2018年上海市宝山区高考数学一模试卷和参考答案

? ? 1 1 1 n

2 2

上海市宝山区 2017—2018 学年高三第一学期期末测试卷

数学 2017.12

考生注意:

1. 答卷前, 考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚, 并在规定的区域内贴上条形码.

2. 本试卷共有 23 道试题, 满分 150 分. 考试时间 20 分钟.

一. 填空题（本大题满分 54 分）本大题有 14 题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果, 每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1. 设集合A =

{2 ，3 ，4 ，12 }，B = {0 ，1 ，2 ，3 }, 则A

I B = .

2. l i m n 5n

- 5n + 7 = .

7

n 3. 函数y = 2 cos 2

(3px )- 1 的最小正周期为 . 4. 不等式x + 2 > x + 1

1 的解集为 .

5. 若z = - 2 + 3i i

, 则I m z = .

（其中 i

为虚数单位）

6. 若从五个数- 1 ，0 ，1 ，2 ，3 中任选一个数m , 则使得函数f (x ) = 调递增的概率为

. （结果用最简分数表示）

(m 2

- 1)x + 1 在R 上单

7. 在( 3 + x 2

x )n

的二项展开式中, 所有项的二项式系数之和为 1024, 则常数项的值等于

.

8. 半径为 4 的圆内接三角形ABC 的面积是 1 16

, 角A 、B 、C 所对应的边依次为a 、b 、c ,

则a b c 的值为

.

9. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点, 双曲线

x - y = 1 的右焦点是C 的焦点F . 若斜率

25 144

为- 1 , 且过F 的直线与C 交于A ，B 两点, 则 AB = .

10. 直角坐标系xOy 内有点P (- 2,- 1), 体的体积为

.

Q (0,- 2)将D POQ 绕x 轴旋转一周, 则所得几何

11. 给出函数 g (x ) = - x 2

+ b x , h (x ) = - mx 2 + x - 4 , 这里 b ,m ,x ? R , 若不等式

g (x )+ b + 1 ￡ 0（x ? R

）恒成立, h (x )+ 4 为奇函数, 且函数f (x ) = ì?g (x ),x ￡ í h (x ),x > ?

t , 恰有两 t 个零点, 则实数t 的取值范围为

.

12. 若 n （ n 3 3 , n ? ￥ *

） 个不同的点Q (a ,b ) , Q 2(a 2 ,b 2 ) , L , Q n (a n ,b n )

满足: a 1 < a 2 < L < a n , 则称点Q 1,Q 2 ,L ,Q n 按横序排列. 设四个实数 k ，x 1 ，x 2 ，x 3 使得

í i 2k (

x

-

x )

，

x 2

2 成等差数列, 且两函数y = x 2 , y =

1

+ 3 图象的所有交点P (x ，y ),

3

1

3

2

x

1 1 1

P 2(x 2 ，y 2 ), P 3(x 3 ，y 3

)按横序排列, 则实数k 的值为 .

二. 选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题, 每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑, 选对得 5 分, 否则一律得零分. 13. 关于x ，y 的二元一次方程组ì? 3x + 4y =

1 的增广矩阵为（ ）

??x -

3y = 10 骣3 4 - 1÷ 骣3 4 1 ÷ 骣3 4 1 ÷ 骣3 4 1 ÷ A. ? ÷B. ? ÷ C. ? ÷ D. ? ÷

?桫1 - 3 10 ÷ ?桫1 - 3 - 10÷ ?桫1 - 3 10÷ ?桫

1 3 10 ÷ 14. 设P 1 ，P

2 ，P

3 ，P

4 为空间中的四个不同点, 则“ P 1 ，P 2 ，P 3 ，P 4 中有三点在同一条直线 上”是“ P 1 ，P 2 ，

P 3 ，P 4 在同一个平面上”的（ ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件

15. 若函数 y = f (x ) = （

）

f (x - 2) 的图象与函数y = lo

g 3 x + 2 的图象关于直线y = x 对称, 则

A. 32x - 2

B. 32x - 1

C. 32x

D.

32x + 1

16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积. 设: 数列甲:

x 1 ，x 2

，L ，x 5 为递增数列, 且x ? N *

（i = 1 ，2 ，L ，5 ）; 数列乙: y 1 ，y 2 ，y 3 ，y 4 ，y 5

满足 y i

? {- 1,1} （i = 1 ，2 ，L ，5 ）. 则在甲、乙的所有内积中（

）

A. 当且仅当x 1 = 同为奇数;

B. 当且仅当x 1 = 们同为偶数;

1 ，x

2 = 2 ，x 2 =

3 ，x 3 =

4 ，x 3 =

5 ，x 4 =

6 ，x 4 =

7 ，x 5 =

8 ，x 5 = 9 时, 存在16 个不同的整数, 它们

10 时, 存在16 个不同的整数, 它 C. 不存在16 个不同的整数, 要么同为奇数, 要么同为偶数; D. 存在16 个不同的整数, 要么同为奇数, 要么同为偶数.

三. 解答题（本大题满分 76 分）本大题共 5 题, 解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤

17. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题, 第 1 题满分 6 分, 第 2 题满分 8 分.

如图, 在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 中,

已知AB = BC = 4 , DD 1 = 8 , M 为棱C 1D 1 的中点.

（1） 求四棱锥M - ABCD 的体积;

（2） 求直线BM 与平面BCC 1B 1 所成角的正切值.

18. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题, 第 1 题满分 6 分, 第 2 题满分 8 分

已知函数f (x ) = 1

- 2 sin 2

x

. 2

轾p 3p （1） 求f (x )在 犏， 上的单调递减区间; 臌

2 2

2 - 1 - 1

（2） 设D ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边依次为a ，b ，c , 若 c

a -

b 且f (C ) = 1

, 2

- 1 1 1

求D ABC 面积的最大值, 并指出此时D ABC 为何种类型的三角形.

19. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题, 第 1 题满分 6 分, 第 2 题满分 8 分. 设

数

列{a

}，{b

}及

函数f (x )

（

x ?

R n n n n （1） 若等比数列{a }满足a = 1 ，a = 3 , f (x ) = 2x , 求数列{bb

}的前n （n ? N *

） 项和; n

1

2

n n + 1

（2） 已知等差数列{a }满足a = 2 ，a = 4 ，f (x ) = l (q x + 1)（l 、q 均为常数, q > 0 , 且 n 1 2 q 1 1 ）, c = 3 + n + (b + b + L + b )（n ? N *

）. 试求实数对(l ，q ), 使得{c }成等 n 比数列.

1 2 n n

20. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题, 第 1 题满分 4 分, 第 2 题满分 6 分, 第 3 题满

? 0

分 6 分 . 设椭圆C :

x 2 y

2

+ = a 2 b

2

1 （a > b >

）过点(- 2 ，0),

且直线x - 5y + 1 = 0 过C 的左焦点. （1） 求C 的方程;

（2） 设(x ， 3y )为C 上的任一点, 记动点(x ，y ) 的轨迹为G , G 与x 轴的负半轴, y 轴的正

半轴分别交于点G ，H , C 的短轴端点关于直线y =

uuur uuur

线GH 上运动时, 求P F 1 ×

P F 2 的最小值; x 的对称点分别为F 1 ，F 2

. 当点P 在直 （3） 如图, 直线l 经过C 的右焦点F , 并交C 于A ，B 两点, 且A , B 在直线x = 4 上的射

影依次为D , E . 当l 绕F 转动时, 直线AE 与BD 是否相交于定点?若是, 求出定点的坐标; 否则, 请说明理由.

21. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题, 第 1 题满分 4 分, 第 2 题满分 6 分, 第 3 题满分 8 分. 设z ? C , 且f (z ) =

ì锍z ,R e z 0

í . ??-

z ,R e z < 0 （1） 已知2f (z ) +

f (z )- 4z = - 2

+ 9i （z ? C ）, 求z 的值; （2） 设z （ z ? C ）与R e z 均不为零, 且z 2n

1 - 1 （ n ? N *

）. 若存在k ? N *

, 使得

(f

(z ))k 0

+

￡ 2 , 求证: f (z ) +

￡ 2 ;

（3） 若z = u （ u ? C ）, z

= f (z 2

+ z + 1) （ n ? N *

）. 是否存在u , 使得数列

1

n + 1

n

n

z ，z ，L 满足z

= z （m 为常数, 且m ? N *

）对一切正整数n 均成立?若存在, 试求

1

2

n + m

n

出所有的u ; 若不存在, 请说明理由.

1 (f

(z ))k 0

1

f (z )

5 4 5

1 1 1

2018 年宝山区高三一模数学参考答案

1 2 3 4 5 6 {2 ，3} - 1 1 (- 1 ，+ 2 2 3 5 7 8 9 10 11 12 [- 2 ，0)

405 1 104 4p 1

13 14 15 16 C

A

C

D

第一部分、填选 第二部分、简答题

17. 解: （1）因为长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 , 所以点M 到平面ABCD 的距离就是DD 1 = 8 , 故四棱锥

M - ABCD 的体积为V

= 1

鬃S DD =

128

. M - ABCD 3 ABCD

1 3

（2）（如图）联结BC 1 , BM , 因为长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 , 且

M ? C 1D 1 ,

所以MC 1 ^ 平面BCC 1B 1 , 故直线BM 与平面BCC 1B 1 所成角就是 D MBC 1 , 在R t D MBC 1

中, 由已知可得MC 1 =

1 C 1D 1 = 2

2 , BC 1 =

= 4

, MC 2

5 因此, t a n D MBC = 1 =

= , 即直线BM 与平面BCC B 所成角的正切值为 BC 1

10 5 .

10

轾p 3p

轾p 18. 解

:

（1）由题意 （2）由已知可得a + b = 4 , Q f (C ) =

1 , \

2 犏臌

2 2 c o s C =

1 , 又C ? (0 ，p ), \

2 犏臌

2

C =

p

. 故

3

BB 2 + BC 2

1 1 1

3

3 3 n

n n + 1

q 2

2

5 5 臌

S

= 1

a b s i n C =

3

ab Ｗ

3

a +

b 2

= , 当a = b =

2 时取等号, 即D ABC 面积 D ABC

2

(

)

4 4 2

的最大值为 , 此时D ABC 是边长为 2 的正三角形.

19. 解: （ 1 ） 由已知可得 a n = 3n - 1 （ n ? N *

） , 故b = 2 ×3n - 1 （ n ? N *

） , 所以

b n b n + 1 = 4 ×32n - 1

（n ? N * ）, 从而{bb

}是以12 为首项, 9 为公比的等比数列, 故数列

{b n b n + 1

}的前n 项和为

3 (9n - 1)（n ? N *

）. 2

（ 2 ） 依 题 意 得 a n = 2n （ n ? N *

） , 所 以 b n = l (q 2n

+ 1) （ n

? N *

） , 故 c n =

lq 2

3 + + 1 - q 2

(l +

1)n -

l q 2

2n 1 - q 2

?ì l q 2 ì?l = - 1 * ? 3 + = 0

（ n ? N ）, 令 í 1 - q 2 , 解得 ?í （ q = - < 0 舍去）, 因此, 存在 ? l + 1 = 0 ?

?q = 2 ?? 2 3 , 使得数列{c }成等比数列, 且 3 n （n ? N * ）. (l ，q ) = (- 1 ， ) 2 n c n = 3 ×( ) 4

20. 解: （1）依题意可得a = 2 , 半焦距c = 1 , 从而b 2

= a 2 - c 2

= 3 , 因此, 椭圆C 的方

x 2

y 2

程为 + = 1 .

4 3

（2）因为点 (x ， 3y )在C 上, 所以

x 2

( 3y )2

+

= 4

3

1 , 故轨迹G :

x

+ y = 4

1 . 不妨设 F 1(- ，0), F 2( 3 ，0), P (x ，y ), 则P F 1 =

(- - x ，- y ),

PF 2 = ( 3 - x ，- y ). 易

得直线GH : x - 2y + 2 = 0 , 故 uuur uuur 2 2

4 2 11 4 2 4

P F 1 ×P F 2

= x + y - 3 = 5(y - ) - , 所以当y = , 即点 P 的坐标为 (- ， ) 时, 5 5 5 5 5

uuur uuur 11

P F 1 ×

P F 2 取得最小值- . （或这样: 因为点P 在直线GH 上运动, 所以当OP ^ GH 时, 5

取得最小值, 故x 2 + y 2 也取得

轾0 - 2 ×0 + 2 2

4 2 4 最小值, 此时(x 2

+ y 2

)

= 犏 = , 易得对应点为垂足P (- ， ) , 从而, mi n

犏 5 5 uuur uuur

P F 1 ×

P F 2 的最小值为 3 3 3 x 2 + y 2 ?

( ( ( í í ? ? uuur uuur 4 11

(

P F 1 ×

P F 2 )

= - 3 = - . ） mi n

5 5

（3）易得F (1 ，0), 设l :

x = my + 1 （m ? R ）, A (x 1 ，y 1), B (x 2 ，y 2 ), 则D (4 ，y 1),

E (4 ，y 2

),

ìx 2 y 2 ? + = 1 2 2 2 由?í 4 3 得(3m + 4)y + 6my - 9 = 0 , 显然D = 144(m + 1) > 0 , 且

?x =

? my + 1

y + y = -

6m

,

yy = - 9

. 将x =

my + 1 代入直线AE 的方程:

1

2

3m 2

+ 4

1 2

3m 2

+ 4

1

1

(x 1 - 4)(y - y 2 ) = (y 1 - y 2

)(x - 4) , 并化简可得

myy + (y + y )+ 轾

2y - (y + y ) x - 5y + (3 - my )y = 0

, 将y + y = - 6m ,

1 2

1

2

臌

1 1

2

1

1

1

2

3m 2 + 4

y 1y 2

= - 9

3m 2

+ 4

代入可得m ×(-

9 )-

6m

+

(2y + 6m

)x - 5y + (3 - my )y =

, 即直线 3m 2 + 4 3m 2 + 4

1

3m 2

+ 4

1 1 AE 的方程为

2 轾(3m 2 + 臌 4)y 1 + 3m (x - )+ (3m 2 + 2

4)(3 - my 1)

y = 0 , 因为m ，y 1

任意, 所 以直线AE 过定点 5 2 ，0) . 同理可得直线BD 也过定点 5

2

，0).

综上, 当l 绕F 转动时, 直线AE 与BD 相交于定点 5

2

，0).

21. 解: （1）设z = a + b i （a ，b ? R ）, 则Re z = a .

若 a 3 0 , 则 f (z ) = z , 由 已 知 条 件 可 得 - a - 3b i = - 2 + 9i , Q a ，b ? R ,

\ ì?- a = - 2 , 解得ì?a = 2 , \ z = 2 -

3i . ??- 3b = 9 b = - 3 ?

若 a < 0 , 则 f (z ) =

- z , 由 已 知 条 件 可 得 - 7a - 5b i = - 2 +

9i , Q a ，b ? R ,

ì?- 7a = - 2 \ í ? ì? 2 ?a = , 解得?í 7 , 但a < ì? 2 ?a = 0 , 故?í 7 舍去. ??

- 5b = 9 ?b = - 9 ?? 5 ?b = - 9 ?? 5

5

1 z

2

1

f (z )

n

n n

n 综上, 得z = 2 - 3i .

（2） 证明如下: 令t n =

(f (z )) +

, 则t n = z n

+

（n ? N *

）.

假设 f (z ) +

> 2 , 即t 1 > 2 , 因z 2n 1 - 1 （n ? N *

）, 故t > 0 （n ? N *

）,

于

是

2t

< t ×t

= z + 1 ×z

n + 1 + 骣 = 珑z n + 1 鼢+

骣 1 z n + 2 +

n + 1

1

n + 1

z

珑

z

鼢 桫

z n + 2

￡ z n

+

+ z

n + 2 + 1

z

n + 2

= t n + t n + 2 , 即2t n + 1 < t n + t n + 2

（ n ? N *

）, 亦即t

- t < t

- t

, 故数列 {t

- t } 单调递增. 又t

> 2 , 故 n + 1

n

n + 2

n + 1

n + 1

n

1

t = z 2 + 骣 = ?z +

2

1 ÷- 2

3 z +

2

1 - 2

= t 2 - 2 > t ,

即

t > t

, 于 是 ,

2

?桫 ÷

z

1

1

2

1

t - t > t - t

> L > t - t > 0 . 所以, 对任意的n ? N *

, 均有t 3 t >

2 , 与题

n + 1

n

n

n - 1

2

1

n

1

设条件矛盾. 因此, 假设不成立, 即 f (z ) +

￡ 2 成立. （3） 设存在u ? C 满足题设要求, 令a = Re z ，b = I mz （n ? N *

）. 易得对一切n ? N *

,

n

n

n

n

ì?a = a 2

+ a + 1 - b 2 均有a n 3 0 , 且?í

n + 1 n n n （※）. ?

? b n + 1 = (2a n + 1)b n （ｉ）若u ? {- i ，i }, 则{z n

}显然为常数数列, 故u = ±i 满足题设要求. （ⅱ）若u ? {- i ，i }, 则用数学归纳法可证: 对任意n ? N *

, (a ，b ) ? {(0

，- 1)，(0 ，1)}. 证明: 当n = 1 时, 由u ? {- i ，i }, 可知(a 1 ，b 1)

? {(0 ，

- 1)，(0 ，1)}. 假设当n = k 时, (a k ，b k )

? {(0 ，

- 1) ，(0 ，1)}. 那么, 当n = k + 1 时,

若 (a ，b ) ? {(0

，- 1)，(0 ，1)} , 则 a = 0 , b

= 1 . 故 a 2 + a + 1 - b 2

= 0 ,

k + 1

k + 1

k + 1

k + 1

k

k

k

(2a k + 1)b k = 1 . （※※）

如果a k = 0 , 那么由(a k ，b k ) ? {(0 ，- 1)，(0 ，1)}可知 b k

1 1 , 这与（※※）矛盾.

1 (f

(z ))n

1

z

n 1 f (z )

1

z

n + 1

1

z

n

n n

í?2

如果a>0,那么由（※※）得b2=a2+ a + 1 > 1 , 即b > 1 , 故 2a + 1 ×b> 1 , k

与（※※）矛盾.

k k k k k k

因此, (a

k+ 1

，b k+ 1) ?{(0，-1)，(0，1)}.

综上可得,对任意n?N*,(a，b) ?{(0，-1)，(0，1)}.

记x = 2a2+ b2（n ? N *）, 注意到

n n n

x - x = (2a2+ b2)- (2a2+ b2) = 2 轾(a2+ a )2 + a2+ 2a + (1 -b2)23 0 , 即n+ 1 n n+ 1 n+ 1 n n

ì?a n =0

犏臌n n n n n

x

n+1-x n30 , 当且仅当?,亦即(a

n

，b n)?{(0，-1)，(0，1)}时等号成立.于是,?b n=1

有x < x （n ? N *）, 进而对任意m , n ? N *, 均有x > x , 所以z 1 z . 从n n+ 1

而, 此时的u ?{-i，i}不满足要求.

n+ m n n+ m n

综上,存在u=±i,使得数列z，z，L 满足z=z（m为常数,且m?N*）对一切

1 2 n+ m n

n ? N *成立.