2017年浦东新区高三数学一模官方定稿版(浦东印稿答案)

浦东新区2016学年度第一学期教学质量检测

高三数学试卷 2016.12

注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对

得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1．已知U =R ，集合{}421A x x x =-≥+，则U A =C ___()1,+∞___. 2．三阶行列式351

2

367

2

4

---中元素5-的代数余子式的值为___34_____. 3．8

12x ??- ?

??

的二项展开式中含2x 项的系数是____7_____.

4．已知一个球的表面积为16π，则它的体积为____

32

3

π____. 5．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球. 这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是_____

2

5

_____. 6．已知直线l ：0x y b -+=被圆C ：2225x y +=所截得的弦长为6，则b =

7．若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =___3___. 8

．函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为___π____. 9．过双曲线C ：

22

214

x y a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OAB ?的面积的最小值为___8____. 10．若关于x 的不等式1

202

x

x m --

<在区间[0,1]内恒成立， 则实数m 的取值范围为___??

? ??223

，__.

11．如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是边

,BC CD

上的两个动点，且MN AM AN

的取值

范围是

[4,8

2]

- . 12．已知定义在*

N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的

n *∈N , 都有()f n *∈N 且()()3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=___54____.

解答：由题意，((1))3f f =，而*()f n N ∈，

若(1)1f =，则((1))(1)1f f f ==，不合题意，舍. 若(1)2f =，则((1))(2)3f f f ==，符合题意.

若(1)3f ≥，则((1))(3)f f f ≥，由单调性可知，

(3)5f ≥，故((1))5f f ≥，与已知矛盾. 所以，(1)2f =，同理：(2)3f =.

则有(3)((2))6f f f ==，(6)((3))9f f f ==，(9)((6))18f f f ==

由单调性及*

()f n N ∈，可知， (4)7,(5)8,(7)((4))12,(8)(

f f f f f f f f ====== 则应有1(23)3k k f -?=，(3)23k k f =?，*

k N ∈ 下证：当1k =时，(2)3f =，(3)6f =，显然成立。 假设1(23)3k k f -?=，(3)23k k f =?，*

k N ∈

则1(23)((3))3k k k f f f +?==，11(3)((23))23k k k f f f ++=?=?，由归纳法可知 1(23)3k k f -?=，(3)23k k f =?对*

k N ?∈都成立 当1

1[3

,23]k k n --∈?时，111(3)()(23)23()3k k k k f f n f f n ---≤≤???≤≤

而1

11323

233k

k k k ----?=?-，1()3k f n n -=+

当1[23,3]k k n -∈?时，111(3)3(3)k k k n n f n ---=-+=-

11()((3))3(3)33k k k f n f f n n n --?=-=-=-

综上：1()3,k f n n -

=+11[3,23)k k n --∈?，*

k N ∈

33k n -，1[23,3)k k n -∈?

6723199920173?<<<

(2017)(1999)3(20171999)54f f ∴-=-=

M

二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选

项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

13．将cos 2y x =图像向左平移

π

6

个单位，所得的函数为 ( A ) （A ）πcos(2)3y x =+ （B ）π

cos(2)6y x =+

（C ）πcos(2)3y x =- （D ）π

cos(2)6

y x =-

14．已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，则函数()y f x =-与1()y f x -=-的图像

( D )

（A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称

（C ）关于直线0x y +=对称

（D ）关于直线0x y -=对称

15．设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是 ( C ) （A ）若120a a +>，则230a a +>

（B ）若130a a +<，则120a a +<

（C ）若120a a <<

，则2a （D ）若10a <，则()()21230a a a a --> 16．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于

8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所

需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、

B 的大小关系是 ( A ) （A ）A B > （B ）A B <

（C ）A B = （D ）A 、B 的大小关系不确定

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在长方体ABCD －1111A B C D 中（如图），11==AA AD ，2AB=，点E 是棱AB 的中点．

（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小； （2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的

四面体称为鳖臑. 试问四面体1D CDE 是否为

鳖臑？并说明理由.

A

B

C

D

E

A 1

B 1

C 1

D 1

解：（1）作CE E A //'交CD 于E '， 因为11AD AA DE'===，所以1AE D

E ''==， 故?E AD '1为正三角形，异面直线1AD 与EC 所成角为60?…………………6分

（2）E 是棱AB 上的中点，则?ADE 、CBE ?均为等腰直角三角形，

故90DEC ∠=?，所以DEC ?为直角三角形.………………………………………9分

由1DD ⊥平面ABCD ，DE CE ⊥，知CE ⊥平面1DD E ，故1C E DE ⊥，所以EC D 1? 为直角三角形…………………………………………………………………………13分 而显然?1DD E 、?1DD C 均为直角三角形，故四面体1D CDE 四个面均为直角三角形， 为鳖臑. …………………………………………………………………………………14分

18．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

（1）若π3B =

，7=b ，ABC △的面积2

S =，求c a +值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ?+?=

，求角C .

解：（1）3

π

=

B ,2

3

321=

=

?B sin ac S ABC 6=∴ac …………………………………………………………………………2分

由余弦定理得B cos ac b c a 22

22=-+………………………………………4分

252

=+∴)c a (，5=+c a ……………………………………………………7分

（2） 22cosC(cos cos )ac B bc A c +=?()2cos cos cos C a B b A c +=…………10分

又c A b B a =+cos cos ………………………………………………………12分

∴2cos 1C =，1

cos 2C =

∵()0πC ∈，，∴π

3

C =………………………………………………………14分

19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的一条直线交

椭圆于P 、Q 两点，若12PF F ?

的周长为4+

.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若12F P F Q PQ +=

，求直线PQ 的方程.

解：（1

）由条件知：224a c +=+

:a b = 222c b a +=

解得：2,2a b c ===，…………4分

所以椭圆C 的方程为22

184

x y +=………………6分 （2）设直线2PF 的方程为：2,x ty =+ 1122(,),(,)P x y Q x y ；

因为121

2FP F Q FO OP F O OQ OP OQ +=+++=+

， 所以OP OQ PQ +=

，所以OP OQ ⊥,所以12120x x y y +=。…………9分

22

18

42

x y x ty ?+=???=+? ?()22

2440t y ty ++-= 121222

44

,22t y y y y t t --+=

=++

………………………………………11分 (

)

()

2

121212121240

x x y y t y y t y y +=

++++

=

解得：21,22

t t =

=±

13分 所以直线PQ

0y ±-=…………………………………14分

20．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

设数列{}n a 满足2

1241n n a a n n +=+-+，2

2n n b a n n =+-；

（1）若12a =，求证：数列{}n b 为等比数列；

（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q 、()2r q r <<，若25b 、q b 、r b 这三项经适

当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(),q r ； （3）若11a =，n n c b n =+

，n d =，n M 是n d 的前n 项和，求不超过 2016M 的最大整数.

解：（1）由21241n n a a n n +=+-+，∴()()()

2

2

112122n n a n n a n n +++-+=+-，

即12n n b b +=，又11110b a =-=≠，

∴数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列；………………………4分

（2）由（1）知()

1

2

n n b n N -*=∈，25,,q r b b b 这三项经适当排序后能构成等差数列； ①若225q r b b b ?=+，则211110222q r ---?=+，∴2121225q r ----+=，

∴21

212

12132352

4q r q r ----?==+=?????=+==???，∴()(),3,5q r =错误！未找到引用

源。；………………6分

②若225q r b b b =+，则121122522q r ---?=?+，∴122225q r +---=， 左边为偶数，右边为奇数，∴等式不成立；………………………8分 ③若225r q b b b =+，同理也不成立；

综合①②③得，()(),3,5q r =；……………………………………10分

（3）由2

11111210a b =?=+-?=，∴0n b =，………………………12分

∴0n c n n =+=；…………………………………………………13分

由()()()()

22

222

222222

1111111

1111n n n n n n n d c c n n n n +++++=++=++=++

()

()

()()2

222

21111

1111111n n n n n d n n n n n n n n ++++??=

?==+=+- ?+++??

+；

∴2016122016111111223M d d d ????

?

???=+++=+-

++-+ ? ??????

????

???

1111

12016120172016201720172017????++-=+-=- ???

?

???. ∴不超过2016M 的最大整数为2016………………………………………………16分

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知定义在R 上的函数()x ?的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ?都不是常值函数.设011i i n a t t t t t b -=<<<<<<= ，其中分点1t 、2t 、

、1n t -将区间[],a b 任意划分成*()n n ∈N 个小区间[]1,i i t t -，记

{}01121,,()()()()()()n n

M a b n t t t t t t ??????-=-+-++- ，称为()x ?关于区间[],a b 的n 阶划分的“落差总和”.

当{},,M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ?存在“最佳划分”{}0,,M a b n .

（1）已知()x x ?=，求{}1,2,2M -的最大值0M ；

（2）已知()()a b ??<，求证：()x ?在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b 的充要条件

是()x ?在[],a b 上单调递增.

（3）若()x ?是偶函数且存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，求证：0n 是偶数，且

00110i i n t t t t t -++++++= .

解：（1）()()()()010023M ????=--+-=.……………………………………4分 （2）若()x ?在[],a b 上单调递增，则

{}[]()(){}11

,,()(),,1n

i i i M a b n t t b a M a b ????-==-=-=∑，

故()x ?在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b .……………………………………6分 若()x ?在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b ，倘若()x ?在[],a b 上不单调递增， 则存在[]()()121212,,,,x x a b x x x x ??∈<>.

由()()()()()()()()1122a b a x x x x b ????????-≤-+-+-………………（*） 等号当且仅当()()()()()()11220,0,0a x x x x b ??????-≥->-≥时取得，此时

()()()()()()()()()()11220a b a x x x x b a b ??????????-=-+-+-=-<，与题

设矛盾，舍去，故（*）式中等号不成立.即：增加分点12,x x 后，“落差总和”会增加，故

{},,M a b n 取最大值时n 的最小值大于1，与条件矛盾.

所以()x ?在[],a b 上单调递增. ……………………………………………………10分 （3）由（2）的证明过程可知，在任意区间[],a b 上，若()x ?存在最佳划分{},,1M a b ，

则当()()a b ??=时，()x ?为常值函数（舍）；当()()a b ??<时，()x ?单调递增； 当()()a b ??>时，()x ?单调递减. ……………………………………………12分

若()x ?在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则此时在每个小区间

[]()10,1,2,,i i t t i n -= 上均为最佳划分{}1,,1i i M t t -.否则，添加分点后可使()x ?在[]

,a b 上的“落差总和”增大，从而{}0,,M a b n 不是“落差总和”的最大值，与“()x ?在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾，故()x ?在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -= 上都单调. …………………………………………………………………………………………14分

若()x ?在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则()x ?在相邻的两个区间[]1,i i t t -、

[]1,i i t t +上具有不同的单调性.否则，()()()()()()1

1

1

1

1

i i i i

i t t t t t t ??????-+-+-=-+- ，

减少分点i t ，“落差总和”的值不变，而n 的值减少1，故n 的最小值不是0n ，与“()x ?在

[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾. ………………………………………………16分 ()x ?存在“最佳划分”{}0

,,M a a n -，故()x ?在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -= 上

都单调.而()x ?是偶函数，故()x ?在y 轴两侧的单调区间对称，共有偶数个单调区间，且当000,1,,

2n i j n i ??

+== ???

时0i j t t +=，从而有00120n t t t t ++++= .………18分