈+∞上单调递增 ------- 8分当20a ≥时，有'()0g x ≥，此时函数'()y f x =在[)0,x ∈+∞上单调递增，则'()'(0)42f x f a ≥=- （ⅰ）若420a -≥即12a ≥时，有函数()y f x =在[)0,x ∈+∞上单调递增，则min()(0)44f x f a ==-恒成立；------- 9分（ⅱ）若420a -<即102a ≤<时，则在[)0,x ∈+∞存在0'()0f x =，此时函数()y f x =在0(0,)x x ∈ 上单调递减，0(,)x x ∈+∞上单调递增且(0)44f a =-，所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；------- 10分当20a <时，有'(0)20g a =<，则在[)0,x ∈+∞存在1'()0g x =，此时1(0,)x x ∈上单调递减，1(,)x x ∈+∞上单调递增所以函数'()y f x =在[)0,x ∈+∞上先减后增．又'(0)240f a =-+<，则函数()y f x =在[)0,x ∈+∞上先减后增且(0)44f a =-．所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；------- 11分— 高三文科数学 (模拟一)参考答案第6页 —综上所述，实数a 的取值范围为12a ≥． ------- 12分 22、【解析】（Ⅰ）曲线1C参数方程为1x a y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴其普通方程10x y a --+=，------- 2分由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=,∴222cos 4cos 0ρθρθρ+-= ∴22240x x x y +--=,即曲线2C 的直角坐标方程24y x =.------- 5分（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为12,t t，联解241y xx a y ===⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得22140t a -+-=要有两个不同的交点，则242(14)0a ∆=-⨯->,即0a >，由韦达定理有1212142t t a t t +=-⋅=⎧⎪⎨⎪⎩根据参数方程的几何意义可知122,2PA t PB t ==，又由2PA PB =可得12222t t =⨯，即122t t =或122t t =- ------- 7分 ∴当122t t =时，有2122212311036422t t t a t t t a ⎧⎪⇒=>⎨⎪⎩+==-⋅==，符合题意．------- 8分当122t t =-时，有21222121442902t t t t t a a t ⎧⎪⇒=>⎨⎪+=--⋅=-=⎩，符合题意．------- 9分综上所述，实数a 的值为136a =或94．------- 10分 23、【解析】（Ⅰ）由题()21f x x ≤--，即为||112ax x -+-≤．而由绝对值的几何意义知||1|1|22aa x x -+-≥-，------- 2分由不等式()21f x x ≤--有解，∴|1|12a-≤，即04a ≤≤． ∴实数a 的取值范围[0,4]．------- 5分（Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知12a<— 高三文科数学 (模拟一)参考答案第7页 —∴31()2()1(1)231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩------- 7分如图可知()f x 在(,)2a -∞单调递减，在[,)2a+∞单调递增，∴min ()()1322a af x f ==-+=，得42a =-<（合题意），即4a =-．------- 10分。

2017届高三数学一模试卷(文科)Word版含解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x 2+x ﹣12≤0}，N={y|y=3x ，x ≤1}，则集合{x|x ∈M 且x ∉N}为（） A ．（0，3] B ．[﹣4，3]C ．[﹣4，0）D ．[﹣4，0]2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R ），则=（）A ．2B ．4C ．D ．3．已知，则f[f （1﹣i ）]等于（）A ．3B ．1C ．2﹣iD ．3+i4．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为16，28，则输出的a=（）A ．0B ．2C ．4D ．145．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（）A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣116．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13πB．16πC．25πD．27π7．已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．9．已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m， n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．310．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（）A．B．C．D．11．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B． C．D．12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．2016 B．2015 C．4030 D．1008二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是．14．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为．15．已知O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点．则tan∠OAB= ．16．已知函数f（x）=kx，，若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{an }为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a 13恰为等比数列{bn}的前三项（Ⅰ）求数列{an }，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设Tn 是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．18．今年我校高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，…800进行编号：（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽出100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a、b的值；（3）在地理成绩为及格的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）设几何体F﹣ABCD、F﹣BCE的体积分别为V1、V2，求V1：V2的值．20．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．21．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1．（I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若动直线l 交椭圆E 于不同两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设=（bx 1，ay 1），=（（bx 2，ay 2），O 为坐标原点．当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：△MON 的面积为定值，并求出该定值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=α与圆C 1的交点分别为O 、P ，与圆C 2的交点分别为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）若关于x 的不等式|x+1|﹣|x ﹣2|＞|a ﹣3|的解集是空集，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对任意正实数x ，y ，不等式+＜k恒成立，求实数k 的取值范围．2017届高三数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为（）A．（0，3] B．[﹣4，3] C．[﹣4，0）D．[﹣4，0]【考点】集合的表示法．【分析】集合M为不等式的解集，集合N为指数函数的值域，分别求出，再根据新定义求集合{x|x∈M且x∉N}B即可．【解答】解：M={x|x2+x﹣12≤0}=[﹣4，3]，N={y|y=3x，x≤1}=（0，3]，所以集合{x|x∈M且x∉N}=[﹣4，0）．故选：C．2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R），则=（）A．2 B．4 C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量的坐标运算性质、向量相等即可得出．【解答】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵=λ+μ（λ，μ∈R），∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣，因此，则=4故选：B．3．已知，则f[f（1﹣i）]等于（）A．3 B．1 C．2﹣i D．3+i【考点】函数的值．【分析】根据f（x）中的范围带值计算即可．【解答】解：∵1﹣i∉R∴f（1﹣i）=（1+i）（1﹣i）=2．那么：f[f（1﹣i）]=f（2）=1+2=3．故选A．4．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=16，b=28，不满足a＞b，则b变为28﹣16=12，由b ＜a ，则a 变为16﹣12=4，由a ＜b ，则，b=12﹣4=8，由a ＜b ，则，b=8﹣4=4，由a=b=4，则输出的a=4．故选：C ．5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（）A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣11【考点】等比数列的性质．【分析】由题意可得数列的公比q ，代入求和公式化简可得．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，（q ≠0）由题意可得8a 2+a 5=8a 1q+a 1q 4=0，解得q=﹣2，故====﹣11故选D6．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．7．已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用面面垂直、面面平行、线面平行的判定定理和性质定理分别分析解答．【解答】解：对于选项A，若α⊥β，m⊂β，则m与α可能平行或者斜交；故A错误；对于选项B，若α∥β，m∥α，则m∥β或者m⊂α；故B 错误；对于选项C，若α∥β，m⊥α，则由面面平行的性质定理可得m⊥β；故C正确；对于选项D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选C．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：tanx=，则sin2（+x）===+=+=+=，故选：D．9．已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m， n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．3【考点】基本不等式．【分析】由基本不等式易得m=且n=时取到最小值，可得=，解方程可得．【解答】解：∵正实数m，n是满足m+n=1，∴=（）（m+n）=10++≥10+2=16，当且仅当=即m=且n=时取到最小值，∴曲线y=xα过点P（，），∴=，解得α=故选：B10．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知可得c2+a2﹣b2=﹣ac，由余弦定理可得cosB=﹣，结合范围B∈（0，π），即可解得B的值．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理，可得：sinB=，sinA=，sinC=，∵=，可得： =，整理可得：c2+a2﹣b2=﹣ac，∴由余弦定理可得：cosB==﹣，∵B∈（0，π），∴B=．故选：B．11．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率【解答】解：依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=3a，|PF2|=a，∵圆x2+y2=a2+b2的半径=c，∴F1F2是圆的直径，∴∠F1PF2=90°在直角三角形F1PF2中由（3a）2+a2=（2c）2，得故选 D12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．2016 B．2015 C．4030 D．1008【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论．【解答】解：函数g（x）=，函数的导数g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，由g″（x0）=0得2x﹣1=0解得x=，而g（）=1，故函数g（x）关于点（，1）对称，∴g（x）+g（1﹣x）=2，故设g（）+g（）+…+g（）=m，则g（）+g（）+…+g（）=m，两式相加得2×2015=2m，则m=2015．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是[﹣，5）．【考点】简单线性规划．【分析】根据画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合结合目标函数的意义，利用平移即可得到结论．【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x﹣2y﹣1得y=x﹣，平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点C时，直线y=x﹣的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即C（2，﹣1），此时z=2x﹣2y﹣1=4+2﹣1=5，可知当直线y=x﹣，经过点A时，直线y=y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，由，得，即A（，）代入z=2x﹣2y﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣，故z∈[﹣，5）．故答案为：[﹣，5）．14．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，结合抛物线的定义得答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=﹣1，∵抛物线y2=4x上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线定义可知，点P到准线x=﹣1的距离是5，则点P到x轴的距离是4，∴△PFO的面积为=2，故答案为：2．15．已知O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点．则tan∠OAB= ．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用函数y=sinπx的对称性得出∠OAB=2∠OAC，结合二倍角公式求出tan∠OAB的值．【解答】解：如图所示；O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点，∴AB过点D，且∠OAB=2∠OAC；又A（，1），∴tan∠OAC=，∴tan∠OAB===．故答案为：．16．已知函数f（x）=kx，，若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是[﹣，2e] ．【考点】函数的图象．【分析】设M（x，kx），则N（x，2e﹣kx），推导出k=﹣lnx，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（≤x≤e2），f （x ）与g （x ）的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y=e 对称， ∴设M （x ，kx ），则N （x ，2e ﹣kx ），∴2e ﹣kx=2lnx+2e ，∴k=﹣lnx ，k′=，由k′=0，得x=e ，∵≤x ≤e 2，∴x ∈[，e ）时，k′＜0，k=﹣lnx 是减函数；x ∈（e ，e 2]时，k′＞0，k=﹣lnx 是增函数，∴x=e 时，k=﹣lne=﹣；x=e 2时，k=﹣lne 2=﹣；x=时，k=﹣ln =2e ，∴k min =﹣，k max =2e ．∴实数k 的取值范围是[﹣，2e]．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5﹣2a 2=25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 是数列{}的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1﹣2T k =成立，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出；（II ）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），∴，解得a 1=3，d=2， ∵b 1=a 1=3，b 2=a 4=9，∴．（Ⅱ）由（I）可知：a=3+2（n﹣1）=2n+1．n，∴=，∴，单调递减，得，而，所以不存在k∈N*，使得等式成立．18．今年我校高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，…800进行编号：（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽出100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a、b的值；（3）在地理成绩为及格的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用随机数表法能求出最先检测的3个人的编号．（2）由，能求出a、b的值．（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，满足条件的（a，b）有14组，其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有6组，由此能求出数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．【解答】解：（1）依题意，最先检测的3个人的编号依次为785，667，199．…（2）由，得a=14，…∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17．…（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，∴满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14组，且每组出现的可能性相同．…．…其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组．…∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为．…19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）设几何体F﹣ABCD、F﹣BCE的体积分别为V1、V2，求V1：V2的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由面面垂直可得AD ⊥平面ABEF ，从而得到AD ⊥BF ，由直径的性质得BF ⊥AF ，故得出BF ⊥平面ADF ，从而得出平面DAF ⊥平面CBF ；（2）V F ﹣BCE =V C ﹣BEF ，设AD=a ，则可用a 表示出V 1，V 2．从而得出体积比．【解答】证明：（1）∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF=AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面ABEF ，∵BF ⊂平面ABE ， ∴AD ⊥BF ，∵AB 是圆O 的直径，∴BF ⊥AF ，又AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD ∩AF=A ， ∴BF ⊥平面ADF ，∵BF ⊂平面BCF ， ∴平面DAF ⊥平面CBF ．（2）．连结OE ，OF ，则OE=OF=EF=1， ∴△AOF ，△OEF ，△BOE 是等边三角形，过F 作FM ⊥AB 于M ，则FM=，FM ⊥平面ABCD ，设AD=BC=a ，则V 1=V F ﹣ABCD ==．V 2=V F ﹣BCE =V C ﹣BEF ===．∴V 1：V 2=：=4：1．20．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；（2）f（x）在[p，1]上的最小值为f（1）=1，最小值f（p）=2，只需2a≥t2﹣t+对t∈[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，利用导数求出函数的单调性，列出不等式，即可求得结论；【解答】解：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣+，∴f′（1）=﹣+n=﹣1，把x=1代入x+y﹣2=0得y=1，∴f（1）==1，∴m=2，n=﹣，∴f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣﹣，∵x＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞），没有递增区间．（2）由（1）可得，f（x）在[p，1]上单调递减，∴f（x）在[p，1]上的最小值是f（1）=1，最大值是f（p）=2，∴只需t3﹣t2﹣2at+2≤1或≥2，即2a ≥t 2﹣t+对t ∈[，2]恒成立或2a ≤t 2﹣t 对t ∈[，2]恒成立，令g （t ）=t 2﹣t+，则g′（t ）=，令g′（t ）=0，解得：t=1，而2t 2+t+1＞0恒成立，∴≤t ＜1时，g′（t ）＜0，g （t ）递减，1＜t ≤2时，g′（t ）＞0，g （t ）递增，∴g （t ）的最大值是max{g （），g （2）}，而g （）=＜g （2）=，∴g （t ）在[，2]的最大值是g （2）=，又t 2﹣t ∈[﹣，2]，∴2a ≥或2a ≤﹣，解得：a ≥或a ≤﹣，故a 的范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1．（I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若动直线l 交椭圆E 于不同两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设=（bx 1，ay 1），=（（bx 2，ay 2），O 为坐标原点．当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：△MON 的面积为定值，并求出该定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I ）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论直线MN 的斜率存在和不存在，以线段PQ 为直径的圆恰好过点O ，可得⊥，运用向量的数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，由三角形的面积公式，计算即可得到定值．【解答】解：（I ）由题意可得e==，过椭圆的左焦点F （﹣c ，0）且倾斜角为30°的直线方程为：y=（x+c ），由直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1，可得2=2=1，又a 2﹣b 2=c 2，解方程可得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+y 2=1；（Ⅱ）证明：（1）当MN 的斜率不存在时，x 1=x 2，y 1=﹣y 2，以线段PQ 为直径的圆恰好过点O ，可得⊥，即有•=0，即有b 2x 1x 2+a 2y 1y 2=0，即有x 1x 2+4y 1y 2=0，即x 12﹣4y 12=0，又（x 1，y 1）在椭圆上，x 12+4y 12=4，可得x 12=2，|y 1|=，S △OMN =|x 1|•|y 1﹣y 2|=••=1；（2）当MN 的斜率存在，设MN 的方程为y=kx+t ，代入椭圆方程（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4=0， △=64k 2t 2﹣4（1+4k 2）（4t 2﹣4）=4k 2﹣t 2+1＞0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，又•=0，即有x 1x 2+4y 1y 2=0，y 1=kx 1+t ，y 2=kx 2+t ，（1+k 2）x 1x 2+4kt （x 1+x 2）+4t 2=0，代入整理，可得2t 2=1+4k 2，即有|MN|=•=•=•，又O 到直线的距离为d=，S △OMN =d•|MN|=|t|•=|t|•=1．故△MON 的面积为定值1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=α与圆C 1的交点分别为O 、P ，与圆C 2的交点分别为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先分别求出普通方程，再写出极坐标方程；（2）利用极径的意义，即可得出结论．【解答】解：（1）圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），普通方程分别为（x ﹣2）2+y 2=4，x 2+（y ﹣1）2=1，极坐标方程分别为ρ=4cos θ，ρ=2sin θ；（2）设P ，Q 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=4sin2α， ∴sin2α=1，|OP|•|OQ|的最大值为4．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）若关于x 的不等式|x+1|﹣|x ﹣2|＞|a ﹣3|的解集是空集，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对任意正实数x ，y ，不等式+＜k恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式，结合关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞|a﹣3|的解集是空集，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）利用柯西不等式，结合对任意正实数x，y，不等式+＜k恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵||x+1|﹣|x﹣2||≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3，∵关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞|a﹣3|的解集是空集∴|a﹣3|≥3，∴a≥6或a≤0；（Ⅱ）由柯西不等式可得（+）（8x+6y）≥（）2，∴≤，∵对任意正实数x，y，不等式+＜k恒成立，∴k＞，即实数k的取值范围是（，+∞）．。

学校2017届高三高考第一次模拟考试文数试题+Word版含答案

高三数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}x y x B x x x A -==<--=2ln ,0322，则=B A （）A ．{}31<<-x xB ．{}21<<-x xC ．{}23<<-x x D ．{}21<<x x2. =-02215sin 165cos （） A ．21 B ．22 C ．23 D ．33 3.已知i iz+=+221，则复数5+z 的实数与虚部的和为（） A ．10 B ．10- C ．0 D ．5-4.“22bc ac >”是“b a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.将函数()13cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx x f 的图象向右平移3π个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数()x g y =的图像，则函数()x g y =的一个对称中心为（） A ．⎪⎭⎫⎝⎛0,6π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,12π C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,6π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,12π 6.已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥-4040x y x y x ，则y x -4的最小值为（）A ．4B ．6 C. 12 D ．167.已知21,F F 是双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，若直线x y 3=与双曲线C 交于Q P ,两点，且四边形21QF PF 是矩形，则双曲线的离心率为（）A ．525-B ．525+ C. 13+ D ．13-8.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的表面积是π17，则它的体积是（） A ．π8 B ．356π C.314π D ．328π9.圆：092222=-+++a ax y x 和圆：0414222=+--+b by y x 有三条公切线，若R b R a ∈∈,，且0≠ab ，则2214b a +的最小值为（） A ．1 B ．3 C. 4 D ．510.设函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()()e f xe xf x f x x==+'1,，则0>x 时，()x f （）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.下表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆ0.70.3yx =+，那么表中m 的值为．12.观察下列各式 ,7,4,3,1:443322=+=+=+=+b a b a b a b a ，则=+1010b a ．13.已知()1,4a a b a b a =+=⋅-=- ，则a 与b夹角是．14.执行如图的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是．15.已知()1-=x e x f ，又()()()()R t x tf x f x g ∈-=2，若满足()1-=x g 的x 有三个，则t的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，现从高一学生中抽取100人做调查，得到如下22⨯列联表：已知在这100人中随机抽取一人抽到喜欢游泳的学生的概率为53，（Ⅰ）请将上述列联表补充完整，并判断是否有9.99％的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（Ⅱ）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选两人作为宣传组的组长，求这两人中至少有一名女生的概率，参考公式：()()()()()21122122121112212211211222n n n n n n n n n n n n n χ-=++++,其中22211211n n n n n +++=.参考数据：17.量2cos ,4444x x x x m n ⎫⎫=⋅=⎪⎪⎭⎭，设()f x m n =⋅ ，（Ⅰ）若()2fα=，求cos 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足()B c C b a cos cos 2=-，求()A f 的取值范围；18.六面体ABCDE 中，面⊥DBC 面ABC ，⊥AE 面ABC.（Ⅰ）求证：//AE 面DBC ；（Ⅱ）若CD BD BC AB ⊥⊥,，求证：面⊥ADB 面EDC ；19.列{}n a 与{}n b 满足()N n b b a a n n n n ∈-=-++,211，12-=n b n ，且.21=a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n nn nn T b a c ,1-=为数列{}n c 的前n 项和，求.n T20.()().ln 222x x x ax x x f -++-= （Ⅰ）当2=a 时，求()x f 的单调区间；（Ⅱ）若()+∞∈,0x 时，()02>+x x f 恒成立，求整数a 的最小值；21. 在直角坐标系中，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，其中2F 也是抛物线x y C 4:22=的焦点，点P 为1C 与2C 在第一象限的交点，且352=PF , （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过2F 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于N M ,两点，若线段2OF 上存在定点()0,t T 使得以TN TM ,为邻边的四边形是棱形，求t 的取值范围；试卷答案一、选择题1-5:BCCAD 6-10:BCDAD 二、填空题11. 8.2 12. 123 13. π65（或0150） 14.315.()+∞,2三、解答题16.解：（Ⅰ）由已知可得：喜欢游泳的人共6053100=⨯，不喜欢游泳的有：4060100=-人，又由表可知喜欢游泳的人女生20人，所以喜欢游泳的男生有402060=-人，不喜欢游泳的男生有人，所以不喜欢游泳的女生有40-10=30人由此：完整的列表如下：因为()22100403020105010.828604050503χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有9.99％的把握认为喜欢游泳与性别有关.（Ⅱ）从喜欢游泳的60人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，其中男生应抽取460640=⨯人，分别设为D C B A ,,,；女生应抽取246=-人，分别设为F E ,，现从这6人中任取2人作为宣传组的组长，共有15种情况，分别为：()()()()()()()()()()()()()()()F E F D E D F C E C D C F B E B D B C B F A E A D A C A B A ,,,,,,,,,,,,,,,若记=M “两人中至少有一名女生的概率”，则M 包含9种情况，分别为：()()()()()()()()()F E F D E D F C E C F B E B F A E A ,,,,,,,,,,所以().53159==M P 17.Ⅰ）()4cos 4sin 324cos22x x x x f += 12cos 2sin 3++=xx162sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx()2f α= 2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πa21cos 12sin 3262παπα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）()B c C b a cos cos 2=-()B C C B A cos sin cos sin sin 2=-∴()C B C B C B C A +=+=sin sin cos cos sin cos sin 2A C A sin cos sin 2=∴0sin ≠A 21cos =∴C 3π=∴C π320<<∴A 2626πππ<+<A162sin 21<⎪⎭⎫⎝⎛+<∴πA ()162sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA A f()A f ∴取值范围为()3,2.18.（Ⅰ）过点D 作O BC DO ,⊥为垂足，∴面⊥DBC 面ABC ，面 DBC 面⊂=DO BC ABC ,面DBC ，⊥∴DO 面ABC ，又⊥AE 面ABCDO AE //∴又⊄AE 面DBC 上，⊂DO 面.DBC//AE ∴面.DBC（Ⅱ）∴面⊥DBC 面ABC ，面 DBC 面BC AB BC ABC ⊥=,，⊥∴AB 面DBC ,又⊂DC 面DBC ,DC AB ⊥∴,又⊂=⊥BD AB B BD AB CD BD ,,, 面ADB ，⊥∴DC 面ADB ,又⊂DC 面EDC ，∴面⊥ADB 面.EDC19.（Ⅰ）因为()12,211-=-=-++n b b b a a n n n n n ，所以()()412122211=+-+=-=-++n n b b a a n n n n ，所以{}n a 是等差数列，首项为21=a ，公差为4，即24-=n a n ，（Ⅱ）()()()n n nn n nnn n n n b a c 212122411-=--==-- n n c c c c T ++++= 321()n n 21225232132-++⋅+⋅+⋅= ①()14322122523212+-++⋅+⋅+⋅=n n n T ②①-②得：()13221222222221+--⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T()()112122121422+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n n n()12326+---=n n().23261+-+=∴n n n T20.（Ⅰ）由题意可得()x f 的定义域为()+∞,0,当2=a 时，()()x x x x x x f ln 2222-++-=,所以()()()()x x xx x x x x x f ln 2412ln 122222-=⋅-+-++-=' 由()0>'x f 可得()0ln 24:>-x x ，所以⎩⎨⎧>>-0ln 024:x x 或⎩⎨⎧<<-0ln 024x x解得1>x 或210<<x ；由()0<'x f 可得()0ln 24:<-x x ，所以⎩⎨⎧<>-0ln 024:x x 或⎩⎨⎧><-0ln 024x x ，解得.121<<x 综上可知()x f :递增区间为()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,1,21.0，递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21，（Ⅱ）若()+∞∈,0x 时，()02>+x x f 恒成立，则()0ln 22>-+x x x ax 恒成立，因为0>x ，所以()0ln 12>-+x x a 恒成立，即()x x a ln 12:-->恒成立，令()()x x x g ln 12--=，则()max x g a >，因为()xx x x x x g 22ln 21ln 2+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-='，所以()x g '在()+∞,0上是减函数，且()01='g ，所以()x g 在()1,0上为增函数，在()+∞,1上是减函数，1=∴x 时，()0max =x g ，0>∴a ，又因为Z a ∈，所以.1min =a21.（Ⅰ）抛物线x y 42=的焦点为()0,13512=+=p x PF 32=∴p x 632=∴p y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∴632,32P 又()0,12F ()0,11-∴F4353721=+=+∴PF PF 2=∴a 又1=c 3222=-=∴c a b∴椭圆方程是134:22=+y x . （Ⅱ）设直线MN 的方程为() ,1-=x k y 以TN TM ,为邻边得四边形是菱形，TN TM =∴,设()()2211,,y x N y x M ，则134,13422222121=+=+y x y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴413,41322222121x y x y ， ()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=+-∴222221212222212141134113,x t x x t x y t x y t x ，()()0241212221=---∴x x t x x 直线MN 与x 轴不垂直，21x x ≠∴，()()212181,241x x t t x x +=∴=+∴，把()1-=x k y 代入椭圆方程并整理可得()01248432222=-+-+k x k x k ，2221438k k x x +=+∴，2243kk t +=∴，当0≠k 时，()43181221+=+=k x x t ， ,410,02<<∴>t k所以t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛41.0.。

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2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）
数学（文科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.
2
3
14. 3 15. 3 16. 9 三、解答题
17. (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，由题意得23
1
4=-=
a a d ， ……………………1分所以n n d n a a 22)1(2)1(1n =⨯-+=⋅-+=． ……………………………………2分设等比数列}{n
b 的公比为q ，由题意得82
5
3
==b b q ，解得2=q ． ……………………3分因为22
1==
q
b b ，所以n n n n q b b 222111=⋅=⋅=--． ……………………………………6分（Ⅱ）2
1)
21(22)22(--⋅++⋅=
n n n n S 2212-++=+n n n ． ……………………12分（分别求和每步给2分）
18. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）x
20
50004.0=
⨯ ，∴100=x . ……………………………………1分 ∵1005104020=++++y ，∴25=y . ……………………………………2分
008.05010040=⨯，005.05010025=⨯，002.05010010=⨯，001.050
1005
=⨯
)
/(3m g μ ……………………………………5分
（Ⅱ）在空气质量指数为10051-和200151-的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为10051-的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气污染指数为200151-的1天记为e ， ………………………………………6分从中任取2天的基本事件分别为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，),(e a ，(,)b c ，(,)b d ，),(e b ，(,)c d ，
),(e c ，),(e d 共10种， ………………………………………8分
其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d 共6种， ………………………………………10分所以事件A “两天都为良”发生的概率是63
()105
P A ==. …………………………12分 19. (本小题满分12分)
解: （Ⅰ）证明：因为C A AA 11=，且O 为AC 的中点，所以AC O A ⊥1，…………………2分又平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面 C C AA 11平面ABC AC = ……………………4分且⊂O A 1平面C C AA 11，⊥∴O A 1平面ABC . ……………………6分（Ⅱ）AC C A //11 ,⊄11C A 平面ABC ,⊂AC 平面ABC ，
//11C A ∴平面ABC ，即1C 到平面ABC 的距离等于1A 到平面ABC 的距离. ……………8分
由（1）知⊥O A 1平面ABC 且322
11=-=
AO AA O A ， ……………………9分
13322
1
3131111=⨯⨯⨯⨯=⋅=
=∴∆--O A S V V ABC ABC A ABC C . ……………………12分 20. (本小题满分12分)
解:（Ⅰ）1ln )(++='x a x f ， ……………………1分
01)1(=+='a f ，解得1-=a ，当1-=a 时， x x x x f ln )(+-=，……………………2分
即x x f ln )(='，令0)(>'x f ，解得1>x ； ……………………3分令0)(<'x f ，解得10<<x ； ……………………4分
)(x f ∴在1=x 处取得极小值，)(x f 的增区间为),1(+∞，减区间为)1,0(. …………………6分
（Ⅱ）1)(--=m x f y 在),0(+∞内有两个不同的零点，可转化为1)(+=m x f 在),0(+∞内有两个不同的根，也可转化为)(x f y =与1+=m y 图像上有两个不同的交点， ………………7分由（Ⅰ）知，)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，1)1()(min -==f x f ， … 8分由题意得，11->+m 即2->m ①
……………10分当10<<x 时，0)ln 1()(<+-=x x x f ；
当0>x 且0→x 时，0)(→x f ；
当+∞→x 时，显然+∞→)(x f （或者举例：当2
e x =，0)(22>=e e
f ）；
由图像可知，01<+m ，即1-<m ② ……………11分
由①② 可得 12-<<-m ……………12分 21. (本小题满分12分)
解:（Ⅰ）由题意得22=b ，解得1=b ， ……………………………………1分
2
2=
=a c e ，2
22c b a +=，∴2=a ，1=c ，故椭圆的标准方程为1222=+y x . ………………………………………………3分
（Ⅱ）①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取)22,1(A ，)22,1(-B ，)2
2
,1(--C ，故2222
1
=⨯⨯=
∆ABC S ： ………………………………………………4分 ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为)1(-=x k y ，联立方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12
)1(2
2y x x k y 化简得0224)12(2
222=-+-+k x k x k ， …………………………5分
设),(11y x A ，),(22y x B ，1
242
221+=+k k x x ，122
22221+-=⋅k k x x ， ……………6分]4)[()1(||212
212
x x x x k AB ⋅-+⋅+=]
1
22
24)124[()1(222222
+-⋅-+⋅+=k k k k k 1
21
2222++=k k ， ………………………………………8分
点O 到直线0=--k y kx 的距离1
||2
+-=
k k d 1
||2
+=
k k
因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为d 21
||22
+=
k k ， …………………9分
2222222)12()1(221
||2)12122(212||21++=+⋅++⋅⋅=⋅=∴∆k k k k k k k d AB S ABC
2
2)
12(41
412
2+-=k 2< …………………11分综上，ABC ∆面积的最大值为2. …………………12分 22. (本小题满分10分)
解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为1)2()1(22=+++y x ， …………………1分
cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的极坐标方程为4
π
θ=
（∈ρR ）， …………………3分
圆C 的极坐标方程为2
2cos 4sin 40ρρθρθ+++=. …………………5分（Ⅱ）将=
4
πθ代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ+++=，得04232=++ρρ
解得1ρ=-，2ρ=，|MN |=1|ρ－2|ρ …………………8分
因为圆C 的半径为1，则C M
N ∆的面积o 11sin 452⨯=1
2
. …………………10分（用直角坐标求解酌情给分） 23. (本小题满分10分)
解：（Ⅰ）当3=a 时，x x x f 21|3|)(-
-=，即02
1
|3|<--x x ， …………………1分
原不等式等价于x x x 2
1
32<-<-
， …………………3分解得62<<x ，不等式的解集为}62|{<<x x . …………………5分（Ⅱ）2
||||)()(a
x a x a x f x f +
--=+-，原问题等价于2||||a x a x <--， ………6分由三角绝对值不等式的性质，得|||)(|||||a x a x x a x =--≤-- …………………8分
原问题等价于2||a a <，又0>a ，2
a a <∴，解得1>a . …………………10分。